图形变换课件

第六章图形变换

主要介绍

•二维几何变换

•窗口到视区的变换

•三维几何变换

浙江大学计算机学院计算机图形学

以下几方面的内容：

数学基础：矢量、矩阵及运算

二维几何变换

三维几何变换

投影变换

视窗变换

浙江大学计算机学院计算机图形学

变换的数学基础

矢量

浙江大学计算机学院计算机图形学

变换的数学基础

-矢量的数乘

浙江大学计算机学院计算机图形学

变换的数学基础

-矢量的长度

222

u==ux+uy+Uz

■单位矢量

■矢量的夹角

U•¥

cos0=

MHH

~矢量的叉积

Jk

UxV=UxUyUz

VxVyVz

浙江大学计算机学院计算机图形学

变换的数学基础

矩阵

mxn阶矩阵

-n阶方阵

-零矩阵

-行向量与列向量

-单位矩阵

-矩阵的加法

-矩阵的数乘

-矩阵的乘法

-矩阵的转置

-矩阵的逆

浙江大学计算机学院计算机图形学

变换的数学基础

矩阵的含义

矩阵：由mXn个数按一定位置排列的一个

整体，简称mXn矩阵。

a\1(712...a\n

a21a22...tz2；?

A二

Clm1Cltn2.・・CLmn

其中，ay称为矩阵A的第i行第j列元素

浙江大学计算机学院计算机图形学

变换的数学基础

矩阵运算

•加法

设A,B为两个具有相同行和列元素的矩阵

Qll+611Cl\2+b12…Cl\n+bin

A+B=

Clml+bm\dm2+um2…dmn+umn

•数乘

kA—[j=l,..n

浙江大学计算机学院计算机图形学

变换的数学基础

*乘法

设A为3X2矩阵，B为2X3矩阵

1111111\.乙乙乙J.JJ4

C=A-B=

g/ii+〃2241+“2341。2Tbi2+。22b22+。23b32

C-C1nxp-AmXn.BnXpCjj-£aik*bkj

•单位矩阵k=l,n

在一矩阵中，其主对角线各元素％尸1,其余

皆为0的矩阵称为单位矩阵。n阶单位矩阵通常

-

"P己作【n。AmXnAmXn，In

浙江大学计算机学院计算机图形学

变换的数学基础

­逆矩阵

若矩阵A存在A・A-1二A【A二I,则称A"为A的逆矩

阵

•矩阵的转置

把矩阵心⑸工"的行和列互换而得到的

nXm矩阵称为A的转置矩阵，记作A，。

(A，)丁二A

(A+B)T=AT+BT

(aA)T=aAT

(A・B)丁=BT-AT

当A为n阶矩阵，且A二A，，则A是对称矩阵。

浙江大学计算机学院计算机图形学

变换的数学基础

矩阵运算的基本性质

•交换律与结合律师

A+B=B+A;

A+(B+C)=(A+B)+C

­数乘的分配律及结合律

a(A+B)=aA+aB;

a(A-B)=(aA)・B=A-(aB)

(a+b)A=aA+bA

a(bA)=(ab)A

浙江大学计算机学院计算机图形学

变换的数学基础

•矩阵乘法的结合律及分配律

A(B-C)=(A-B)C

(A+B)-C=A-C+B-C

C-(A+B)=C-A+C・B

•矩阵的乘法不适合交换律

浙江大学计算机学院计算机图形学

齐次坐标

所谓齐次坐标表示法就是由〃+1维向量表丕

一个〃维向量。如〃维向量(尸1,尸2，・・・，尸〃)表示

为(kPi/P2rhp〃⑺，其中〃称为哑坐标。

1、一,可以、取不同的值，所以同一点的齐次

坐标木是唯一为。

如普通坐标系下的点(2,3)变换为齐次坐标

可以是(1,1.5,0.5)(4,6?2)(6,9,3)等等。

2、普通坐标与齐次坐标的关系为“一对多”

由普通巫标x/z一齐次坐标

由齐次坐标+6一普通坐标

3、当〃=1时产生的齐次坐标称为“规格化

坐标”，耳为前〃个坐标就是普通坐标系下

的〃维坐标。

浙江大学计算机学院计算机图形学

齐次坐标

浙江大学计算机学院计算机图形学

齐次坐标的作用

1.将各种变换用阶数统一的矩阵来表示。提供了用矩阵

运算把二维、三维甚至高维空间上的一个点从一个坐

标系变换到另一坐标系的有效方法。

2,便于表示无穷远点。

例如：(xxh,yxh,h),令h等于0

3.齐次坐标变换矩阵形式把直线变换成直线段，平面变

换成平面，多边形变换成多边形，多面体变换成多面

体。

4.变换具有统一表示形式的优点

-便于变换合成

-便于硬件实现

浙江大学计算机学院计算机图形学

窗口视图变换

•用户域和窗口区

1.用户域：程序员用来定义草图的整个自然空间（如）

a人们所要描述的图形均在用户域中定义。

b用户域是一个实数域，理论上是连续无限的。

2.窗口区：用户指定的任一区域（份

a窗口区收b于或等于用户域初

b小于用户域的窗口区物U做用户域的子域。

c窗口可以有多种类型，矩形窗口、圆形窗口、多边形

窗口等等

d窗口可以嵌套，即在第一层窗口中可再定义第二层窗

口，在第I层窗口中可再定义第1+1层窗口等等。

浙江大学计算机学院计算机图形学

窗口视图变换

1.屏幕域(QC)：设备输出图形的最大区域，是

有限的整数域。如图形显示器分辨率为

1024x768->DC[0..1023]x[0..767]

2.视图区：任何小于或等于屏幕域的区域

a视图区用设备坐标定义在屏幕域中

b窗口区显示在视图区，需做窗口区到视图区的

坐标转换。

c视图区可以有多种类型：圆形、矩形、多边形

等。

d视图区也可以嵌套。

浙江大学计算机学院计算机图形学

窗口区和视图区的坐标变换

设窗口的四条边界双股外甲）应叮7

视图的四条边界依"EY兄d为,仍7

则用户坐标系下的点（即窗口内的一点）

（Xvv,Hv）对应屏幕视图区中的点（照足），

其变换公式为

VXR-VXL

X二---------------------W------X---L)+VXL

WXR-WXLW/

<

VYT-VYB

Y=--•-(--y--v---W---Y--B)+VYB

'WYT-WYB

浙江大学计算机学院计算机图形学

窗口区和视图区的坐标变换

简化为:

•1）当即。时，即X方向的变化与P方向的

变化不同时，视图中的图形会有伸缩变

化，图形变形。

•2）当斫左力0则Ys^Yw,图形

完全相同。

•思考：前面讲的窗口一视图变换时，假

设窗口的边和坐标轴平行，如果窗口的

边不和坐标轴平行呢？

浙江大学计算机学院计算机图形学

窗口区和视图区的坐标变换

•A.先让窗口厂Gm转-a角，使它和/G'/T/'重

口。

•B.用(1)式进行计算。

浙江大学计算机学院计算机图形学

图形变换

图形变换是计算机图形学基础内容之一。

几何变换，投影变换，视窗变换

线性变换，属性不变，拓扑关系不变。

作用：

•把用户坐标系与设备坐标系联系起来;

•可由简单图形生成复杂图形；

•可用二岁图形表示三维形体；

•动态显示。

浙江大学计算机学院计算机图形学

二维图形的显示流程图

世界坐关于窗窗口到扫描显

牌f标系内A口的裁..视区的设爸>

坐标系的变换剪变换坐标系转换不

浙江大学计算机学院计算机图形学

图形的几何变换

•图形变换：对图形的几何信息经过几何

变换后产生新的图形。

•图形变换的两种形式：

・1.图形不变，坐标系改变；

・2.图形改变，坐标系不变。

■我们所讨论的是针对坐标系的改变而讲

的。

浙江大学计算机学院计算机图形学

二维图形的几何变换

•设二维图形变换前坐标为变换后为

(adg、

•1.二维变换矩阵T2D=beh

\Cfi,

•注意：72。可看作三个行向量，其中

・[100]：表示工轴上的无穷远点

・[010]：表示》轴上的无穷远点

•[001]：表示原点

浙江大学计算机学院计算机图形学

I二维图形的几何变换

•从变换功能上可把72。分为四个子矩阵

：对图形进行缩放、旋转、对称、错切等变换

(6e)

(c7)：对图形进行平移变换。

:对图形做投影变换。

5,

g：在％L处产生一个灭点。

g

h：在x=1处产生一个灭点。

h

(z)：对整体图形进行伸缩变换。

,100、

:(x*y*1)=(xy1)010

0i,

.•.若，〉1,则总体缩小；否则，总体放大。

:维基本变换-平移变换

平移变换

’100、

(x*y*l)=(xj1)010=(x+'…卜1)

'TxTy1J

•平移变换只改变图形的位置，不改变图

形的大小和形状

浙江大学计算机学院计算机图形学

二维基本变换-比例变换

(S00

X、

(x*y*l)=(x-)0Sy0=(s「x"1)

10°d

-以坐标原点为放缩参照点

-当S尸s尸1时：恒等比例变换

-当Sx=5"〉1时：沿方向等比例放大。

-当Sx二SX1时：沿方向等比例缩小

-当S/5yB寸：沿方向作非均匀的比例变换,

图形变形。

浙江大学计算机学院计算机图形学

・维基本变换-对称变换

•当b=d=O,Q=-l,e=l时，(x*l)=(-xy1)：与y轴对称的

反射变换。

•当b=d=O,Q=l,e=-l时，(x*y*1)=(x-y1)：与x轴对称的

反射变换。

•当b=d=O,Q=e=-l时，(x*y*1尸(-x-y1)：与原点对称的

反射变换。

•当b=d=l,Q=e=O时，(x*y*1尸(yx1)：与y=x对称的反射

变换。

•当b=d=-l,a=e=O时,(x*y*1)=(-y-x1)：与产-x对称的

反射变换。

浙江大学计算机学院计算机图形学

二维基本变换-旋转变换

注意；。是逆时针旋转角度。

t.(x'y)

尸=PCOS6Zf^/0.(x,y

\y=Psincca

x'=pcos(9+a)=pcosacos。一psinasin。=xcos0-ysinO

yy-psin(6>+a)=psinacos9+pcosasin9=xsin9+ycos0

'cos6sin80、

(x*y*l)=(xy1)-sincos90-(xcos0-ysm3xsine+ycos。1)

，°°】，

浙江大学计算机学院计算机图形学

:维基本变换-错切变换

d0、

(%*y*1)=(、y1)b10=(x+勿dx+y1)

1°0

•1)当d=0时，(x*X)=(x+byy1)：图形的歹坐标不变；

•当b>0：图形沿+x方向作错切位移。48c。一A1B1C1D1

•当X0：图形沿-x方向作错切位移。ABCD^A2B2C2D2

心图形学

二维基本变换-错切变换

•2）当6=0时，（x*y*1尸（x加+y1）图形的x坐标不变；

•当d>0：图形沿+y方向作错切位移。4BCD-A1B1C1D1

•当d<0：图形沿-y方向作错切位移。ABCD^A2B2C2D2

二维基本变换-错切变换

•3)当且dM时，

•(x*y*l)=(x+Z)^dx+y1)：图形沿xj两个

方向作错切位移。

•，错切变换引起图形角度关系的改变，

甚至导致图形发生变形。

浙江大学计算机学院计算机图形学

复合变换

•复合变换又称级联变换，指对图形做一

次以上的几何变换。

•注意：任何一个线性变换都可以分解为

上述几类变换。

浙江大学计算机学院计算机图形学

例1:复合平移

•求点尸(对)经第一次平移寥换(以1,7>1),第二次平移

变换(Tx2,Ty2)后的坐标尸*(x*/*)

•解：设点尸经第一次平移变换后的坐标为y

•，变换矩阵为刀=北卜”2

浙江大学计算机学院计算机图形学

例2：多种复合组合

•例:对一线段先放大2倍（即Sx=Sy=2）,再平移Tx=10,Ty=0。

ty

(X,y)

>x

•解:设点（X,y）为线段上的任意一点，

点（x'，y'）为点（x,y）放大后的坐标则:

设点(x‘'，y'')为点(x'，y')经平移后的坐标为：

二[x\y\l]T2(10,0)则:

1]二[x，,y\l]T2(10,0)=[X,y,1]S2(2,2)T2(10,0)

令：M=S2(2,2)T2(10,0),则M即为组合变换

浙江大学计算机学院计算机图形学

例3：旋转变换

•对参考点尸（沈0）做旋转变换。

•解：

•1、把旋转中心F（求平移至坐标原点，即坐标系平移

,100、

Hl)=(xy1)o1o=(x>MJ"

-yf1,

•2、进行旋转变换

'cos0sin90、

(%)21)=(/1)-sin6>cos60=(x2为1)丁(。)

、00"__________________

■浙江大学计算机学院计算机图形学

例3：旋转变换

•将坐标系平移回原来的原点

’100、

*1)=(/%1)010=(x2巴1)7(盯力

1

7

­因此

,100、

2歹21)7(~y

(X*歹*1)=(x2为1)010=(%f

1

7

浙江大学计算机学院计算机图形学

例4：任意的反射轴的反射变换

•任一图形关于任意的反射轴产^+云的反射变换

•解：1.将坐标原点平移到（0,。）处」00、

4=010

<0-ab

例4：任意的反射轴的反射变换

•2.将反射轴（已平移后的直线）按顺时针方向

浙江大学计算机学院计算机图形学

例4：任意的反射轴的反射变换

•5.恢复反射轴的原始位置」00、

010

（）（）a1,

因此T=TxR-dT2R6T3

例6（通用定向缩放）

•比例变换中的比例因子Sx,“只能在x轴方向或y

轴方向起作用。实际图形变换中，不仅是在XU

方向变换，往往要求在任意方向进行比例变换。

通过旋转变换和比例变换的组合，可以实现任

意方向的比例变换。

•解：定义比例因子例和82。

•1.使S1和S2旋转。角后分别与x轴和歹轴重合。

•2.进行比例变换。

•3.使S1和S2旋转-e角，返回原始位置。

浙江大学计算机学院计算机图形学

三维几何变换

・三维其次坐标

浙江大学计算机学院计算机图形学

三维几何变换

三维变换矩阵-对称变换

在二维变换下，对称变换是以线和点为基准，在三维变

换下，对称变换则是以面、线、点为基准的。

-对称于XOY平面1000

0100

_x*y*z*1]=[xy-z1]二[xz1]

00-10

0001

-对称于YOZ平面-1000

0100

_x*y*z*1]=[-xyz1]二[xz1]

001o

0001

-对称于xoz平面1000

0-100

_x*y*z*1]=[x-yz1]二[xz1]

0010

0001

浙江大学计算机学院计算机图形学

三维变换矩阵-旋转变换

-绕x轴变换

空间上的立体绕X轴旋转时，立体上各点的X坐标

不变，只是Y、Z坐标发生相应的变化。

ypcos(a+9)y*cos©-z*sin6

zpsin(a+0)y*sin6+z*cos6

浙江大学计算机学院计算机图形学

3维变换矩阵-旋转变换

•矩阵表示为:

10oo

0cos0sin0o

0-sin。cos0o

0001

■遵循右手法则，即若。〉0,大拇指指向

轴的方向，其它手指指的方向为旋转方

向。

浙江大学计算机学院计算机图形学

三维变换矩阵-旋转变换

-绕Y轴旋转

此时，Y坐标不变，X,Z坐标相应变化。

二x*cos0+z*sin©

yy

Zpcos(a+0)=z*cos6-x*sin©

浙江大学计算机学院计算机图形学

建隹变换矩阵-旋转变换

•矩阵表示为

cos00-sin。0

0100

y21]=xyz1]

sin00cos00

0001

浙江大学计算机学院计算机图形学

三维变换矩阵-旋转变换

-绕z轴旋转

此时，Z坐标不变，X,Y坐标相应变化。

iztY

x'二pcos(01+0)=x*cos©-y*sin。

y1=psin(a+6)=x*sin。+y*cos。

z।二z

浙江大学计算机学院计算机图形学

三维变换矩阵-旋转变换

•矩阵表示为：

cos0sin000

-sin。cos000

x'y'z11]=[xyz1

0010

0001

浙江大学计算机学院计算机图形学

绕任意轴的旋转变换-方法1

•a)绕过原点的任意轴的旋转变换

•空间点尸(x),z)绕过原点的任意轴ON逆时

针旋转。角的旋转变换。

•基本思想：因。泗由不是坐标轴，应设法

旋转该轴，使之与某一坐标轴重合，然

后进行旋转。角的变换，最后按逆过程，

恢复该轴的原始位置。

浙江大学计算机学院计算机图形学

绕任意轴的旋转变换-方法1

­解：令ON为单位长度，其方向余弦为:

a=cosa-b-=cospa=—y;c=cos/=—4;r=/2+,y2+,z2

rrr

*。、夕、〃为。泗由与各坐标轴的夹角。

•变换过程如下：

•1）让ON轴绕z轴旋转使之在XOZ平

面上。其中

绕任意轴的旋转变换-方法1

"cosa'-sin00、

sina'cosa'00

•因此R（-〃）”

0010

、

00017

•2）让在刘少平面上的3绕p轴旋转）

使之与z轴重合。其中

sin/*=yla2+b2cosy'=c

因此N

'cos0siny'0、y

0

0100

Mr%

-sin0cosy'0X

0001,算机图形学

绕任意轴的旋转变换-方法1

•3）〃点绕3$山（即z轴）逆时针旋转。角

•b）绕任意轴的旋转变换

•上面的ON轴若不过原点，而是过任意点

（xojo，zo），变换如何呢?

浙江大学计算机学院计算机图形学

绕任意轴的旋转变换-方法2

•组合变换：空间一点绕空间任一轴线的旋转变

换。要通过将几个基本的变换组合在一起，得

到该组合变换。

假定空间任一直线的方向矢量分别为：

绕任意轴的旋转变换-方法2

能否转换成绕X、Y或Z轴旋转的变换？

ON绕Z轴旋转©2至UXOZ平面上，然后再绕Y轴

旋转eP即可与z轴重合。

浙江大学计算机学院计算机图形学

绕任意轴的旋转变换-方法2

这样，可得空间上任一点绕ON轴旋转的变换过程如下:

1）首先通过两次旋转，使ON轴与Z轴重合；

2）然后使点绕z轴旋转e角；

3）最后通过与1）相反的旋转，使ON轴回

到原来的位置。

假设，绕Z轴的旋转-62矩阵为L

绕Y轴的旋转-61矩阵为丁2

绕Z轴的旋转6矩阵为T3

绕Y轴的旋转e1矩阵为T4

绕z轴的旋转e2矩阵为丁5

浙江大学计算机学院计算机图形学

绕任意轴的旋转变换-方法2

则总体变换矩阵为：

T=

由上推导可看出，只要能求出61、©2的值,

即可通过上式获得绕ON轴的变换矩阵。

由于矢量(oo1)绕Y轴旋转e1,再绕z轴旋

转02即可与ON轴重合。即：

绕任意轴的旋转变换-方法2

[1mn1]=[sin©^os©2?sin©j^sin©2?cos©1?1]

1=sin0icos。2

m=sin©isin。2

n=cos©i

从而通过上式即可得到ei、e2的值。

问题：当任一轴线的端点不在原点时，此时应如

何计算变换矩阵？

浙江大学计算机学院计算机图形学

SuccesswithMoneyandJoy

附落人生心语

•成功是一种观念

•致富是一种义务

•快乐是一种权利

•每个人都有能力、有义

务、有权利办到成功

致富快乐

附赠人生心语

成成功不是打败别人

功成功不是超越别人

成功不是名、利、权的获得

致拥有健康的身体

丰足的物质生活

富平衡的心理状态

又才能拥有成功

快SuccesswithMoneyandJoy

战胜自己

乐贡献自己

扮演好自己的历史角色

才能超越自己

融入成功里

附赠人生心语

知人者智，自知者明，胜人者力，自

胜者强。

——老子

附赠人生心语

•成功必须靠百分之九十八的辛勤血

汗，加上百分之二的天才灵感。

•世界上注定只有百分之二十的人会成

功。

附赠人生心语

成犹太谚语中有一句名言，

功会伤人的东西有三个：苦恼、争吵、空的钱包。

其中最伤人的是——空的钱包。

致金钱本身并没有善恶，

但没有钱，

富却的确是一件不幸的事情。

又所以，我们必须学习

快SuccesswithMoneyandJoy

重视财富，

乐管理财富，

更重要的是栗学会

正确地

使用自己的财富。

附赠人生心语

重财---重视自己的财富

孔子说：“不义而富且贵于我如浮云。”只要

是正正当当的钱，都应该被珍惜、被重视。

附赠人生心语

理财-----管理自己的财富

在贫苦和缺钱里挣扎的人，都有一个共同的特

点，就是不会理财，甚至不懂什么是理财。

附磨人生心语

增贝才----增加自己的财富

劳务收入

收入卜

财务收入

附霜人生心语

守贝才-----保护自己的财富

守财三原则：

・不赌钱

・不借钱

•不投资做生意

附赠人生心语

成

功春有百花秋有月，夏有凉风冬有雪

致若无闲事挂心头，便是人间好时节

富

又Success