历年考研数学线代真题

历年考研数学一真题1987-2016

1987年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试卷

一、填空题（本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上）

（5）已知三维向量空间的基底为四=（1,1,0）,a,=（1,0,1）,a,=（0,1,1）,则向量f$=（2,（）,0）在此基底下的坐标是.

三、（本题满分7分）

飞or

（2）设矩阵A和B满足关系式AB=A+2B.其中A=110,求矩阵B.

014

五、选择题（本题共4小题,每小题3分,满分12分.每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求,把所选项

前的字母填在题后的括号内）

（4）设A为〃阶方阵，且A的行列式|A|="O,而A是A的伴随矩阵，则|屋|等于

（4）a（而，（0/

九、（本题满分8分）

rX,+X2+X3+X4=0

问./为何值时，现线性方程+2：+子=1

I-x2+（a-3）X3_2X4=b

[3%+2X2+x3+ax4=-l

有唯一解,无解,有无穷多解?并求出有无穷多解时的通解.

1988年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试卷

二、填空题（本题共4小题,每小题3分,满分12分.把答案填在题中横线上）

⑷设4阶矩阵A=[a，Y2，Y3，YjB=甲,七*=」，其中心。,力，力，骨均为4维列向量,且已知行列式性|=4,同=1,则行列式|A+B|=.

三、选择题（本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求,把所选项

前的字母填在题后的括号内）

（5）〃维向量组-a,,q（34sO）线性无关的充要条件是

（与存在一组不全为零的数4,人,使匕叫+《2a2++4%00

（而四,a,,以中任意两个向量均线性无关

9q中存在一个向量不能用其余向量线性表示

（0a,a,,q中存在一个向量都不能用其余向量线性表示

七、（本题满分6分）

1001oo

已知AP=BP,其中B=000,P=2-io，求A,AT

00-1211

八、（本题满分8分）

2001[200一

已知矩阵人=001与8=0yo相似.

01x0o-1

⑴求A与y.

⑵求一个满足PAP=B的可逆阵P.

1989年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试卷

一、填空题（本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上）

3001[100

⑸设矩阵人=140,1=010，则矩阵（A-2I尸.

003001

二、选择题（本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项

前的字母填在题后的括号内）

⑸设A是〃阶矩阵，且A的行列式|A|=0,则A中

（4）必有一列元素全为0（而必有两列元素对应成比例

（。必有一列向量是其余列向量的线性组合（9任一列向量是其余列向量的线性组合

三、（本题共3小题,每小题5分,满分15分）

七、（本题满分6分）

X]+工3=丸

问2为何值时,线性方程组4不+/+2演=九+2有解,并求出解的一般形式.

6%,+々+4尢3=24+3

八、（本题满分8分）

假设/.为〃阶可逆矩阵A的一个特征值,证明

（1），为7的特征值.

（2）囿为A的伴随矩阵A的特征值.1990年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试卷

A

一、填空题（本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上）

（5）已知向量组冈=（1,2,3,4）,«0=（2,3,4,5）,a3=（3,4,5,6）,a4=（4,5,6,7）,

则该向量组的秩是.

二、选择题（本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求,把所选项

前的字母填在题后的括号内）

（5）已知人、立是非齐次线性方程组AX“的两个不同的解9、a,是对应其次线性方程组AX=O的基础解析温、k为任

意常数,则方程组AX=b的通解（一般解）必是

（4）ki%+k2（al+a2）+————（而\叫+左2（叫_<»2）+0,+B

（。匕%（民+0,）+0'（〃）匕%+向他一人）+吗P

七、（本题满分6分）

设四阶矩阵

且矩阵A满足关系式

A(E-C'B)C=E

其中E为四阶单位矩阵,b表示C的逆矩阵,C表示C的转置矩阵.将上述关系式化简并求矩阵A

八、(本题满分8分)求一个正交变换化二次型/=x；+4x；+4后-4%々+4¥3-8々不成标准型・

1991年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)

'5200'

(5)设4阶方阵A=：*；:.则A的逆阵A-.

0011

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求,把所选项

前的字母填在题后的括号内)

(5)设〃阶方阵A、B、C满足关系式ABC=E.其中E是〃阶单位阵,则必有

(4)ACB=E(而CBA=E

(0BAC=E(0BCA=E

七、(本题满分8分)

已知必=(l,0,2,3),a2=(l,l,3,5),a5=(l,-l,a+2,l),a4=(1,2,4,a+8)及p=(l,l,b+3,5).

(1)a>b为何值时串不能表示成..必出的线性组合？

(2)八b为何值时平有%的唯一的线性表示式?写出该表示式.

八、(本题满分6分)

设A是〃阶正定阵.E是〃阶单位阵，证明A+E的行列式大于L

1992年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)

22。也，

⑸设A=她她地，其中4*0,/>H(),(i=1,2,，成则矩阵A的秩r(A).

也a也anbn_

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求,把所选项

前的字母填在题后的括号内）

（5）要使当=（）&=1都是线性方程组AX=。的解,只要系数矩阵A为

3l-ij

3[-212]例:；；

'01-1'

（0T02]⑵4一2-2

01-1

L」[011

八、（本题满分7分）

设向量组a1,a2，a,线性相关,向量组a?,线性无关，问：

（l）q能否由％,&线性表出?证明你的结论.

⑵a4能否由四,％M线性表出?证明你的结论.

九、（本题满分7分）

设3阶矩阵A的特征值为4=1,九=24=3,对应的特征向量依次为

⑴将p用号&&线性表出.

（2）求A.为自然数）.

1993年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试卷

一、填空题（本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上）

（5）设〃阶矩阵A的各行元素之和均为零,且A的秩为〃一1,则线性方程组AX=o的通解为.

二、选择题（本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求,把所选项

前的字母填在题后的括号内）

123

（5）已知Q=24，，P为三阶非零矩阵,且满足PQ=。,则

369

（4）『=6时P的秩必为1而"6时P的秩必为2

（。”6时P的秩必为1（936时P的秩必为2

七、（本题满分8分）

已知二次型/（4右毛）=2x；+3石+3£+2分的（。＞。）通过正交变换化成标准形/=才+2£+5£,求参数”及所用的正交变换

矩阵.

八、（本题满分6分）

设A是〃X,”矩阵,B是〃…矩阵，其中〃＜肛1是〃阶单位矩阵，若AB=L证明B的列向量组线性无关.

1994年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试卷

一、填空题（本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上）

⑸已知。=[1,2,3],0=[1,：，3],设八=4|）,其中/是0的转置,贝!）A".

二、选择题（本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项

前的字母填在题后的括号内）

（5）已知向量组-%,%,人线性无关,则向量组

（Z）ct]+a2,a2+a3,a3+a4,a4+d1线性无关（助叫-a2,%-qq-%线性无关

（0a1+a2,a2+a3,a3+a4,a4-四线性无关⑦«1+a2,a2+a3,a3-a4,a4-冈线性无关

八、（本题满分8分）

设四元线性齐次方程卿（I）为*+々=°,

jX2-X4=0

又已知某线性齐次方程加（II）的通解为6（0,1,1,0）+k（-1,2,2,1）.

（1）求线性方程组（I）的基础解析.

（2）问线性方程组（I）和（II）是否有非零公共解?若有,则求出所有的非零公共解.若没有,则说明理由.

九、（本题满分6分）

设A为〃阶非零方阵,A是A的伴随矩阵,A，是A的转置矩阵,当A*=A，时,证明W

1995年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试卷

一、填空题（本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上）

⑸设三阶方阵A,B满足关系式A-BA=6A+BA,且则明

二、选择题（本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求,把所选项

前的字母填在题后的括号内）

aA\a\2a\3a]\a\2〃I30101oo-

⑸设A=,B=100010，则必有

。21。22。23，R=,p2

001101

_^3I。32。33__a3\。32%3_

⑦AP2Pl=B

(A)AP,P2=

(6)B(0P,P.A=B

P,P2A=

八、（本题满分7分）

设三阶实对称矩阵A的特征值为4=一1自=4=1,对应于4的特征向量为q=口,求A,

九、（本题满分6分）

设A为〃阶矩阵,满足AA，=1（1是〃阶单位矩阵.A，是A的转置矩阵）,|A|<0,求|A+I|.

1996年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试卷

一、填空题（本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上）

102

⑸设A是4X3矩阵，且A的秩r(A)=2,而B=[02贝h(AB).

-103

二、选择题（本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项

前的字母填在题后的括号内）

%00瓦

ab0

（5）四阶行列式:22的值等于

%40

00«4

（4）qa2a34-她她(3qa2a3a4+岫2b3b4

（0（的2-她）（%。4-她）(0(a2a3-b2b3)(。田4一瓦瓦)

八、（本题满分6分）

设A=IYF，其中I是〃阶单位矩阵q是“维非零列向量刘是g的转置.证明

（1）A2=A的充分条件是目气=1.

（2）当值=1时,A是不可逆矩阵.

九、（本题满分8分）

已知—^次型=5q+5石+cx；-2占%2+6X|X,-6电天的秩为2,

（1）求参数,及此二次型对应矩阵的特征值.

（2）指出方程/（内,犬2，玉）=1表示何种一次曲面.

1997年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试卷

一、填空题（本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上）

-12-2

（4）设A=4/3,B为三阶非零矩阵，且AB=O,则,.

3-11

二、选择题（本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项

前的字母填在题后的括号内）

qx+^y+q=0,

⑷设叫=a2,a2=b2,a3=c2,则三条直线%x+4y+c2=0,

%工+/73丁+。3=0

（其中a；+b；w0,i=1,2,3）交于一点的充要条件是

（4）叫必9线性相关（0线性无关

（。秩「（四.㈤二秩r（ot1,a2）⑵aI,a2，a.3线性相关,四,叫线性无关

七、（本题共2小题,第⑴小题5分,第（2）小题6分，满分11分）

rr

⑴设B是秩为2的5x4矩阵s=[l,l,2,3f,a2=[-l,l,4,-l],a3=[5,-l,-8,9]是齐次线性方程组以=0的解向量,求取=。的解空间

的一个标准正交基.

⑵已知g=1是矩阵A=5a3的一个特征向量.

1）试确定“，参数及特征向量g所对应的特征值.

2）问A能否相似于对角阵?说明理由.

八、（本题满分5分）

设A是〃阶可逆方阵,将A的第,行和第1行对换后得到的矩阵记为B.

（D证明B可逆.

⑵求AB1

1998年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试卷

一、填空题（本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上）

⑷设A为〃阶矩阵,|A|#0,为A的伴随矩阵.E为〃阶单位矩阵.若A有特征值人则（A）+E必有特征直

二、选择题（本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项

前的字母填在题后的括号内）

（4）设矩阵

h

b2c2是满秩的，则直线二一。3=y-3=z-q.与直线工，二y-biz—C]

~"a,—a^b\—b、c一。＞&＞一久a一&c,一c

（2）相交于一点（而重合（。平行但不重合（9异面

十、（本题满分6分）

~x~\rE

已知二次曲面方程—+殴2+z?+2g+2xz+2yz=4可以经过正交变换y=P〃化为椭圆柱面方程/+4铲=4.求”,的值和

.dK.

正交矩阵P.

十一、（本题满分4分）设A是〃阶矩阵,若存在正整数%,使线性方程组AJ=O有解向量a,且屋，“0.证明：向量组

a,Aa,是线性无关的.

十二、（本题满分5分）

'anxt+al2x2++a1.2„x2„=0

已知方程组（[）＜。2内+。22々++a2.2nX2n=0

、4d+4,2々++4,2"々“=0

'如+4.2"%“=0

的一个基础解析为例也，，妃.）7恁也，也/，，（"也，也/.试写出线性方程组（II]+为2以=。

£用+42%++鬣2"%”=。

的通解,并说明理由.

1999年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试卷

一、填空题（本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上）

（4）设〃阶矩阵A的元素全为1,贝!IA的〃个特征值是.

二、选择题（本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项

前的字母填在题后的括号内）

⑷设A是〃矩阵，B是矩阵，则

（冷当〃…时,必有行列式|ABk0⑶当〃,>〃时,必有行列式|AB|=0

（。当〃>〃，时，必有行列式|ABk0（〃）当时，必有行列式IAB|=0

十、（本题满分8分）

设矩阵A=5:；，其行列式|A|=T,又A的伴随矩阵T有一个特征值%,属于4的一个特征向量为a=求a,b,c

1-c0-a

和％的值.

十一、（本题满分6分）

设A为〃，阶实对称矩阵且正定，B为,"〃实矩阵，B，为B的转置矩阵,试证B，AB为正定矩阵的充分必要条件是B的秩=

2000年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试卷

一、填空题（本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上）

1211

（4）已知方程组23a+23无解,则小.

167-2X30

二、选择题（本题共5小题,每小题3分,满分15分.

（4）设〃维列向量组四,,%,（〃,<〃）线性无关,贝！J"维列向量组即凡线性无关的充分必要条件为

（4）向量组叫，，a,“可由向量组乩，，以线性表示（③向量组h,凡可由向量组线性表示

（。向量组％,,a,“与向量组即也等价S矩阵A=（a”，%,）与矩阵B=（即，凡）等价

十、（本题满分6分）,\

设矩阵A的伴随矩阵人=1•且ABA-=BA-+3E,其中E为4阶单位矩阵,求矩阵

十一、（本题满分8分）

某适应性生产线每年1月份进行熟练工与非熟练工的人数统计,然后将，熟练工支援其他生产部门，其缺额由招收新

6

的非熟练工补齐.新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有工成为熟练工.设第〃年1月份统计的熟练工与非熟练

5

工所占百分比分别为玉和加记成向量'/

⑴求的关系式并写成矩阵形式:

⑵验证%=尸］是A的两个线性无关的特征向量，并求出相应的特征值.⑶当产、2时，求加］.2001年全国

硕士研究生入学统一考试数学（一）试卷

一、填空题（本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上）

⑷设A?+A—4E=O,贝！I（A-2E）T=.

二、选择题（本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求,把所选项前的

字母填在题后的括号内）

riiin<4000、

⑷设AJ一：B=。000，则A与B

11110000

J11J10ooo)

(4)合同且相似㈤合同但不相似

（。不合同但相似（9不合同且不相似

九、（本题满分6分）

设叫心,a,为线性方程组AX=O的一"个基础解系,01=e+弓％,02=他+t2a3,,0s=4%+/2四，其中八为实常数，试问乙」2

满足什么条件时即02，R也为AX=O的一个基础解系？

十、（本题满分8分）

已知三阶矩阵A和三维向量X,使得X,AX,A2*线性无关,且满足A,x=3Ax—2A

（1）记P=（X,Ax,A、）,求B使A=PBP-'.

⑵计算行列式|A+E.

2002年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试卷

一、填空题（本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上）

（4）已知实二次型/（x„x2,》3）=心；+X；+x；）+4为》2+4项工3+4七》3经正交变换可化为标准型f=6y：,则a.

二、选择题（本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求,把所选项前的

字母填在题后的括号内）

（4）设有三张不同平面,其方程为勺X+2）+qz=4（;123）它们所组成的线性方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩都

为2,则这三张平面可能的位置关系为

九、（本题满分6分）

已知四阶方阵A=（ct],a2，a3，a4）,叫.9,人均为四维列向量,其中a,,c^,a4线性无关，a,=2a,-a3.若0=a1+a,+（<3+<14,求线

性方程组Ax=p的通解."一''■

十、（本题满分8分）

设A,B为同阶方阵，

（1）若A,B相似,证明A,B的特征多项式相等.

（2）举一个二阶方阵的例子说明（1）的逆命题不成立.

（3）当A,B为实对称矩阵时,证明（1）的逆命题成立.

2003年全国硕士研究生入学统一考试数学（-*）试卷

一、填空题（本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上）

⑷从R2的基%=到基2胪2的过渡矩阵为.

二、选择题（本题共6小题,每小题4分,满分24分.每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求,把所选项前的

字母填在题后的括号内）

⑷设向量组/：四,a?,,明可由向量组：乩取R线性表示，则

（4当r<s时，向量组必线性相关（而当r>s时，向量组必线性相关

（。当r<s时，向量组/必线性相关（0当r>s时,向量组/必线性相关

⑸设有齐次线性方程组Ax=0和Bx=O,其中A,B均为机x〃矩阵,现有4个命题：

①若Ax=0的解均是Bx=0的解,则秩（A）2秩（B）

②若秩（A）N秩（B）,则Ax=（）的解均是Bx=O的解

③若Ax=O与Bx=0同解,则秩（人）=秩出）

④若秩（人）=秩8）,则心=（）与Bx=O同解

以上命题中正确的是

（冷①②（而①③（。②④（9③④

九、（本题满分10分）

设矩阵A=232,P=101,B=P"*P,求B+2E的特征值与特征向量，其中A*为A的伴随矩阵，E为3阶单位矩

十、（本题满分8分）

已知平面上三条不同直线的方程分别为:ax+2by+3c=0,/2:Z?x+2cy+3tz=0,l3:ex+2ay+3b=0.试证这三条直线交于

点的充分必要条件为a+8+c=O.

2004年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试卷

一、填空题（本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上）

210

⑸设矩阵A=120,矩阵B满足ABA*=2BA*+E,其中A*为A的伴随矩阵，E是单位矩阵，则|B|

001

二、选择题（本题共8小题,每小题4分,满分32分.每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求,把所选项前的

字母填在题后的括号内）

（11）设A是3阶方阵,将A的第1列与第2列交换得B,再把B的第2列加到第3列得C,则满足AQ=C的可逆矩阵Q

为

0100100101011

(J)100(而10(6)100(0100

101001011001

（12）设A,B为满足AB=O的任意两个非零矩阵,则必有

（Z）A的列向量组线性相关,B的行向量组线性相关（面A的列向量组线性相关,B的列向量组线性相关

（。A的行向量组线性相关,B的行向量组线性相关⑦）A的行向量组线性相关,B的列向量组线性相关

（20）（本题满分9分）

（1+d）xx+W++1”=

设有齐次线性方程组-玉+（2+。区++2玉=0,（,让2）,

g+nx24-+（〃+a）xn=0,

试问〃取何值时,该方程组有非零解,并求出其通解.

（21）（本题满分9分）

'12-3'

设矩阵A=-l4-3的特征方程有一个二重根，求a的值,并讨论A是否可相似对角化.

1a5

2005年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试卷

一、填空题（本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上）

(5)设%,4,%均为3维列向量,记矩阵

A=(a),a2,a3),B=(aj+a2+2a24-4«3^)+3a2+9a3),

如果|A|=1,那么|B|=.

二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求,把所选项前的

字母填在题后的括号内)

(11)设4,4是矩阵A的两个不同的特征值,对应的特征向量分别为四,a2,贝u%，A(%+%)线性无关的充分必要条件是

(Z)4no(面4/o

(04=o(0)4=0

(12)设A为〃(心2)阶可逆矩阵,交换A的第1行与第2行得矩阵B.A*,B,分别为A,B的伴随矩阵,则

(Z)交换A*的第1列与第2列得B*(而交换A*的第1行与第2行得B*

(。交换A*的第1列与第2列得一B*(0交换A*的第1行与第2行得一B*

(20)(本题满分9分)

已知二次型,x3)=(1-Q)X；+(1-d)x[+2xj+2(1+a)x}x2的秩为2.

⑴求a的值；

(2)求正交变换x=Qy,把手5,修，当)化成标准形.

(3)求方程"小林七)=0的解.

(21)(本题满分9分)

'123一

已知3阶矩阵A的第一行是(a/,0MAe不全为零，矩阵B=2464为常数)，且AB=O,求线性方程组心=0的通

36k

解.

2006年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷

一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上)

（5）设矩阵A=0；）E为2阶单位矩阵,矩阵B满足BA=B+2E,则|B|=

（6）设随机变量X与y相互独立,且均服从区间［0,3］上的均匀分布,则P｛皿｛X,Y）<1｝=.

二、选择题（本题共8小题,每小题4分，满分32分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前

的字母填在题后的括号内）

（11）设%,a?,,均为〃维列向量，A是〃zx〃矩阵，下列选项正确的是

（4）若叫«，，见,线性相关，则Aot|,Aa2，,Aa*,线性相关（面若叫,a2,,线性相关，则A%,Aa2,,A%,线性无关

（。若叫人，，a,,线性无关，则Aa|,Act2，,Aa，,线性相关（乃若叫小，，a,,线性无关，则AapAa?,,Aa,,线性无关.

’110、

（12）设A为3阶矩阵，将A的第2行加到第1行得B,再将B的第1列的-1倍加到第2列得C,记P=010,则

100L

（J）C=PAP⑶C=PAP"（6）C=PrAP（0C=PAP，

（20）（本题满分9分）

+x0+x3+x4=-1

已知非齐次线性方程组你+3X2+5X3-x4=有3个线性无关的解,

3+/+3七-bx4=1

（1）证明方程组系数矩阵A的秩r（A）=2.

（2）求助的值及方程组的通解.

（21）（本题满分9分）

设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3,向量以=（-1,2,=（0,-1,1）7是线性方程组心=0的两个解.

（1）求A的特征值与特征向量.

（2）求正交矩阵Q和对角矩阵A,使得Q「AQ=A.

2007年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试卷

一、选择题（本题共10小题,每小题4分,满分40分,在每小题给的四个选项中，只有一项符合题目要求,把所选项前

的字母填在题后括号内)

(7)设向量组四,%,%线性无关,则下列向量组线形相关的是

(J)%-a.a-«a-a,

2233(而ttj+a2,a2+a,,a3+a,(0a,-2a2,a2-2a3,a3-2%(0a,+2a2,a2+2a3,a3+2%

'2-100、

⑻设矩阵A=-12-1,B=010,则A与B

、-1-1JI。00,

3合同,且相似⑦合同,但不相似(。不合同，但相似(〃)既不合同,也不相似

二、填空题(11一16小题,每小题4分，共24分,请将答案写在答题纸指定位置上)

'0100、

(15)设矩阵A=：：：；，则A、的秩为.

,0000,

(21)(本题满分11分)

%+X,+%,=0

3=

设线性方程组.X[+2X2+of=°，与方程司+2X2+冗。-L有公共解,求a的值及所有公共解.

%+4马+/七=0

(22)(本题满分11分)

设3阶实对称矩阵4的特征向量值4=1自=2,4=-2.%=(1,-1,1)，是4的属于特征值4的一个特征向量，记

8=人5一443+£,其中£为3阶单位矩阵.

(1)验证”是矩阵B的特征向量,并求B的全部特征值与特征向量.

(2)求矩阵B.

2008年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷

一、选择题(1-8小题,每小题4分，共32分,下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求,把所选项前

的字母填在题后的括号内.)

(5)设A为〃阶非零矩阵,E为〃阶单位矩阵.若A=O,则

(Z)E-A不可逆，E+A不可逆(而E-A不可逆，E+A可逆

(。E-A可逆，E+A可逆(9E-A可逆，E+A不可逆

二、填空题(9-14小题,每小题4分，共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.)

(13)设A为2阶矩阵,％,%为线性无关的2维列向量，A%=0,A%=2%+a2,则A的非零特征值为

(20)(本题满分11分)

A=aar+眦，为a的转置,『为0的转置.证明：

⑴r(A)W2.⑵若a,p线性相关,则r(A)<2.

(21)(本题满分11分)

"2a1、

设矩阵A=/2a।，现矩阵A满足方程AX=B，其中X=(不，x,J,B=(l,0,⑼，

、a2为nxn

⑴求证|A|=(〃+l)a".

(2)“为何值,方程组有唯一解,求再.

(3)〃为何值,方程组有无穷多解,求通解.

2009年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷

一、选择题(1-8小题,每小题4分，共32分,下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求,把所选项前的字

母填在题后的括号内.)

(5)设%,a2,%是3维向量空间暖的一组基,则由基%,到基/+%外+%,%+%的过渡矩阵为

2r<J_]_、

~2

'101)(120、24622

(J)220(⑸023(6)-(面2_1

~246444

、033j1103,

11]_1

<2-46>、666>

⑹设A,B均为2阶矩阵,A*,B*分别为A,B的伴随矩阵，若|A|=2,|B|=3,则分块矩阵已力的伴随矩阵为

36)

3町o2B*)34*]241

(4)(0

o)、3A*O)O)

二、填空题(9-14小题,每小题4分，共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.)

(13)若3维列向量a,p满足痂=2,其中a，为a的转置,则矩阵画的非零特征值为.

(20)(本题满分11分)

-1

设A=-11

,0-4

(1)求满足的邑.=的所有向量&2,(2)对(1)中的任意向量J彳3证明GGG无关•

(21)(本题满分11分)

设二次型/(不程天)=ax^+渥写+2毛七-29毛.

(1)求二次型f的矩阵的所有特征值；⑵若二次型f的规范形为yf+£,求。的值.

2010年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷

一、选择题(卜8小题,每小题4分，共32分,下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求,把所选项前的字

母填在题后的括号内.)

⑸设A为机x〃型矩阵,B为〃x〃7型矩阵，若AB=E，则

(4)秩(A)=〃?,秩(B)=〃？(面秩(A)=m,秩(B)=〃(。秩(A)=〃，秩(B)="2S秩(A)=〃,秩(B)="

(6)设A为4阶对称矩阵,且A?+A=0,若A的秩为3,则A相似于

<1、<1、

(A)1(而1-1(面-1

-1-1-1

10,、0,、0;、0>

二、填空题(9-14小题,每小题4分，共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.)

(13)设叫=(1,2,-1,0)，0=(1,1,0,2)。%=(2,l,l,a)T,若由必心,％形成的向量空间的维数是2,则。=.

(20)(本题满分11分)

(A11)⑷

设4=0A-l0/=1,已知线性方程组Ax=〃存在两个不同的解.

J1"I"

(1)求4a.

(2)求方程组Ax6的通解.

(21)(本题满分11分)

设二次型/(%„)=工"在正交变换x=Q.y下的标准形为4+以且Q的第三列为(孚0,与二

⑴求A.

⑵证明A+E为正定矩阵,其中E为3阶单位矩阵.

2011年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷

一、选择题(1-8小题,每小题4分，共32分,下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求,把所选项前的字

母填在题后的括号内.)

’100、

5、设/为3阶矩阵，把4的第二列加到第一列得到矩阵8再交换6的第二行与第3行得到单位阵》记[=11o,

1001,

'100、

舄=oo1,贝!I。

、010,

APRBP[P]CP[P、DP「P、

6、设A=@%%%)是4阶矩阵，6为2的伴随矩阵。若(1,0,1,0)7■是Ax=0的一个基础解系,则A*x=O的基础解系可为

()

AatayBaxa2Caxa2a3Da2a3a4

二、填空题：9—14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定的位置上。

13、若二次曲面的方程x2+3y2+z2+2axy+2xz+2yz=4,经正交变换化为片+H=4，则。=_____

20、（本题满分11分）_

设向量组%=（1,0,1）7,%=（0,1,1）"%=（1,3,5尸不能由向量组==（1,1,1）7,笈2=（1,2,3）"四=（3,4”线性表示;

（1）求4的值；

（2）将外@四用%,线性表示；

21、（本题满分11分）

（1nf-iH

Z为3阶实对称矩阵，Z的秩为2,且A00=00

求（1）Z的特征值与特征向量（2）矩阵4

2012年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试卷

一、选择题：1〜8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将

所选项前的字母填在答题纸指定位置上.

(5)%=1其中。“2勺，仇为任意常数，则下列向量组线性相关的是（）

<C4>

(4)a],a2,a3(夕)at,a2,a4(L)(〃)a2,a3,a4

’1

(6)设4为3阶矩阵，尸为3阶可逆矩阵，且P%P=1尸=(«,%%)，Q=(q+%,%，％)贝U。4。=()

2J

fl]、(2、(2

3)2⑶I(OI(〃)2

2jI1

、1,2J、

二、填空题：914小题，每小题4分，共24分，请将答案写在号断纸指定位置上.

(13)设才为三维单位向量，月为三阶单位矩阵，则矩阵E—M的秩为。

'1a00、(1、

(20)（本题满分10分）设A=，；：。b-

001a0

00"0；

(I)求同

(II)已知线性方程组于=。有无穷多解，求〃，并求Ar=8的通解。

‘101、

（21）（本题满分10分）三阶矩阵人=Oil,为矩阵A的转置，已知r（"A）=2,且二次型_/=x77x。

、一10%

1）求〃2）求二次型对应的二次型矩阵，并将二次型化为标准型，写出正交变换过程。

2013硕士研究生入学考试数学一

5.设均为〃阶矩阵，若，且8可逆，则（）

A.矩阵。的行向量组与矩阵A的行向量组等价方矩阵。的列向量组与矩阵A的列向量组等价

，矩阵。的行向量组与矩阵8的行向量组等价〃矩阵。的列向量组与矩阵8的列向量组等价

’1a1]（200、

6.矩阵aba与0。0相似的充分必要条件为（)

a1）1000,

A.a=O,b=2B.a=0,b为任意常数C.a=2,b=0D.a=2,b为任意常数

13.设0是3阶非零矩阵，同为4的行列式，为的代数余子式.若0（工1,2,3）,则|4|=。

20.（本题满分H分）

设人=：,3=:,当为何值时，存在矩阵。使得，并求所有矩阵G

UVb）

21.（本题满分11分）

2、

设二次型/(*，w,*3)=2(qX]+ax+a,x)2+(6内+bx+Z?x)2,记a=a,

2232233B=b2

A

（1）证明二次型F对应的矩阵为2a/+阴T；

（2）若a*正交且均为单位向量，证明F在正交变换下的标准形为2），；+必。

2014年全国硕士研究生入学统一考试数学试题

0ab0

b

(5)行列式：°[(）（数一，数二，数三）

Oca0

c00d

(A){ad-be)2(B)-{ad-be)2

(C)a2d2-b2c2(D)b2c2-erd2

（6）设名,%,为3维向量，则对任意常数A,/,向量组%+攵％，%+"线性无关是向量组