高数(下)练习册第9到12章答案

第九章多元函数的微分法及其应用

§1多元函数概念

1、设/(Xj)=x2+y26x,y)=x2-y2,求：/［通"),贯］

答案：

2、求下列函数的定义域:

(1)/(x»y)=7x-2y

1

(2)-^2—x*—y2

3、求下列极限：

2

(XJA(QO)x+V

⑴(0)

⑵(m-KOQy+y

(0)

§2偏导数

z=x2+y2

/@>I

2、求空间曲线2在点（22）处切线与x轴正向夹角（I

2

/(x:>-)=.r>'+(>-l)arcsm

3、设V>,求乙区1)(-I)

4、设u=（x2+yz3）3,求大仃及改.

解:3(x2+yz3)22x=6x(x2+yz3)2,3(x2+yz3)2z3=3z3(x2+yz3)2

(x2+yz3)23yz2=9yz2(x2+yz3)2

d2ud2ud2u2

<__+___+__-.

5、设"=+z1证明：改2力2&2U

2x

,—OQ)

xT+y2

0,Qy)=(Q0)求£(O,O),4(0,0)。

6、设

解：

1如"0+工'）一""一二一

7、设函数f（xj）在点（。涉）处的偏导数存在，求XT°

§3全微分

1、单选题

（1）二元函数f（xj）在点（Xj）处连续是它在该点处偏导数存在的D

（A）必要条件而非充分条件（B）充分条件而非必要条件

（C）充分必要条件（D）既非充分又非必要条件

（2）对于二元函数/（XJ）,下列有关偏导数与全微分关系中正确的是B.

（A）偏导数不连续，则全微分必不存在（B）偏导数连续，则全微分必存在

（C）全微分存在，则偏导数必连续（D）全微分存在，而偏导数不一定存在

2、求下列函数的全微分：

z=arctan—

⑴设X求dz

解:

（2）设函数〃=户一alnx（a为常数且a>0）求

解

（3）z=sin（孙2）

解:,

X

z=arctan--------

3、设1+T,求dz%(1,1)

解:

z

储+y［求：叭120

(x,y)=(O,O)在(0,0)点处的连续

性、偏导数、可微性。

§4多元复合函数的求导法则

dz

1设z=e"cos(〃+似〃=ln，求dr

J=3-3加+铲-3川一3（日升入（日力

a2z

3、设z=/（9\x+y）,,其中『具有二阶连续偏导数，求Sxdyo

=M-4领;+*-/）左,+4&包

寡=必叱五;+W+4.歌-K+g*-8*+42以

2/_ak

5、设一一"'x，,其中/对各变元具有二阶连续偏导数，求小力。

会=九心+工总-专力-与［■左2y+左斗

axcyxxxLxJ

=-沏+2沈+，-耳左2尸与意

XTXXTXT

1d2ud2ud2u

6、设〃-,r=Rix-a)2+(y-S:+(z,证明：Sx1dy2dz2

§5隐函数的求导公式

dy

1、设Jlny=x+y,求瓦

用=T与=lny,..^=—

解：令尸(工团=事加了_》_/,tfc加了

d2z

2、设工=z(x,y)是由方程x2-2y2+z2-4x+2z-5=。确定，求小二

解：

&dz

22Y,z—+y—=x

3、设z+x=M(x-z),其中/可微。证明：dxdy

x2+y2+z2=l型名

4、设Iz=x-+V，求去，成

答二-=o

（五，，心）

dzdz

5、设二=z（xj）由方程尸（孙/+Z,E）=°所确定，下可微，求ax'/

解令用（不骂力=F^y+z^jtz）则

生/Ry+zR氏玛Rx*理

加骂&*国毋骂K+国

6、设函数1=Z（XJ）是由方程《«2》+（：82），+＜：822=1所确定，求应。

§6微分法在几何中的应用

t«7_1_

1、求螺旋线工=285/），=25由/*=31在对应于一4处的切线及法平面方程

3、求曲面5z'+4x%-6正'=3上点（1/,1）处的切平面和法线方程。

切平面方程是:,即

法线方程是:

§7方向导数与梯度

1、设函数f（XJ'）=x2-9+/,⑴求该函数在点（1,3）处的梯度。2）在点（1,3）处沿着方

向/的方向导数，并求方向导数达到最大和最小的方向

解：梯度为

方向导数达到最大值的方向为方向导数达

到

最小值的方向为

2、求函数〃=中2+）22+衣2在（1,2,一1）处沿方向角为@=60°,£=90°,/=150°的方向导

数，并求在该点处方向导数达到最大值的方向及最大方向导数的值。

2323

3、求函数"=埠'丁在处沿曲线'=八）'=，：Z=厂在（1,1/）处的切线正方向（对应

于，增大的方向）的方向导数。

解：

所以该函数在点(11-1)处的方向导数为

4、求函数"=ln(y：+z：+x?)在处的梯度。

§8多元函数的极值及求法

1、求函数/(X/')=3x2+3y2_2x-2y+2的极值。

答案:(I,।)极小值点

2、设函数i=z(xj)由方程/+2y2+3z2+x＞，—z_9=0确定，求函数的驻点。

解：

设

驻点是(0,0)。

3、求2=1-孙+/-2X+J的极值。

竺=-x+2y+l包包

—=2x-y-2

解：改"O令&=0,力=0,得

2x—>-2=0lx=l

一x+2y+1=0QV=0

*Zd,zd2z

2

£X=2；Sx8y'=,^.力，i.

在（1,0）点处X=2,B=-l,C=1,XC-3,=2-l=l>o,函数在（1,0）点处有极值，且由

于A=2>0取极小值z（L°）=T。

4、求函数2=/+/+1在条件X+y-3=o下的条件极值。

5、欲造一个无盖的长方体容器，已知底部造价为3元/平方，侧面造价均为1元/平方，现

想用36元造一个容积最大的容器，求它的尺寸。

（长和宽2米，高3米）

6、旋转抛物面z=x?+/被x+y+z=l截成一椭圆，求原点到椭圆的最大与最小距离。

解:设为椭圆上的点,原点■到■的距离为,且满足条件:

设

在条件I的最大值即可。

设：

，令1=0,1=0ho,并与条件

立解得由于根据实际情况，体积的最小值

存在，且所求得驻点唯一，所以为所求。

第九章自测题

一、选择题：（每题2分，共14分）

x尸

/(xy)=^x2+y4

0.（乂）'）=（。：°）：则[B]

1、设有二元函数

lim/(x.v)

A、存在；

limf(x.T)

B、(XJ)-KO.O)“不存在；

«理为0）/®）'）存在，且/（X。）在（0,0）处不连续；

C、

“、概）.0存在，且/（XJ）在（0,0）处连续。

D、

2、函数/（XJ）在々）（乙,汽）各一阶偏导数存在且连续是/（XJ）在外色。）。）连续的[B]

A、必要条件；B、充分条件；

C、充要条件；D、既非必要也非充分条件。

xy

x^y.

『("')=<x-y

0

3、函数s在（0,0）点处[D]

A、极限值为1;B、极限值为-1;

C、连续；D、无极限。

4、]=/（xj）在々）（XQJO）处工（工）'）,右（苍）’）存在是函数在该点可微分的[A]

（A）必要条件；（B）充分条件；

（C）充要条件；（D）既非必要亦非充分条件。

5、点°（°，°）是函数z=4/的[B]

（A）极小值点；（B）驻点但非极值点；

（C）极大值点;（D）最大值点。

6、曲面/-z+4=3在点p（2,i,o）处的切平面方程是[c]

（A）2x+y-4=0；（B）2x+y-z=4；

（C）x+2y-4=o；（D）2x+y-5=0

du_

7、已知函数邑纨/=贻，4均有一阶连续偏导数，那么选一[B]

⑹力利（B）ft*fa**f

（C）f科+f•（D）/*+f应

二、填空题：（每题3分，共18分）

lim*二

1、(x.j?)-X®.®)x+y(Q

设/(Xvz)=e*z,则QxSydz(

2、:.)

sin(孙)八

—孙工0.

/(")=，y2

°，格'=0,则〃0,1)=(

3、设0)

设z=（x+2y）x则在点（1。）处的全微分z=（

4、d)°

V=X

<

曲线I—=z在点名QLD处的切线方程为（

5、)

x2+y2+z2=3x

6、曲线2x-4v+6z=4在点（W）处的切线方程为（

三、计算题（每题6分）

解：

存在。

当I时,有

d2z

5、设x+〉+z="，求:

6、设yz,且J具有二阶连续偏导数，求：ax,,

C2.2alr-av八

3广-3y"--^ay-3ax—=0

解：.

四、试分解正数a为三个正数之和，而使它们的倒数和为最小。

解：设三个正数为，记,令

则由

解出

第十章重积分

§1二重积分的概念与性质

1、设D由圆（“一2）+。'+1）=2国成:求•$的值

ii3djafy

解：由于D的面积为2%故*=6左

2、由二重积分的几何意义求二重积分的值

I=^x2+y2dxd}'2c

D其中D为：X+)‘49

I-+y^dxdy'r—K=x9.3--.^.9.3=18^

(解：D=-53)

3、设f(t)连续，则由平面z=0,柱面X-+厂=L和曲面Z="(q)]一所围的

ff[八利)r心力

立体的体积可用二重积分表示为P=(工？q)

JJ-x2-y2dxdy3

4、设D为圆域/+丁若二重积分D=3，求a的值。

^a2-x2-y2dxdy兀/=2兀=

解：3=233o=l

5、设D:{(^=>')13<x<5:0<y<1}

A=fflnCx+vOdWyJj=[f[ln(x+y)]2dJxz4'

DD,比较4与4的大小关系

解：在D上，E(x+y)w[ln(x+加故A4

§2二重积分的计算法

7=||ydxdy?

1、设"，其中D是由抛物线「=2'与直线y=x_4所围成的平面闭区域区域，

则l=(A)

A:18B:12C:10D:2

II,II..爪卜|+y)出。

2、设D是由不等式川一因二I所确定的有界区域，则二重积分i为

(B)

21

A:0B:3C:3D:1

3、设D是由直线x=0,y=2及y=x所围成的区域，则二重积分

\\e~-dxdy

D的值为(C)

2

le-4_e-2_l-e^-e--(1-e",)i(e^-l)

A:22B:2C:2、D：2V

4、设f(x,y)是连续函数，则二次积分Li^Lr/(%交换积分次序后为(D

A+初西/(XJ•B£虱世

cgj产/(XJ*D£力£；/(工郎+/魏尸人”冲

5、设有界闭域D1、D2关于oy轴对称，f是域D=D1+D2上的连续函数，则二重

Wfi^y^dxdy

积分、为(A)

2fff(£y')dxciy4[[f^y^dxdy

A6B£>2

4口f(x2y)dxdy':fff(^y)dxdy

C0D2£):

6、设D1是由ox轴、oy轴及直线x+y=1所围成的有界闭域，f是域D:|x|+|y|vl

Hf^^^dxdy

上的连续函数，则二重积分为(B)

2口/—/)叱4口/(一,/)叱

A迎B迎

8（V（a/汝她，,丁冲四

C㊄D2A

设f（x,y）为连续函数，则独交换积分次序的结果为（C）

7、

A『域八"）血B"£小.成

C矶&D/域f（xj）公

C

设|=1见交换积分次序后।为：（

8、D）

，4"［：/(3)成B^dy^f(x,y)dx

「m3fta3,1113r3

cf0◎「f(x,y)dxD£dy^f{x,y)dx

改变二次积分的次序：肉"(工加+网广〃工9

9、

1M声

(

I=\\^dxdy'

10、求DJ',其中D：由x=2,y=x,xy=1所围成

}7^=-h2(x->=4-f2

，=丹9侬=尸/1=2

DyX4)

时，

11、设D=｛（x,y）|0《xWl,0vyWl｝，求D的值

解旷加』成上办,=（*小心力）=（1）2

心餐2公办，

12、计算二重积分D，其中D=｛（x,y）l0<x<1,0<y<1｝

解：j。尸叱皿二JCoMJoJ出+Jro出*J『o

22

|J|x+y-4\dxdy22

13、计算二重积分i，其中D是圆域廿+）''，9

解旷+y-J：司…M3『呵"7）如孚

HJR?_V_『dxdy

14、设l=F，其中D是由x2+y2=Rx所围城的区域，求I

ffjR,-i-y'dxdy=f7d6『3'/f「dpuL冗史一士史

（解：1=5•"°39）

12

[[y/x+ydxdy4

15、计算二重积分F,D:y=xJ=X围成的闭区域

解

114=1(2^2-1)

ff旧+y'dxdy9cos3^09

'D)

§3三重积分

^xdxdydz

1、设。是由x=0,y=0,z=0及x+2y+z=1所围成的空间有界域，贝『I化为三次

定积分的结果为（A）

（公产小亡7xdz广山:广龙广"v

AJoJ。"JoBJoJoJo”

Idxldvf1xdzfd5rf<Axdz

C上Jo"JoD上Jo"Jo

2、设。是由曲面x2+y2=2z,及z=2所围成的空间有界域，在柱面坐标系下将三重积分

\\\f{x,y,z}dxdydz

'n表示为累次积分，则1=(B)

A『d心pjf(Kos6,两8,z)dzB於心娱式心夕闪必)加

c「呵：即色

0cos8,2sin09z)pdz『呵M：f(pcos^,psin^,z)pdz

D

入设。是由所确定的有界闭域，求三重积分配"

解:先二后一法，犷-加/

jjjxyzz2dxdydz

4、设。是由曲面z=xy,y=x,x=1及z=0所围成的空间区域，求宝

jj]xy'z3dxdydz=(改j,小'(xy2z3dz=3^

ffrz3ln(/+/+z?+1)」,,

、2八--------――：—

5、设。是球域：X+7"2+z"l,求木v+y+Z+1dxdydz

(利用偶倍奇零法。因函数关于z为奇函数，区域。是球域关于xoy面对称，所以原式=0)

JJJ(x2+y2)dx(fydz,2

6、计算°”,其中Q为：平面z=2与曲面/+/=2z所围成的

区

用(1+炉)dxdydz=(d8cpdp心p2dz=(d6「p3(2-^)dp=竺乃

域(PT3)

[[[^zdxdydz

7、计算不其中。是由平面z=0,z=y,y=1以及y=x2所围成的闭区域

仙七―龙=［闻;的H龙=#M苧办'=••

2/27))

§4重积分的应用

2222

1、求由曲面"+>=2x,X=4x,y=x,y=0所围成的图形面积A

A=[[ld5crfv=尸：尸dv=[J—-12cos26d6=之（乃+2）

Da0*：CO6<9*24

2、求曲面Rz=^'包含在圆柱/+/=及,内部的那部分面积

S=Ifff/喑j组"K

3、求圆柱体X-+）'-426包含在抛物面/+丁=2火二和xoy平面之间那部分立

体的体积

VW步+F的H河:86令3夕=…=苧

4

解：x^y<2Jk*2

4、曲面z=13一-一/将球面x、/+z'=25分割成三部分，由上至下依次记

这三部分曲面的面积为s1,s2,s3,求s1:s2:s3

s

i=fff—：Mxdy=10兀s3=ff5,qdxdy=20冗

解：—x-y/：区］6d25-x-j

S2=70兀

第十章自测题

一、选择题：（40分）

AL短〃“川B£力「"%川

c£矶)(刀)成D£◎「"“)血

222[[―/_y2dxcfy=71

2、设。为广+y当a=(c的下.“

22

I=[f(x^y)dxdy、2,

3、设F”，其中。由亡+P=/所围成，则/=(B).

5、设1=JJ(x2+y2)^£^，其中。由龙2十尸2=02所

D

围成，则1=().

(A)£</0£a2rdr=na4；(B)£do£r2-rdr=-na4；

©rw"=1m(町：而".5=2兀/

6、设C是由三个坐标面与平面x+2y-z=l所围成的

空间区域,则j]Jxdxdydz^().

£2

1

(A)s(B)

48

1

(c)(D)

点24

A・『空『『历=/B'°""，>dr=”4

C『“6T曲=评D『的;/•adr=2e

4、设。是由三个坐标面与平面x+2j~z=i所围成的空间区域，则

^xdxdydz

片=(A).

1_J_J__J_

A48B48c24D24.

5、设为连续函数，则）＞门（…6"6）加=（人）.

AJo'产"x'MBd严了（、）办

C/矶D.言力产“2）去

Z=[[fzdv,、、

6、计算*n*，。为Z'=X’+F，Z=1围成的立体，则正确的为0）和（C）

1y”肛z龙BI=d6drzdz

A

dzidOzrdrD.，=I>同

C

7、曲面z=J》，+/包含在圆柱V+p=2x内部的那部分面积S=（D）

A拒兀B五冗C亚几D2JT；7.

二、计算下列二重积分：（20分）

[[（X2-y2）da.

1、D，其中。是闭区域兀0KxW/

心”-也

（原式二9)

J]arctan±de22,22.

2、D，其中)是由直线>=0及圆周x'+y=4,y+y=l,y=x所围

={4dd[6pdp=...=—TP

成的在第一象限内的闭区域.（原式J：,J164:

RM

3、DJ，其中D是由x=Jj='围成的闭区域

（原式=J：等M*=J：等。"办=1>-四=】一如；

4、妒+W其中渥+y-

昨+/一2|d。=「Ze「（2-p^pdp+rdef；（夕2.2）p即=上万

IJ。J。）。」71）

D/）

三、作出积分区域图形并交换下列二次积分的次序：（15分）

1」：办（=.「城-）皿）办‘）

2fM域-'/（XJ）办）

3、.阳『八"城（=£办『/（"'岫+.闰尸/（%吗

四、计算下列三重积分：（15分）

血。、/）血,y:z

1、宝其中Q是由年‘平面上曲线.x=°绕Z轴旋转一周而成的曲面与平面

=doCpdpC^22龙=^^]

Z=8所围成的区域。（-0J。•丁3）

222

[[[（x+y+z）dxdydzsQ.：,

2、*n"":x'+N+z'=l所围成的闭区域

=3（1dziiz'dxdy=3^^z:（l-z2）d?=...=

」一1JJJ一114

（原式2）

=\Xd6\d（pCr2-rzsin（pdr=...=^^-

（或用球坐标计算，原式=JoJoJo15）

/（X,y）=中+Hf（x,y}dxdy

五、（5分）设f（f）为连续函数，且D，其中D是由

y=0,y=x\x=l所围成的区域，求了（xj）

\\fix,y)dxdy=k

解设'i>,则

f(x,y)=xy+k-^JffDdxdy=，⑶+左)侬7左二

'b'b8

/(X，)')=W+G

o

六、(5分)设f(x)在[°1】上连续试

证：[Tf⑦gdz=1[£f(x)dx]3

F(x)=]；/«技,则F(x)=/(x)

且尸«)=£/(力女F(0)=0

11

加V/WW(zZp叫"’"⑴一尸㈤18

1

1222333

f/«{[y(F(l)-F(x)]-F(x)F(l)+F(x)}^1F(1)+LF(1)-1F(1)

犷⑴

0

第十一章曲线积分与曲面积分

§1对弧长的曲线积分

1、设Z关于X轴对称，右表示2在X轴上侧的部分，当/[XJ)关于j•是偶函数时，

j/(x,v>=

L

2"("让-2(/(x,y)(i

A.OB.AC.£D.ABC都不对

ds

2、设z是以点4L°I8(0na-Lo'DG-i)为顶点的正方形边界，则1忖+\y\=

A.4B.2C.4忘D.2A

x=4v=—,z=—10</<1)fz-

3、有物质沿曲线Z：”23分布，其线密度为“=J2y,,则它

的质量加=

11________1________1________

\t-jl+t2+t4dt[t2-Jl+t2+t4dtj-yh+t2+t4dtj*4,1+产+Jdr

A.0B.oC.oD.o

fx公2

4.求z其中L为由J'=xj=x一所围区域的整个边界。

j6~]1++(&xdx=白(5君"-1)+4

解，…J122

222

5.1其中L为双纽线(/+J'2)2=a(x-yXa>0)o

4[ufc=4L，8)sinO4r2+rzd6=4a2[sinOdd=2a，Q-亚、

解：原积分=z

\Jx2+y2ds,22/八\

6.L,其中L为x'+y'=aY[a>0)o

=2ja|cos^fidt=2a2

原积分。

X血2222

7.L其中L为球面x'+y+z'=a’与平面X-J=°的交线。

解：将x=J代入方程x'F+z?=az^2x2+Z1=a2=^^

a,a..

x=-cosZ,y=—=-sn&z=asinf

L的参数方程：&y/2，又ds=adt

f^^-cos2tadt=^-a3

原积分二」。22

§2对坐标的曲线积分

1.设工关于X轴对称，21表示£在X轴上侧的部分，当关于〉是偶函数

例X,L=2J尸（X,7垃-2[Ax,v）dc

时，LA.OB,2C.SD.ABC都不对

fxdc+ydy

c>------——=

2.设Z为kH.M=l的正向，则i卜卜田A.OB.4C,2D,-2

?£(x+y)…t*-(x-y)<A.=A2T

3.Z为/+/=〃的正向

B.-2*C.OD.，〃

其中工由曲线J=1T1T（O4X«2）从

4.I

4刈到a。,。）方向

解.5111)~AB:y=2-x,x:2-^l:BO:y=xsx:1^0

1+1=+Q一W恢+仔一(2-£『[一1"+「/+/以=一:

1-ABBO213

fyjx2+y2dx+冰盯+ln(x+Jx]+7二)出

5.i其中Z是正向圆周曲线

x+y=a

6J.2+)二公=0

解：由奇偶对称性i,L：X=^costy=asint仁一笠—笠

K64

3//r42ia

asin"/cos'tdt-^a'sinZcosHn)<2(l+cosZ||cfr=|asinZcostdt=——K

I=-6

[xd5c+vdy+(x+y-].)dz><><

6.r其中为从点HUD到8(234)的有向线段

1

[(14?+6U=13

解：「方程：x='+Lj=»+Lz=3f-l,1=Q'

7、过°（°，°）和4（乃，°）的曲线族＞'=。5由'（。＞0）,求曲线上使沿该曲线从。。0）至！I

］（1+歹3M+（2x+yM＞，

的积分工的值最小

J(a)=j[1+sinJx+(2x+asinx)acosxjir

=7-4a+—

3

解：o

1(a)=4(a*-l[=0,=a=l=/(1)=8>0。a=L”①最小，此时F=MX

8、将积分

3fl.P(x.v)dx+Q(x.,，v),d•v化为对弧长的积分,

其中L沿上半圆周

x2+y2-2x=0从0(0,0)到3(2,0).

I1

i------dv=.dxJ-----=dx

解：j=j2x-『，“^2x-x2W=Jl+j"dx^2x-x2

dx-dv

cosa=——r~cosp=—=1-x

ds=[2x-x',ds于是

L［尸（x,））石

h尸(x：y)dx+Q(x,y)dv=x-x+O(x,y)(1-x)ds

§3格林公式及其应用

fx=acost,「

1.若£是上半椭圆J=取顺时针方向厕Jjmf

—ab

A.OB.2C.：寸D必

xy2ck-x2ydy

22

2.设工为/+俨=/的正向,贝日x+y

A.2不B.-2开C.OD.不

,、(2^-2y)dx+(x2-4x)tfv,=

3.设Z为曲线x'j'g的正向，则］

A.9万B.-18^C.-9xD.O

$］虫2+.2恢+/\4'

4.设工是圆”+V+2x=l取逆时针方向，则:

解：将方程代入被积函数在由格林公式得

^ln(l-2x|c&+eJ<A=^(O-O)ctaA=0

L*D

［(Zn'3-y3cosx|k*+(l-2ysinx+3x2y3g，A'—?|

5,i其中Z为点°(°O)到J'.的抛物线

丝/却'4

解：因°x办•故积分与路径无关，取\2

6.求Ix、/,2为⑴!x-lF+bT）2=l⑵正方形边界KH】'|=1的正向

解：（1）直接用格林公式=0

（2）设为圆周：x'+y'=1取逆时针方向，其参数方程

x=rcos/sy=rsin:0f2乃

口-f=ffo<*<A+^

原积分为，二;z二飞【所以

2x2.217

yax-xdy_c