高三数学高考试题分类汇编数列试题及答案

20XX年高考数学试题分类汇编一一数列

一选择题部分

(2010浙江理数)(3)设S“为等比数列｛a,,｝的前〃项和，8/+%=0,则邑=

$2

(A)11(B)5(C)-8(D)-11

解析：解析：通过84+%=。，设公比为Q，将该式转化为8%+0^=。，解得4=2,带入

所求式可知答案选D,本题主要考察了本题主要考察了等比数列的通项公式与前n项和公式,

属中档题

(2010全国卷2理数)(4).如果等差数列｛a“｝中，4+&+。5=12，那么q+%+…+%=

(A)14(B)21(C)28(D)35

【答案】C

【命题意图】本试题主要考查等差数列的基本公式和性质.

【解析】/+4+%=34=12,4=4,；.q+a,++%=7("］；%)==28

(2010辽宁文数)(3)设S“为等比数列｛4｝的前〃项和，已知3s3=%-2,3s2=%-2,则

公比4=

(A)3(B)4(C)5(D)6

解析:选B.两式相减得,3«3=包一生，a4=4a3,:.q=—=4.

43

(2010辽宁理数)(6)设｛.｝是有正数组成的等比数列，S.为其前n项和。已知a2a4=1,S3=7,

则邑=

15313317

(A)—(B)—(C)—(D)—

2442

【答案】B

【命题立意】本题考查了等比数列的通项公式与前n项和公式，考查了同学们解决问题的能力。

【解析】由a2a4=1可得*4=1,因此4=3,又因为邑=4(1+”/)=7,联力两式有

q

1ii"(I-：

(-+3)(——2)=0,所以q=」所以Ss=-----—,故选B。

qq24

2

(2010全国卷2文数)(6)如果等差数列｛%｝中，a3+a4+a5=12,那么q+々2+……+%=

(A)14(B)21(C)28(D)35

【解析】C：本题考查了数列的基础知识。

..%+%+%=12.%=4弓+4++%=gx7x(4+%)=74=28

(2010江西理数)5.等比数列｛%｝中，q=2,ag=4,函数〃x)=x(x_q)(x_%)(%-4),

则/(0)=()

A.26B.29C.212D.215

【答案】C

【解析】考查多项式函数的导数公式，重点考查学生创新意识，综合与灵活地应用所学的数学

知识、思想和方法。考虑到求导中，含有x项均取0,则/(0)只与函数/(x)的一次项有关；

得：4•%•%。8=(。1.8)4=2°。

lim[1H--1——+H--|—

(2010江西理数)4."I33-3"J()

53

A.3B.2C.2D.不存在

【答案】B

1一~-

【解析】考查等比数列求和与极限知识.解法一：先求和，然后对和取极限。lim(T^)=上

"f+oc12

1——“

3

(2010安徽文数)(5)设数列｛q｝的前n项和S,,=〃2,则能的值为

(A)15(B)16(C)49(D)64

【解析】/uSg—S7=64—49=15.

(方法技巧】直接根据a“=S”-S,i(〃>2)即可得出结论.

(2010重庆文数)(2)在等差数列｛q,｝中，4+4=10，则生的值为

(A)5(B)6

(C)8(D)10

解析：由角标性质得4+4=2%，所以%=5

q

(2010浙江文数)(5)设与为等比数列｛4｝的前〃项和，8%+%=0则匕=

(A)-ll(B)-8

(C)5(D)ll

解析：通过8a?+%=0,设公比为夕，将该式转化为8a2+4/=0,解得q=-2,带入所求式

可知答案选A,本题主要考察了本题主要考察了等比数列的通项公式与前n项和公式

(2010重庆理数)(1)在等比数列｛%｝中，«2010=8«2007,则公比q的值为

A.2B.3C.4D.8

解析：咏=/=8二"2

“2007

(2010北京理数)(2)在等比数列｛%｝中，4=1,公比M。1.若=%生/%。5，则m=

(A)9(B)10(C)11(D)12

答案：C

(2010四川理数)(8)已知数列｛4｝的首项弓彳0,其前〃项的和为S“，且S,用=2S“+%,

则lim2=

…sn

(A)0(B)-(C)1(D)2

2

解析：由S"+|=2sH+%，且S“+2=2sli+1+q

作差得。〃+2=2。〃+1

又S2—2S1+。1，即<72+(71=2。1+。1=>。2=2。1

故｛〃〃｝是公比为2的等比数列

S〃=ai+2〃i+22tzi+...+2〃=(2"—l)a\

答案：B

（2010天津理数）（6）已知｛4｝是首项为1的等比数列，力是｛q｝的前n项和，且%3=1，

则数列的前5项和为

（A）215或5（B）321或5（C）3—1（D）1—5

816168

【答案】C

【解析】本题主要考查等比数列前n项和公式及等比数列的性质，属于中等题。

显然qkl,所以处业=上亡=1+夕3=4=2,所以｛,｝是首项为1,公比为上的等比数列,

i-qi—qa,,2

【温馨提示】在进行等比数列运算时要注意约分，降低幕的次数，同时也要注意基本量法的应

（2010全国卷1文数）（4）已知各项均为正数的等比数列｛2｝,6%。3=5，。7a8%=1°，则

(A)5&(B)7(C)6(D)472

【命题意图】本小题主要考查等比数列的性质、指数嘉的运算、根式与指数式的互化等知识,

着重考查了转化与化归的数学思想.

【解析】由等比数列的性质知a。%=（%%）%=嬉=5，a7a8a9=（。7a9）%=1。，所以

a2a8-5。3,

_____

63

所以a4a5a6=(a4a6)%=a2ax)?=(50)=5^2

(2010全国卷1理数)(4)已知各项均为正数的等比数列｛%｝中,44%=5,卅曲=10,则

。4的6二

(A)5A/2(B)7(C)6(D)472

分析：本小题主要考查了等比数列的性质、指数第的运算、根式与指数式的互化等知识，着重考查了整体代入的方

法。

3£

解：由％。2。3=510708a广10,可得。2^=5,/3=1。/.%%。6==(。2'。8)'=(。2£。，户=5逐,故选A

(2010湖北文数)7.已知等比数列｛品｝中，各项都是正数，且%,成等差数列，则

“9+4o_

CI7+。8

A.1+V2B.1-V2C.3+20D3-2夜

【答案】C

【解析】依题意可得：2x(；q)-q+初，即q-q+四，则有生，■q+次？可得

(j1=1+2q,解得q=l+戊或q=1->/2(舍)

所以&2组='±吗=匕金=，=3+2-,故C正确

%+/qg+Wl+g

(2010安徽理数)10、设｛a,,｝是任意等比数列，它的前〃项和，前2〃项和与前3〃项和分别为

X,Y,Z,则下列等式中恒成立的是

A、X+Z=2YB、y(y-x)=z(z-x)

c、Y2=XZD、y(y-x)=x(z-x)

【分析】取等比数列1,2,4,令〃=1得乂=1,卜=3,2=7代入验算，只有选项D满足。

【方法技巧】对于含有较多字母的客观题，可以取满足条件的数字代替字母，代入验证，若能

排除3个选项，剩下唯一正确的就一定正确；若不能完全排除，可以取其他数字验证继续排除.

本题也可以首项、公比即项数n表示代入验证得结论.

（2010福建理数）3.设等差数歹U｛4｝的前n项和为S”，若％=—11,4+%=—6,贝U当S,取最小

值时,n等于

A.6B.7C.8D.9

【答案】A

【解析】设该数列的公差为。，则4+《=24+84=2x（-11）+81=-6,解得4=2,

所以S“=-11〃+必=-12〃=（"-6）2-36,所以当〃=6时，S“取最小值。

【命题意图】本题考查等差数列的通项公式以及前n项和公式的应用，考查二次函数最值的求

法及计算能力。

二、填空题部分

（2010浙江理数）（14）设〃22,〃6乂（21+3）"一（31+；）"=4+%》+4/+--+4/，将

k|（o〈D的最小值记为7；,则n=0,nW，T;=O,4=U……其中

T„=.

解析：本题主要考察了合情推理，利用归纳和类比进行简单的推理，属容易题

（2010辽宁文数）（14）设S“为等差数列一“｝的前几项和,若S3=3,§6=24,则/=。

S3=3al+-——d=3

2q=-1

解析：填15.，解得,..a。—6Z1+8d•—15.

d=2

S6---64H——<J=24

（2010辽宁理数）（16）已知数列｛%｝满足4=33,4+/4=2〃,则%的最小值为.

【答案】—

2

【命题立意】本题考查了递推数列的通项公式的求解以及构造函数利用导数判断函数单调性,

考查了同学们综合运用知识解决问题的能力。

［解析］。〃=（。〃-。?-1）+（。〃-卜。〃-2）+—+（。2-。1）+。1=2［1+2+…（k-1）］+33=33+〃2-〃

所以%=至+〃_1

nn

设/(〃)=至+〃一1,令/(〃)=二学+1>0,则/(〃)在(国,+8)上是单调递增，在

nn

(0,后)上是递减的，因为11WN+,所以当n=5或6时/(〃)有最小值。

又因为冬=至，%=臾=3,所以，%的最小值为"=Z1

55662n62

(2010天津文数)(15)设｛an｝是等比数列，公比g=应，Sn为｛a“的前n项和。记

T』7s,4*.没T,为数列｛7；｝的最大项，则〃。=。

%+i

【答案】4

【解析】本题主要考查了等比数列的前n项和公式与通项及平均值不等式的应用，属于中等题。

17用1-(正力q[l-(上产]

T1-V21-V21(V2)2n-17(V2)n+161/r.„16

X------访----------------西=5["函7]

16

因为(夜)"+工8,当且仅当(正)"=4,即n=4时取等号,所以当no=4时Tn有最大值。

（扬"

【温馨提示】本题的实质是求Tn取得最大值时的n值，求解时为便于运算可以对(&)"进行换

元，分子、分母都有变量的情况下通常可以采用分离变量的方法求解.

(2010湖南理数)15.若数列｛风｝满足：对任意的〃eN*,只有有限个正整数相使得金〈〃成

立，记这样的”的个数为3J,则得到一个新数列卜。")*｝.例如，若数列｛为｝是1,2,3…，〃，…，

则数列｛(《,)*｝是0,1,2,…，〃一1,….已知对任意的〃GN*,an-iv,贝!](%)*=，

(a)*)*=”

【答案】2,

【解析】因为4,<5,而/=/,所以m=l,2所以(%)■=2・

因为⑷・=o.

(%)・=Lg).=1,(4)・=L,

(4)・=2,(q)・=2,(a-)*=2,(4)，=2,(%)，=2,

(%)•=3,(4。.=3,(%)・=3<%),=3.(%)，=3<%>=3.(%(=3,

所以(3)=L(9：)T=4,(a))=9,((4))=16,~

猜想《&)•)•=〃％

【命题意图】本题以数列为背景，通过新定义考察学生的自学能力、创新能力、探究能力，

属难题.~

(2010福建理数)11.在等比数列｛a,,｝中,若公比q=4,且前3项之和等于21,则该数列的通项

公式a“=.

【答案】4n--

【解析】由题意知q+4%+16q=21,解得％=1,所以通项为=41。

【命题意图】本题考查等比数列的通项公式与前n项和公式的应用，属基础题。

3.(2010江苏卷)8、函数y=x2(x>0)的图像在点(以02)处的切线与x轴交点的横坐标为或+/,%

为正整数，a/=16,则。/+。3+。5=

［解析］考查函数的切线方程、数列的通项。

在点3,以2)处的切线方程为：y-42=26(x-4),当y=0时，解得X吟，

以%+|=,6i］++t/j=16+4+1=21。

三、解答题部分

(2010上海文数)21.(本题满分14分)本题共有2个小题，第一个小题满分6分，第2个小题

满分8分。

已知数列｛%｝的前〃项和为S“，且S”=〃-5a“-85,MN*

⑴证明：｛为一1｝是等比数歹u；

（2）求数列｛S,,｝的通项公式，并求出使得S1,”>S“成立的最小正整数

解析：（1）当〃=1时，ai=-14；当〃三2时，an=Sn-Sn-i=-5an+5an-i+l,所以=-1）,又

6

01-1=-15/0,所以数列｛m-1｝是等比数列；

(2)由(1)知：a,,-1=75.0,得4=1-15.0,从而S.=75(|)+n-90(neN*);由

S"+i>S”，得<—>n>log,—+1»14.9>最小正整数〃=15.

(6)5浮5

（2010全国卷2理数）（18）（本小题满分12分）

已知数列｛a,,｝的前〃项和S„=（1+〃）3".

(I)求lim&；

(II)证明：与+粤+…+%>3".

I222*

=D的运用，数列极限和数列不等

【命题意图】本试题主要考查数列基本公式%=<

%—%（〃22）

式的证明，考查考生运用所学知识解决问题的能力.

【参考答案】

i-S.-S,

=吧(1-要)

=1一.心，

-S.

lim

所以lim—-=-.

f3

(11>当n=l时./=，=6>3:

当n>l时.

4+3+…+区

I221n2

喙+亨…

=£+n.y>3«.

n

所以.当时,冬+与+…+々>3*.

【点评】2oxx年高考数学全国I、n这两套试卷都将数列题前置，一改往年的将数列结合不等

式放缩法问题作为押轴题的命题模式，具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、基本方法

基本技能，重视两纲的导向作用，也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心.

估计以后的高考，对数列的考查主要涉及数列的基本公式、基本性质、递推数列、数列求和、

数列极限、简单的数列不等式证明等，这种考查方式还要持续.

(2010陕西文数)16.(本小题满分12分)

已知｛。〃｝是公差不为零的等差数列，ai=l,且ai,。3,。9成等比数列.

(I)求数列｛斯｝的通项;(II)求数列｛2叫的前几项和

解(I)由题设知公差分0,

由防=1,⑶，G,“9成等比数列得匕二=上也，

11+24

解得d=l，d=0(舍去)，故｛m｝的通项。”=1+(〃-1)xl=〃.

(11)由(1)知2「=2",由等比数列前n项和公式得

Sm=2+22+23+...+2n=2(1_2)=2n+1-2.

1-2

(2010全国卷2文数)(18)(本小题满分12分)

已知｛《,｝是各项均为正数的等比数列，且

〜11、/“111、

2(—I),%+/+%=64(1------1)

4。2%a4a5

(I)求｛凡｝的通项公式；

2

(II)设bn=&+—),求数列｛a｝的前〃项和7；o

%

【解析】本题考查了数列通项、前〃项和及方程与方程组的基础知识。

(1)设出公比根据条件列出关于为与△的方程求得“与“，可求得数列的通项公式。

(2)由(1)中求得数列通项公式，可求出BN的通项公式，由其通项公式化可知其和可分

成两个等比数列分别求和即可求得。

(2010江西理数)22.(本小题满分14分)

证明以下命题：

2

(1)对任一正整a,都存在整数b,c(b<c),使得b,3成等差数列。

(2)存在无穷多个互不相似的三角形其边长4,bn,c”为正整数且a"b；,q：成等差

数列。

【解析】作为压轴题，考查数学综合分析问题的能力以及创新能力。

(1)考虑到结构要证6+。2=2〃，；类似勾股数进行拼凑。

证明：考虑到结构特征，取特值匕52,72满足等差数列，只需取b=5a,c=7a,对一切正整数a

均能成立。

结合第一问的特征，将等差数列分解，通过一个可做多种结构分解的因式说明构成三角形,

再证明互不相似，且无穷。

证明：当磕%q；成等差数列，则前—a—〉

分解得：(2+an)(bn-an)=(c„+bn)(cn-b„)

选取关于n的一个多项式，4〃(川一1)做两种途径的分解

4〃(〃2-1)=(2〃-2)(2/+2〃)=(21-2〃)(2〃+2)4〃(1-1)

2

an=M-2n-l

对比目标式，构造b“=〃2+l(n>4),由第一问结论得，等差数列成立，

2

cn=7J+2n-1

考察三角形边长关系，可构成三角形的三边。

下证互不相似。

任取正整数m,n,若Am.△„相似：则三边对应成比例二一2〃?-1=11=生^+二1,

n2-2n-l〃-+1n~+2n-\

由比例的性质得：竺1=竺=m=与约定不同的值矛盾，故互不相似。

n—\n+l

(2010安徽文数)(21)(本小题满分13分)

设G，C2，,C,„是坐标平面上的一列圆，它们的圆心都在X轴的正半轴上，且都与直线

y=相切，对每一个正整数〃，圆C,,都与圆C,川相互外切,

以5表示c的半径，已知亿｝为递增数列.

（I）证明：比｝为等比数列；

第（2】）题图

（II）设4=1,求数列｛巴｝的前〃项和.

【命题意图】本题考查等比列的基本知识，利用错位相减法求和等基本方法，考察抽象概括能

力以及推理论证能力.

【解题指导】（1）求直线倾斜角的正弦，设C”的圆心为（4,0）,得4=2小同理得4川=21，

结合两圆相切得圆心距与半径间的关系，得两圆半径之间的关系，即匕｝中与4的关系,

证明｛/;｝为等比数列；（2）利用（1）的结论求匕｝的通项公式，代入数列然后用错位相

rn

减法求和.

解：（1）将直线丫=也弟勺倾斜角记为，则有tane=9,sinO=L

332

设。„的圆心为（&0）,则由题意得知幺=工，得4=2%；同理

42

r

4+i=2rli+i，从而4+i=4+rn+,1+i=2rli+i，将-=2rli代入,

解得Li=3rn

故g|为公比q=3的等比数列。

（FI）由于9=1,q=3,故七=3e，从而P=n*3i,

rn

记Sn=—+—+.....+,,则有

rir2r“

S”=1+2*37+3*3」+……〃*3~

s

1=1*3-1+2*3-2+……+（般一1）*3~+〃*3f

①-②,得

9Q

1=1+3一|+3-2+…+3〜—〃*3一"

3

1-3一"33

——“*3-"=二_（〃+2）*3-",

222

3

.s=2」（〃+2）*3j=%12七

”42，2）4

【方法技巧】对于数列与几何图形相结合的问题，通常利用几何知识，并结合图形，得出关于

数列相邻项。“与%M之间的关系，然后根据这个递推关系，结合所求内容变形，得出通项公式

或其他所求结论.对于数列求和问题，若数列的通项公式由等差与等比数列的积构成的数列时,

通常是利用前n项和S“乘以公比，然后错位相减解决.

（2010重庆文数）（16）（本小题满分13分，（I）小问6分，（II）小问7分.）

已知｛4｝是首项为19,公差为-2的等差数列，S,为何｝的前〃项和.

（I）求通项a“及S”；

（II）设也-叫是首项为1,公比为3的等比数列，求数列出｝的通项公式及其前〃项

和小

解：(I)因为恒」是甘项为%=19,公差d=-2的等差数列.

所以aB=19-2(n-1)=-2R42I.

=I9n+2;口•(-2)u-/+20n.

St

(l)由题意6,-外=3-l所以儿=3-'-2n+21.

兀=S.+(1+3+-+3-1)

a-nl+20n+3.二].

2

(2010重庆理数)(21)(本小题满分12分，(I)小问5分，(II)小问7分)

在数列｛%｝中,卬=1,ai+cn+1(2n+l)(ne2V*),其中实数cwO。

n+=can

(I)求｛%｝的通项公式；

(II)若对一切ZeN*有44＞生八，求c的取值范围。

解法一：由5=222

(I)l,a2=ca｝+c•3-3c+c-(2-l)c+c,

332231

a3=ca2+c,5=8c+c=(3-1)c+c,

44323

a4=ca3+c,7=15c+c=(4-1)c*+c,

猜测4=(d-l)c"+c"-',nWN*.

下用数学归纳法证明.

当n=1时，等式成立；

假设当〃=左时，等式成立，即由=(k2-1)?+J-L则当n=A+1时,

211

a**[=cak+c*"(2k+I)=c[(A--I)c+c*]+c**(2k+I)

=(A:2+2k)cl''+J

[*+1)2-1]卢।+C,

综上,A=(n2-l)c"+L对任何MN.都成立.

解法二:由原式得需=々+(2“+1).

CC

令b”=T，则6=-+(2n+1)，因此对nm2有

cc

6.=(6.-b.-i)+(6..j-b.z)+•••+(A2-6t)+bt

=(2n-1)+(2n-3)+…+3+：

2,1

=n-1+一,

c

因此4=(/-1)/+c""MN2.又当n=1时上式成立，

因此A=(n2-l)c"+c"-*,n€N*.

(II)解法一：由a”>aa.।,得

2242222

[(2k)-1]?*+C->>[(2A-1)-1]C*-'+C*-,

因c"T>0,所以(4炉-l)c2-(4k2-4k-l)c-l>0.

解此不等式得:对一切AWN•，有c>⑤或©<cj,其中

_(4k2-4--1)+，(4公-4--1/+4(4•一1)

C*~2(4k2-1)'

,_(4仆-41-1)-，(必2-4--1尸+4(4/一】)

S_2(4必_1),

易知limq=1,

4—

又由，(4右一4左一Ip+4(41-1)<，(42-1尸+4(44-1)+4=4#+1,知

,(4--必-1)+4)+18必-4k,

C*<2(4必-1)

因此由c>c*对一切kWN,成立得c三1.

___________________-2

又端<0,易知娟单调递增，故

(4A2-4A-1)+，(4平-41-1)2+4(4公-1)

q‘三cj对一切AWN.成立,因此由c<cj对一切kWN，成立得c<婷=-1整巨.

O

L±)

从而c的取值范围为(-8•-6^U5+8).

法—:由a”>Q”-i,4^

[(24)2-l]c24+C2*-1>[(24-1)2一Ue”"+c”“，

因c*2>o,所以4(，-c)/+4次-J+c-1>0对AwN.恒成立.

222

记/(工)=4(c-c)X+4CX-C+C-1，下分三种情况讨论.

(i)当C?-c=0即c=0或c=1时，代入验证可知只有c=1满足要求.

(ii)当J-c<0时，抛物线y=/(x)开口向下，因此当正整数4充分大时，/(A)<

0,不符合题意，此时无解.

(近)当/-c>0即c<0或c>1时，抛物线y=/(x)开口向上，其对称轴

工=577、必在直线X=1的左边.因此，人工)在[1，+8)上是增函数.

所以要使f(k)>0对狂N-恒成立，只需/(1)>0即可.

由/(1)=3c2+c-1>0解得c<一:v"或c>二1[.

OO

结合c<0或c>l得c<-」4V或c>1.

O

综合以上三种情况,C的取值范围为(-8,」+户)U[1,+00).

O

(2010北京文数)(16)(本小题共13分)

已知|a“|为等差数列，且q=-6,4=0。

(I)求|4|的通项公式;

(II)若等差数列满足仇=-8,"=4+%+%，求1”|的前n项和公式

解：(I)设等差数列｛《,｝的公差d。

因为%=-6,%=0

:二MG解得…0，八2

所以

所以a“=_10+(〃_1>2=2〃-12

(II)设等比数列｛a｝的公比为q

因为为=4+。2+%=—24,6=-8

所以-8q=-24即q=3

所以{〃}的前〃项和公式为5„="T)=4(1-3")

1—g

(2010北京理数)(20)(本小题共13分)

已知集合S“={X|X=(石,％2,…,x")，Xw{0,l},i=l,2,…,〃}XN2)对于4=(4，。2,…a”,)，

BXhMrbQeS,,,定义A与B的差为

A-B=(|q—优—aI,…1%一人」)；

A与B之间的距离为d(A,B)=Z\ay-bx\

i-\

(I)证明：VA,B,C€S”,有A-BeS“，且d(A—C,8—C)=d(A,8);

(II)证明：VA,民。€色,4(45),4(40,次区0三个数中至少有一个是偶数

(III)设P[S,，P中有m(mN2)个元素，记P中所有两元素间距离的平均值为一(P).

d

证明:

(考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效)

证明：(I)设人=(4，生,…,%)，8=(々,4,…,“)，C=(cpc2,...,czl)eSn

因为生，hjG{0,1},所以e{0,l},(i=l,2,...,〃)

从而A—B=(\a]—h}\,\a2—h2an—bn|)GSn

又矶A-C,8-C)=f||q-c,|-|b-q||

i=l

由题意知为,白，qe{0』}(i=l,2,.

当q=0时，11ai_ci\-\bi-ci||=||-I；

当q=1时，||a/|-也-4)1=1a-b,\

所以"(A—C,3-C)=f|q-2l=d(A,3)

/=i

(II)设A=(a]，4,,8=(4也,…也)，C=(cpc2,...,cn)eSn

d(AB)=k,d(A,C)=/,d(B,C)=h.

记。=(0,0,…,O)eS“,由(I)可知

d(A,B)=d(A—A,8—A)=d(O,B-A)=k

d(AC)=d(A—A,C—A)=d(O,C—A)=/

d(8,C)=d(8—A,C—A)=〃

所以曲—a』(i=L2,中1的个数为3|q—4l(i=l,2,…㈤的1的

个数为/。

设f是使I々一q1=1q-4|=1成立的，的个数，则//=/+%-2/

由此可知，攵,三个数不可能都是奇数，

即d(A,B),d(A,C),d(B,C)三个数中至少有一个是偶数。

(III)Z(P)=」TZd(A,B)淇中Zd(A8)表示P中所有两个元素间距离的总和,

】A.BePA,BeP

设尸种所有元素的第i个位置的数字中共有号个1，个0

A.BEP/=1

加2

由于《(加一G<—(z=l,2,...,n)

所以£d(A,B)W对

A,BeP」

2

从而2(尸)=』Z"(AB)<--n-m--mn

C,〃A,BeP一4第2(771-1)

(2010四川理数)(21)(本小题满分12分)

已知数歹！J｛〃〃｝满足。1=0,6=2,且对任意相、都有

2

aim-1+ain-1—2afn+n-\+2()77-H)

(I)求。3,675；

(H)设瓦=〃2用一。21S£N),证明：｛瓦｝是等差数列;

(Ill)设C〃=(〃n+1—〃n)q”-1(行0,求数列｛c〃｝的前n项和Sn.

本小题主要考查数列的基础知识和化归、分类整合等数学思想，以及推理论证、分析与解决问

题的能力.

解：(1)由题意，零机=2,〃一1,可得〃3=2〃2—。1+2=6

再令加=3,〃=1,可得。5=2B—ai+8=20..............................................2分

⑵当〃时，由己知(以〃+2代替”)可得

。2〃+3+ain-1=2。2/?+1+8

于是［a2(n+1)+1—。2(〃+(。2〃+1—1)=8

即bn+1一力?=8

所以｛为｝是公差为8的等差数列...................................5分

(3)由(1)(2)解答可知｛瓦｝是首项为历=43—0=6,公差为8的等差数列

贝(Jhn~~8n2,即。2〃+=1ci2n—1—8H2

另由已知(令〃2=1)可得

an=〃2〃+；+二_(〃-1)2.

那么an+｝-alt=*+“2,i-2〃+1

2

=2〃

于是Cn=2nqn~}.

当q=l时，S〃=2+4+6+......+2n=n(n+l)

当#1时，5〃=2・，)+40+6・q?+......+2"/L

两边同乘以q,可得

qSn=2,qi+4./+6・夕3+.......+2〃・q”.

上述两式相减得

(1—q)S〃=2(l+q+7+.......+/|)-2叩2

=2--———2nq〃

i-q

一2,-----------------------

i—q

所以一迎上”空巴

〃("+1)(q=l)

综上所述，Sn=<2/""-(〃+1)/+1#.....................12分

(2010天津文数)(22)(本小题满分14分)

在数列｛an｝中，a,=0,且对任意keN*,a2kT，a2k，a2k+i成等差数列，其公差为2k.

(I)证明a4,a5，a6成等比数列；

(II)求数列｛a,,｝的通项公式；

,2Q22q

(III)记1=上+土++—,证明?<2n-T”42(nN2).

a2%an2

【解析】本小题主要考查等差数列的定义及前n项和公式、等比数列的定义、数列求和等基础

知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法，满

分14分。

(I)证明：由题设可知，。2=4+2=2,〃3=%+2=4,。4=%+4=8,a5=a4+4=12,

。6=。5+6=18。

从而&=4=3,所以%,%,4成等比数列。

火包2

(II)解：由题设可得。2/+]-生"1=4攵/£N*

所以%&+1—q=(/&+1—)+(%&-1一出3)+…—4)

=4Z+4(Z—l)+...+4xl

=2k(k+Q,kwN*.

由q=0,得%+[=2%(%+1),从而a2k=〃2八1-2女=2k2.

几2_]

---，〃为奇数2

所以数列｛q｝的通项公式为。〃=2或写为见=巴+「1-，neN*。

土，〃为偶数24

I2

2

(Ill)证明:由(II)可知%+1=2左传+1),a2k=2k,

以下分两种情况进行讨论：

(1)当n为偶数时，设n=2m(meN*)

若加=1,则2"-夕幺=2,

k=2%.

若加之2,则

S（2Z）2华（2A+1）2?4女2察4/+4A+1

E—--=z*+z

2Z（A+1）

k=2akk=l。2kk=T〃2&+lk=\乙K&=l

，〃一14攵2+4%1，〃一】

=2m+Z=2m+Z

2攵（攵+1）+2%（攵+1）2

k=l4=i4

2m+2（/7i-l）

2

«jt7133k2

所以2力一£一=二+—,从而二＜2〃一£一＜2,n=4,6,8,....

k=2以2〃2k=2ak

（2）当n为奇数时，设〃=2机+1（〃?£N*）。

之上一£J（2〃?+l）1的3'⑵〃+1）2

«2m+i22m2/n（m+l）

,11~31

=4mH------------=2n---------------------

22（???-1）2»+1

«313«k2

所以2〃-£—=—H----,从而一＜2〃一1一＜2,n=3,5,7,....

i=2ak2n+\2y%

T.

综合（1）和（2）可知，对任意2,〃eN*,有:＜2〃一7；42.

(2010天津理数)(22)(本小题满分14分)

在数列｛2｝中，q=0，且对任意比a2k,4小成等差数列，其公差为4。

(I)若4=24,证明如，⑸M，成等比数列(止N*)

(II)若对任意keN*,a2k,a2M,a2k+2成等比数列，其公比为纵。

【解析】本小题主要考查等差数列的定义及通项公式，前5项和公式、等比数列的定义、数列

求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思

想方法。满分14分。

(I)证明：由题设，可得%,「％,]=4k,kwN*。

2K+12K-1

所以+12k+]-])+(〃2%一1_°2左一3)*…十⑷)

=4k+4(攵-1)+…+4x1

=2k(k+l)

由。]二0,得心=2k(％+1),从而〃心二a“、-2k=2&2,々=2(Z：4-1)2.

乙K十1乙K乙K十14K十乙

于是3+1=£11,3+2=5.,所以a2k+2=3+1。

。2kk3+1ka2k+\a2k

所以4=2%时，对任意女,0成等比数歹ij。

卜2k2K+12k+2

(H)证法一：⑴证明：由的—।成等差数列，及小4成等比数

2%—I"2%+12k2K+\2k+2

，2="1+%—+为

列，得2"2女="2%-1+“2左+1

a2k02kqk-\

当时，可知纵声1,keTV*

从而—=----!-----=―2—+1,即」-------i—=1伏N2)

q

k-\211"-1一1"-1"-17

qk-\

所以」一是等差数列，公差为1。

G—1

(H)证明：4=0,%=2，可得%=4,从而彷=d=2,—L=i.由(I)有

2%-1

^1—=1+上—1=忙得％=1±1,左eN*

qk-\k

所以②±2=&L=A±1,从而312=》*_,正N*

a2k+\a2kk。2k七

因此，

3-2aAk2(上一1)222c2k+\C,/,,、，

%=—"—.U-=-----z-.----r-...-r-.2^.k.".ci-..ci-..----=2k(k+l),k€N

a2(^-1)2伏_2尸I22Zr+l2kk

a2k-23-42

以下分两种情况进行讨论:

(1)当n为偶数时，设n=2m(根wN')

«k2

若m=1,则2〃一£—=2.

k=2%

若mN2,则

弋k2S(2Z)2((2%+1)2(4/

乙一二乙一+乙=乙方+

k=2akk=l。2kk=la2