压轴题07三角函数与正余弦定理压轴题9题型 （学生版）

压轴题07三角函数与正余弦定理压轴题九大题型汇总命题预测本专题考查类型主要涉及点为三角函数与解三角形。其中包含了，三角函数的图像与性质，三角函数的新定义，三角函数与数列等的结合问题，解三角形相关问题等。预计2024年后命题会继续在上述几个方面进行。高频考法题型01三角函数的图像与性质题型02三角函数新定义问题题型03基本不等式的运用题型04三角函数与数列结合问题题型05正余弦定理新考点问题题型06实际应用中的正余弦定理问题题型07实际应用中的三角函数问题题型08立体几何与三角函数结合问题题型09三角函数中的零点问题01三角函数的图像与性质在三角函数fx=Asinωx+φ图象与性质中，ω对整个图象性质影响最大，因为1.（多选）（23-24高三下·浙江·开学考试）函数f(x)=2cos(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)相邻两个最高点之间的距离为π,(5π12A．g(x)在(0,5B．方程g(x)=12C．若g(x+m)为偶函数，则正数m的最小值为πD．若g(λ2x)在(π2.（2024·全国·模拟预测）已知f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,−π2A．函数f(x)在−πB．函数f(x)的图象向左平移π8个单位长度，所得图象关于yC．若f(α2D．若点Px03.（多选）（2024·浙江宁波·二模）已知函数fxA．若ω=2,φ=π2，则fxB．若ω=2,x0为fx的一个零点，则xC．若φ=−π4,x=π2是D．若φ=−π4,fx在0,4.（2024·江苏泰州·模拟预测）设函数fx=2sinωx−πA．32,+∞ B．32,75.（多选）（2024·江苏扬州·模拟预测）设函数fxA．∀ω∈0,1,fxB．若ω=1且fx1C．若fx=1在0,π上有且仅有2个不同的解，则D．存在ω∈0,1，使得fx的图象向左平移02三角函数新定义问题6.（多选）（23-24高三下·浙江·开学考试）在平面直角坐标系中，如果将函数y=fx的图象绕坐标原点逆时针旋转α（0<α≤π2,α为弧度）后，所得曲线仍然是某个函数的图象，则称A．∀α∈0,π2，函数y=xB．若函数fx=sinx,x∈C．若函数gx=ax−2xD．当m≤−2e2或m≥1时，函数ℎx7.（2021·福建漳州·三模）“墨卡托投影”是由荷兰地图学家墨卡托在1569年拟定，假设地球被围在一个中空圆柱里，其基准纬线与圆柱相切接触，假想地球中心有一盏灯，把球面上的图形投影到圆柱体上，再把圆柱体展开，这就是一幅“墨卡托投影”绘制出的地图.在地图上保持方向和角度的正确是“墨卡托投影”的优点，因此，“墨卡托投影”地图常用作航海图和航空图.通过地面上任意两点和地球中心作一平面，平面与地球表面相交看到的圆周就是大圆，两点之间的大圆劣弧线是两点在地面上的最短距离.沿着这段大圆劣弧线航行时的航线称为“大圆航线”.“大圆航线”转绘到“墨卡托投影”地图上为一条曲线.如图，P1B1,L1，P2B2,L2为地球上的两点(PB,L中B为点P的正纬度或负纬度，L为点P的正经度或负经度，B1，B2，L1，L2的符号确定规则如下：B1≥0，L1≥0，当P2与P1同在北半球或同在南半球时，B2≥0，否则B2<0；当P2与P1同在东经区或同在西经区时，LA．43n mile B．2334n mile8.（2024·浙江·二模）古人把正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数、余割函数、正矢函数、余矢函数这八种三角函数的函数线合称为八线.其中余切函数cotθ=1tanθ，正割函数secθ=1cosθ，余割函数cscθ=1sinθ，正矢函数versinθ=1−cosθ，余矢函数vercosθ=1−sinθ.如图角θ始边为x轴的非负半轴，其终边与单位圆交点P，A、B分别是单位圆与x轴和y轴正半轴的交点，过点P作PM垂直x轴，作PN垂直y轴，垂足分别为M、N，过点A作

A．versinθ=AM C．cotθ=BS D．9.（23-24高三上·湖南常德·阶段练习）已知函数f(x)和g(x)的定义域分别为D1和D2，若对任意的x0∈D1都恰有n个不同的实数x1,x2,x3,⋯xn∈D2，使得gxi=fx0（其中i=1,2,3,⋯n,n∈N+），则称g(x)10.（2023·北京·模拟预测）已知集合P=x,y∣(x−

①白色“水滴”区域（含边界）任意两点间距离的最大值为1+3②在阴影部分任取一点M，则M到坐标轴的距离小于等于3；③阴影部分的面积为8π④阴影部分的内外边界曲线长为8π其中正确的有.03基本不等式的运用利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.11．（2024·浙江台州·二模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若acosC=2ccosA．3 B．32 C．3212.（2023·广东深圳·二模）足球是一项很受欢迎的体育运动.如图，某标准足球场的B底线宽AB=72码，球门宽EF=8码，球门位于底线的正中位置.在比赛过程中，攻方球员带球运动时，往往需要找到一点P，使得∠EPF最大，这时候点P就是最佳射门位置.当攻方球员甲位于边线上的点O处（OA=AB，OA⊥AB）时，根据场上形势判断，有OA、OB两条进攻线路可供选择.若选择线路OA，则甲带球码时，APO到达最佳射门位置；若选择线路OB，则甲带球码时，到达最佳射门位置.13.（2023·江西南昌·模拟预测）剪纸，又叫刻纸，是一种镂空艺术，是中国汉族最古老的民间艺术之一．如图，纸片为一圆形，直径AB=20cm，需要剪去四边形CEC1已知点C在圆上且AC=10cm,∠ECD=30°．要使得镂空的四边形CEC1D14.（2023·全国·模拟预测）如图所示，面积为π的扇形OMN中，M，N分别在x，y轴上，点P在弧MN上（点P与点M，N不重合），分别在点P，N作扇形OMN所在圆的切线l1,l2交于点Q，其中A．4 B．23 C．6 15.（2023·全国·模拟预测）在△ABC中，∠BAC=π3，D为边BC上一点，满足AD=3且AB⋅DC−BD⋅AC=0，则△ABC04三角函数与数列结合问题16.（2024·浙江台州·二模）已知数列an满足a1=(1)求a2024(2)若数列an的通项可以表示成an=1217.（2024·广东·二模）已知正项数列an,bn，满足(1)若a1≠b1，且a1(2)若a1>b1,a1+b1=2c，以a(3)在（2）的条件下证明：数列Sn18.（2024·天津·一模）f(x)=2sin(x+φ)−a+e−x，φ∈(1)求φ的值；(2)若对∀x≥0，f(x)≤0恒成立，求a的取值范围；(3)利用如表数据证明：k=1157eeeeee1.0100.9902.1820.4582.2040.45419.（23-24高三下·江西·开学考试）同余定理是数论中的重要内容．同余的定义为：设a,b∈Z,m∈N+且m>1．若m∣(1)解同余方程：x2(2)设（1）中方程的所有正根构成数列an，其中a①若bn=an+1−an②若Cn=tana2n+320.（2023·山西·模拟预测）已知定义在−π2,+(1)若曲线y=f(x)在点π2(2)将f(x)的所有极值点按照从小到大的顺序排列构成数列xn，若x05正余弦定理新考点问题21.（23-24高三下·江苏苏州·阶段练习）已知在△ABC与△A'BC中，AB=AC,A与A'在直线BC的同侧，AB+AC=A'B+(1)若AB=2,A'C=1(2)证明：OA>OA22.（2024·河北·二模）若△ABC内一点P满足∠PAB=∠PBC=∠PCA=θ，则称点P为△ABC的布洛卡点，θ为△ABC的布洛卡角．如图，已知△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，点P为的布洛卡点，θ为△ABC的布洛卡角．(1)若b=c，且满足PBPA=3(2)若△ABC为锐角三角形．（ⅰ）证明：1tan（ⅱ）若PB平分∠ABC，证明：b223.（2024·湖南邵阳·模拟预测）对于定义在D上的函数f(x)，若存在距离为d的两条平行直线l1:y=kx+b1和l2:y=kx+b2，使得对任意的x∈D都有kx+b1≤f(x)≤kx+(1)若f(x)=ex−1(2)若g(x)=x+sinx+cos(3)探究ℎ(x)=2lnx+324.（2024·云南昆明·一模）早期天文学家常采用“三角法”测量行星的轨道半径．假设一种理想状态：地球E和某小行星M绕太阳S在同一平面上的运动轨道均为圆，三个星体的位置如图所示．地球在E0位置时，测出∠SE0M=2π3；行星M绕太阳运动一周回到原来位置，地球运动到了E

A．2.1R B．2.2R C．2.3R D．2.4R25.（2024·上海徐汇·二模）如图所示，已知△ABC满足BC=8,AC=3AB，P为△ABC所在平面内一点.定义点集D=PAP=3λAB+1−λ3AC,λ∈R.若存在点P06实际应用中的正余弦定理问题26.（2024·内蒙古呼和浩特·一模）小明在春节期间，预约了正月初五上午去美术馆欣赏油画，其中有一幅画吸引了众多游客驻足观赏，为保证观赏时可以有最大视角，警卫处的同志需要将警戒线控制在距墙多远处最合适呢？（单位：米，精确到小数点后两位）已知该画挂在墙上，其上沿在观赏者眼睛平视的上方3米处，其下沿在观赏者眼睛平视的上方1米处.（

）A．1.73 B．1.41 C．2.24 D．2.4527.（2022·陕西·二模）圭表（如图甲）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”）.当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至.图乙是一个根据北京的地理位置设计的圭表的示意图，已知北京冬至正午太阳高度角大约（即∠ABC）为30°，夏至正午太阳高度角（即∠ADC）大约为75°，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即DB的长）为a，则表高（即AC的长）为（

）A．34a B．14a C．28.（多选）（2024·全国·模拟预测）通过研究宋代李诫所著的《营造法式》等古建资料，可以得到中国宋代建筑的屋顶蕴含着丰富的数学元素，体现了数学的对称美，并且符合两个特点：一、从檐口到屋脊的曲线为屋面曲线，左、右屋面曲线对称，可用圆弧拟合屋面曲线，且圆弧所对的圆心角为30°±2°；二、从檐口到屋脊的垂直距离为坡屋面高度半径，水平距离为半坡宽度，且坡屋面高度半径半坡宽度=0.57±0.3．如图为某宋代建筑模型的结构图，其中A为屋脊，B，C为檐口，且AC所对的圆心角θ=π6，A．AC的长为2B．AC=2C．若AB与AC所在两圆的圆心距为43D．若AB与AC所在两圆的圆心距为4，要想此建筑的屋顶符合宋代建筑屋顶的特点，可将圆心角θ缩小29.（2023·湖北武汉·模拟预测）剪纸又叫刻纸，是一种镂空艺术，是中华汉族最古老的民间艺术之一，如图，一圆形纸片沿直径AB对折，使圆上两点C、C1重合，D，E为直径AB上两点，且∠ECD=45°，对折后沿直线DC，EC级剪，展开得到四边形CEC1D，若AC=12AB

30.（2024·重庆·模拟预测）如图，某班级学生用皮尺和测角仪（测角仪的高度为1.7m）测量重庆瞰胜楼的高度，测角仪底部A和瞰胜楼楼底O在同一水平线上，从测角仪顶点C处测得楼顶M的仰角，∠MCE=16.5°（点E在线段MO上）．他沿线段AO向楼前进100m到达B点，此时从测角仪顶点D处测得楼顶M的仰角∠MDE=48.5°，楼尖MN的视角∠MDN=3.5°（N是楼尖底部，在线段MO上）．(1)求楼高MO和楼尖MN；(2)若测角仪底在线段AO上的F处时，测角仪顶G测得楼尖MN的视角最大，求此时测角仪底到楼底的距离FO．参考数据：sin16.5°sin48.5°sin32°≈07实际应用中的三角函数问题数形结合的重点是“以形助数”，在解题时要注意培养这种思想意识，做到心中有图，见数想图，以开拓自己的思维．使用数形结合法的前提是题目中的条件有明确的几何意义，解题时要准确把握条件、结论与几何图形的对应关系，准确利用几何图形中的相关结论求解．31.（2023·湖北·模拟预测）现代建筑物的设计中通常会运用各种曲线、曲面，将美感发挥到极致.如图所示是位于深圳的田园观光塔，它的主体呈螺旋形，高15.6m，结合旋转楼梯的设计，体现了建筑中的数学之美.某游客从楼梯底端出发一直走到顶部.现把该游客的运动轨迹投影到塔的轴截面，得到曲线方程为y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)（x，y的单位：m）.该游客根据观察发现整个运动过程中，相位的变化量为114A．0.55 B．0.65 C．0.75 D．0.8532.（多选）（2024·福建·模拟预测）小竹以某速度沿正北方向匀速行进.某时刻时，其北偏西30°方向上有一距其6米的洒水桩恰好面朝正东方向.已知洒水桩会向面朝方向喷洒长为23A．1m/s B．C．2m/s D．33.（2024·广东佛山·二模）近年，我国短板农机装备取得突破，科技和装备支撑稳步增强，现代农业建设扎实推进.农用机械中常见有控制设备周期性开闭的装置.如图所示，单位圆O绕圆心做逆时针匀速圆周运动，角速度大小为2πrad/s，圆上两点A，B始终满足∠AOB=2π3，随着圆O的旋转，A，B两点的位置关系呈现周期性变化.现定义：A，B两点的竖直距离为A，B两点相对于水平面的高度差的绝对值.假设运动开始时刻，即t=0秒时，点A位于圆心正下方：则t=秒时，A，B两点的竖直距离第一次为0；A，B两点的竖直距离关于时间t的函数解析式为34.（2023·上海金山·一模）网络购物行业日益发达，各销售平台通常会配备送货上门服务．小金正在配送客户购买的电冰箱，并获得了客户所在小区门户以及建筑转角处的平面设计示意图．(1)为避免冰箱内部制冷液逆流，要求运送过程中发生倾斜时，外包装的底面与地面的倾斜角α不能超过π4，且底面至少有两个顶点与地面接触．外包装看作长方体，如图1所示，记长方体的纵截面为矩形ABCD，AD=0.8m，AB=2.4m，而客户家门高度为2.3(2)由于客户选择以旧换新服务，小金需要将客户长方体形状的旧冰箱进行回收．为了省力，小金选择将冰箱水平推运(冰箱背面水平放置于带滚轮的平板车上，平板车长宽均小于冰箱背面）．推运过程中遇到一处直角过道，如图2所示，过道宽为1.8米．记此冰箱水平截面为矩形EFGH，EH=1.2m．设∠PHG=β，当冰箱被卡住时(即点H、G分别在射线PR、PQ上，点O在线段EF上），尝试用β表示冰箱高度EF的长，并求出EF的最小值，最后请帮助小金得出结论：按此种方式推运的旧冰箱，其高度的最大值是多少？（结果精确到0.135.（多选）（2023·山西·模拟预测）如图，扇形AOB是某社区的一块空地平面图，点P在弧AB上（异于A,B两点），PC⊥OA,PD⊥OB，垂足分别为C,D,∠AOB=5π12，∠AOP=α,AO=20

A．当α=π6时，儿童娱乐设施建筑用地的面积为B．当α=π6时，种植花卉区域的面积为C．儿童娱乐设施建筑用地面积的最大值为506D．种植花卉区域的面积可能是250π08立体几何与三角函数结合问题36.（多选）（2024·浙江金华·模拟预测）已知边长为l的等边△ABC的三个顶点到平面α的距离分别为1，2，3，且△ABC的重心G到平面α的距离恰有两个可能值，则l的取值可以为（

）A．23 B．25 C．537.（2024·重庆·三模）如图，已知圆柱的斜截面是一个椭圆，该椭圆的长轴AC为圆柱的轴截面对角线，短轴长等于圆柱的底面直径.将圆柱侧面沿母线AB展开，则椭圆曲线在展开图中恰好为一个周期的正弦曲线.若该段正弦曲线是函数y=3sinωxω>0图象的一部分，且其对应的椭圆曲线的离心率为

A．32 B．1 C．3 38.（2024·北京丰台·二模）“用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当圆锥的轴与截面所成的角不同时，可以得到不同的截口曲线”．利用这个原理，小明在家里用两个射灯（射出的光锥视为圆锥）在墙上投影出两个相同的椭圆（图1），光锥的一条母线恰好与墙面垂直．图2是一个射灯投影的直观图，圆锥PO的轴截面APB是等边三角形，椭圆O1所在平面为α,PB⊥α，则椭圆OA．32 B．63 C．2238.（2024·广东湛江·二模）财富汇大厦坐落在广东省湛江市经济技术开发区，是湛江经济技术开发区的标志性建筑，同时也是已建成的粤西第一高楼.为测量财富汇大厦的高度，小张选取了大厦的一个最高点A，点A在大厦底部的射影为点O，两个测量基点B、C与O在同一水平面上，他测得BC=1027米，∠BOC=120°，在点B处测得点A的仰角为θ（tanθ=2），在点C处测得点A的仰角为45°，则财富汇大厦的高度40.（2024·贵州遵义·一模）某冰淇淋门面店将上半部是半球（半球的半径为3），下半部是倒立的圆锥（圆锥的高为6）的冰淇淋模型放到椐窗内展览，托盘是边长为12的等边三角形ABC金属片沿三边中点D，E，F的连线向上折叠成直二面角而成，则半球面上的最高点到平面DEF的距离为．09三角函数中的零点问题41.（2023·天津·二模）设函数fx=sinπ2x，gxA．4051 B．4049 C．2025 D．202342.（2023·甘肃兰州·模拟预测）已知函数fx=x−ax−b+x−bx−cA．函数fx有两个零点x1，x2xB．函数fx有两个零点x1，x2xC．函数fx有两个零点x1，x2xD．函数fx只有一个零点x0，且x43.（2024·全国·模拟预测）已知函数fx=asinπx+bcosπxb>0的图象关于点144.（2023·四川遂宁·模拟预测）已知函数f(x)=11−x，函数g(x)=sin(2ωx+ϕ)(ω>0)的两相邻对称中心之间的距离为1，且x=12为函数y=g(x)的一个极大值点.若方程45.（2024·湖南岳阳·三模）已知△ABC的三个角A,B,C的对边分别为a,b,c且c=2b，点D在边B