第03讲 勾股定理应用（知识解读+真题演练+课后巩固）（解析版）-2024学年八年级数学上册（苏科版）

第第页第03讲勾股定理应用1.利用勾股定理及逆定理解决生活中的实际问题。2.通过观察图形，探索图形间的关系，发展学生的空间观念．知识点1：勾股定理应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．本专题分类进行巩固解决以下生活实际问题类型一、应用勾股定理解决梯子滑落高度问题类型二、应用勾股定理解决旗杆高度类型三、应用勾股定理解决小鸟飞行的距离类型四、应用勾股定理解决大树折断前的高度类型五、应用勾股定理解决水杯中的筷子问题类型六、应用勾股定理解决航海问题类型七、应用勾股定理解决河的宽度类型八、应用勾股定理解决汽车是否超速问题类型九、应用勾股定理解决是否受台风影响问题类型十、应用勾股定理解决选扯距离相离问题类型十一、应用勾股定理解决几何图形中折叠问题知识点2：平面展开图-最短路径问题几何体中最短路径基本模型如下：基本思路：将立体图形展开成平面图形，利用两点之间线段最短确定最短路线，构造直角三角形，利用勾股定理求解【题型1应用勾股定理解决梯子滑落高度问题】【典例1】（2022秋•莱西市期末）在某风景游船处，如图，在离水面高度为5m的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为13m，此人以0.5m/s的速度收绳．10s后船移动到点D的位置，此时船距离岸边多少m？（结果保留根号）【解答】解：在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，BC＝13m，AC＝5m，∴（m），∵此人以0.5m/s的速度收绳，10s后船移动到点D的位置，∴CD＝13﹣0.5×10＝8（m），∴（m），∴）（m）．答：船向岸边移动了）m．【变式1-1】（2022秋•中宁县期末）一根电线杆在一次台风中从离地面3米处折断倒下，杆顶端落在离该电线杆底端4米处，请问电线杆在折断之前有多高？【解答】解：由勾股定理得斜边为＝5（米），则原来的高度为3+5＝8（米）．答：电线杆在折断之前高8米．【变式1-2】（2021秋•农安县期末）如图，一架长为5米的梯子AB斜靠在与地面OM垂直的墙ON上，梯子底端距离墙ON有3米．（1）求梯子顶端与地面的距离OA的长．（2）若梯子顶点A下滑1米到C点，求梯子的底端向右滑到D的距离．【答案】（1）4米（2）1米【解答】解：（1）AO＝＝4米；OD＝＝4米，BD＝OD﹣OB＝4﹣3＝1米．【题型2应用勾股定理解决旗杆高度】【典例2】八（2）班数学课外活动小组的同学测量学校旗杆的高度时，发现升旗的绳子垂到地面要多1米，当他们把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面．你能将旗杆的高度求出来吗？【解答】本题考查了勾股定理的实际应用，由题可以知道,旗杆,绳子与地面构成直角三角形,根据题中数据,用勾股定理即可解答.设旗杆高xm，则绳子长为（x+1）m，∵旗杆垂直于地面，∴旗杆，绳子与地面构成直角三角形，由题意列式为x2+52=（x+1）2，解得x=12m，所以旗杆的高度为12米．【变式2-1】如图，学校要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面并多出一段（如图1），同学们首先测量了多出的这段绳子长度为1米，再将绳子拉直（如图2），测出绳子末端C到旗杆底部B的距离为5米，求旗杆的高度．【解答】解：设旗杆的高度AB为x米，则绳子AC的长度为（x+1）米，在Rt△ABC中，根据勾股定理可得：x2+52＝（x+1）2，解得，x＝12．答：旗杆的高度为12米．【变式2-2】数学综合实验课上，同学们在测量学校旗杆的高度时发现：将旗杆顶端升旗用的绳子垂到地面还多2米；当把绳子的下端拉开8米后，下端刚好接触地面，如图，根据以上数据，同学们准确求出了旗杆的高度，你知道他们是如何计算出来的吗？【解答】解：设旗杆高AB=xm，则绳子长为AC=(x+2)m.在Rt△ABC中，∠ABC=90°，由勾股定理得AB2+BC2=AC2，所以x2+82=(x+2)2.解得x=15m.所以旗杆的高度为15米．【题型3应用勾股定理解决小鸟飞行的距离】【典例3】（2020秋•亭湖区校级期中）如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行多少米．【解答】解：如图，设大树高为AB＝12m，小树高为CD＝6m，过C点作CE⊥AB于E，则EBDC是矩形，连接AC，∴EB＝CD＝6m，EC＝BD＝8m，AE＝AB﹣EB＝12﹣6＝6m，在Rt△AEC中，AC＝＝＝10m，故小鸟至少飞行10m．【变式3-2】如图，有一只小鸟从小树顶飞到大树顶上，请问它飞行的最短路程是多少米？（先画出示意图，然后再求解）．【解答】解：如图所示，过D点作DE⊥AB，垂足为E∵AB=13，CD=8又∵BE=CD，DE=BC∴AE=AB-BE=AB-CD=13-8=5∴在Rt△ADE中，DE=BC=12∴AD2=AE2+DE2=122+52=144+25=169∴AD=13（负值舍去）答：小鸟飞行的最短路程为13m．【题型4应用勾股定理解决大树折断前的高度】【典例4】“风吹树折”问题又称为“折竹抵地”，源自《九章算术》，原文为∶“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺.问折者高几何?”意思是∶一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，则折断后的竹子高度为多少尺?（1丈=10尺）【解答】设折断后的竹子高度为x尺，则被折断的竹子长度为（10—x）尺.由勾股定理得x²＋3²=（10—x）2，解得x=4.55.答∶折断后竹子的高度是4.55尺【变式4-1】如图，一棵大树在离地面9米高的B处断裂，树顶A落在离树底BC的12米处，则大树断裂之前的高度为（）A．9米 B．15米 C．21米 D．24米【答案】D【解答】解：由题意得BC＝9，在直角三角形ABC中，根据勾股定理得：AB＝＝15米．所以大树的高度是15+9＝24米．故选：D．【变式4-2】（2021秋•广南县期末）如图，一棵竖直生长的竹子高为8米，一阵强风将竹子从C处吹折，竹子的顶端A刚好触地，且与竹子底端的距离AB是4米．求竹子折断处与根部的距离CB．【答案】3米【解答】解：由题意知BC+AC＝8，∠CBA＝90°，∴设BC长为x米，则AC长为（8﹣x）米，∴在Rt△CBA中，有BC2+AB2＝AC2，即：x2+16＝（8﹣x）2，解得x＝3，∴竹子折断处C与根部的距离CB为3米．【题型5应用勾股定理解决水杯中的筷子问题】【典例5】（2022秋•南关区校级期末）如图，水池中离岸边D点4米的C处，直立长着一根芦苇，出水部分BC的长是2米，把芦苇拉到岸边，它的顶端B恰好落到D点，则水池的深度AC为多少米．【解答】解：设水池的深度为x米，由题意得：x2+42＝（x+2）2，解得：x＝3．答：水池的深度为3米．【变式5-1】（2022秋•任城区期中）如图，在波平如镜的湖面上，有一朵盛开的美丽的红莲，它高出水面30cm．突然一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵下部刚好齐及水面，如果知道红莲移动的水平距离为60cm，求水深是多少cm？【解答】解：设水深为hcm，由题意得：在Rt△ABC中，AB＝hcm，AC＝（h+30）cm，BC＝60cm，由勾股定理得：AC2＝AB2+BC2，即（h+30）2＝h2+602，解得：h＝45．答：水深是45cm．【变式5-2】小芳在喝易拉罐饮料的时候，发现如果沿着罐内壁竖直放置吸管，露在外面部分厘米；如果尽最大长度往里放置，吸管正好和罐顶持平，已知易拉罐的底部是直径为8厘米的圆，请你求出吸管的长度.【解答】解：设吸管长度为x,则易拉罐高BC为x-2,在中，由勾股定理可得：即：解得：即吸管的长度为17厘米.【题型6应用勾股定理解决航海问题】【典例6】（2021八上·绿园期末）如图，甲乙两船从港口A同时出发，甲船以16海里/时速度向北偏东40°航行，乙船向南偏东50°航行，3小时后，甲船到达C岛，乙船到达B岛．若C、B两岛相距60海里，问乙船的航速是多少．【答案】解：根据题意，得∠CAB=180°-40°-50°=90°，∵AC=16×3=48（海里），BC=60海里，∴在直角三角形ABC中，根据勾股定理得：AB=60则乙船的速度是36÷3=12海里/时．【变式6-1】（2021秋•卧龙区校级月考）如图所示，甲渔船以8海里/时的速度离开港口O向东北方向航行，乙渔船以6海里/时的速度离开港口O向西北方向航行，他们同时出发，一个半小时后，甲、乙两渔船相距（）A．12海里 B．13海里 C．14海里 D．15海里【答案】D【解答】解：由题意可得：BO＝1.5×6＝9（海里），AO＝1.5×8＝12（海里），∠1＝∠2＝45°，故∠AOB＝90°，∴AB＝＝15（海里），答：甲、乙两渔船相距15海里，故选：D．【变式6-2】（2021秋•绿园区期末）如图，甲乙两船从港口A同时出发，甲船以16海里/时速度沿北偏东40°方向航行，乙船沿南偏东50°方向航行，3小时后，甲船到达C岛，乙船到达B岛．若C、B两岛相距60海里，问：乙船的航速是多少？【答案】12海里/时【解答】解：∵甲船沿北偏东40°方向航行，乙船沿南偏东50°方向航行，∴∠CAB＝90°，∵AB＝16×3＝48，BC＝60，∴AC＝＝36，∴乙船的航速是36÷3＝12海里/时，答：乙船的航速是36÷3＝12海里/时．【题型7应用勾股定理解决河的宽度】【典例7】（2022春•兰山区期末）在一条东西走向的河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原由，C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在一条直线上），并新修一条路CH，测得CB＝3km，CH＝2.4km，BH＝1.8km．求原来的路线AC的长．【解答】解：∵CH2+BH2＝2.42+1.82＝9，BC2＝32＝9，∴CH2+BH2＝BC2，∴△CHB是直角三角形，且∠CHB＝90°，∴∠CHA＝90°，∴AC2＝AH2+CH2，∵AB＝AC，∴AH＝AB﹣HB＝AC﹣1.8，∴AC2＝（AC﹣1.8）2+2.42，解得：AC＝2.5，答：原来的路线AC的长为2.5km．【变式7】如图，点A是华清池景点所在位置，游客可以在游客观光车站B或C处乘车前往，且AB＝BC，因道路施工，点C到点A段现暂时封闭，为方便出行，在BC这条路上的D处修建了一个临时车站，由D处亦可直达A处，若AC＝1km，AD＝0.8km，CD＝0.6km．（1）判断△ACD的形状，并说明理由；（2）求路线AB的长．【解答】解：（1）△ACD是直角三角形．理由如下：∵AC＝1km，AD＝0.8km，CD＝0.6km，∴AC2＝1，AD2＝0.82＝0.64，CD2＝0.62＝0.36，∴AC2＝AD2+CD2，∴△ACD是直角三角形；（2）∵△ACD是直角三角形，∴AD⊥BC．设AB＝BC＝xkm，则BD＝BC﹣DC＝（x﹣0.6）km，由勾股定理得：AB2＝AD2+BD2，即x2＝0.82+（x﹣0.6）2，解得x＝，∴AB＝km．【题型8应用勾股定理解决汽车是否超速问题】【典例8】（2021八上·叶县期末）某条道路限速70km/ℎ,如图，一辆小汽车在这条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方30m的C处，过了2s后，小汽车到达B处，此时测得小汽车与车速测检测仪间的距离为50m，这辆小汽车超速了吗？【解答】解：在RtΔABC中，BC===40米v=s÷t=40÷2=20m/s，20m/s=72km/ℎ，所以小汽车超速了.【变式8】“某市道路交通管理条例“规定：小汽车在城市道路上行驶速度不得超过60千米/时，如图，一辆小汽车在一条城市道路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪A正前方24米的C处，过了1.5秒后到达B处（BC⊥AC），测得小汽车与车速检测仪间的距离AB为40米，请问这辆小汽车是否超速？若超速，则超速了多少？【解答】解：根据题意，得AC＝24m，AB＝40m，∠C＝90°，在Rt△ACB中，根据勾股定理，BC2＝AB2﹣AC2＝402﹣242＝322，所以BC＝32m，小汽车1.5秒行驶32米，则1小时行驶76800（米），即小汽车行驶速度为76.8千米/时，因为76.8＞60，所以小汽车已超速行驶【题型9应用勾股定理解决是否受台风影响问题】【典例9】（2022秋•庆云县期中）如图，MN是一条铁路，点A是居民区，火车位于P处时，测得居民区A位于P的北偏西30°方向上，火车行驶200米到达点Q，此时测得居民区A位于Q的北偏西60°方向上．（1）求火车在Q处时距离居民区A的距离？（2）若200米范围内，会对居民区有噪音影响，求如果火车的行驶速度是72km/h，求居民区受影响的时间是多少秒？【解答】（1）解：过点A作AB垂直MN于点B，∵∠APQ＝30°，∠AQB＝60°，∴∠BAQ＝90°﹣∠AQB＝30°，∠PAB＝90°﹣∠APQ＝60°，∴∠AQP＝∠PAB﹣∠QAB＝30°，∴∠QAP＝∠QPA，∴AQ＝PQ＝200米，答：火车在Q处时距离居民区A的距离是200米．（2）解：过点A作AB垂直MN于点B，延长QB至点C使BC＝QB，∴AB是CQ的垂直平分线，∴AC＝AQ＝200米，∴受影响路段为CQ，∵AQ＝AC，∠AQC＝60°，∴△AQC为等边三角形，∴QC＝AQ＝200米，速度：72km/h＝20m/s，∴时间：200÷20＝10s，答：居民区受影响的时间是10s．【变式9】（2020秋•成都期中）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿AB由点A向点B移动，已知点C为一海港，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为300km和400km，又AB＝500km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域．（1）海港C受台风影响吗？为什么？（2）若台风的速度为25km/h，台风影响该海港持续的时间有多长？【答案】（1）海港C受到台风影响（2）5.6小时【解答】解：（1）海港C受台风影响．理由：如图，过点C作CD⊥AB于D，∵AC＝300km，BC＝400km，AB＝500km，∴AC2+BC2＝AB2．∴△ABC是直角三角形．∴AC×BC＝CD×AB∴300×400＝500×CD∴CD＝＝240（km）∵以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域，∴海港C受到台风影响．（2）当EC＝250km，FC＝250km时，正好影响C港口，∵ED＝＝70（km），∴EF＝140km∵台风的速度为25km/h，∴140÷25＝5.6（小时）即台风影响该海港持续的时间为5.6小时．【题型10应用勾股定理解决选扯距离相离问题】【典例10】（武汉）如图，在笔直的铁路上A，B两点相距20km，C，D为两村庄，DA＝8km，CB＝14km，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B．现要在AB上建一个中转站E，使得C，D两村到E站的距离相等，求AE的长．【答案】E应建在距A点13.3km【解答】解：设AE＝x，则BE＝20﹣x，由勾股定理得：在Rt△ADE中，DE2＝AD2+AE2＝82+x2，在Rt△BCE中，CE2＝BC2+BE2＝142+（20﹣x）2，由题意可知：DE＝CE，所以：82+x2＝142+（20﹣x）2，解得：x＝13.3所以，E应建在距A点13.3km．【变式10】（2021秋•吉安期中）铁路上A，B两站（视为直线上的两点）相距25km，C，D为两村庄（视为两个点），DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B（如图），已知DA＝10km，CB＝15km，现在要在铁路AB上建一个土特产收购站E，使得C，D两村庄到收购站E的直线距离相等，请求出收购站E到A站的距离．【答案】10米【解答】解：∵C、D两村到E站距离相等，∴CE＝DE，在Rt△DAE和Rt△CBE中，DE2＝AD2+AE2，CE2＝BE2+BC2，∴AD2+AE2＝BE2+BC2．设AE为xkm，则BE＝（25﹣x）km，将BC＝10，DA＝15代入关系式为x2+152＝（25﹣x）2+102，整理得，50x＝500，解得x＝10，∴E站应建在距A站10km处．【题型11应用勾股定理解决几何图形中折叠问题】【典例11】（2020春•西城区校级期中）如图，长方形ABCD中，AB＝8，BC＝10，在边CD上取一点E，将△ADE折叠后点D恰好落在BC边上的点F处（1）求CE的长；（2）在（1）的条件下，BC边上是否存在一点P，使得PA+PE值最小？若存在，请求出最小值：若不存在，请说明理由．【解答】（1）长方形ABCD中，AB＝8，BC＝10∴∠B＝∠BCD＝90°，CD＝AB＝8，AD＝BC＝10由折叠知，EF＝DE，AF＝AD＝8在Rt△ABF中，根据勾股定理得，BF=AF∴CF＝BC﹣BF＝4设CE＝x，则EF＝DE＝CD﹣CE＝8﹣x在Rt△ECF中，根据勾股定理得，CF2+CE2＝EF2∴16+x2＝（8﹣x）2，∴x＝3，∴CE＝3（2）如图，延长EC至E'使CE'＝CE＝3，连接AE'交BC于P此时，PA+PE最小，最小值为AE'∵CD＝8，∴DE'＝CD+CE'＝8+3＝11在Rt△ADE'中，根据勾股定理得，AE'=【变式11】如图所示，折叠长方形一边AD，点D落在BC边的点F处，已知BC＝10厘米，AB＝8厘米．（1）求BF与FC的长．（2）求EC的长．【解答】解：（1）∵△ADE折叠后的图形是△AFE，∴AD＝AF，∠D＝∠AFE，DE＝EF．∵AD＝BC＝10cm，∴AF＝AD＝10cm．又∵AB＝8cm，在Rt△ABF中，根据勾股定理，得AB2+BF2＝AF2∴82+BF2＝102，∴BF＝6cm，∴FC＝BC﹣BF＝10﹣6＝4cm．（2）设EC的长为xcm，则DE＝（8﹣x）cm．在Rt△EFC中，根据勾股定理，得：FC2+EC2＝EF2，∴42+x2＝（8﹣x）2，即16+x2＝64﹣16x+x2，化简，得16x＝48，∴x＝3，故EC的长为3cm【题型12平面展开图-最短路径问题】【典例12】（2022秋•汝州市期末）葛藤是一种多年生草本植物，为获得更多的雨露和阳光，其常绕着附近的树干沿最短路线盘旋而上．现有一段葛藤绕树干盘旋2圈升高为2.4m，如果把树干看成圆柱体，其底面周长是0.5m，如图是葛藤盘旋1圈的示意图，则这段葛藤的长是（）m．A．1.3 B．2.5 C．2.6 D．2.8【答案】C【解答】解：∵葛藤绕树干盘旋2圈升高为2.4m，∴葛藤绕树干盘旋1圈升高为1.2m，如图所示：AC＝＝＝1.3（m）．∴这段葛藤的长＝2×1.3＝2.6（m）．故选：C．【变式12】（2022秋•普宁市期末）如图，圆柱的底面半径为cm，AC是底面圆的直径，点P是BC上一点，且PC＝4cm，一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是（）A．4cm B．2cm C．5cm D．10cm【答案】B【解答】解：侧面展开图如图所示：∵圆柱的底面半径为cm，∴圆柱的底面周长为12cm，∴AC′＝6cm．在Rt△ACP中，AP＝＝2（cm）．故选：B．【题型13几何展开】【典例13】（2021秋•泗县期末）如图，正四棱柱的底面边长为4cm，侧棱长为6cm，一只蚂蚁从点A出发，沿棱柱外表面到点C'处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（）A．2cm B．14cm C．（2+4）cm D．10cm【答案】D【解答】解：当沿着平面ABB'A'、平面A'B'C'D'爬行时，如图所示，AC'＝＝2（cm），当沿着平面ABB'A'、平面BB'C'C爬行时，AC'＝＝10（cm），因为10＜2，所以蚂蚁需要爬行的最短路径的长是10cm，故选：D．【变式13】正方体盒子的棱长为2，BC的中点为M，一只蚂蚁从A点爬行到M点的最短距离为（）A． B． C．5 D．2+【答案】A【解答】解：展开正方体的点M所在的面，∵BC的中点为M，所以MC＝BC＝1，在直角三角形中AM＝＝．故选：A．【题型14楼梯展开】【典例14】（2022春•连江县期中）如图，三级台阶，每一级的长、宽、高分别为8dm、3dm、2dm．A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为（）A．15dm B．17dm C．20dm D．25dm【答案】B【解答】解：三级台阶平面展开图为长方形，长为8dm，宽为（2+3）×3dm，则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．可设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为xdm，由勾股定理得：x2＝82+[（2+3）×3]2＝172，解得x＝17．故选：B．【变式14】如图是一个三级台阶，它的每一级长、宽、高分别是2米、0.3米、0.2米，A，B是这个台阶上两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是米．【答案】2.5【解答】解：三级台阶平面展开图为长方形，长为2，宽为（0.2+0.3）×3，则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．可设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为x，由勾股定理得：x2＝22+[（0.2+0.3）×3]2＝2.52，解得x＝2.5．1．（2023•株洲）《周礼•考工记》中记载有：“…半矩谓之宣（xuān），一宣有半谓之欘（zhú）…”．意思是：“…直角的一半的角叫做宣，一宣半的角叫做欘…”即：1宣＝矩，1欘＝1宣（其中，1矩＝90°）．问题：图（1）为中国古代一种强弩图，图（2）为这种强弩图的部分组件的示意图，若∠A＝1矩，∠B＝1欘，则∠C＝22.5度．​【答案】22.5．【解答】解：∵1宣＝矩，1欘＝1宣，1矩＝90°，∠A＝1矩，∠B＝1欘，∴∠A＝90°，∠B＝1××90°＝67.5°，∴∠C＝180°﹣90°﹣∠B＝180°﹣90°﹣67.5°＝22.5°，故答案为：22.5．2．（2021•襄阳）我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有池方一丈，葭（jiā）生其中，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深几何．”（丈、尺是长度单位，1丈＝10尺）其大意为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度是多少？则水深为（）A．10尺 B．11尺 C．12尺 D．13尺【答案】C【解答】解：设水深为h尺，则芦苇长为（h+1）尺，根据勾股定理，得（h+1）2﹣h2＝（10÷2）2，解得h＝12，∴水深为12尺，故选：C．3．（2022•泰州）如图所示的象棋盘中，各个小正方形的边长均为1．“马”从图中的位置出发，不走重复路线，按照“马走日”的规则，走两步后的落点与出发点间的最短距离为．【答案】．【解答】解：如图，第一步到①，第二步到②，故走两步后的落点与出发点间的最短距离为＝，故答案为：．4．（2021•玉林）如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，甲、乙轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，甲、乙轮船每小时分别航行12海里和16海里，1小时后两船分别位于点A，B处，且相距20海里，如果知道甲船沿北偏西40°方向航行，则乙船沿北偏东50°方向航行．【答案】北偏东50°．【解答】解：由题意可知：AP＝12，BP＝16，AB＝20，∵122+162＝202，∴△APB是直角三角形，∴∠APB＝90°，由题意知∠APN＝40°，∴∠BPN＝90°﹣∠APN＝90°﹣40°＝50°，即乙船沿北偏东50°方向航行，故答案为：北偏东50°．1．（2022春•雨花区期末）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为（）A．0.7米 B．1.5米 C．2.2米 D．2.4米【答案】C【解答】解：在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，BC＝0.7米，AC＝2.4米，∴AB2＝0.72+2.42＝6.25．在Rt△A′BD中，∵∠A′DB＝90°，A′D＝2米，BD2+A′D2＝A′B2，∴BD2+22＝6.25，∴BD2＝2.25，∵BD＞0，∴BD＝1.5米，∴CD＝BC+BD＝0.7+1.5＝2.2米．故选：C．2．（2022•松北区三模）如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向，与灯塔P的距离为30海里的A处，轮船沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处，则此时轮船所在位置B处与灯塔P之间的距离为（）A．60海里 B．45海里 C．20海里 D．30海里【答案】D【解答】解：由题意可得：∠B＝30°，AP＝30海里，∠APB＝90°，故AB＝2AP＝60（海里），则此时轮船所在位置B处与灯塔P之间的距离为：BP＝＝30（海里）故选：D．3．（2022春•什邡市校级期中）如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（）A．12≤a≤13 B．12≤a≤15 C．5≤a≤12 D．5≤a≤13【答案】A【解答】解：a的最小长度显然是圆柱的高12，最大长度根据勾股定理，得：＝13．即a的取值范围是12≤a≤13．故选：A．4．（2022春•天桥区期末）如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面5m处撕裂折断，旗杆顶部落在离旗杆底部12m处，旗杆折断之前的高度是（）A．5m B．12m C．13m D．18m【答案】D【解答】解：旗杆折断后，落地点与旗杆底部的距离为12m，旗杆离地面5m折断，且旗杆与地面是垂直的，所以折断的旗杆与地面形成了一个直角三角形．根据勾股定理，折断的旗杆为＝13m，所以旗杆折断之前高度为13m+5m＝18m．故选：D．5．（2022春•潮安区校级月考）如图，在高3米，坡面线段距离AB为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯长度至少需7米．【答案】见试题解答内容【解答】解：将楼梯表面向下和右平移，则地毯的总长＝两直角边的和，已知AB＝5米，AC＝3米，且在直角△ABC中，AB为斜边，则BC＝＝4米，则AC+BC＝3+4＝7米．故答案为：7．6．（2022春•连平县校级期末）如图，长为8cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升3cm到D，则橡皮筋被拉长了2cm．【答案】见试题解答内容【解答】解：Rt△ACD中，AC＝AB＝4cm，CD＝3cm；根据勾股定理，得：AD＝＝5cm；∴AD+BD﹣AB＝2AD﹣AB＝10﹣8＝2cm；故橡皮筋被拉长了2cm．7．（2022•拱墅区模拟）无盖圆柱形杯子的展开图如图所示．将一根长为20cm的细木筷斜放在该杯子内，木筷露在杯子外面的部分至少有5cm．【答案】见试题解答内容【解答】解：由题意可得：杯子内的筷子长度为：＝15（cm），则筷子露在杯子外面的筷子长度为：20﹣15＝5（cm）．故答案为：5．8．（2022春•玉林期末）一架梯子长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，（1）这个梯子的顶端距地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了4米到A′，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）由题意得：AC＝25米，BC＝7米，AB＝＝24（米），答：这个梯子的顶端距地面有24米；（2）由题意得：BA′＝20米，BC′＝＝15（米），则：CC′＝15﹣7＝8（米），答：梯子的底端在水平方向滑动了8米．9．（2022春•荣县校级月考）超速行驶是引发交通事故的主要原因．上周末，小鹏等三位同学在滨海大道红树林路段，尝试用自己所学的知识检测车速，观测点设在到公路l的距离为100米的P处．这时，一辆富康轿车由西向东匀速驶来，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为3秒，并测得∠APO＝60°，∠BPO＝45°，试判断此车是否超过了每小时80千米的限制速度？（参考数据：＝1.41，＝1.73）【答案】见试题解答内容【解答】解：由题意知：PO＝100米，∠APO＝60°，∠BPO＝45°，在直角三角形BPO中，∵∠BPO＝45°，∴BO＝PO＝100m在直角三角形APO中，∵∠APO＝60°，∴AO＝PO•tan60°＝100∴AB＝AO﹣BO＝（100﹣100）≈73米，∵从A处行驶到B处所用的时间为3秒，∴速度为73÷3≈24.3米/秒＝87.6千米/时＞80千米/时，∴此车超过每小时80千米的限制速度．10．（2022春•绥棱县校级月考）已知某开发区有一块四边形的空地ABCD，如图所示，现计划在空地上种植草皮，经测量∠A＝90°，AB＝3m，BC＝12m，CD＝13m，DA＝4m，若每平方米草皮需要200元，问要多少投入？【答案】见试题解答内容【解答】解：连接BD，在Rt△ABD中，BD2＝AB2+AD2＝32+42＝52，在△CBD中，CD2＝132BC2＝122，而122+52＝132，即BC2+BD2＝CD2，∴∠DBC＝90°，S四边形ABCD＝S△BAD+S△DBC＝，＝＝36．所以需费用36×200＝7200（元）．11．（2022春•五峰县期末）如图，小颖和她的同学荡秋千，秋千AB在静止位置时，下端B′离地面0.6m，荡秋千到AB的位置时，下端B距静止位置的水平距离EB等于2.4m，距地面1.4m，求秋千AB的长．【答案】见试题解答内容【解答】解：设AB＝AB′＝xm，由题意可得出：B′E＝1.4﹣0.6＝0.8（m），则AE＝AB﹣0.8，在Rt△AEB中，∵AE2+BE2＝AB2，∴（x﹣0.8）2+2.42＝x2解得：x＝4，答：秋千AB的长为4m．12．（2022春•蓬江区校级月考）如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向320km的B处，以每小时40km的速度向北偏东60°的BF方向移动，距离台风中心200km的范围内是受台风影响的区域．（1）A城是否受到这次台风的影响？为什么？（2）若A城受到这次台风影响，那么A城遭受这次台风影响有多长时间？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）由A点向BF作垂线，垂足为C，在Rt△ABC中，∠ABC＝30°，AB＝320km，则AC＝160km，因为160＜200，所以A城要受台风影响；（2）设BF上点D，G，使AD＝AG＝200千米，∴△ADG是等腰三角形，∵AC⊥BF，∴AC是DG的垂直平分线，∴CD＝GC，在Rt△ADC中，DA＝200千米，AC＝160千米，由勾股定理得，CD＝＝＝120千米，则DG＝2DC＝240千米，遭受台风影响的时间是：t＝240÷40＝6（小时）．13．（2022秋•诏安县期中）如图，笔直的公路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，已知DA＝15km，CB＝10km，现在要在公路的AB段上建一个土特产品收购站E，使得C、D两村到收购站E的距离相等，则收购站E应建在离A点多远处？【答案】见试题解答内容【解答】解：∵使得C，D两村到E站的距离相等．∴DE＝CE，∵DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，∴∠A＝∠B＝90°，∴AE2+AD2＝DE2，BE2+BC2＝EC2，∴AE2+AD2＝BE2+BC2，设AE＝xkm，则BE＝AB﹣AE＝（25﹣x）km．∵DA＝15km，CB＝10km，∴x2+152＝（25﹣x）2+102，解得：x＝10，∴AE＝10km，∴收购站E应建在离A点10km处．14．（2022秋•建邺区校级期中）如图，在一棵树CD的10m高处的B点有两只猴子，它们都要到A处池塘边喝水，其中一只猴子沿树爬下走到离树20m处的池塘A处，另一只猴子爬到树顶D后直线跃入池塘的A处．如果两只猴子所经过的路程相等，试问这棵树多高？【答案】见试题解答内容【解答】解：设BD高为x，则从B点爬到D点再直线沿DA到A点，走的总路程为x+AD，其中AD＝而从B点