江苏省扬州、泰州、南通、淮安、宿迁、徐州六市2017届高三下学期第二次调研测试数学试题

江苏省扬州、泰州、南通、淮安、宿迁、徐州六市2017届高三下学期第二次调研测试数学试题宿迁市2017届高三第二次调研测试数学学科参考答案及评分建议一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．已知集合，，则▲．【答案】2．已知复数，其中为虚数单位，则复数的模是▲．【答案】3．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果是▲．纤维长度纤维长度频数[22.5，25.5)3[25.5，28.5)8[28.5，31.5)9[31.5，34.5)11[34.5，37.5)10[37.5，40.5)5[40.5，43.5]4（第4题）i←i←1Whilei<6i←i2S←2i3EndWhilePrintS（第3题）【答案】174．【答案】1805．100张卡片上分别写有1，2，3，…，100．从中任取1张，则这张卡片上的数是6的倍数的概率是▲．【答案】（或0.16）6．在平面直角坐标系中，已知抛物线上一点到焦点的距离为3，则点的横坐标是▲．【答案】27．现有一个底面半径为3cm，母线长为5cm的圆求：（1）的值；（2）的值．解：（1）法一：因为，所以，又，所以．……3分所以．……6分法二：由得，，即．①……3分又.②由①②解得或．因为，所以．……6分（2）因为，，所以．……8分所以，．……12分所以．……14分16．（本小题满分14分）BC1ACA1B1D(第16题)EBC1ACA1B1D(第16题)E求证：（1）DE∥平面B1BCC1；（2）平面平面．证明：（1）在直三棱柱中，四边形A1ACC1为平行四边形．又为的为的中点．……2分同理，D为A1B的中点，所以DE∥BC．……4分又平面B1BCC1，平面B1BCC1，所以DE∥平面B1BCC1．……7分（2）在直三棱柱中，平面ABC，又平面ABC，所以．……9分又，，平面，所以平面．……12分因为平面所以平面平面．……14分17．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，C为椭圆上位于第一象限内的一点．（1）若点的坐标为，求a，b的值；(第17题)OABCxy（2）设A为椭圆的左顶点，B为椭圆上一点，且eq\o(AB,\s\up7(→))EQ\F(1,2)eq\o(OC,\s\up7(→))，求直线AB的斜率(第17题)OABCxy解：（1）因为椭圆的离心率为，所以，即．①又因为点在椭圆上，所以．②……3分由①②解得．因为，所以．……5分（2）法一：由①知，，所以椭圆方程为，即．设直线OC的方程为，，．由得，所以．因为，所以．……8分因为eq\o(AB,\s\up7(→))EQ\F(1,2)eq\o(OC,\s\up7(→))，所以．可设直线的方程为．由得，所以或，得．……11分因为eq\o(AB,\s\up7(→))EQ\F(1,2)eq\o(OC,\s\up7(→))，所以，于是，即，所以．所以直线AB的斜率为．……14分法二：由（1）可知，椭圆方程为，则．设，．由eq\o(AB,\s\up7(→))EQ\F(1,2)eq\o(OC,\s\up7(→))，得，所以，．……8分因为点B，点C都在椭圆上，所以解得，，……12分所以直线AB的斜率．……14分18．（本小题满分16分）一缉私艇巡航至距领海边界线l（一条南北方向的直线）3.8海里的A处，发现在其北偏东方向相距4海里的B处有一走私船正欲逃跑，缉私艇立即追击．已知缉私艇的最大航速是走私船最大航速的3倍．假设缉私艇和走私船均按直线方向以最大航速航行．（1）（参考数据：，）领海AB北领海AB北(第18题)公海l解：（1）设缉私艇在处与走私船相遇（如图甲），依题意，．……2分在△中，由正弦定理得，．因为，所以．从而缉私艇应向北偏东方向追击．……5分ABC图甲在ABC图甲，解得．又B到边界线l的距离为．因为，所以能在领海上成功拦截走私船．……8分（2）如图乙，以为原点，正北方向所在的直线为轴建立平面直角坐标系．y公海领海AB图y公海领海AB图乙60lx船相遇，则，即．整理得，，……12分所以点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆．因为圆心到领海边界线：的距离为1.55，大于圆半径，所以缉私艇能在领海内截住走私船．……14分答：（1）缉私艇应向北偏东方向追击；（2）缉私艇总能在领海内成功拦截走私船．……16分19．（本小题满分16分）已知函数，，其中e为自然对数的底数．（1）求函数在x1处的切线方程；（2）若存在，使得成立，其中为常数，求证：；（3）若对任意的，不等式恒成立，求实数a的取值范围．解：（1）因为，所以，故．所以函数在x1处的切线方程为，即．……2分（2）由已知等式得．记，则．……4分假设．若，则，所以在上为单调增函数．又，所以，与矛盾．……6分若，记，则．令，解得．当时，，在上为单调增函数；当时，，在上为单调减函数．所以，所以，所以在上为单调增函数．又，所以，与矛盾．综合①②，假设不成立，所以．……9分（3）由得．记，，则．当时，因为，，所以，所以在上为单调增函数，所以，故原不等式恒成立．……12分法一：当时，由（2）知，，当时，，为单调减函数，所以，不合题意．法二：当时，一方面．另一方面，，．所以，使，又在上为单调减函数，所以当时，，故在上为单调减函数，所以，不合题意．综上，．……16分20．（本小题满分16分）设数列的前n项和为Sn，且满足：①；②，其中且．（1）求p的值；（2）数列能否是等比数列？请说明理由；（3）求证：当r

2时，数列是等差数列．解：（1）n1时，，因为，所以，又，所以p1．……2分（2）不是等比数列．理由如下：假设是等比数列，公比为q，当n2时，，即，所以 （=1\*romani）……4分当n3时，，即，所以，（=2\*romanii）……6分由（=1\*romani）（=2\*romanii）得q1，与矛盾，所以假设不成立．故不是等比数列．……8分（3）当r

2时，易知．由，得时，，①，②②①得，，……11分即，，即……，所以令d，则．……14分所以.又时，也适合上式，所以．所以．所以当r

2时，数列是等差数列．……16分数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）DAC事项考生在答各题答题要求1．本试卷题前认真阅读本注意事项及共4页，包含填空题DAC事项考生在答各题答题要求1．本试卷题前认真阅读本注意事项及共4页，包含填空题（第1题～第14题）、解答题（第15题～第20题）两部分。本试卷满分160分，考试时间为120分钟。考试结束后，请将本试卷和答题纸一并交回。2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用书写黑色字迹的0．5毫米签字笔填写在试卷及答题纸上。3．作答时必须用书写黑色字迹的0．5毫米签字笔写在答题纸上的指定位置，在其它位置作答一律无效。4．如有作图需要，可用铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚。BO（第21—A题）求证：．证明：连结OC．因为，，所以．……3分因为OCOD，所以．所以．所以△∽△．……8分所以，即．因为，所以．……10分B．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）设矩阵满足：，求矩阵的逆矩阵．解：法一：设矩阵，则，所以，，，．……4分解得，，所以．……6分根据逆矩阵公式得，矩阵．……10分法二：在两边同时左乘逆矩阵得，．……4分设，则，所以，，，．……6分解得，，，，从而．……10分C．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）相交于，两点，求线段的长．解：法一：将曲线（为参数）化为普通方程为．……3分将直线（为参数）代入得，，……6分解得，．则，所以线段的长为．……10分法二：将曲线（为参数）化为普通方程为，……3分将直线（为参数）化为普通方程为，……6分由得，或所以的长为．……10分D．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）设均为正实数，且，求证：．证明：因为均为正实数，且，所以，，．……8分所以．……10分【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）某乐队参加一户外音乐节，准备从3首原创新曲和5首经典歌曲中随机选择4首进行演唱．（1）求该乐队至少演唱1首原创新曲的概率；（2）解：（1）设“至少演唱1首原创新曲”为事件，则事件的对立事件为：“没有1首原创新曲被演唱”．所以．答：该乐队至少演唱1首原创新曲的概率为．……4分（2）设随机变量表示被演唱的原创新曲的首数，则的所有可能值为0，1，2，3．依题意，，故的所有可能值依次为8a，7a，6a，5a．则，