模型意识视域下小学数学课堂教学实践与思考

【摘要】《义务教育数学课程标准（2022年版）》提出核心素养具有整体性、一致性和阶段性，在不同阶段具有不同的表现，而“模型意识”是中小学阶段新增的核心关键词[1]，凸显了其在基础教育中的重要地位。文章尝试以“鸽巢问题”一课为例，引导学生经历完整的思考学习过程，通过感悟模型意识、建构模型意识、完善模型意识、应用模型意识，将知识间内在逻辑联系结构化、可视化地呈现出来，为解答各种同类变型难题提供思路，进而培养学生的模型意识，发展应用意识，提升学科核心素养。数学模型是指通过对问题情境进行抽象、概括，运用形式化的语言或符号，直观表达其中的数学規律，而模型意识主要是指对数学模型普适性的初步感悟，是形成模型观念的经验基础。培养模型意识是能够利用模型解决类似问题的策略及意识，其本质上是对知识、方法的迁移应用。模型意识的培育是使学生深刻体会并了解到数学和客观世界之间存在着密切联系的根本途径，数学学习只有进一步深入到“建模”意义上，才是一种真正实际意义上的学习。文章结合人教版六年级下册“鸽巢问题”一课为例，思考如何组织引导学生的思维活动，建立鸽巢问题模型，应用模型意识，灵活解决各类同型变式题，进而培养学生的逻辑分析能力。一、精读情境，铺垫孕伏，感悟模型意识孔子曰：“知之者不如好之者，好之者不如乐之者。”兴趣，是学习的强大动力。只有当学生对数学学习感兴趣、产生迫切需要的时候，才会产生学习内驱力，积极主动地投入到学习活动中。[2]通过创设合适的特定的情境，能引起学生强烈的兴趣，吸引学生的注意力，激发学生学习的积极性。教学的本质不是手把手教会学生知识，而在于唤醒学生的兴趣，自主学习。为了让学生对课堂知识感兴趣，教师可以根据学生的年龄及心理特征，结合他们已有的认知经验，设计各种各样的、适宜的、有趣的导入情境，以情境导入使学生更早、更快、更愿意进入课堂，激发学习愿望，使他们能够尽快有效地借助周围熟悉的事物，进入最佳的学习数学、理解数学的状态。在本课教学过程中，教师设计了以下情境来导入新课：请三位学生和教师一起互动玩“老鹰捉小鸡”游戏，游戏规则是：三位学生当“小鸡”，老师当“老鹰”，只有两把椅子，规定2秒的时间内，如果每只小鸡都能坐在椅子上，这样老鹰就捉不到他们，算学生们赢；如果没有椅子坐，就要被老鹰捉到，算教师赢。先让学生猜一猜谁会赢。创设这个情境，并没有让学生马上得出结论，而是分三个层次引导学生来解读情境，理解题意。（一）了解信息，主观猜测让学生阅读信息，根据游戏规则，结合生活经验，先猜一猜有可能哪一方会赢，然后说一说：“你是怎么想的？”大部分的学生都是凭借经验理解，“不管怎么坐，总不可能有人站在那边不坐等着输！”所以，大部分学生的猜想都是学生会赢。（二）游戏互动，认知冲突通过和教师互动玩游戏，请出三位学生当“小鸡”，老师当“老鹰”，给足小鸡充足的2秒时间，让他们先绕着椅子走一圈，然后坐下来，很自然地出现了有两位动作比较快的“小鸡”最先各自坐到了一把椅子上，眼看椅子坐满了，最后一只“小鸡”先是左右观望，然后急中生智，直接跑上前与其中一只“小鸡”挤着各坐一半的位置。这时，全班都笑了。（三）观察发现，说理揭谜教师直接请一位学生来说说：“你为什么笑了？”这位学生回答道：“我们赢了呀！”教师接着问：“那你有什么发现？”学生根据刚才的游戏互动过程解读分析，得出从最不利的情况考虑，最后这一只“小鸡”不可能站着不动等着输，那么就一定会出现至少有两只“小鸡”得坐在同一把椅子上，“小鸡”才能够赢。在游戏互动的过程中，通过模拟实践，与学生的直观经验“3位同学，椅子2把怎么够”相冲突。在“猜测—实践—思考”的过程中逐步理解了“总有”“至少”的含义，借助游戏，立足教学的起点，唤起学生的求知欲，让课堂教学变得更加有效。采用“读”游戏引入，引发学生的认知冲突，激发学生的好奇心、求知欲和探究欲。通过游戏，让学生亲身经历什么是“最不利”。从“最不利”的角度来思考问题，体会到无论最后一位学生往哪坐，总有一把椅子得坐两人，从而理解了“总有”的意思，为后面利用“假设法”进行证明作铺垫。二、动手实践，化抽为直，建构模型意识著名心理学家皮亚杰曾经这样指出：“思维从动作开始，切断了动作与思维之间的联系，思维就得不到发展。”由此可见，动手探究不仅为学生提供生动形象的教学情境和感性素材，还能培养学生的自主探究、动手操作能力，学会用实践探究的方法去解决实际问题，化抽象为直观。让学生在活动中体验，在体验中发现，在发现中实践，在实践中创新。任何知识与技能，要让学生认同、理解和掌握，都需要通过学生自身的内化来实现。在本节课中，通过设计小组分工合作：（1）摆一摆：把4支铅笔放进3个笔筒里，有哪几种情况？（2）记一记：用画图、分解数或填表格来正确记录各种情况。（3）比一比：横向对比每一种摆法，你能得出肯定的结论是什么？纵向对比各种摆法，你发现了什么？（4）把发现的结论记录下来，小组内交流。汇报反馈方法：汇报反馈发现：横向对比发现：生1：3个笔筒里一定有一个笔筒里的笔是最多的，有的是4支，有的是3支，有的是2支。生2：一定有一个笔筒里的笔是最少的，是0支笔。（最少的都是0支，研究没有意义。）纵向对比发现：最多的笔筒里最少可以放2支笔。请用一句话概括你的结论：3个笔筒里一定有一个笔筒里的笔是最多的，最多的这个笔筒里最少可以放2支笔。以上列举的几种方法其实都是用枚举法，只是枚举的形式不一样而已。其中方法四用数字表示更简单、直观，便于比较，让人看了一目了然。对于这几种方法，学生汇报完成之后，教师通过追问：“它们的异同点与优缺点是什么？”接着课件演示呈现直观的操作与记录方法，根据学生的汇报着重圈出笔最多的笔筒，让学生尝试正确表述结论。再接着质疑：“谁能说说最多的这个笔筒里笔最少的情况，该怎么分？”学生根据数形结合，在说的过程中构建最不利情况分法的模型，即假设平均分法，发展学生的逻辑思维。通过学生的动手实践，亲历分的过程，通过观察对比，感知结论的生成过程，积累对“鸽巢原理”的活动经验。这既可有效突破学习的难点，又可直观地建立“鸽”和“巢”之间关系的表象，为“假设法”的引入和理解打下基础。三、抽丝剥茧，归纳概况，完善模型《新課标》中明确指出：“要让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并对其进行感悟和应用的过程。数学课程的内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的，这些内容要有利于学生主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理和交流。”[3]这一理念说明了学生的探究经历和对数学发现的体验是数学学习的重要途径。学起于思，思源于疑。在教学中，教师要提供素材启发学生多思考，鼓励学生质疑问难，提出自己的独立见解，在逐步分析概括中，灵活构建数学模型，完善数学模型。片断一：概括规律，初步建模。在这节课中，以学生熟知的4支笔、3个笔筒作为操作素材，让学生在自主探索中理解“鸽巢原理”，构筑直观空间，学生经历了一个初步的推理验证过程，培养了逻辑思维能力。那么，在枚举法的基础上，学生经过说理，从大量的感性认识中逐步抽象出数学概念，能够熟练掌握如何尽快找到最不利情况，也就是假设法。此时，教师可引导学生思考：在假设法的情况下，用算式又该怎么表示？谁能边说边用算式表达呢？重点说清楚商和余数分别表示什么？之后延伸问题：如果是5支笔放进4个笔筒呢？6支笔放进5个笔筒呢？7支笔放进6个笔筒？……那么100支笔放进99个笔筒呢？你发现了什么？初步构建鸽巢问题模型。片断二：变化情境，完善模型。如果把5只鸽子放进3个笼子里，总有一个笼子里至少有2只鸽子，为什么呢？如果有6只鸽子呢？你发现了什么？通过直观的操作及课件演示，引导学生理解按最不利的情况，余下两只鸽子也要平均分。把7本书放进3个抽屉，不管怎么放，总有一个抽屉里至少放3本书？为什么？如果是10本书呢？11本呢？你发现了什么？能用一个算式概括这么多种情况吗？通过关键处的追问质疑，引发学生的思考，由于有操作的经验，学生很快就发现余数还要再次平均分，也就是至少数等于商加1，而不是商加余数，有效突破本节课的难点，让学生亲历逐步构建完善鸽巢问题的模型。四、慧达应用，举一反三，迁移模型迁移、应用、表达等都是学生学习过程中的重要环节，也是学生理解知识、形成技能、发展素养的必经之路。“鸽巢问题”变式灵活多样，在具体的问题情境中，教师要引导学生学会将问题和模型建立联系，区分什么是“鸽”，什么是“巢”。这个过程实质是学生经历将具体问题“数学化”的过程，是从复杂的现实情境中应用最本质的数学模型的过程。这样的过程，可有效地培养学生的逻辑思维能力，尤其增强学生的模型意识，学会运用已获得的模型去分析解答的能力。例如设计如下练习：1.13位老师，他们中至少有2个人属相相同，为什么？设计此题的本意是让学生学会分析时突出与“鸽巢问题”的联系，找出“巢”是什么？“鸽”是什么？当“巢”隐藏时，需要进行联想、寻找。这样的练习，培养学生对知识的迁移和建模的能力。2.书社准备给六年级一班的40位同学分书，要求每位同学都要分到书，至少有1位同学分得两本书，那么应该准备几本书？通过分析，学生发现40位同学可以看成“巢”，书本可以看成“鸽”，那么物体不知道的情况下该怎么办？逆向推理，假设每个同学先分得1本书，再选择其中1位同学再分一本书，这样就满足至少有1位同学分得两本书，也就是40×1+1=41。精心设计练习，层层递推。从简单应用到逆向推理，既巩固所学知识技能，又实现对学生思维的延伸，让学生学会熟练应用模型进