高考试题争议集

高考数学败题集

我国的高考经历了艰难的历程，在这些历程中，出现了许许多多成功、优秀的试题，这在国

家公布的“评价报告”、“分析报告、“试题分析”等文中已祥有阐述阐述，同时各地的期刊也不时

发表许多专家对优秀试题的领悟与见解，这些都对中学教学及考试起了不可忽视的作用.另一方

面，对于命题者而言，纵观高考试题，可以发现，每换一帮人命题，总有一些“重蹈历史覆辙”

的不尽人意的试题，这说明仅仅知晓什么样的试题优秀而去照着这个方向模拟、研究是不够的，

还必须知道“有哪些经验教训”；同时由于教师职业正在由单纯的教书向教书育人及身兼研究者进

行转化，因此对于中学教师及应试的考生而言，考的内容重在把握命题的“度”，不考的内容也需

要一清二楚，而这些又得通过一定的教训及得出的一些经验来启示.因此，笔者对历年高考试题

进行了分析，搜集而成高考数学败题集.

高考数学试题随着国家政策的调整几度沉浮，而试题的成败又取决于考后的评价，就评价而

言，高考试题走过了越来越受社会关注、越来越受社会评价影响的轨迹：原来的高考试题，社会

关注评价比较少，因而试题评价形式以批评与自我批评为主，这一情况延续到1983年，虽然因为

文化大革命而中断了些年；之后的1984——1993年，试题评价有了社会人员的参议，但仍然以国

家公布的为主；1994年后，由于社会评价的参议，许多评价指标进行了量化(如：难度、标准分、

区分度、信度等)，又随着社会参与评价幅度的增大，1999年，国家将评价报告改成“分析报告”，

2002年定下“自主招生”的政策；2003年，高考试题进入以省市为主的自主招生阶段，并逐步向

“高校自主招生”转移，相应的评价中心也在逐步向参加高考的高中转移，其中的师生逐步成为

评价的主角，而这些评价无疑也会影响今后命题方向，同时更直接的影响着平时教学的检测方向

及力度.

这样，我们就更有必要对高考试题中的败题加以留意总结了.

一、1983年前的高考数学败题

【说明】这一阶段高考数学试题评价是以批评与自我批评为主,因此,我们也就国家公布的没

有提及优秀的试题来说明.

(1951—、13.)系数是实数的一元三次方程，最少有几个根是实数，最多有几个根是实数？

答：最少是一个，最多是三个.

【评析】该题根据实系数复数方程虚数根成对出现得到的结论，但这一结论在当时并没有在大

范围的教材中出现.

(1952二、1.)解方程x'+5x3-7x2-8x72=0.

解：左式=(x'+5x'-6x2)-(X2+8X+12)=(x+6)[x2(x-1)-(x+2)]=(x+6)(x1-x2-x-2)

=(x+6)[(x5-2x2)+(x2-x-2)]=(x+6)(x-2)(x)+x+l)=0可得原方程的四根为：

,~-1+V3z-1—V3Z

x

i=-6,x2=2,X3=-,x4=--

【评析】该题分解因式的技巧性过强，多数学生不能完成，竞赛性质太浓

1963—5.根据对数表求23.28101的值.

解:lg23.28-101=-1011g23.28=-101x1.3670

=-138.0670=139+1-0.0670=139.9330

Igx=0.9330,x=8.570

23.28-101=10~139x8.570=8.570x10"139.

【评析】对数值中的国符号，当时是否应该、有必要引入中学还在讨论当中，高考就出现了这

样符号.结论：研究及有争议的内容不能在试题中出现.

1965附加题（1）已知a,b,c为实数，证明a,b,c均为正数的充要条件是

w+6+c>0

<+be+ca>0

abc>0

（2）已知方程*3+Q,2+夕*+1=0的三根4/,7都是实数，证明a,民/是一个三角形的三边

的充要条件是

J/?<0,g>0/<0

[p'>4pq—8r.

1期：（1）条件的必栗性是显然的，因为已知〃>0力

所以立即可得。+6+c>0,a0+/?c+ca>0,abc>0.

下面证明条件的充分性：

设a,Z7,c是三次方程X3+px2+qx+r=0的三个根，则由根与系数的关系及已知条件有

一〃=。+/?+<?>0,

q=。。+儿+CQ>0,

-r=abc>0,

此即p<0,q>04v0.由此即可知三次方程%3+px~+qx+r=0的系数正负相间，所以此方

程无负根，即方程根均非负；又由abc>0可知，方程无零根，故。>0/>0,c>0.

（2）由（1）的证明可知，均为正数的充要条件是p<0,q〉0/<0.于是问题转化为证

明a,为三角形三条边的充要条件为p'>4pq-8r

条件的必要性：

若a,/?,/为三角形的三边，则由三角形的性质必有

a+/7〉y,尸+/>a,y+a>（3.

于是2+1一/>0,尸+/一7>0,7十=一尸>0.

由此可得(a+^-/)(/?+/-a)(y+a-/?)

=(-P-2a)(_p-213)(-p-2y)

=-(P+2axp+20)(p+2y)

=Tp'+2(a+P+y)p2+4(PY+ya+aP)p+8aPy]

=-(p3-2p3+4〃q—8r)

=p3-4pq+8r>0

即p3>4pq—8r.条件的充分，性：若p，>4Pq-8r,贝Up3-4pq+8r>0,

一(a+£+y)3+4(a+夕+y)(a。+勿+ya)-8apy>0,

(a+0+/)(2妙+20y+2ya-a2-/72-/2)-8cr/7/>0,

[a+(£+7)][-(£-y)2+2a(£+为一/卜8a/7y〉0,

一a，+4(夕+7)+a(夕一7)2一(£+7)(£一为2>0,

。2(一。+夕+/)+(力一/)2(二一/一/)>0,

(一a+夕+y)[a2—(£一7)2]>0,

(-a+/?+/)(a+夕一/X。-/?+/)>0.

此式中至少有一因式大于0,今设一a+/?+/>0,则必有

(a+J3-y)(a一2+乃>0.

如果2+P—y<0,cr一1+/<0,两式相加得2。<0,即a<0,此与a>0相矛盾

故有一。+6+7>(),a+1一y>+/>0,此即

B+y>a,

<a+/3>y.

a+/>/，

此即a,/?,y可作为一个三角形的三条边.

2

综上所证可知，方程/+pX+gx+r=0的三根a,尸为一个三角形的三条边的充要条件是

p<0,q>0,厂<0

<

p3>4pq—8r.

【评析】这个试题以附加题形式出现，难度较大，但也不能大到无一人(甚至参加国际数学竞赛

的学生)能作上程度.结论：试题不能无线拔高.

(1977北京文4)不查表求sinl05"的值.

解：sin105°=sin75°=sin(300+45。)=应:S

【评析】当时，并没有要求记特殊角三角函数值，所以题虽然不难，但会的人不多.

2cos6—sin2夕90°—0.

(1977年福建理科2(2)题)证明:--------------=坟飞2------)

2cos。+sin2。’2

2cos^(1-sin0)l-sm。1-cos(90-0)2/90-6、-、

i止：左边=---------------=--------=----------------=fg-(-------)=右边4t.

2cos^(l+sin0}1+sin。1+cos(90°-0}2

(1977年河北试题第3题).证明：———n2a+l——=1若1+工.

1+cos2a4-sin2a22

、丁...2sina-cosa+sin2a+cos2a(sina+cosa)2

证：左边二----------------------------=----------------；----

2cosa+2sinacosa2cosa(cosa+sina)

sina+cosa11.

------------=—tga+—二右边

2cosa--22

IT7T

sin(—F。)cos(—F。)2

(1977年上海理科第1(4)题)求证：——----+——-----=------

sin(生一6)cos(--^)cos2。

44

717t7TTF

sin(+0)cos(-0)+cos(+0)sin(——0)

证：左边二一--------------------------—

7TIT

sin(-0)cos(——0)

44

.兀

sm-..

_2]_2=右边

sin(--0)cos(--0)-cos20c°s2°

442

【评析】这些该题本身不难，但三角证明题儿地都出现证法太多，标准不易统一，给阅卷带来非

常大的难度.结论：三角证明一•般不作为证明题出现.

(1977年福建理科第3题)在半径为R的圆内接正六边形内，依次连结各边的中点，得一正六边

形，又在这一正六边形内，再依次连结各边的中点，又得一正六边形，这样无限地继续下去，求:

(1)前n个正六边形的周长之和S,“(2)所有这些正六边形的周长之和S.

解：如图，半径为R的圆内接正六边形的周长为6R,

设C为AB的中点，连结OC,0B,贝"OCJ.AB.

.-.0C=CD=/?.sin6O0=—/?.

2

6

第二个正六边形的周长=

2

同理可得

第三个正六边形的周长=6R《J)2,第四个正六边形的周长=6R-(J)3,

22

于是可以得到一个表示正六边形周长的数列：

6R,6R-.67?.(―)2,6R-(—)3,...6R•(—

2222

①前n个正六边形周长的和

S=6/?+6/?—+6/?-(―)2+•■•+67?=67?ri+—+(—)2+•••+(—)"-1]

222222

1-(-)八

=6R-------J=12(2+V3)[l-(—

,V32

1-------

2

②所有这些正六边形周长的和5=6R12^=12（2+6）/?.

.V32-73

1-------

2

【评析】从题本身上看，该题是一个好题，但是其答案在全国引起争议——归纳出的结论到底是

否要证明是等比数列？即使不证明也要体现有等比数列的过程.从该题对以后影响是，出现了用

式子表达等比、等差数列热潮.

（1977年福建文科第4题）.求抛物线=9x和圆x2+,「2=36在第一象限的交点处的切线方

程.

解：解方程组

2

v_Qv..........⑴

<",（1）代入（2）得F+9x—36=0,

x2+y2=36......（2）

x=3,x=-12（不合题意）将x=3代入（1）,得y=3Ji（仅取正值）,

LQ

在第一象限的交点为（3,36）从抛物线V=9x得p".

二过点（3,3A/3）的抛物线的切线方程是=g（x+3）,即然一2有丁+9=0.

过点（3,3g）的圆的切线方程是3x+3^y=36,即x+后y—12=0.

【评析】该题的问题是表述不清：有人认为只求抛物线的切线方程，也有人认为只求圆的切线方

程，答案倒认为是求圆和抛物线的方程.

（1977年黑龙江第2题第（1）问）.计算下列各题：Vm2-2ma+/.

解：当用2-2ma+a2=m-a.当m<aH't,y/m2-2ma+a2=a—m.

【评析】该题引发了分段表示法的争论，结论，如果是分段出现的，结果一般用分段函数形式给

出

（1977年江苏第1（5）题）把直角坐标方程（*-3）2+尸2=9化为极坐标方程.

x2-6x+y2=0,

।m,P2-6pcos0=O,

解：原万程可展开为-：

p=0或p=6cos0

即p=6cos0

【评析】该题从•般情况下考虑(直角坐标系的原点为极点，x轴为极轴且长度单位不变)，但没

有交代清楚一般情况下，以致于该题出现的情况是：一般的学生答的好，程度很高的如参加竞赛

的学生反倒没有答好！属于交代不明出现的失误.

(1977年上海理科第6题)已知两定点A(-4,0)、B(4,0),一动点P(x.y)与两定点A、

B的连线PA、PB的斜率的乘枳为.求点P的轨迹方程，并把它化为标准方程，指出是什么曲线

4

解：直线PA、PB的斜率分别是

上曲题意上.上=」

x+4x-4x+4x-44

Iv2

/+4y2=16其标准方程为二+二1,

164

故此曲线为椭圆

【评析】该题解答有误，应该加上条件(x#±4,相应曲线为以(±26,0)为焦点、以8为长

轴的椭圆，去掉长轴的两个端点).结论：说明轨迹、图形的问题要保证惟一及等价.

(1979年文科理科第四题)叙述并证明勾股定理.

证：略.

【评析】这个题当时答案是用坐标法的距离公式证明的，但是距离公式是由勾股定理推导出的，

因而形成“因为A……所以A”的循环论证错误，而得出一般用拼图法得到；拼图法能否算作证

明还在争论中，但当年多数省市按错对待.结论：数形结合的方法得到的结论不能以证明题的形

式出^♦

a

(1980年理科第八题)已知0<a<n,证明：2sinaWc/一并讨论a为何值时等号成、工.

1+cosa

解：即证：2sin2aW------------.两端乘以sina,问题化为证明2sinasin2a41+cosa.而

sina

2sinasin2a=4sinacos2a=4(1-cos2a)cosa=4(1-cosa)(1+cosa)cosa

所以问题又化为证明不等式(1+cosa)[4(1-cosa)cosa-1]<0.

(1+cosa)-4|COS6Z--I40.•・不等式得证.

0<a<n,等号成立当且仅当cosa--=0即a=60°

2

【评析】这些该题本身不难，但三角证明题出现证法太多，标准不易统一，给阅卷带来非常大的

难度.另一方面，这一答案给出的分析法证明格式也不对，一般分析法证明题格式“要证A,只要

证B”形式，B是A的充分不必要条件即可，而不是由A导出B.

(1982年文科第七题)已知定点A,B且AB=2N,如果动点P到点A的距离和到点B的距离

之比为2：1,求点P的轨迹方程,并说明它表示什么曲线.

解选取AB所在直线为横轴，从A到B为正方向，以AB中点0为原点，过0作AB的垂线为纵轴，

PA_2J（x+a）2+.2_

•J-------=_,・./,=2.

PB1—+.2

则A为（-a,0）,B为（a,0）,设P为（x,y）.（x+a）?+y?=4[（x-a）2+y2],

3x~—IQax+3y~+3a"-0.

因为x\y’两项的系数相等，且缺xy项，所以轨迹的图形是圆

（1983年文科第九题）如图,已知两条直线L:2x-3y+2=0,L2：3x-2y+3=0.有一动圆（圆心

和半径都在变动）与L”L都相交，并且L,L被截在圆内的两条线段的长度分别是定值26,24.

求圆心M的轨迹方程，并说出轨迹的名称.

解：设圆心M的坐标为（x,y）,圆的半径为r,

点M到Li,L?的距离分别为di,h

根据弦、弦心距、半径三者之间的关系，有

,2/26、22

4+（彳）~=r，

得〃一个=52.

根据点到直线的距离公式，得

.I2x-3y+21.13x-2y+31、匕*

4=-------金—=----户——代入上式，

Vl3V13

得方程(2*-理+2-_*-g+3)2=25

V13V13

化简得—+2x+1-y2=65.即=

6565

【评析】答案说法有误：说圆应为以…为圆心，以…为为半径的圆,说双曲线说明以…为焦点…

为实轴长的双曲线.

二、1984一—1993年高考数学败题

【说明】这段时间，考试的目的是考察中学数学的基础知识、基本技能，命题的人员以中学教

师为主，为减少败题的出现机率，采取了科研测试方法（科研测试题从1988年暂停,1992年恢复）,

因此，这一阶段的败题多是不复合教学大纲的试题.

2

（1984年理二2）函数log05（x+4A-+4）在什么区间上是增函数？

答：x<-2.

【评析】该题用到了复合函数单调性，但这•内容在当时教学大纲中明确不要求.

（1984年理五）设c,d,x为实数，cWO,x为未知数.讨论方程log/x=-l在什么情况下

（cv—-）

X

有解.有解时求出它的解.

解：原方程有解的充要条件是：

x>0,(1)

d八

ex~\—>0,(2)

X

d八

CXH--。0,(3)

X

(cx+—)-，=X⑷

X

由条件(4)知x(cx+—)=1,所以c/+d=1♦再由c*0,可得

X

又由x(cx+—)=1及x>0,知cx+《>0,即条件(2)包含在条件(1)及(4)中.

XX

再由条件(3)及x(cx+")=l,知XW1.因此，原条件可简化为以下的等价条件组：

X

x>0,(1)

<xwl,(5)

由条件(1)(6)知上《>0.这个不等式仅在以下两种情形下成立：

c

①c〉0,l-d〉0,即c〉0,d<1;

②c<0,l-d<0,即c<0,d><

再由条件(1)(5)及(6)可知c/1-d

从而，当c>0,d<l且cwl—d时，或者当c<0,d〉l且cHl—d时，原方程有解，它的解是

【评析】该题即从两个层次考查了等价转化，中间又涉及了分类讨论，难度比较大，是一个考

查能力的试题，与当时考查“双基”要求不符：结论：考查数学思想从深度及广度同时考查时，

不能在某一思想上究得太深.

(1984年理六2)求经过定点M(1,2),以y轴为准线，离心率为，的椭I员I的左顶点的轨迹方

2

程.

解：因为椭圆经过点M(l,2),且Ay轴为准线，所以椭圆在y轴右侧，长轴平行于x轴.设椭圆

左顶点为A(x,y),因为椭圆的离心率为工，所以左顶点A到左焦点F的距离为A到v轴的距离的,，

22

3r

从而左焦点F的坐标为(爹，y).设d为点M到y轴的距离，贝河=1.

(手―1)2+。-2)2=(12,即

根据上\MF」I=上1及两点间距离公式,可得22

d22

9(x--)2+4(y-2)2=l

【评析】该题在当时•改习惯于教材上直接法求轨迹方程的步骤，被认为是对教学大纲的偏

执理解，没有考查基础知识与基本技能，所以当作一种研究性的材料还可以，并最终诞生了相关

点法的应用.至于到了考查能力时，它则又成为一道好题，那是十年之后的事情了！

（1984年理七）在aABC中，ZA,ZB,NC所对的边分别为a,b,c,且c=10,

cos/IA4

-2=2=2,P为^ABC的内切圆上的动点.求点P到顶点A,B,C的距离的平方和的最大值V

cosBa3

最小值.

解：由竺4=2,运用正弦定理，有

cos3a

cosAsinB

----=-----sinAcosA=sinBcosBsin2A=sinIB,因为A#B,所以2A=n-2B,即

cosBsinA

TT

A+B=—♦由此可知△ABC是直角三角形♦由c=10,

2

—=—,a2+h2—c2以及o>b,b>0可得a=6,/?=8.

a3

如图，设AABC的内切圆圆心为0、切点分别为D,E,F,则

AD+DB+EC=1(10+8+6)=12.但上式中

AD+DB=c=l0,Y

所以内切圆半径尸EC=2.

如图建立坐标系，

则内切圆方程为：

(x-2)2+(y-2)2=4

设圆上动点P的坐标为(x,y),则

S=IPA\2+\PB\2+\PC\2

2222

=(x-8)2+/+x+(y-6)+x+y

=3x2+3y2-16x-12y+100

=3[(x—2>+(y-2)2]-4x+76

=3X4-4X+76=88-4X.

因为P点在内切圆上，所以0WxW4,

S局火值=88-0=88,S鼠小伍=88-16=72.

解二：同解一，设内切圆的参数方程为

x=2+2cosa

(0<a<2兀)，从而5=1PAI2+1PBI2+1PCI2

y=2+2sina

=(2cosa-6)2+(2+2sina)2+(2+2cosa)2+(2sina-4)2

+(2+2cosa)2+(2+2sina)2=80-8cosa

因为0Wa<2乃，所以S&上依=80+8=88,

S最小位=80-8=72.

【评析】该题是对知识的大综合，对于学生而言难度较大，而且就1984年的高考试题，解答

题基本上是题题设防、题题堡垒，从整体上脱离了中学教学的实际.

(1984年文五)把1-Isinz2a-sin2Q-cos4a化成三角函数的积的形式(要求结果最简)

解：原式=(1一sin2仗一asin'2a-cos4a

=cos2p-sin2acos2a-cos4a

=cos2p-cos2a(sin2a4-cos2a)

=cos2p-cos2a

=(cosp+cosa)(cosp-cosa)

B+aB-a、/0+a.P-a

=(2cos---cos----)x(-2sin----sin----)

2222

=sin(a+p)sin(a-p)

【评析】当时三角式最简没有明确什么什么样算最简，这一名次的提出具有超前性，对于文

科生更感不易，但它引领了一个各种化简结果最简的研究方向.结论：研究方向不能替代仅仅那

么一点时间高考试题！

(1985年全国文科第四题)证明三角恒等式

3

2sinx+[sirT2x+5cos,x-cos3A-cosx=2(1+cos*9x)

证：左边=2sin4x+3sin2xcos2x+5cos4x-(4cos2x-3cosx)cosx

=2sin4x+3sin2xcos2x+cos4x+3cos2x

=(2sin2x+cos2x)(sin2x+cos2x)+3cos2x

=2sin2x+cos2x+3cos2x

=2+2cos2x=右边

【评析】三角证明题不宜作为大题考查，这是几年前的经验，该题重蹈了历史覆辙.1988年的

文科数学试题第三题是“证明cos3a=4cos3a-3cosa”,1989年全国理科19文、科20题“证

明：tg--tg-X=—9把ein？x一”继续重蹈历史覆辙！

22cosx+cos2x

(1986年理文科一(6)题)设甲是乙的充分条件，乙是丙的充要条件，丙是丁的必要条件，

那么丁是甲的()(A)充分条件(B)必要条件

(C)充要条件(D)既不充分也不必要的条件

答案D

【评析】该题仅仅说了甲是乙的充分条件，没有说是否必要，因此该题的叙述不严格.这一

不足，在以后命题中加以了改进，并渗透到平时教学中.

(1988年全国理科、文科一14)假设在200件产品中有3件次品，现在从中任意抽取5件，

其中至少有2件次品的抽法有()

(A)种⑻《GO+GO种©C菰一种(D)。£一。匕二种

答案B

【评析】该题不难，但是用符号而不用数值表示过多的限制了考试的思维，当年引起专家争

议.随后的再实验，用事实说明了“这种用符号表示的题要么太难，要么太易，还是以数值表示

比较好！”

(1989年全国理22、文23)已知a>O,a工1,试求使方程loga(x-aXr)=log..(x'-三)有

解的k的取值范围.

解：由对数函数的性质可知，原方程的解x应满足

(x-ak)2=x2-a2,(1)

<x-ak>0,(2)

X2-a2>0.(3)

当(1),(2)同时成立时，(3)显然成立，因此只需解

(x-ak)2=x2-a2,(1)

<

x-ak>0,(2)

由(1)得2kx=a(l+k2)(4)

当k=0时，由a>0知(4)无解，因而原方程无解.

当kr0时，(4)的解是

x=-^1+k—.(5)把(5)代入(2)，得上丑->k.

2k2k

解得：-8<k<-l或0<k<L

综合得，当k在集合(-8,-1)。(0,1)内取值时，原方程有解.

【评析】该题从题本身而言是•个好题，但是该题在当年许多学校已经练习过，作为高考试

题，照搬原题是不适当的.

(1989年上海14)两排座位，第一排有3个座位，第二排有5个座位，若8名学生入座(每

人一个座位)，则不同的坐法种数为()

A,CO：Co；B.PZ'CO^oC,oOD,q'O

答案：D

【评析】该题是对1988年全国214题的延续再实验，事实说明“排列组合问题结果这种用

符号表示的题要么太难，要么太易，还是以数值表示比较好！而且这种命题从方式上也限制了学

生的思维”

(1990年全国理科第9题、文科11题)设全集I={(x,y)lx,yGR),集合M={(x,y)l匕^=l,x、

x-2

y£R},N={(x,y)lyHx+l,x、y@R},那么()

A,0B,{(2,3)}C,(2,3)D,{(x,y)ly=x+1}

【答案】B

y—3

【评析】该题基本上照搬了1986年上海理科第20题:若全集U={(x,y)lx、yCR},A={(x,y)l2—=1,

x-2

x、yCR},B={(x,y)ly=x+l,x、yGR}，则CuACB是()A,CuAB,BC,0

D,{⑵3)},高考试题照搬应该不是件好事.

(1991年全国理23题)已知48CC是边长为4的正方形，E、F分别是48、AZ)的中点，GC垂

直于A8CO所在的平面，且GC=2.求点8到平面EFG的距离.

解：如图，连结用、FG、EF、BD、AC.EF、BM别交AC于H、0.因为//醍正方形，E、

尸分另U为4腑』为勺中点，故EFI1BD,〃为月份勺中点.

加不在平面无心上.否则，平面加7和平面相切重合，从而点G在平面的""上，与题设矛

盾.

由直线和平面平行的判定定理知员以平面EFG,所以他和平面区％的距离就是点屏I平面区电

的距离.

•••BD1AC,

EFLHC.

CC_L平面4/力,

EFLGC,

EFL平面HCG.

•••平面£/%!.平面〃CG,，送这两个垂直平面的交线.作/7交〃61于点儿

由两平面垂直的性质定理知OKI平面EFG,所以线段0K的长就是点&到平面EFG的距离.

•••正方形"四勺边长为4,(7(9=2,

AC=4V2,H0=41,ffC=3y[2.

在中，依J(3行丫+22=后.

由于Rt△^WRtA应屹有一个锐角是公共的,故Rt△HKOs△HCG.

,“HOGCV2x22VH

HGV2211

2VH

即点8到平面用电的距离为

11

【评析】该题作辅助线太多，难度过大，是历年立体几何题少见的难度；但它的出现，将中学

教学的“距离”引向以点面距为核心的研究上，就当年而言，此题与考查双基的思想不符.

（1991年全国理科25题）已知〃为自然数，实数解关于x的不等式

1一(一2)〃

n2

logaX——log/x+1210g尸x+・・・+〃(n-2)'log??x>10g.,(x-a)

3

解：利用对数换底公式,原不等式左端化为

・陛J+…+〃(-2尸"也「=[1-2+4+...+(-1)"-

log/-4•1°曳4+12

k)g一~优

log“alogfl

']log/=1-(-2)"io/]故原不等式可化为1二(-2).io-x>1-(-2)"iog"(，-a).①

333

1一（一2）"

当〃为奇数时，（）＞0,不等式①等价于logaX>log,"-a).②

3

x>0

x>0x>4a

因为公1,②式等价于4一〃>0

x~=<\x\>4a1+J1+4a

2<x<--------------

x>x-ax2-X-£Z<022

E人1-71+4a.1+J1+4〃44a

因为----------<0,---------->------\[a,所以，不等式②的解集为

222

..I-1+Jl+4a.

[x\yja<x<----------------}.

2

当〃为偶数时,―-~~—<0,不等式①等价于log">log«(x'-a).③

3

x>0x>0x>y[a

2

因为a>l,③式等价于＜x-«>0<=><|x|>4aO\1-J1+4a或

2x<----------

x<x-a_x_Cl>02

X>y[a

宜工1—J1+4a,、1+J1+4aV4^r~

1+Jl+4a因为----------<0,--------->=7a,

x>----------22---------2

2

所以，不等式③的解集为3匕匕如细）.

2

1+J1+4a、

综合得：当"为奇数时，原不等式的解集是｛x/JZ<X<

1+J1+4a}

当〃为偶数时，原不等式的解集是JIx>

2

【评析】该题照搬了当年湖北黄冈、河北辛集中学及北京海淀区的模拟试题，包括数值都没

有变化.

1

（1991年三南高考数学第24题）设函数f（x）=x?+x+—的定义域是[n,n+l]（n是臼然数），那

2

么在f（x）的值域中共有个整数

【答案】2n+2

【评析】这是当年希望杯数学竞赛的一道数学试题，在高考中出现而且仍然以填空题出现，

有照抄之嫌.

（1992年三南第14题）设数列｛aj是正数组成的等比数列,公比q=2,aia?……a3o=23°,那么

a336a9…230=（）

A,210B,220C,216D,215

【答】B

【评析】该题运算量比较大，也是希望杯竞赛中一个非常类似的题，在还没有将运算能力当

作一种能力考查时，出此题显然违背了考查“双基”的初衷.

三、1994-----2002年高考数学败题

【说明】该阶段，高考内容上以《考试说明》为准绳，目的逐步变化成“为大学选拔新生服务

的选拔性能力考试”,命题的人员也逐步变化为以高校为主，出台了许多量化指标，该阶段的败题,

主要体现为预估难度（考试说明的规定难度）与实际难度（实际分数）不符，这一原因现在多数

专家认为是高校教师不了解中学教学的实际所致.

（1994年全国理文23题）如图，已知是正三棱柱，。是AC中点.

⑴证明力8〃平面。8Q；⑵假设求以8cl为棱，C8Q为面的二面角。

的度数.

【解答】⑴证明：466-/1%是正三棱柱，..・四边形

B\BCG是矩形.连结B6交BC、于E,贝IB,E=EC.连结DE.在△

/8C中，-：AD=DC,.-.DEIIABL又而（Z平面。8C,DEU平面

DBCx,H平面瓯.

（2）解：作DFLBC,垂足为F,则〃尸1面RBCC、,连结

EF,则即是勿在平面笈8s上的射影.■：AB^LBQ,由（1）知仍/.•.血1雨，则阳1所，

.1/分尸是二面角a的平面角.设431,贝是正三角形，，在口△死尸中，

2

DF=DC,CP-DCcos0工.取比中点G.•••吩£4二5C在Rt△BEF中，EP=BF-GF,

44

Q|Q1IQrAr-i

入BF=BC-FC=±，G打上，：.EF=土上，即EFN—.：.tgN施尺廿一=冬=1.：N原户45。.故

44444EF址＞

T

二面角a为45°.

【评析】该题作辅助线太多，难度过大；与当年的大环境有关：一、当年出台《考试说明》，明

确数学高考考查的第一能力是计算能力；二、当年形成了立体几何的研究热潮.但一次性将能力

拔高到这种程度，是考生难于适应的.结果出现与《考试说明》要求不符的实际情况.

（1994年上海18）计划在某画廊展出1（）幅不同的画，其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画，

排列•行陈列，要求同•品种的画必须连在•起，并且水彩画不放在两端，那么不同的陈列方式

有（）种

A,P：B,q・P：C,C；・白・片D,g・8・65

【答】D

【评析】这种排列组合用符号表示的试题在全国1988年已经有了不宜出的结论，它再次重蹈

了历史覆辙.

（1996年全国理22、文23）如图,在正三棱柱中,EGBB”截面A/C，侧面

AC,.(I)求证：BE=EBi；

（II）若求平面4EC9平面48c所成二面角（锐角）的度数.

注意：在下面横线上填写适当内容，使之成为（I）的完整证明，并

解答（H）.（右下图）

（I）证明：在截面4EC内，过E作EGLAC，G是垂足.

①_______________________________________

.*.EG_L侧面AG;取4c的中点中连结8尸,FG,由AB=BC得BF

1AC,

②,/______________________________

二8尸1.侧面4G;得8尸〃EG,BF、EG确定一个平面，交侧面4cl于FG.

③：________________

：.BE//FG,四边形8EGF是平行四边形，BE=FG,

④_________________________

：.FG//AAi,△AACS/XFGC,

⑤,?__________________________

111

：.FG=-AA即BE=-故BE=EB、

222

【解答】①...面4网1侧面4G,②,•・面/比i1侧面4G,③...旗〃侧面4c

④：BEIIAA,⑤•；A六FC,

（II）解：分别延长C反G区交于点。，连结4〃

・•,EB}IICG,叫=g叫=；CG,

.・.=；OG=B|G=A|5］,；Na4G=N8G4=60。，

2DA\R=2A、DBI=L（180°-N〃84）=30°,

2

r.N%4=N〃48+N84G=90°,即£>A|_LA|G

•笫1面ACR,即4c是4。在平面4c〃上的射影，根据三垂线定理得力」4C,

所以NC%C是所求二面角的平面角.•••CC=44=4H=4C,N4CG=90。，

.­.ZC4,G-45°,即所求二面角为45。

【评析】以这种填空题形式出现，过多地限制了学生思维，出现了实际结果与预估难度非常大

的反差.立体几何试题这样出不当；通过该题，也使近年立体几何的研究开始了降温.同时也使不

少专家反省：高考试题与研究热点及竞赛试题还是当有区别的.同时，也确定了从1997年开始高

考试题的进行量化评价.

（1997年全国理15）四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同的

取法共有（）（A）I5O种（B）147种（C）144种（D）141种

【解答】D

【评析】该题无论从直接还是间接思路，都要进行三级分类讨论，体现为试题很难.难度为0.

18,按照当年《考试说明》，难度低于0.2的，应该算作废题.结论：考查单一的知识与思想，层

数不能超过三级.

（1997年全国理24）设二次函数八*）=/+/>+<：（”>0）,方程川）一x=0的两个根xg满足

1

0<¥|<¥2<—.I.当尢£（0,兀］）时，证明工</（幻<盯；

a

II.设函数/（X）的图像关