2023-2024学年茂名市高三下学期第五次调研考试数学试题含解析_第1页
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文档简介

2023-2024学年茂名市高三下学期第五次调研考试数学试题注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。4.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知复数,则对应的点在复平面内位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限2.已知向量,,若,则()A. B. C. D.3.已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上,平面,,若球的表面积为,则三棱锥的体积的最大值为()A. B. C. D.4.已知集合M={y|y=2x,x>0},N={x|y=lg(2x-xA.(1,+∞) B.(1,2) C.[2,+∞) D.[1,+∞)5.已知在平面直角坐标系中,圆:与圆:交于,两点,若,则实数的值为()A.1 B.2 C.-1 D.-26.如果直线与圆相交,则点与圆C的位置关系是()A.点M在圆C上 B.点M在圆C外C.点M在圆C内 D.上述三种情况都有可能7.命题“”的否定是()A. B.C. D.8.如图所示的程序框图,当其运行结果为31时,则图中判断框①处应填入的是()A. B. C. D.9.若x,y满足约束条件的取值范围是A.[0,6] B.[0,4] C.[6, D.[4,10.已知,,,则()A. B. C. D.11.已知复数满足(是虚数单位),则=()A. B. C. D.12.设直线过点,且与圆:相切于点,那么()A. B.3 C. D.1二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.若x,y满足,且y≥−1,则3x+y的最大值_____14.某次足球比赛中,,,,四支球队进入了半决赛.半决赛中,对阵,对阵,获胜的两队进入决赛争夺冠军,失利的两队争夺季军.已知他们之间相互获胜的概率如下表所示.获胜概率—0.40.30.8获胜概率0.6—0.70.5获胜概率0.70.3—0.3获胜概率0.20.50.7—则队获得冠军的概率为______.15.复数为虚数单位)的虚部为__________.16.已知函数的图象在点处的切线方程是,则的值等于__________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知函数,,设.(1)当时,求函数的单调区间;(2)设方程(其中为常数)的两根分别为,,证明:.(注:是的导函数)18.(12分)已知椭圆:的离心率为,左、右顶点分别为、,过左焦点的直线交椭圆于、两点(异于、两点),当直线垂直于轴时,四边形的面积为1.(1)求椭圆的方程;(2)设直线、的交点为;试问的横坐标是否为定值?若是,求出定值;若不是,请说明理由.19.(12分)已知直线过椭圆的右焦点,且交椭圆于A,B两点,线段AB的中点是,(1)求椭圆的方程;(2)过原点的直线l与线段AB相交(不含端点)且交椭圆于C,D两点,求四边形面积的最大值.20.(12分)已知函数,的最大值为.求实数b的值;当时,讨论函数的单调性;当时,令,是否存在区间,,使得函数在区间上的值域为?若存在,求实数k的取值范围;若不存在,请说明理由.21.(12分)在四棱锥中,底面为直角梯形,,面.(1)在线段上是否存在点,使面,说明理由;(2)求二面角的余弦值.22.(10分)已知数列满足:对任意,都有.(1)若,求的值;(2)若是等比数列,求的通项公式;(3)设,,求证:若成等差数列,则也成等差数列.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】

利用复数除法运算化简,由此求得对应点所在象限.【详解】依题意,对应点为,在第一象限.故选A.【点睛】本小题主要考查复数除法运算,考查复数对应点的坐标所在象限,属于基础题.2、A【解析】

利用平面向量平行的坐标条件得到参数x的值.【详解】由题意得,,,,解得.故选A.【点睛】本题考查向量平行定理,考查向量的坐标运算,属于基础题.3、B【解析】

由题意画出图形,设球0得半径为R,AB=x,AC=y,由球0的表面积为20π,可得R2=5,再求出三角形ABC外接圆的半径,利用余弦定理及基本不等式求xy的最大值,代入棱锥体积公式得答案.【详解】设球的半径为,,,由,得.如图:设三角形的外心为,连接,,,可得,则.在中,由正弦定理可得:,即,由余弦定理可得,,.则三棱锥的体积的最大值为.故选:.【点睛】本题考查三棱锥的外接球、三棱锥的侧面积、体积,基本不等式等基础知识,考查空间想象能力、逻辑思维能力、运算求解能力,考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法,是中档题.4、B【解析】M=y|y=N==x|∴M∩N=(1,2).故选B.5、D【解析】

由可得,O在AB的中垂线上,结合圆的性质可知O在两个圆心的连线上,从而可求.【详解】因为,所以O在AB的中垂线上,即O在两个圆心的连线上,,,三点共线,所以,得,故选D.【点睛】本题主要考查圆的性质应用,几何性质的转化是求解的捷径.6、B【解析】

根据圆心到直线的距离小于半径可得满足的条件,利用与圆心的距离判断即可.【详解】直线与圆相交,圆心到直线的距离,即.也就是点到圆的圆心的距离大于半径.即点与圆的位置关系是点在圆外.故选:【点睛】本题主要考查直线与圆相交的性质,考查点到直线距离公式的应用,属于中档题.7、D【解析】

根据全称命题的否定是特称命题,对命题进行改写即可.【详解】全称命题的否定是特称命题,所以命题“,”的否定是:,.故选D.【点睛】本题考查全称命题的否定,难度容易.8、C【解析】

根据程序框图的运行,循环算出当时,结束运行,总结分析即可得出答案.【详解】由题可知,程序框图的运行结果为31,当时,;当时,;当时,;当时,;当时,.此时输出.故选:C.【点睛】本题考查根据程序框图的循环结构,已知输出结果求条件框,属于基础题.9、D【解析】解:x、y满足约束条件,表示的可行域如图:目标函数z=x+2y经过C点时,函数取得最小值,由解得C(2,1),目标函数的最小值为:4目标函数的范围是[4,+∞).故选D.10、B【解析】

利用指数函数和对数函数的单调性,将数据和做对比,即可判断.【详解】由于,,故.故选:B.【点睛】本题考查利用指数函数和对数函数的单调性比较大小,属基础题.11、A【解析】

把已知等式变形,再由复数代数形式的乘除运算化简得答案.【详解】解:由,得,.故选.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的基本概念,是基础题.12、B【解析】

过点的直线与圆:相切于点,可得.因此,即可得出.【详解】由圆:配方为,,半径.∵过点的直线与圆:相切于点,∴;∴;故选:B.【点睛】本小题主要考查向量数量积的计算,考查圆的方程,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、5.【解析】

由约束条件作出可行域,令z=3x+y,化为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解,把最优解的坐标代入目标函数得答案.【详解】由题意作出可行域如图阴影部分所示.设,当直线经过点时,取最大值5.故答案为:5【点睛】本题考查简单的线性规划,考查数形结合的解题思想方法,是中档题.14、0.18【解析】

根据表中信息,可得胜C的概率;分类讨论B或D进入决赛,再计算A胜B或A胜C的概率即可求解.【详解】由表中信息可知,胜C的概率为;若B进入决赛,B胜D的概率为,则A胜B的概率为;若D进入决赛,D胜B的概率为,则A胜D的概率为;由相应的概率公式知,则A获得冠军的概率为.故答案为:0.18【点睛】本题考查了独立事件的概率应用,互斥事件的概率求法,属于基础题.15、1【解析】试题分析:,即虚部为1,故填:1.考点:复数的代数运算16、【解析】

利用导数的几何意义即可解决.【详解】由已知,,,故.故答案为:.【点睛】本题考查导数的几何意义,要注意在某点的切线与过某点的切线的区别,本题属于基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)在上单调递增,在上单调递减.(2)见解析【解析】

(1)求出导函数,由确定增区间,由确定减区间;(2)求出含有参数的,再求出,由的两根是,得,计算,代入后可得结论.【详解】解:,函数的定义域为,.(1)当时,,由得,由得,故函数在上单调递增,在上单调递减.(2)证明:由条件可得,,,方程的两根分别为,,,且,可得..【点睛】本题考查用导数研究函数的单调性,考查导数的运算、方程根的知识.在可导函数中一般由确定增区间,由确定减区间.18、(1)(2)是为定值,的横坐标为定值【解析】

(1)根据“直线垂直于轴时,四边形的面积为1”列方程,由此求得,结合椭圆离心率以及,求得,由此求得椭圆方程.(2)设出直线的方程,联立直线的方程和椭圆方程,化简后写出根与系数关系.求得直线的方程,并求得两直线交点的横坐标,结合根与系数关系进行化简,求得的横坐标为定值.【详解】(1)依题意可知,解得,即;而,即,结合解得,,因此椭圆方程为(2)由题意得,左焦点,设直线的方程为:,,.由消去并整理得,∴,.直线的方程为:,直线的方程为:.联系方程,解得,又因为.所以.所以的横坐标为定值.【点睛】本小题主要考查根据椭圆离心率求椭圆方程,考查直线和椭圆的位置关系,考查直线和直线交点坐标的求法,考查运算求解能力,属于中档题.19、(1)(2)【解析】

(1)由直线可得椭圆右焦点的坐标为,由中点可得,且由斜率公式可得,由点在椭圆上,则,二者作差,进而代入整理可得,即可求解;(2)设直线,点到直线的距离为,则四边形的面积为,将代入椭圆方程,再利用弦长公式求得,利用点到直线距离求得,根据直线l与线段AB(不含端点)相交,可得,即,进而整理换元,由二次函数性质求解最值即可.【详解】(1)直线与x轴交于点,所以椭圆右焦点的坐标为,故,因为线段AB的中点是,设,则,且,又,作差可得,则,得又,所以,因此椭圆的方程为.(2)由(1)联立,解得或,不妨令,易知直线l的斜率存在,设直线,代入,得,解得或,设,则,则,因为到直线的距离分别是,由于直线l与线段AB(不含端点)相交,所以,即,所以,四边形的面积,令,,则,所以,当,即时,,因此四边形面积的最大值为.【点睛】本题考查求椭圆的标准方程,考查椭圆中的四边形面积问题,考查直线与椭圆的位置关系的应用,考查运算能力.20、(1);(2)时,在单调增;时,在单调递减,在单调递增;时,同理在单调递减,在单调递增;(3)不存在.【解析】分析:(1)利用导数研究函数的单调性,可得当时,取得极大值,也是最大值,由,可得结果;(2)求出,分三种情况讨论的范围,在定义域内,分别令求得的范围,可得函数增区间,求得的范围,可得函数的减区间;(3)假设存在区间,使得函数在区间上的值域是,则,问题转化为关于的方程在区间内是否存在两个不相等的实根,进而可得结果.详解:(1)由题意得,令,解得,当时,,函数单调递增;当时,,函数单调递减.所以当时,取得极大值,也是最大值,所以,解得.(2)的定义域为.①即,则,故在单调增②若,而,故,则当时,;当及时,故在单调递减,在单调递增.③若,即,同理在单调递减,在单调递增(3)由(1)知,所以,令,则对恒成立,所以在区间内单调递增,所以恒成立,所以函数在区间内单调递增.假设存在区间,使得函数在区间上的值域是,则,问题转化为关于的方程在区间内是否存在两个不相等的实根,即方程在区间内是否存在两个不相等的实根,令,,则,设,,则对恒成立,所以函数在区间内单调递增,故恒成立,所以,所以函数在区间内单调递增,所以方程在区间内不存在两个不相等的实根.综上所述,不存在区间,使得函数在区间上的值域是.点睛:本题主要考查利用导数判断函数的单调性以及函数的最值值,属于难题.求函数极值、最值的步骤:(1)确定函数的定义域;(2)求导数;(3)解方程求出函数定义域内的所有根;(4)列表检查在的根左右两侧值的符号,如果左正右负(左增右减),那么在处取极大值,如果左负右正(左减右增),那么在处取极小值.(5)如果只有一个极值点,则在该处即是极值也是最值;(6)如果求闭区间上的最值还需要比较端点值的函数值与极值的大小.21、(1)存在;详见解析(2)【解析】

(1)利用面面平行的性质定理可得,为上靠近点的三等分点,中点,证明平面平面即得;(2)过作交于,可得两两垂直,以分别为轴建立空间直角坐标系,求出长,写出各点坐标,用向量法求二面角.【详解】解:(1)当为上靠近点的三等分点时,满足面.证明如下,取中点,连结.即易得所以面面,即面.(2)过作交于面,两两垂直,以分别为轴建立空间直角坐标系,如图,设面法向量,则,即取同理可得面的法向量综上可知锐二面角的余弦值为.【点睛】本题考查立体几何中的存探索性命题,考查用空间向量法求二面角.线面平行问题可通过面面平行解决,一定要掌握:立体几何中线线平行、线面平行、面面平行是相互转化、相互依存的.求空间角一般是建立空间直角坐标系,用空间向量法求空间角.22、(1)3;(2)

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