8.3同底数幂的除法(讲+练)（解析版）

8.3同底数幂的除法同底数幂的除法am÷an=am-n(a≠0,m、n同底数幂相除，底数不变，指数相减零指数幂符号语言：a0=1（a≠0）文字语言：任何不等于0的数的0次幂等于１强调：零的零次幂无意义幂的运算中值恒为1的三种情况①任何不等于0的数的0次幂等于１②1的任何次幂等于1③-1的偶数次幂等于1负整数指数幂符号语言：a-n=1an(𝒂≠文字语言：任何不等于0的数的-n(n是正整数)次幂,等于这个数的n次幂的倒数.含负整数指数幂的科学记数法一般地，一个正数利用科学记数法可以写成a×10n的形式，其中1≤a＜10,n是整数.类似的一个负数也可以用科学计数法表示.如何去确定负整数指数幂的指数：方法1：数小数点，右移几位就是负几方法2：原数中第一个非零数前几个零，就是负几.题型1：同底数幂的除法1．已知am＝6，an＝2，则am﹣n＝3．【分析】根据同底数幂的除法法则的逆用计算即可，同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减．【解答】解：∵am＝6，an＝2，∴am﹣n＝am÷an＝6÷2＝3．故答案为：3．【变式1-1】若4x＝a，8y＝b，则22x﹣3y可表示为ab．（用含a、b【分析】逆向运算同底数幂的除法法则，结合幂的乘方运算法则计算即可．同底数幂相除，底数不变，指数相减；幂的乘方，底数不变，指数相乘．【解答】解：∵4x＝22x＝a，8y＝23y＝b，∴22x﹣3y＝22x÷23y=a故答案为：ab【变式1-2】已知2a＝3，2b＝6，2c＝12，则2a+b＝18；a+c﹣2b＝0．【分析】根据同底数幂的乘法法则计算2a+b；先计算22b，再逆运用同底数幂的乘除法法则，代入求值即可．【解答】解：2a+b＝2a•2b＝3×6＝18；∵2b＝6，∴（2b）2＝62．即22b＝36．∵2a+c﹣2b＝2a×2c÷22b＝3×12÷36＝1，∴a+c﹣2b＝0．故答案为：18，0．题型2：零指数幂2.计算：（12）0+|﹣1|＝2．【分析】先算零指数幂和去绝对值符号，再算加减即可．【解答】解：原式＝1+1＝2．故答案为：2．【变式2-1】已知（2x+3）0＝1，则x的取值范围是x≠-【分析】根据零指数幂的定义知：2x+3≠0．【解答】解：根据题意知：2x+3≠0．解得x≠故答案为：x≠【变式2-2】若（x﹣6）x＝1，则x＝0或7．【分析】根据零指数幂的运算法则及1的任何次幂都等于1进行计算即可．【解答】解：①∵任何非零数的零次幂等于1，∴x﹣6≠0，x＝0；②∵1的任何次幂都等于1，∴x﹣6＝1，解得x＝7，综上所述，x＝0或x＝7．故答案为：0或7．【变式2-3】已知：（x+2）x+5＝1，则x＝﹣5或﹣1或﹣3．【分析】根据：a0＝1（a≠0），1的任何次方为1，﹣1的偶次方为1，解答本题．【解答】解：根据0指数的意义，得当x+2≠0时，x+5＝0，解得x＝﹣5．当x+2＝1时，x＝﹣1，当x+2＝﹣1时，x＝﹣3，x+5＝2，指数为偶数，符合题意．故填：﹣5或﹣1或﹣3．题型3：负整数指数幂3.计算：3﹣1﹣π0＝-23【分析】根据负整数指数幂和零指数幂的定义求解即可．【解答】解：3﹣1﹣π0=1=-【变式3-1】将代数式5x﹣2y6写成只含有正整数指数幂的形式：5x﹣2y6＝5y6【分析】直接利用负指数幂的性质化简得出答案．【解答】解：5x故答案为：5y【变式3-2】若代数式（3x+3）0+（2x﹣1）﹣2有意义，则x的取值范围是x≠﹣1且x≠1【分析】根据非零的零次幂等于1，负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数，可得答案．【解答】解：由题意，得3x+3≠0，且2x﹣1≠0，解得x≠﹣1且x≠故答案为：x≠﹣1且x≠题型4：含负整数指数幂的科学记数法4.0.000000358用科学记数法可表示为3.58×10﹣7．【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：0.000000358用科学记数法可表示为3.58×10﹣7．故答案为：3.58×10﹣7．【变式4-1】科学研究表明，某种新型冠状病毒颗粒的直径约为125纳米，1纳米＝1.0×10﹣9米，若用科学记数法表示125纳米，则可表示为1.25×10﹣7米．【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：125纳米＝0.000000125米＝1.25×10﹣7米．故答案为：1.25×10﹣7．【变式4-2】世界上最小、最轻的昆虫是膜翅目缨小蜂科的一种卵蜂，体长仅0.021厘米，其质量也只有0.000005克．（1）用科学记数法表示上述两个数据．（2）一个鸡蛋的质量大约是50克，多少只卵蜂的质量和与这个鸡蛋的质量相等？【分析】（1）绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定；（2）设x只卵蜂的质量和与这个鸡蛋的质量相等，根据“卵蜂的质量和与这个鸡蛋的质量相等”列方程求解即可．【解答】解：（1）0.021厘米＝2.1×10﹣2厘米，0.000005克＝5×10﹣6克；答：0.021厘米用科学记数法表示为2.1×10﹣2厘米，0.000005克用科学记数法表示为0.000005＝5×10﹣6克．（2）设x只卵蜂的质量和与这个鸡蛋的质量相等，根据题意，得，0.000005x＝50，解得x＝10000000＝1×107，答：1×107只卵蜂的质量和与这个鸡蛋的质量相等．题型5：幂的运算的综合运用5.已知10﹣2α＝3，10-β=-15，求106【分析】根据负整数指数次幂等于正整数指数次幂的倒数求出102α和10β，然后根据幂的乘方的性质和同底数幂的乘法进行计算即可得解．【解答】解：∵10﹣2α=1102α=3，10∴102α=13，10β＝﹣∴106α+2β＝（102α）3•（10β）2，＝（13）3×（﹣5）2=127=25【变式5-1】已知32x＝2016，63y＝2016，求（x﹣1）（y﹣1）的值．【分析】先将已知两等式变形，使指数化为x﹣1和y﹣1，再两边同时（x﹣1）次方可得结论．【解答】解：∵32x＝2016，63y＝2016，∴32x﹣1＝63，63y﹣1＝32，∴（63y﹣1）x﹣1＝32x﹣1，∴63（y﹣1）（x﹣1）＝63，∴（x﹣1）（y﹣1）＝1．【变式5-2】阅读以下材料：指数与对数之间有密切的联系，它们之间可以互化．对数的定义：一般地，若ax＝N（a＞0且a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，比如指数式24＝16可以转化为对数式4＝log216，对数式2＝log525，可以转化为指数式52＝25．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：loga（M•N）＝logaM+logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0），理由如下：设logaM＝m，logaN＝n，则M＝am，N＝an，∴M•N＝am•an＝am+n，由对数的定义得m+n＝loga（M•N）又∵m+n＝logaM+logaN，∴loga（M•N）＝logaM+logaN．请解决以下问题：（1）将指数式34＝81转化为对数式4＝log381；（2）求证：logaMN=logaM﹣logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞（3）拓展运用：计算log69+log68﹣log62＝2．【分析】（1）根据指数与对数的关系求解．（2）根据指数与对数的关系求证．（3）利用对数运算法则求解．【解答】解：（1）根据指数与对数关系得：4＝log381．故答案为：4＝log381．（2）设logaM＝m，logaN＝n，则M＝am，N＝an，∴MN=am÷an＝am﹣∴logaMN=logaam﹣n＝m﹣n＝logaM﹣loga∴logaMN=logaM﹣loga（3）原式＝log6（9×8÷2）＝log636＝2．故答案为：2．一．选择题（共5小题）1．下列运算错误的是（）A．（2ab）4＝8a4b B．a8÷a2＝a6 C．（a2）3＝a6 D．a2•a3＝a5【分析】利用幂的乘方与积的乘方的法则，同底数幂的除法的法则，同底数幂的乘法的法则对各项进行运算即可．【解答】解：A、（2ab）4＝16a4b4，故A符合题意；B、a8÷a2＝a6，故B不符合题意；C、（a2）3＝a6，故B不符合题意；D、a2•a3＝a5，故B不符合题意．故选：A．2．大型纪录片《厉害了，我的国》上映25天，累计票房约为4.027×108成为中国纪录电影票房冠军，这个用科学记数法表示的数据的原数为（）A．0.000000004027 B．0.00000004027 C．402700000 D．4027000000【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．【解答】解：4.027×108＝402700000．故选：C．3．已知4x＝18，8y＝3，则52x﹣6y的值为（）A．5 B．10 C．25 D．50【分析】利用幂的乘方的法则对已知的条件进行整理，再代入到所求的式子中进行运算即可．【解答】解：∵4x＝18，8y＝3，∴22x＝18，23y＝3，∴（23y）2＝32，即26y＝9，∴22x﹣6y=2∴2x﹣6y＝1，∴52x﹣6y＝51＝5．故选：A．4．已知25a•52b＝56，4b÷4c＝4，则代数式a2+ab+3c值是（）A．3 B．6 C．7 D．8【分析】利用幂的乘方的法则，同底数幂的乘法的法则，同底数幂的除法的法则对已知条件进行整理，再进行求解即可．【解答】解：∵25a•52b＝56，4b÷4c＝4，∴52a•52b＝56，4b﹣c＝4，∴2a+2b＝6，b﹣c＝1，即a+b＝3，b﹣1＝c，∴a2+ab+3c＝a（a+b）+3（b﹣1）＝3a+3b﹣3＝3（a+b）﹣3＝3×3﹣3＝9﹣3＝6．故选：B．5．纳米（nm）是长度的单位，1nm＝10﹣3μm，1μm＝10﹣3mm，如果将在2022年底攻克20nm工艺芯片技术的难关，其中20nm等于（）A．2.0×10﹣5mm B．2.0×10﹣6mm C．2.0×10﹣7mm D．20×10﹣5mm【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：因为1nm＝10﹣3um，1um＝10﹣3mm，所以20nm＝20×10﹣3×10﹣3＝2.0×10﹣5nm．故选：A．二．填空题（共5小题）6．某种细菌的直径为0.00000014m，请用科学记数法表示该直径是1.4×10﹣7m．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：0.00000014＝1.4×10﹣7．故答案为：1.4×10﹣7．7．已知2m＝a，16n＝b，m、n为正整数，则24m+8n＝a4b2．【分析】对已知条件进行整理，再把所求的式子进行整理，代入相应的值运算即可．【解答】解：∵2m＝a，16n＝b，∴24n＝b，∴24m+8n＝（2m）4•28n＝（2m）4•（24n）2＝a4b2．故答案为：a4b2．8．若(x-2x+2)0有意义，则x的取值范围是x【分析】利用零指数幂的意义解答即可．【解答】解：∵(x-2∴x-2x+2≠∴x+2≠0，x﹣2≠0，∴x≠±2．故答案为：x≠±2．9．若[（a﹣2）2]3＝（a﹣2）（a﹣2）a（a≠2），则a的值为1或3或5．【分析】根据幂的运算法则进行解答便可．【解答】解：∵[（a﹣2）2]3＝（a﹣2）（a﹣2）a（a≠2），∴（a﹣2）6＝（a﹣2）a+1，∴a﹣2＝1或a﹣2＝﹣1或a+1＝6，∴a＝3或a＝1或a＝5，故答案为：1或3或5．10．如果（a﹣1）a+4＝1成立，那么满足它的所有整数a的值是﹣4、2或0．【分析】分情况讨论：当α+4＝0且a﹣1≠0时；当α﹣1＝1时，分别讨论求解．还有﹣1的偶次幂都等于1．【解答】解：如果（α﹣1）α+4＝1成立，则α+4＝0且a﹣1≠0或α﹣1＝1，即α＝﹣4或α＝2，当α＝0时，（﹣1）4＝1，故答案为：﹣4、2或0．三．解答题（共6小题）11．计算：（1）-1（2）x3【分析】（1）根据有理数的乘方、绝对值化简、零指数幂、负整数指数幂法则进行求解；（2）根据幂的乘方、单项式乘以单项式即可求解．【解答】解：（1）-＝﹣1+6﹣1+9＝13；（2）x＝x3y（4x2y﹣6）=412．若a+b+c＝3，求22a﹣1•23b+2•2a+3c的值．【分析】首先利用同底数幂的乘法法则进行计算，然后计算指数部分，最后将a+b+c＝3代入进行计算即可．【解答】解：22a﹣1⋅23b+2⋅2a+3c＝22a﹣1+3b+2+a+3c＝23（a+b+c）+1，∵a+b+c＝3，∴原式＝23×3+1＝210＝1024．13．在一次测验中有这样一道题：“|a|n=12【分析】根据n=12，n＝3，可得an＝±12，bn＝±3【解答】解：∵n=12，n＝3，∴an＝±12，bn＝±3当an=12，bn＝（ab）2n＝（anbn）2＝（12×3）2当an=12，bn＝﹣（ab）2n＝（anbn）2＝（-12×3）当an=-12，bn（ab）2n＝（anbn）2＝（-12×3）当an=-12，bn（ab）2n＝（anbn）2＝（12×3）2综上，（ab）2n=914．如果xn＝y，那么我们规定（x，y）＝n．例如：因为32＝9，所以（3，9）＝2．（1）（理解）根据上述规定，填空：（2，8）＝3，(2，14（2）（说理）记（4，12）＝a，（4，5）＝b，（4，60）＝c．试说明：a+b＝c；（3）（应用）若（m，16）+（m，5）＝（m，t），求t的值．【分析】（1）根据规定的两数之间的运算法则解答；（2）根据积的乘方法则，结合定义计算；（3）根据定义解答即可．【解答】解：（1）∵23＝8，∴（2，8）＝3，∵2-2∴（2，14）＝﹣2故答案为：3，﹣2；（2）∵（4，12）＝a，（4，5）＝b，（4，60）＝c，∴4a＝12，4b＝5，4c＝60，∵12×5＝60，∴4a×4b＝4c，∴4a+b＝4c，∴a+b＝c；（3）设（m，16）＝p，（m，5）＝q，（m，t）＝r，∴mp＝16，mq＝5，mr＝t，∵（m，16）+（m，5）＝（m，t），∴p+q＝r，∴mp+q＝mr，∴mp×mq＝mr，即16×5＝t，∴t＝80．15．规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b），如果ac＝b，那么（a，b）＝c．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．（1）根据上述规定，填空：（4，64）＝3，（3，1）＝0，（2，18）＝﹣3（2）小明在研究这种运算时发现一个特征：（3n，4n）＝（3，4），并作出了如下的证明：∵设（3，4）＝x，则3x＝4，∴（3x）n＝4n，即（3n）x＝4n，∴（3n，4n）＝x∴（3n，4n）＝（3，4）．试参照小明的证明过程，解决下列问题：①计算（8，1000）﹣（32，100000）；②请你尝试运用这种方法，写出（7，45），（7，9），（7，5）之间的等量关系．并给予证明．【分析】（1）由新定义计算得出结果即可；（2）①由推理过程可得（8，1000）＝（2，10）；（32，10000）＝（2，10），再相减结果得0即可；②设7a＝5，7b＝9，7c＝45，根据同底数幂的乘法可推出a+b＝c，从而得到（7，5）+（7，9）＝（7，45）．【解答】解：（1