高等数学同济第三版

第二章导数与微分

第一节导数概念

教材习题"1答案(上册P91)

1|0(1+4)曰(1+4)2］-(10-！/

I.解:⑴v=—=^---------------------------U—ZJ=io-g-_Lg&

A/Az2

⑵•.•半=10-g3=矶.1=lim(10-gr)=10-g,

atn

A.(l00+，0)-；8(1+幻］一.。％-；刈：］.

(3)口孚----------?—―~

A/A/2

dh,_dhI_、..

(4)v—=10-gr,.\V=hm(IO-gz)=1O-5r.

dldt1"ro

/(-l-hM)-/(-l)IO(Zhr-2OZLv+IO-l()

2.解:lim=hm---------------------------------

“->0AxA.T-H)AY

=lim(10・Ar-20)=-20.

Ai-K)

3解空=1而且=lim团心)+%(…=.四=a.

10

dx4***AxAxNZAr

4,解:可导.

令lim——=a,vf(0)=limf(A)=lim"')=lim.rlim)=0.a=0,

i-H)%XTOI-M)xXTOI-H)x

(A)()()

:.f(0)=lrim-/_■---f--°-=lrim-/_X-=a.

3X-07X

5.解：

-91

⑵y=x3=-X\

(3)y=/=1.6产.

⑷厂㈤++小

(5)y=二=(X2)=-2x3.

J

6.解：物体在/时刻的运动速度为：r(/)=/»(/)=2/(w/.v),

v(2)=2-2=4(m/s).

7.证：

,、，/(x+Ax)-/(x)..cos(x+zlr)-cosx

(cosx)=hm---------------------=lim------------------------=

AKTOAr11foAr

Ar

.ZALvsin—9

-limsin(x+——)lim——=-sin.v.#

AI-»O2z-»oAx

T

.G,、.・冗1，•/乃、.兀v3

则rll/(x)=_smx,f(―)=-sin—=f(―)=-sm—=-

oo2332

8.证：•：/(0)=lim八工)-J⑼=]而_)(一式)一/⑼=-/(0),(注:f(-x)=f(x))

7X-0…-X-0

.-.2/(0)=0.即/(0)=0.#

9.解：(I)•.•y=|sin.v|,.'.1而卜而1|=卜皿0|=0,所以y=|sinx\在x=0处连续.

.|sin.v|-0Isinx|

,:y(0)=lim---------=lim--------,

…x-0x

5、.•sin.ismx..sin.v-smx

y(0)=lim-------L=lim------=I,y(0)=limJ-------1=lim---------

jr-HJ*Xx-M)*Xx-*O-Xx-K)*X

故y'(0)=不存仅即y=|sinx\6x=0处不可S.

(3)・.,y=<*S*nx...lim』sinL=0=y(0),所以函数在x=0处连续.

x-M)x

[0x=0x

x2

sin--0..xsin-xW()

・.・y(0)=lim-------------=limxsin-=0,极限存在,/.y=<r在

i°x-0…x

0x=0

x=0处可导.

10.解：vy=(sinx)=cosx,y=cos—=-^,y|<=r=cos^=-l,

2T.

.•.丁二311人在人.二二丁处的切线斜率为-一，4工=》处的切线斜率为4.

32

II.M：抛物线y=W卜的两点为（1,1）,（&9）,过此两点的百线的料率为：^=—=4,

而y=（f）=2、令2（=4得x=2「.抛物线y=W上过点（24）的切线平行于此割线.

/I点（］，!）处法线的斜率为：—.

323

产11_51、

二.y=8s工在点（L处切线的方程为：y--=--

产1.12行乃

y=8sx在点（鼻,N处的法线方程为：y--=--<r--）.

—r~a'o+'）一仇’0）—才\

13.解：设该物体在为时刻的加速度为4.则q=梦?~=”1））•

1〃.\_匕一丁（'+&）—T（f）_T/,\

14解：该物体，।/时刻的变化速度为：v（0=ini—=/v）.

15.证：设（%,.%）为双曲找盯=/上任一点,则%=L,,.,过点（.％,儿）的切线斜率为:

“0

（《），.％=-4，.••过点（.％,均）的切线方程为:

XX

...切线与两坐标轴所构成的三角形面枳为：5=；|2%，§一|=加2.

第二节函数的和、积、商的求导法则

教材习题2-2答案（上册P99）

1,解：⑴y=(^)-(^2)+5=dv+4-

(2)y=(W)(2+G+W(2+4)=2\<2+。)+/=4x+}%.

,(/+A+i)y-(P)(?+4+1)_记.

y=--------—-=-2--x---x-^-

(3)2

(4)vy=4.r2-4x+1,/.y=8x-4.

2.解：(D;1(/)=h(t)=(voz=v0-gt.

(2)当物体达到域高点时速度为0.令r(r)=0,即i，「gr=0nr=".

g

，物体达到最高点的时刻为：也.

8

3.解：当x=0时,y=0,故所求的切线及法线均过原点.闪为y=2oosx+2r,则切线斜率为

y(0)=2法线斜率为.所以切线及法线方程分别为：y=2x,y=-^x.

22

4.解：令)，=0即*一,=0用曲线y=x-L。横轴的交点为(-1.0)和(1,0).Vy=1+-4，则点(-1,0)处

XXX

切线的斜率为y(-l)=2,点(1.0)处切线的斜率为y⑴=2,

/.过(10)和(1.0)两点的切线方程分别为：y=2(x+l),y=2(x-1).

5.解：设曲线y=F+x-2上点(小,为)处的切线与直线y=4x-l平行.

2

,/y=3x+1,则y(x0)=3x(/+1,/.3x(/+1=4=>x0=-1或1,

故的线y=x3+X-2上点(-1「4)或(1,0)与宜线y=4x-1平行.

I•

'cosx、cosx)sin.v-(sinA)cosx12

6.证：(I)(cotx)---=----L=_CSCx.

(sinx.sin。sin-x

-/7/1)(sinx)cosx

(2)(cscxl=———=—.,=----------=—cscx-cotx.

VsinxJsin'xsinx-sinx

7.解:(l)y=(x2)cosx+x2(cosx)=2xcos.r-x2sinx.

(2)p=(场)sin砂+力(sin勿=+而costp.

(3)y=(x)tanx+x(lanx)-2(secx)=tanx+xsec'x-2secxtanx.

.(cos.r)x2-(x2)cosx|2cosx

(4)y=--------------------=--(------+sinx)

XXX

(5)u=v-3(sinv)=I-3cosr.

(6)y=(.r'°)+(10,)=1Ox9+10*In10.

(7)y'=(e，)(x?+3x+1)+，(F+3K+=e',+5x+4)

(8)y=(/)(cosx+xsinx)+e'(cosx+xsinx)=(cosx+xsinx+xcosx).

(9)y=(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)+(x-a)(x-b).

(10)y=(x-cotx)cosx+A/Xcosx(l+csc2x)-4x(x-cotx)sinx.

(x-lY=(x-l)(x+l)-(x+1)(x-1)=(x+1)-(l)=2

,"U+lJ-(x+1)2-(x+l)2"(x+l)

.(1+sin/)(1+cosr)-(l4-cosz)(1+sinr)

s=、

(1+cosr)

cos/(l+cos/)+sinz(l+sinr)_cosr+sinz+l

11?

(1+cosr)(1+cosz)

22

2(cscx)(1+-v)-(1+)escx__cscxcotA-(l+x)-2xcscx

(3)yM5=

-2escx[col*】+F)+2x]

(sinx)/卜2)sinx_-—2sinx

,卜户)(口_2)一#_2)_21%3―5)

""GM=俨-2『

cot.V

cotX25/7(1+4卜sctr+colK

+x+x)2x+l

(7)

+x+x2y+X+X2)2

(bp

*tAsO3<^+<AuiS—=@son—+。叫§0)=

不

⑵

包~mjrz9,—■•r

Q=—.JSOO=*X*Y=—-^SO3=*XvtXJSO3=(XUlSXSO3)=X/.(1):^6

Jrirci+i)_

x,39siuisr-(Auuj+[)(Asoor+ruis)

(ruui+i)(jrirc】+i、

----------------；------------------7--------r-=---------=4(01)

xuisr(xUB)+|)-(Xuui-i-|)(i*uisr)\xuisrJ

'Xion.r3S3+x,.r+runi=(AOSO)-(XUB).V)=(roso-run)r)=((6)

.女\.nn71G.e兀、

9=-sin—+—cos—=—(1+—).

d(pY244442

⑶

\—>/t+r

,••/(o=--r=―：------

1+SIT

,_(1-2,+/)(IT)-(IT)(1_24+。_2-，一1

••/")=----------------7~7?-----------------=~7.--

0-)2(IT)

2—工—T

故"(4)=用r»4

(IT)18

一,、c(5-x)32xQ17

(4)v/(x)=-3^——£一，"(。)=*，八2)=正

2

(5-x)5J(5-x)5

第三节反函数和复合函数的求导法则

教材习题2-3答案(上册P107)

l.M：\-F\x)=f(x),.\F(3)=f[5(3)jg(3)=7/(5)=-7.

vG(x)=g[/(x)]/(X),AG(3)=g[/(3)]/(3)=-2g(5)=-2-4=-8.

,Oir

2,解：⑴y=(arclanx1)=—:---=-

22

l+(x)"

(2)y=(V7arctan.r)=(4)arclanx+\/x(arctanxj=arctan.t+

2y/xl+x2

2arcsinx

⑶y=2arcsin.v(arcsinx)

\l\-x2

(4)y=arcsin(lnx)+/

yl\-\n2X

(5)y=(Tj

l+(l-x2)2X4-2X2+2,

«^aivtanyx

(6)y=e1fs'(arctan=------

\+x(叱品”

(Jsinx)

cosxcos2x1n------

⑺y------------=—yJ\+CSCX.

sinx(l-sinx)2

y=arccosx——,----+一-----=arccosx.

(8)VT7VT7

(9)

••

arcsinx)arccosx-(arccosx)arcsinx

(10)y=

(arccosx)2

arccosxarcsinx

(arccosx)22>]\—x2(arccosx);

(II)y=(x21lnx+x2(lnx)=2xlnx+x

.._(I-lnx)(l+lnx)-(l+lnx)(l-lnx)2

(y_--------------------；---------------—-----------r•

(l+lnx)x(l+lnx)

3.解:⑴炉=5(3x+l)4(3x+l)=15(3x+l)4.

(2)y=3ex(-x)=-3e\

(3)s=Acos(d+e)(，w+=4<ycos(nx+(p).

,b.dbnb,b、*\

(4)y=n(a+—)a+—=--(a+—).

xVx)xx

(5)y=e"(-x2)=-2xe、'.

.ICOSXI

(6)y=\---r=-tanx.

|cosx\

(7)y=cos(2*)(21)=2'cos(2')ln2.

(8)y=I1"1*In2(sinx)=2Mn1cosxIn2.

(9)y=2sec.r(secx)'=2sec2xtanx.

(10)y

XXXX

ln(x2+x+l)(x2+x+l)2x+1

(12)y=

Ina(A2+x+l)ln«(x2+x+l)lna

(cos.v2)-sinx2(x2)xsinx2/--------

(3)y=-/=------/,=—I-------=-xtanx〜vcosx2.

2vcosx22vcosx2Vcosx2

r.—rc—r.xcosVl+x2

(4)y=cosVl+-v(z\1+xv)=-----j-

Vl+x2

(5)s=2acos(2，w+0(cos(2d+e))=-2acos(2，w+°)sin(2nx+e)(2，H+e).

=-2〃，"sin2(2(ot+(p).

(6)J=(lnln^=.J!nx)=J

InInxInInx-InxxlnInx-lnx

x(sin2x)-xsin2x_2xcos2x-sin2x

y=

(7)2,2

(8)y=(e")sin(<tx+^>)+e,zcos(cot+<p)(cu(+(p)

=-ae~a'sin(ftX+°)+coe"cos(cuf+Q)=e~a:[cocos(c()t+⑼-asin(cot+创.

22zI_2F、,xa_-2.r

(9)y=2-x2+Ha2-x)-=—.

2)2277^7

.•c4.cIn.v-1

(10)y=2*^In2(—)=2lnxIn2-----；——

\nxIn2A

(II)y=sec2x-tan2x(tanx)+tan4x(tanx)=sec2x(l-tan2x+tan4x).

lan-2土

2

(12)),=2

c(72(x)+g2(x))2f(x)f\x)+2g(x)g(x)f(x)f\x)+g(x)g(x)

2"2(x)+g2(x)2"?*)+g2a)“2(x)+g23

6.解：(I)=4/(X2)=/(x2Xx2)=2xf(x2).

dxax

(2)半=：(/(sin2x)+/(cos'v))=冬/(sin2x)+-^-/(cos2x)

axaxaxax

=/(sin2.t)2sin.v(sin.r)+/(cos2V)2COSX(COSA)

=sin2x[/(sin2x)-/(cos2x)].

(1尸d)k

7.解：•.•y(x)=2小J

国D'

令y'(x)=0,即一~—e2l)i=0=>x-a=0=>x=a.

而D'

，.解：•.•7'(1)=(7；-7；)e”+T，.♦.物体温应的变化速应为:

v=7(0=伍―7＞，(q),即y=jt(7]

).解：•.•加(。=小心.,.•.函数的变化率为：色吧=—仁川心力

dt

10.解：当x=0时，"0)=1.

•.•y=262'+2》,}/(0)=2,.・.过(0.1)点的法线方程的斜率为一；,法线方程:

1|-2|2

y-\=一一3一0),即x+2y-2=0.原点到法线的距离为：d='=-；=

2#+22V5

第四节高阶导数

教材习题2-4答案(上册P112)

1.I

I.解：(I)丁丁=4x+—y=4——

xx

(2)vy=e21l(2x-l)=4e21-'.

(3),/v=cosx-xsinx,/.v=-2sinx-xcosx.

(4),/y=e~'cosr-fsinr,/.y=-2ecost.

2

(5)y=一一,y=一i223

V777'y[(a-X)

⑺•.户一小

7(I?)'

(8),/y»=sec2x,.\y•=—2sec"2xtanx.

(X")(x-)

(10)vy=2xarctanx+1,/.y=2(arctanx+---

1+x

.._,cos2X.__,cos2x2sin2x

(II)•/y=-sm2xlnx+-----y=-2cos2AInx

x

e'(x2-2x+2)

(13)vy=e'+2x2e'\.\y=2xe'(3+2x2).

(14),/y

2.解：y=6(x+1Op,y,=30(x+10『,。=120(x+10)3F⑵=120x123.

W皿..dy_/W.d2y_ddyd

3.解：.瓦•…亦=区（力—石（痔）-------TYO•

4.解：山物体运动的规律s=AsinM得：物体运动的速度为：v=包=4UCOSM和加速度

dt

d2s.

a=--=-Ato2sincut.

dt2

卜验证\+〃s=0.

dt2

左边=-A，Jsinfttf+•Asinvw=0=右边.

uuu

5.解：由y=q/x+c2e~得：y'=乂/一Ac2e,y=储+Vc2e~,所以.

22,2At

左边=y-2y=(Ac/+Ac2e)一储(《八=0=右边.

6.解：(I)+0+…+0=〃(〃-1)…2」=〃!.

(2)vy=(sin2x)=sin2x,y=(sin2.r)=2cos2x,

y"=(2cos2x)=-4sin2x,所以，一般地得：y<n)=2n1sin2x+(n-1)—

2

x+l-2,2.f2\22-2

(3)vy=------=-l+----y=-------=-------y,y=-----r,

1+x1+x7ll+xj(1+x)2(1+xf

,.一=—产微，所以，一般地制严=(一1)"；?专

(l+x)(1+X)

(4)vy=(1+x)«=—(1+.r)*"',y=L(~L—])(|+x)=一所以，一般地得:

mmm

y,n]——(----!)••,(-----H+1)(1+x))".

mm

(5)由莱布尼尼公式式:

>0"=(xlnx)()=c^x(lnx)<n'+cix(lnx)(n11+0+--+0

=x(lnx)⑹+“(Inx)("?

i(\\i2

v(Inx)=—,(lnx)=—=—r,(lnx)=三,一般地得：

/.严：(AInx)W=x(lnK严+n(ln»"川=(-1)*')+(-1)""

=(-D"^rr-(〃22).

X

lnx+1,(〃=1)

(〃一2)!

(〃22)

第五节隐函数的导数以及由参数方程所确定的函数的导致

教材习题2-5答案(上册P122)

I.解:⑴方程y2-2xy+9=0两边分别对*求导得:

_dr__dy八dvv

2v--2v-2x-=0,-=——.

dxdxdxy-x

(2)方程Y+/-3外丁=0两边分别对x求导得:

,,dy_,dy.八一dvav-x

3.v2+3v2--3o(zy+A—)=0=>—="----

dxdxdxv2-ax

(3)方程◎=e"'两边分别对x求导得:

e^-y

y+.v-=,+'(1+

dxx-e^

(4)力程y=l-xe'两边分别对、•求号得:

dy丫.dvdxc'

—=-ey-xey—-------

dxdxdxI+xey

2.解：方程/+)=/两边分别对才求导得:年=一户户.

.•.曲线上点(叵

—处的切线斜率为：

4)dx怜制

3.解:(1)方程v=sin(x+n)两边分别对x求导得：空=8s(x+y),

dxl-cos(x+y)

所以4=且(皿(“卜))

dxdxl-cos(x+y)

-sin(x+y)(l+祟)[l-cos(x+[,)]-8s(x+y)sin(x+y)(l+，)

[l-cos(x+y)]"

把农=cosG+y)代入即得色：=sin(x+.v)

dx1-cos(x+y)dx[cos(x+y)-l]

(2)方程-),2=1两边分别对X求导得：虫=虫,所以

dxy

X空

d(x}y-

dx，将空=二代入即得

ZZZ.■12

ydxy

FIT

y2y3y3

X

4.解：(I)方程y两边取以e为底的对数有：lny=xln』-

l+x>l+x

两边分别对x求导

4U1,1X1+XXx

nr：—y=In----+x-----ny=|In------+

y1+xx1+x>1+x

(2)〃程)，=(32')呻两边取以e为底的对数得：lny=col；lnku】2x,

两边分别对x求导

.COC—

1.2H.——22A

—y—esc-Intan2x+2-----sec2x=>

y22tan2x

cot-

豹32X.8C吗CSC4X).

=>y=1n

两边取以e为底的对数得：lny=(ln(x-5)-^ln(x2+2),

(3)方程y=

5

r24-10r4-10

两边分别对x求导整理得：y=-一:史.

25(x-5)j(A2+2)^

i4)(程y=+幻两边取以e为底的对数

(x+1)5

得：Iny=-ln(.v+2)+4ln(3-x)-5ln(x+1).两边分别对x求守整理得：

—

・Jx+2(3-x)‘15

y=---------7—

(x+1)52(x+2)3-xx+1

x=^(l—sin0)dx.dy.

(2)由<=>——=1-sin-^cos0,--cos0-OsinO

丫=ecoseaede

dy

dy_dO_cos，-，sin〃

dxdxl-sinJ-Ocos。

为

x=e'sinr-=/(sinr+cosz)+,虫=e'(cost-sint),=>

6.解：（I）由《

y=e'costdtdt

dysinr+cosz

dxcosz-sinr

dvsinr+cosr

所以,—=-----------

dx忖cosr-sinr

力

力

五

工时，曲线上对应的点为*-2sinIt..

工=

7.解:⑴当t=立--------=-4sin/,

COST

山

（石X

「Tsi吟=-2近为过点殍。的切线斜率.

则切线方程为:

y-0=-2>/2(x-^-),即2&1+)，_2=0,法线方程为)，_0=

即JIr-4y-l=0.

空

&

（2）当1=0时，曲线上对应的点为（2,1）」・・孑==

公

ax一

小

.•.今|,力=一；为过点（2,1）的切线斜率.则切线方程为：y-1

即x+2v-4=0,法线方程为v-l=2。-2),即2x-y-3=0.

空

力

力

虫

力

一T

=f=n=而=

区

力99

8.解：（I）由力

一

小

哈）=3哈**必*T

dt

x=acostdx.dx,dxbcostb

（2）由.—=—cisinf,~~=bcos],~=-------=—cott

y=bsintdtdtdx-asintay

力

-

办&

=虫cos/-sinrd'y_d{dy)_d(dy、dt

瓦

sin/+cos，dx2dxIdxJdtVdxJdx

力

d/

/t/vdtd(cosr-sinr

dtdxdtIsinf+cosr法

dt

(COST+sinz)2er(sinz+cosr)e'(8sr+sin，)

左边=-v(x+y)2=-------------(e!sint+e'cos/)2=---------,

dxe(cosr+sin/)cos/+sin/

-~dv、~.cosr-sinr,、-2e'

右边=2(x--y)=2(esint-----------ecost)=----------,

dxsinr+cos/COST+sinf

左边=右边

第六节变化率问题举例及相关变化率

教材习通16答案(上册PI30)

I.解：速度函数是位置函数的导数.山于S=/(，)=/+l.5bT,所以

dr

速度Mr)=，=3J+3r-】.当r(/)=5时，即3/2+3/-1=5nr=l(r>0).

dt

2.解:山题意得：x=3sin。,则4~=3cos〃n它_=3cos—=1.5(m/rad).

dOdO%§3

3.解:设细林AB上任意一点M处的坐标为x,质量为m=/n(x),则巾=履2伏＞。为比例系数)因为当

/=2时m=8,即8=卜22=＞太=2.所以加=2/01＞0为比例系数).故细棒人8上任意一点

M处的密度为——=4x(g/cm),

dx

4.解:山V=1000(1--)2=>—=-50(I--)(0金440),所以

40dt40

—1,.5=一50(1-2)=-43.75(L/min)(负号表示容器内的水在减少)，

dt40

?|EO=-50(1-^j)=-37.5(L/min),

繁加=-50(1-第=-25(L/min).

、籁小山尸fdF〃W(sinO-〃cos。)

5.解:⑴由尸=—；---------=>—-=-------------------,

〃sin0+cos。(10(〃sine+co§e)~

八，dF.....〃W(sin〃一〃cose)___

(2)令——=0,即------------------=0=>tan，=〃n®=arctan

d。(〃sin0+cos0)一

cdvc

6.解：山pv=r=>V=—=>—---r.

Pdpp-

Pqq-fdq

8.解:山m=5-0.02?=>~=-0.04/=>—!_,=-0.04.

dtdt

9.解:⑴由C(x)=420+1.5x+0.002/=>C(x)=1.5+0.004x得：

C(1OO)=I,9O,C(IO1)-C(IOO)*1.902;

(2)由C(x)=200()+3.r+0.0\x2+0.00021=>C(x)=3+0.02x+0,(XX)6.v2得：

C(1(X))=11,C(l0l)-C(100)a：ll.07

10.山丫=±”(2]=V=—(其中V为雪球体积.。为雪球出径)，两边对问，求导

nD1dD，当警=1,0=10时，与=华盛=+

2dt

11.解：设飞机与雷达站的距离为S,则经过时间t后,S=V4+106/2.则

.乂两者相跖4km时的时间/=也.则史

小"+哂KXX）（11

12.解:解：id12:00整时/=0.设经过时间i后两船相即S.则5=J（35r）2+（号）+4（251尸+（号

,.dS60/...,..,1“dSt720

r则一=厂一,经过4个小时m即l16：00时一.,=——

+一25

9

13.解：设圆锥形容器中溶液的深度为力，溶液表面的半径为r，则/?•r都是时间/的函数，由

题意C=3nr=《.所以漏斗中溶液表面卜降的速率为半，漏斗中溶液减少的体积

r63dr

为加，减少的速率为匕=!」加）J露也由题意知；当人=12时,

327dt719dt