高考数学复习讲义与习题数列含详解

高考数学复习讲义与习题

第六章数列

本章知识结构图

错位相^11法

第一节等差数列与等比数列

考纲解读

1.理解等差数列、等比数列的概念.

2.掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式.

3.能在具体的问题情境中，识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的

问题.

4.了解等差数列与一次函数、等比数列的性质以及函数的关系一直是高考中的热点.

命题趋势探究

1.从内容上看，等差、等比数列的性质以及与函数的关系一直是高考中的热点.

2.在能力方面，要求学生具备一定的创新能力和抽象概括能力.

3.从命题形式上看，以选择、填空题为主，难度不大.

知识点精讲

—•、基本概念

1.数列

(1)定义.

按照一定顺序排列的一列数就叫做数列.

(2)数列与函数的关系.

从函数的角度来看,数列是特殊的函数.在y=/(x)中，当自变量xeN*时，所对应的函数

值/(1),/(2),/(3),就构成一数列，通常记为｛4｝,所以数列有些问题可用函数方法来解

决.

2.等差数列

(1)定义.

一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它前一项的差等于同一常数，则该数列叫做等差

数歹U,这个常数叫做公差,常用字母d表示,即an+x-a,,=d(nwN*).

(2)等差数列的通项公式.

若等差数列｛%｝的首项是%，公差是d,则其通项公式为«„=a,+(n-l)J=nd+(«,-d),

是关于〃的一次型函数.或an=am+(n-m)d,公差［=%匚&(直线的斜

n-m

率)(mwn,m,neN*).

(3)等差中项.

若x,A,y成等差数列,那么A叫做x与y的等差中项，即A=苫2或2A=x+y,.在一个

等差数列中，从第2项起(有穷等差数列的末项除外)，每一项都是它的前一项与后一项的等

差中项;事实上，等差数列中每一项都是与其等距离的前后两项的等差中项.

/\A-A-4c（6f.+an）〃n（n—l）dd72a—d,

（4）等差数列的前〃项和S„=-------=na.+---------—n~+-....n（类似于

S“=A£+b）,是关于〃的二次型函数（二次项系数为邑且常数项为0）.S”的图像在过原

点的直线3=0）上或在过原点的抛物线s工0）上.

3.等比数列

（1）定义.

一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它前一项的比等于同一个非零常数,则该数列叫

做等比数列，这个常数叫做公比，常用字母4表示,即也=g（qwO,〃eN*）.

（2）等比数列的通项公式.

等比数列的通项为=qg"T=c«"（c=幺）（q,q声0）,是不含常数项的指数型函数.

q

⑶―尸

a„

⑷等比中项

如果x,G,y成等比数歹U,那么G叫做x与y的等比中项，即G?=孙或G=±而（两个同

号实数的等比中项有两个）.

（5）等比数列的前〃项和

〃4（4=1）

s”=<q（i-q"）=—（丰］）

.\-q\-q

注①等比数列的前〃项和公式有两种形式,在求等比数列的前〃项和时，首先要判断公比q

是否为1,再由g的情况选择相应的求和公式，当不能判断公比是否为1时，要分q=l与

4片1两种情况讨论求解.

②己知4,“（gw1）,〃（项数），则利用Sn）求解；已知4,4,4（斤1：,则利用

i-q

s“=五二求解.

i-q

③S“=巴@二幺2=二包•4"+‘仁=%"一攵（左=0国力1）,S,为关于4"的指数型函数,

\-q\-ql-q

且系数与常数互为相反数.例如等比数列{4},前〃项和为5„=22n+1+r,则r=.解:

2n+1

等比数列前n项和Sn=2+f=2-4”+1,则t=一2。

二、基本性质

1.等差数列的性质

(1)等差中项的推广.

当/〃+〃=p+q(m,n,p,qeN")时，则有am+an=ap+aq,特别地，当根+〃=2p时，则

有=2%-

(2)等差数列线性组合.

①设伍“}是等差数列，则{2%+3(丸力GR)也是等差数列.

②设{4},{0}是等差数列，则依生+巧％}(4,4GR)也是等差数列.

(3)有限数列.

①对于项数为2n的等差数列,有：

(1)§2“=〃(4+%).

(II)5奇=nan,S^=也,+|,5偶-5奇==—.

)奇an

②对于项数为2〃-1的等差数列,有；

(II)5奇=na„,S偶=(〃_1)。“，S奇一S儡=",，.=-^―.

S偶n-\

(4)等差数列的单调性及前〃项和S“的最值.

公差d>0o{«„}为递增等差数列，S.有最小值；

公差d<0={a,,}为递减等差数列，S,有最大值；

公差4=00{4}为常数列.

特别地

a,>0

若1，则S“有最大值(所有正项或非负项之和)；

[d<0"

a,<0

若，，则S,有最小值(所有负项或非正项之和).

[d>0"

(5)其他衍生等差数列.

若己知等差数列仅“},公差为d,前〃项和为S“,则：

①等间距抽取%,+(“T”，为等差数列，公差为以.

②等长度截取黑,52“,一黑,53皿一S2,“，为等差数歹山公差为Md.

③算术平均值幺,区，区，为等差数列，公差为4.

1232

2.等差数列的几个重要结论

(1)等差数列｛。“｝中，若。“=肛%=n(mjtn,m,neN*),则。，…=0.

(2)等差数列｛”“｝中，若S“=m,Sm=〃(机x〃,机,〃wN*),则S,“+“=-(m+n).

⑶等差数列｛%｝中，若S,=Sm(m片n,m,nwN*),则Sm+n=0.

⑷若｛6,｝与｛b“｝为等差数列,且前〃项和为S.与&则维=&.

b”^2m-1

3.等比数列的性质

(1)等比中项的推广.

若加+〃=p+q时,则aman=apaq,特别地,当以+〃=2p时，a,“。”=aj.

⑵①设｛4｝为等比数列，则｛4a,J(X为非零常数)，｛球｝仍为等比数列.

②设｛凡｝与｛bj为等比数列,则｛/b“｝也为等比数列.

(3)等比数列｛《,｝的单调性(等比数列的单调性由首项外与公比q决定).

«,>0[a<0

当41或〈।时，｛4｝为递增数列；

q>1[0<^<1

a>0[a<0

当4।或《।时，｛%｝为递减数列.

0<^<1[q>l

(4)其他衍生等比数列.

若己知等比数列｛怎｝，公比为q,前〃项和为S„,则：

①等间距抽取

。“与+”。0+2”为等比数列，公比为/•

②等长度截取

Sm，S2m-Sm,S3in-S2m,为等比数列，公比为/(当4=一1时，m不为偶数).

4.等差数列与等比数列的转化

(1)若｛4｝为正项等比数列，则｛log,q｝(c>0,c¥1)为等差数列.

(2)若｛a“｝为等差数列，则｛c""｝(c>0,c声1)为等比数列.

(3)若｛6,｝既是等差数列又是等比数列。｛可)是非零常数列.

题型归纳及思路提示

题型80等差、等比数列的通项及基本量的求解

思路提示

利用等差仕匕)数列的通项公式或前〃项和公式，列出关于4,4(4)基本量的方程或不等式从

而求出所求的量.

一、求等差数列的公差及公差的取值范围

例6.1记等差数列｛《,｝的前”项和为S"，若S?=4,54=20,则该数列的公差1=().

A.7B.6C.3D.2

解析S2—a｝+a2=2a]+d=4①

54=4q+6d—20②

由式①②可解得d=3,故选C.

评注求解基本量用的是方程思想.

变式1等差数列｛%｝中，巧+。5=10，%=7则数列｛%｝的公差为().

A.1B.2C.3D.4

变式2已知等差数列首项为31,从第16项起小于1,则此数列公差d的取值范围是().

A.(—oo,—2)B.——C.(—2,+oo)D.1—21

二、求等比数列的公比

例6.2在等比数列｛%｝中，。2013=8。刈0,则公比4的值为()•

A.2B.3C.4D.8

解析因为『13=8。2“0，所以</=咏=8,则q=2,故选A.

“2010

变式1等比数列｛6,｝的前”项和为且4%,2%,%成等差数列，若％=1,则S4=().

A.7B.8C.15D.16

变式2设公比为q(q>0)的等比数列｛4｝的前〃项和为S“，若S2=34+2,S4=3a4+2,

则4=.

变式3等比数列｛。“｝的前n项和为S„，若5,2523s§成等差数列，则式“｝的公比为

三、求数列的通项4

例6.3(1)已知递增等差数列｛%｝满足％=1,%=嫉-4,则a“=.

(2)已知等比数列｛/｝为递增数列,且=«10,2(«„+all+2)=5«„+1,则数列｛4｝的通项公

式a”="

解析(1)利用等差数列的通项公式求解.

设等差数列公差为d,则由%=媛一4得，l+2d=(l+d)2—4,所以/=4,得4=±2,又

该数列为递增的等差数列，所以。=2.故%=q+(〃—l)d=2〃—l(〃eN*).

(2)由数列｛4｝为等比数列，设公比为4,由2(4+an+2)=5a„+l,得2(an+)=5a“q,

即2(l+g2)=5g,解得q=2或2.又片=q0>0,且数列｛%｝为递增数列，则4=2.

因此/=%=32,所以％=2"(〃eN*).

变式1S,,为等差数列伍,｝的前〃项和，52=臬，。4=1，则凡=—.

变式2已知两个等比数列｛4｝,｛列｝,满足%=1,4-4=1也-4=2也一色=4,求数

列｛《,｝的通项公式.

例6.4在等差数列｛4｝中，4+q=8,且％为4和力的等比中项，求数列3｝的前〃项

和为S”.

解析设该数列的公差为d,前〃项和为S”.由已知，得2q+2d=8,(4+3d了=

(6+4)(6+84),所以6+〃=4,4(4一34)=0,解得4=4,4=0或6=l,d=3,即

数列｛与｝的首项为4,公差为0,或首项为1,公差为3.所以数列的前〃项和为S„=4w或

03n2-n

s”二k-

变式1已知数列｛q｝的前〃项和S,,=n2-9n,则其通项a“=;若它的第k项满足

5</<8,则%=.

n

变式2已知数列｛〃〃｝的前〃项和Sn=a-l(a为非零实数)，那么｛%｝().

A.一定是等差数列B.一定是等比数列

C.或者是等差数列,或者是等比数列D.既不可能是等差数列,也不可能是等比数列

题型81等差、等比数列的求和

思路提示

求解等差或等比数列的前n项和S„,要准确地记住求和公式,并合理选取公式,尤其是

要注意其项数〃的值;对于奇偶项通项不统一和含绝对值的数列的求和问题要注意分类讨论.

主要是从〃为奇数、偶数，项。“的正、负进行分类.

一、公式法（准确记忆公式，合理选取公式）

=1，则该数列的前10项和为（）.

例6.5在等比数列｛4｝（〃€N*）中，若q=1,%

8

2，

8.2一最C・2一击-一

211

cc11WI

解析由g==0，=—,得q=一，所以S]()=-----=-—=2—-,故选B.

822

2

变式1{4}是由正数组成的等比数列，S,,为前〃项和，已知%%=1，§3=7,则S,=

变式2设/>5)=2+24+27+21°++23"+”>(〃GN),则/(〃)=().

7777

A—⑻一1)5.-(8,,+1-1)C.-(8,,+3-l)D.-(8,,+4-l)

7777

二、关于等比数列求和公式中4的讨论

例6.6设等比数列｛%｝的前n项和为S„,若S3,S9,S6成等差数列,求数列的公比q.

解析若q=1,则S3=3q,S6=6。|,09=9q,因为。尸0,所以S3+S6k2s,，与

S3,S9,S6成等差数列矛盾,故g¥1.

由题意可得§3+$6=2S9,即有）+一“）=2%d）

\-q1”\-q\-q

整理得j(2/-/-1)=0,又4/0,故2/一/一1=0,即Q/+1)(/-1)=0

因为彳工所以所以夕=《一次

31,/=—g,T—二-----

22

变式1设数列｛。“｝是等比数列,其前〃项和为S“，且S3=3%,则其公比q=

变式2求和S”=1+3x4-5x2+7x3+之2,neN*,xeR).

三、关于奇偶项求和问题的讨论

例6.7已知数列｛%｝的通项公式为““=(-1)”，2,求其前"项和为s”.

解析⑴当〃为偶数时，S“=l-22+32-4?++(〃-1)2一/

=(1-22)+(32-42)++[(n-l)2-n2]

=-[3+7++(2n-l)]

n

一(3+2“-1)(上]、

2_n(n+1)

―2-2->

(2)当〃为奇数时，则〃+1为偶数，

诉”cc八(n+l)(«+2)2〃(〃+1)

所以S“=Sn+i-an+]=-------------+(〃+1)=---.

-萼2(〃为正偶数)

综上，S.二j

妁罗(〃为正奇数)

评注：本题中，将〃为奇数的情形转化为〃为偶数的情形，可以避免

不必要的计算，此技巧值得同学们借鉴和应用。

变式1已知数列｛4｝中，通项％/譬鬻巴，,求其前〃项和s..

3(〃为止偶数)

四、对于含绝对值的数列求和

例6.8已知数列｛a„｝的前n项和S“=10〃一/，数列例｝的每一项都有

bn=|a„|,求数列也,｝的前〃项和Tn

解析：由S“=10〃—〃2,当〃z2时，S,i=10(〃-l)—(〃-l)2,

%=S■-S,i=-2〃+11

当几=1时，，q=S[=9满足%=—2〃+11,故。“=一2〃+11(ncN")

由a=同，当〃<5时、bn=an=-2n+11

2

此时Tn=|^||H----F=4H----F=1On—n

当〃26时，bn=-an=2n-11

此时,？=|4|+・一+|〃5|+,6|+・一+|°〃|=6+・一+〃5~a6

——(。］+•,•+cin)+2s5=—10〃+5()

10/7-n2(n<5,nGN")

故数列例｝的前几项和7；

n2-10〃+50(〃26,〃£N*)

评注：由正项开始的递减等差数列｛4｝的绝对值求和的计算题解题步骤如下:

(1)首先找出零值或者符号由正变负的项a,1n

S

(2)在对〃进行讨论，当〃4时，Tn=Sn,当〃>%时，Tn=2sM-n

变式1在等差数列｛2｝中，4。=23,25=-22,其前n项和为5„

(1)求使5“<0的最小正整数〃

⑵求Tn=|fi!||+1</21+,•,+1<2„|的表达式

变式2(2012湖北理18)已知等差数列｛&｝前三项的和为-3,前三项的积为8.

(1)求等差数列｛。〃｝的通项公式

⑵若a2,a3,ax成等比数列，求数歹11｛%|｝的前”项和

题型82等差、等比数列的性质应用

思路提示

利用等差、等比数列的性质，主要是利用：

①等差中项和等比中项

②等差数列中S,S,~S,S,—S,,•••成等差数列；

m72mm73m2m7

等比数列中Sm7,S,2m-Sm73m—S2,m,7…(当91=—1时加不为偶数)成等比数列.

③等差数列S2,i=(2〃-1)凡

④等差数列的单调性

利用以上性质，对巧解数列的选择题和填空题大有裨益。

一、利用性质:当机+〃=〃+4(肛〃,〃，46"")时，，在等差数列｛a“｝中，有

am+an=ap+4；在等比数列也”｝中，有bmbn=b九求解。

例6.9己知等差数列｛%｝的前〃项和为5,，若％=18-%，则§8等于()

A、18B、36C、54D、72

5_Lr-I/口.c41(Q[+Qq)x8(ClA4-Cie)X8LL3

解析：由%=18-々5得4+。5=18,S8=-----1----==-----------=72故选D

变式1设数列｛4｝,｛，｝都是等差数列，若q+乙=7,4+4=21，则%+/=

变式2在等差数列｛4｝中，己知能+仇=16,则该数列的前11项和S”等于（）

A、58B、88C、143D、176

变式3在等差数列｛4｝中，2（6+。4+。7）+339+为）=24,则该数列的前13项和13

等于（）A、13B、26C、52D、156

变式4在等差数列｛/｝中，q+%+%=39,4+4+的=27,则该数列的前9项和59

等于（）A、66B、99C、144D、297

二、利用等差数列中s,s,-s—s,,•••成等差数列；

tn72tntn7hm2m7

等比数列中一S"，s”“一£“,，•••（当q=—1时机不为偶数成等比数列求解。

例6.10等差数列此｝的前〃项和为5“，若&=2,S4=10,则§6等于（）

A、12B、18C、24D、42

解析：由$2,S4-SR—S4成等差数列且§2=2,S4-S2=8知§6-54=14,可得§6=14+

54=24故选C

评注：本题除了使用本法求解之外，还有几种求解方法，如（1）基本量法；（2）使用

I〃J

为等差数列求解；（3）使用5“=an2+bn｛nGN"）求解

变式1等差数列｛%｝的前〃项和为S“，若&=L,贝4旦=（）

43Ss

3111

A、—B、一C、一D、一

10398

变式2等比数列｛4｝的前〃项和为S“，若2=3,则之=（）

S3S。

78

A、2B、一C、一D、3

33

三、用有限等差数列的性质求解

例6.11已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15,偶数项之和为30,则其公差为（）

A、5B、4C,3D、2

解析：依题意有S奇=4+。3+“5+。7+。9=15，S偶=%+“4+&+。8+。10=30，

可知S偶一S奇=54=15,得d=3,故选C

变式1已知等差数列｛4｝的前〃项和为377,项数〃为奇数，且奇数项的和与偶数项的和

之比为7:6,求中项

变式2已知数列｛4｝与也,｝都是等差数列，且前n项和为S”与7；,且盘=乂土生，则

E,〃+3

使得组为整数的正整数〃的个数是()

A、2B、3C、4D、5

四、利用等差、等比数列的单调性求解

例6.12已知数列｛4｝是递增数列，且对〃eN*,都有4=/+幼，则实数力的取值范

围是()

7

A、(——,+00)B、［0,+<x>)C、［—2,+oo)D、(—3,+oo)

解析：由递增数列的定义，。,用>aJnwN*),得凡+i—%=2〃+1+4>0,即；I>一2〃-1,

〃@N*恒成立，则；1>一3,故选D

评注：(1)【错解】因为4="+相=(〃+2)2一］，由题意知｛4｝是递增数列，所以

《,="+助在1+0。)上是单调递增函数。因此可得―1<1=22—2,即所求彳的取值

范围是22一2.以上解答由｛a“｝是递增数列断定为=〃2+为7在1,+0。)上是单调递增函数，

这是错误的，因为数列通项公式中的〃是正整数，而不是取［1,心)上的任意实数。如图6-1

所示的数列｛q｝显然是递增数列，但不满足-事实上，-与<3.

图6-1

上述错解是由于忽略〃的取值范围而导致错误。

(2)在处理数列的单调性问题时应利用数列的单调性定义，即“若数列｛《,｝是递增数列

oX/neN*,a〃+]＞。〃恒成立“。

(3)数列。“=/(〃)的单调性与y=/(x),的单调性不完全一致。

一般情况下我们不应把数列的单调性转化为相应连续函数的单调性来处理。但若数列对应的

连续函数是单调函数，则可以借助其单调性来求解数列的单调性问题。即“离散函数有单调

性势连续函数由单调性；连续函数有单调性=离散函数有单调性

变式1已知函数/(x)=<G—3,(X47),若数列｛”"｝满足勺=/(〃)(〃eN*),且

a,>'/

｛a,J是递增数列，则实数a的取值范围是()

「9、9

A、-,3B、(-,3)C、(2,3)D、(1,3)

L4)4

例6.13在等差数列｛”“｝中，己知q=20,前〃项和为S“，且九二心，

求当〃为何值时，S“取最大值，并求此最大值。

分析：由4=20及九=%，可求出d，进而求出通项，由通项得到此数列前多少项为正，

或利用5“是关于n的二次函数，利用二次函数求最值的方法求解。

解析解法一：因为q=20,£O=S15,所以

1八c八10x9,、uc八15x14.,5

1Ox204------d=15x20H---------d,得znd——，

223

所以。〃=20+(〃一l)x(-g)=—1〃+号，故a”=。，当〃工12时，>0；当〃之14时、

%<0；所以当〃=12或力=13时，S“取最大值，最大值为S12=S]3=130

解法二：依题意，5〃=卬22+力13工0),如图6・2所示。

由次=%得〃=12或〃=13时5“取最大值，一聂等，得到。=一|力=限

05125

S=­—n2H----n,Se[2=S3=130

n66

=*:由S[0—S]5知j+6f12+413+。]4+《5=0»故5。]3=0，得。]3=0,

&=写里=一2,故当“=12或〃=13时S”取最大值，最大值为S|2=S|3=130.

评注：求等差数列前〃项和S”的最值的常用方法如下：

（1）利用等差数列的单调性，求出其正负转折项。

（2）利用性质求出其正负转折项，便可以求得和的最值。

（3）利用等差数列前〃项和5“=。/+勿?（。¥0）为二次函数，根据二次函数的性质求最

值。

变式1数列｛4｝是等差数列，若如■＜-】，且其前〃项和S,有最小值，那么当S“取最小值

。10

时，几等于（）

A、11B、17C、19D、20

变式2设等比数列｛4｝的首项为4,公比为q,则“％＜0且0＜夕＜1”是“对于任意〃GN*

都有q+1＞凡”的（）

A、充分不必要条件B、必要不充分条件

C、充分必要条件D、既不充分也不必要条件

变式3已知凡/一吧则在数列｛。,｝的前50项中最小项和最大项分别是

〃一。79

)

A、Q],Q50B、Qg，〃50C、。8，“9D、。9，“8

题型83判断和证明数列是等差、等比数列

思路提不

判断和证明数列是等差、等比数列常见的3中方法如下：

（D定义法：对于〃22的任意正整数，都有a“-%T（或2•）为同一常数（用于证明）。

（2）通项公式法：

①若a“=q+（〃—1）3=〃4+（6-4）,则数列｛4｝为等差数列（用于判断）：

②若=色・。"=。・小则数列｛%｝为等比数列（用于判断）;

(3)中项公式法：

①若2%=+4的(〃22,〃eN*),则数列｛%｝为等差数列(用于证明)；

②若用(〃N2,〃eN*),则数列｛a“｝为等比数列(用于证明)；

一、定义法

例6.14(1)设｛4｝为等差数列，证明：数列上册｝(c>O,cwl)是等比数列。

(2)设｛4｝为正项等比数列，证明：数列｛log,.a“｝(c>O,cHl)是等差数列。

分析本题蒋函数与数列巧妙地结合，完美地进行等差数列与等比数列的转化，可利用定义

法证明。

解析(1)｛a“｝为等差数列，则。“一/_1=4(〃N2,〃eN*,d为常数)，令a=产，则

号=二==c”工0是常数，所以数列上"｝是等比数列。

(2)｛a,,｝为正项等比数列，则-(q>0)令2=1o呼“，则

an

%一2=1。甑+iT°的=1。a是常数，所以数列｛log,a“｝是等差数列。

评注将等差数列转化为等比数列，利用指数运算来转化;将正项等比数列转化为等差数列,

利用对数运算来转化。

变式1在数列｛%｝中，S,+1=4。“+2且q=1

⑴设a=«„+|-2a,,,求证：数列也,｝是等比数列

(2)设g=云，求证：数列｛%｝是等差数列

变式2数列｛。“｝的前〃项和为5“，已知q=l,m(〃=2,3,4,…)，证明：

n

数列｛1｝是等比数列。

变式3已知定义在R上的函数/(x)和数列｛a,J满足下列条件：G=。，

4=/3“-1)(〃=2,3,4,…)，(%*/),/(a“)一/(6”])=Ha“一a“_1)

(〃=2,3,4,…)，其中。为常数，人为非零常数。令包="向一生(〃eN*),证明：数列

也“｝为等比数列。

二、中项公式法

例6.15已知数列｛”“｝满足q=1,4=3，。“+2=3。“+|-2a“(〃eN*).

(1)证明：数列｛an+l-a,,｝为等比数列。

(2)求数列｛凡｝的通项公式。

(3)若数列也｝满足4"门•华-，型门•…・4〃”T=(见+1卢(〃eN*),证明：数列也,｝是

等差数列。

分析第(1)问利用定义证明；由第(1)问可得｛4｝的通项公式；第(3)问的解答需要

将｛4,｝的通项公式带入并整理。三间环环相扣，每一问都是后一问解题的基础。

解析(1)因为a*=3a“+i-2a“，所以。”+2-a.+i=2(a“+1-/)，即

“，，+2-4用=2,(〃eN*),又a,-q=2,故数列｛a,用一a“｝是首项为2,公比为2的等

aa

n+l-„

比数列。

(2)由(1)得=2"(〃£N")

2H_1

故出―q=21a3—a2=2fa4—a3=9…，an—an_x-2(n>2)

叠加得到/一%=出二^=2"-2,所以%=2"-l(/?>2)〃=1时也成立，所以

"11-2

a“=2"-l(〃GN*)

(3)由(2)可知4"小・4”-1.心t•…・4〃"T=(a“+l)4,

即4的+5也-")=2咻,故2(bi+b2+---+bn)-2n=nbn

设S”为数列也,｝的前〃项和，则2S,,-2〃=〃勿①，

2s,用一2(〃+1)=(〃+1应用②，

两式相减得2%-2=5+l)b„+1-nbn即他一2=(〃一1)%③

则有(〃一1)6,1-2=(〃-2)勿@(/?>2)@一③得2(〃一\)b„=(〃一皿e+(〃-IM,-，

即2bn=bn+l+%(心2)故数列物,｝是等差数列。

评注第(1)问给出数列｛4｝的一个递推公式，要证明形如｛a,用-〃,,｝的数列为等差或等

比数列，一般将递推公式代入，利用定义法证明。利用等差中项法解决第(3)问并不能明

显看出来，这需要在对第(3)问的整理和变形中去发现解题方法。在解数学题时，既要有

严谨的推理，也要勇于探索尝试。

变式1设｛%｝是公比不为1的等比数列，其前〃项和为S“，且%，的，久成等差数列.

(1)求数列｛。“｝的公比；

(2)证明：对任意S-,SQSN成等差数列.

变式2设数列…中的每一项都不为0.

证明：｛《,｝为等差数列的充分必要条件是：对任何〃eN+，都有一匚+—L+

4a2a2a3anan+i

n

叽+i

题型84等差数列与等比数列的综合应用

思路提示

(1)等差数列与等比数列的相互转化：等差数列通过指数运算转化为正项等比数列，正项等

比数列通过对数运算转化为等差数列。

(2)等差数列和等比数列的交汇，若一个数列既是等差数列又是等比数列，则该数列为非零

常数数列。

一、等差数列与等比数列的相互转化

例6.16已知数列此｝,也,｝是各项均为正数的等比数列，设g=%(〃eN*)

(1)数列｛%｝是否为等比数列？证明你的结论

(2)设数列｛in4｝,｛in2｝的前〃项和分别为S“，却若q=2,鼠=，—，求数列｛%｝

T„2及+1

的前〃项和

解析(1)数列｛g｝是等比数列。依题意，设｛/｝的公比为名(小〉0),位,｝的公比为%

(%>0),

则氾=2±="，故数列｛%｝是等比数歹u。

*久1

（2）由题意知数列｛in4“｝,｛山2｝都是等差数列，且盘=」一，

T„2〃+1

得到鼠」=也n=@"，因为In。，，Inb,都是关于〃的一次型函数，可令lna“

QT4〃一1Inbn

-r（2/?—1）,则Inbn=r（4九一1）（厂w0）当〃=1时，Inq=r=In2,即In4=（2〃-l）ln2,

,、4

a“=22"T,同理a=2"1,故c“=4",进一步可得数列｛qj的前〃项和为2（4"-1）

变式1设数列｛为｝是正项等比数列，且%。6=81，那么log3%+log3%+…+bg34o

的值是（）

A、30B、20C、10D、5

变式2已知等比数列｛%｝满足各项均为正数，且见4.-5=22"（n>3）,则当〃21时，

logzG+log2a3+…+bg2a2.-1等于（）

A、n（2n-l）B、（"+1）2C、n2D、（H-I）2

变式3设｛a“｝是公比大于1的等比数列，前〃项和为S“，已知S3=7,且q+3,3a2,

%+4构成等差数列。

（1）求数列｛%｝的通项；

（2）令a=ln4"+i（〃eN*）,求数列也｝的前〃项和T”.

二、等差数列和等比数列的交汇问题

3

例6.17已知首项为］的等比数列｛许｝不是递减数列，其前〃项和为S”（〃wN"）,且

S3+a3,S5+a5,S4+%成等差数列，求数列｛4｝的通项公式。

分析利用等比数列的性质结合已知条件求出公比q,进而可得通项公式。

解析设等比数列｛4｝的公比为q,因为S3+%，S5+a5,$4+%成

21

等差数列，所以2（S5+%）=邑+。3+54+。4,即4。5=。3,于是。=^，又数列

31

｛a“｝不是递减数列，q=§，所以9=一］，故数列｛a,J的通项公式

%=]"!严=（_1）-

222

变式1设数列｛。“｝是首项为a,公差为d（dwO）的等差数列，其前〃项和为S”记

s

2

b"=*,（neTV,）,配夕，成等比数列，证明：Snk=nSk（左,〃eN*）

n

例6.18在等差数列｛4｝中，公差d。（），的是《与4的等比中项，已知数列外,%，%，

%，…，他，…成等比数列，求数列｛幺｝的通项心

解析依题意可得靖=6%，所以3+d）2=q（q+30,由可得

q=d,则a“=〃d,由已知得d,3d,"d,42",…是等比数列。

因为所以1,3,匕,右,…,4,…成等比数列，首项为1，公比为3,

由此匕=9,所以幻=9x3"T=3的"N*）,故数列｛尤｝的通项为儿=3"|

a

变式1设2009个不全相等的正数％,a2,■■■,“2009依次围成一个圆圈，且。|，2,■,,,

《005是公差为d的等差数列，而%，。2009”2008，…，《006是公比为4的等比数列，«2=51

求通项

a2008+«2009=12ct1,a“（〃42009,〃eN”）

例6,19设q,生，…,“”是各项均不为零的〃（〃之4）项等差数列，且公差1。（）.若将此数列

删去某一项后得到的数列（按原来的顺序排列）是等比数列。

（1）①当〃=4时，求4•的数值；②求〃的所有可能值.

d

（2）求证：对于给定的正整数〃（〃24）,存在一个各项及公差均不为0的等差数列

打其中任意三项（按原来的顺序）都不能组成等比数列。

解析（1）①依题意，等差数列为％,。2，。3，。4，假设要删去4或。4,当删去4时，a2,a3,a4

既是等差数列又是等比数列，故d=0,与题意不合；当删除久时，％,4，%既是等差数

列又是等比数列，故d=0,与题意不合；因此删去的项只能是々或的若删去的，则由

%,由，。4成等比数列，得（％+24）2=4（《+34）.因故由上式得％=-4d,即如

=-4.jt匕时数列为一4”,-34,-24,-4,满足题设.若删去附，则4,4,4成等比数列，得

(q+d)2=q(4+3d).因d/O,故由上式得q=d,即幺=1.此时数列为

d

d,2d,3d,4d满足题设.

综上可知色的值为-4或1.

d

②一个“基本事实”：一个数列既是等差数列又是等比数列,则该数列是非零常数数列。当n*

时，则从满足题设的数列％,外，…,为中删去任意一项后得到的数列，必有原数列中的连续

三项，从而这三项既成等差数列又成等比数列，故知，数列4，生，的公差必为0,这

与题设矛盾.所以满足题设的数列的项数〃<5.又因题设〃24,故〃=4或〃=5.

当〃=4时，由(1)中的讨论知存在满足题设的数列.

当〃=5时，若存在满足题设的数列q,4,%，4，%，则由“基本事实''知，删去的项只能是出，

从而ax,a2,a„a5成等比数列，故⑷+1产=4(6+34)且

(q+3d)2=(q+a)(6+4d).分别化简上述两个等式，得q=d和4=-5d,故

d=0.矛盾.因此，不存在满足题设的项数为5的等差数列.综上可知，〃只能为4.

(2)假设对于某个正整数〃，存在一个公差为人的〃项等差数列

b[,b[+k「・・b、+(n-l)k,其中三项力]+班Z,b]+m2k,4+加3%成等比数列，这里

2

0<tnl<m2<m3<n-lf则有(仇+m2k)=(4+机/)(4+m3k),整理得

(欣一班机3)攵2=(町+%一2a2)。#,由。/w0得：叫+多—2%=。且底一机即3=0

或者当m,+m3—2m2，0且根;一根]的w0时，—=————

k町+g-2ml

若/叫+机3-2m2-0且m；一仍加3=0,则m]=m2=m3,矛盾。

若且=应一町吗，等式右边为有理数，当与为无理数时就产生矛盾。因此，只要与

k町+砥一2mlkk

为无理数，｛/｝中任意三项不构成等比数列。

评注本题考察了一个基本事实：一个数列既是等差数列又是等比数列，则该数列是非零常

数数列。

变式1、设等差数列｛4,｝包含1和后，求证：｛%｝中的任意三项不构成等比数列。

最有效训练题23（限时45分钟）

1、等差数列｛勺｝的公差不为零，首项q=1,%是%和生的等比中项，

则数列｛%｝的前10项之和是（）

A、90B、100C、145D、190

2、设数列｛4｝为等差数列，其前〃项和为S”，已知6+%+%=外，

%+%+/=93,若对任意的〃eN*,都有S“4S«,则％的值为（）

A、22B、21C、20D、19

3、如果等差