双曲线的简单几何性质(二) 同步练习-高二年级上册数学人教A版（2019）选择性必修第一册

3.2.2双曲线的简单几何性质（2）

一、单选题

1.已知斜率为1的直线/与双曲线土-y2=i的右支交于A,B两点，若|A5|=8,

4-

则直线/的方程为（）

A.y=X+V2TB.y=x—A/2?C.y=D.y=x+3f

32

2.已知圆（x—l）?+y2=己的一条切线y=区与双曲线C：f—v2=1（。〉0]〉0）

4"ab'r

没有公共点，则双曲线C的离心率的取值范围是（）

A.（1,73）B.（1,2]C.（V3,+oo）D.[2,+00）

3.设耳，鸟是双曲线C：3-g=l的两个焦点，。为坐标原点，点尸在C上且|OP|=3,

则△「月鸟的面积为（）

A.3B.-C.辿D.5

22

22

4.已知耳，工是双曲线C：j―3=1（。〉0]〉0）的两个焦点，|耳玛|=2石，

ab

离心率为半，是双曲线C上的一点，若M•近<0,则方的取值范围

是（）

A.（-44）B.（-44）C.（一半平）D.（一半孚）

22

5.若直线y=2x与双曲线二—与=1（。〉0/〉0）有公共点，则双曲线的离心率的

ab

取值范围为（）

A.（1,6）B.（A/5,+OO）C.（1,75]D,[A/5,+<»）

6.已知双曲线方程为V—匕=1,过P（l,0）的直线乙与双曲线只有一个公共点，则L

4

的条数共有（）

A.4条B.3条C.2条D.1条

7.己知双曲线C：y-y2=1,若直线/：y=Ax+"z(Am#O)与双曲线C交于不同

的两点M,N,且M,N都在以A(O,-1)为圆心的圆上，则根的取值范围是()

A.(-1,0)u(3,+oo)B.(3,+00)

C.(—8,0)53,+8)D.(-1,3)

二、多选题

22

8.已知双曲线C：二—二=1(。〉01〉0)的左，右焦点分别为《，凡，过凡作垂

矿b~

直于渐近线的直线/交两渐近线于A,B两点,若3|名川=|工初，则双曲线C的离心率

可能为()

A.B,—C,A/3D.75

112

22

9.已知双曲线三—与=1(。〉0］〉0)的左、右焦点分别为耳、F,,左、右顶点分

ab~

别为A、B,。为坐标原点.点P为双曲线上任意一点(异于实轴端点)，过点及作

/耳「鸟的平分线的垂线，垂足为°,连接OQ.则下列结论正确的有.()

A.OQ//PF2B.\OQ\=a

2

C.\PF\-\PF2\=2bD.(凡.)侬=。2

三、填空题

10.若直线x—y+m=0与双曲线必—t=1交于不同的两点A,B,且线段AB的中

2

点在圆好+V=5上，则机的值为.

11.直线y=依+1与双曲线3/—y2=1相交于不同的两点AB.若点A,B分别在双

曲线的左、右两支上，则实数上的取值范围为；若以线段A8为直径的圆经

过坐标原点，则实数上的值为.

22

12.已知双曲线C：-匕=1的右焦点为「过/的直线/与C交于A、B两点，

45

若||=5,则满足条件的/的条数为.

13.已知双曲线工―与=1（。〉0］〉0）的离心率为2,4,B分别是双曲线的左、

ab

右焦点，点M（—。,0）,N（0,»,点P为线段上的动点，当两•朋取得最小值

和最大值时，耳工的面积分别为s「邑，则邑=.

四、解答题

22

14.设A,8分别为双曲线二一斗=1（。〉0］〉0）的左，右顶点，双曲线的实轴长

ab

为46，焦点到渐近线的距离为6.

（1）求双曲线的方程；

（2）已知直线y=2与双曲线的右支交于M、N两点，且在双曲线的右支上存在

点、D,^OM+ON^tOD,求f的值及点。的坐标.

15.如图，平面上，P、Q两地间距离为4,。为尸。中点，M处为一基站，设其发射

的电波为直线，测量得NMOQ=60°,且0、M间距离为26，现一机器人N正在运

行，它在运行过程中始终保持到P地的距离比到。地的距离大2（尸、。、M、N及电波

直线均共面），请建立适当的平面直角坐标系.

（1）求出机器人N运行的轨迹方程；

（2）为了使机器人N免受/处发射的电波的影响（即机器人接触不到过点M的直线），

求出电波所在直线斜率k的取值范围.

16.已知双曲线E：=一二=1(。〉0］〉0)的两条渐近线方程为丫=±氐，且点

ab

P(2,3)为E上一点.

⑴求E的标准方程；

(2)设M为E在第一象限的任一点，过M的直线与E恰有一个公共点，且分别与E的

两条渐近线交于点A,B,设。为坐标原点，证明：AAOB面积为定值.

17.已知双曲线。：三—］=1(。〉0］〉0)的离心率为2,过点P(0,逐)且斜率为

1的直线/交双曲线C于A,B两点.且西•丽=3.

(1)求双曲线C的标准方程.

(2)设。为双曲线C右支上的一个动点，/为双曲线C的右焦点，在x轴的负半轴上是

否存在定点".使得/QWW=2/QMF?若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明

理由.

答案和解析

1.【答案】B

解：设直线/的方程为y=%+相，45,必），B（物心）.

y=x+m

由1f得3f+8mx+4m2+4=0,

—-/=1

14'

l4m2+48m

叫1ThU尤］%=-----，%+马=---

无2

又因为1明=8,且42是直线,与双曲线w-V右支的交点，

所以\AB\=\/2x个（阳+C2）2—4优资2=8,且——＞0,

即逐X.（4）*_4X=8且加＜0，

解得加2=21,且加＜0,

所以7〃=—J五，

所以直线/的方程为y=x-J万.

故选5

2.【答案】B

解：由题意，圆心到直线的距离d=1=走,.•.左=±6，

VF712

O22

圆（X—1）2+9=三的一条切线y=履与双曲线C：'—斗=1（。〉0］〉0）没有公共点,

4ab

b

与其中一条渐近线y=斜率比较即可，

a

b仄［。2

„A/3，1H4，

aa

二.双曲线C的离心率的取值范围是（1,2］.

故答案选：B.

3.【答案】D

解：由已知得a=2,c=3.

设P(x,y),

由|OP|=3,得/+丁=9,

所以好二乡一产，

代入土—匕=1,解得y=±乙

453

所以片乙||y|=1x6x|±||=5,

故选D

4.【答案】A

解：由题意，c=6，a=也,b=1,

无2

二.双曲线方程为——V=i.

2

・.・斯•近<0,

+y：-3<0,

e.•XQ=2+2yO2,

—1<0,

・一妇<y<2

••3%3'

故选：A

5.【答案】B

X1v2A

解：双曲线――二=1(。＞Q,b＞0)的渐近线方程为y=±-x,

矿b~a

由双曲线与直线y=2x有交点，

b

则有一〉2,

a

即有e=±=、月2=\向后＞g=逐，

a\aVa

则双曲线的离心率的取值范围为(J?,+8).

故选：B.

6.【答案】B

解：由题意可得：双曲线/—匕=1的渐近线方程为：y=±2x,

4

点尸(1,0)是双曲线的右顶点，故直线无=1与双曲线只有一个公共点；

过点P(1,0)平行于渐近线y=±2%时，直线乙与双曲线只有一个公共点，有2条,

所以，过P(l,0)的直线L与双曲线只有一个公共点，这样的直线共有3条.

故选8

7.【答案】A

解：设”(和％),N(%,%)，

由｛“2—2A：2)®2-4：kmx—2(1+m2)=0,

则]72号0,①，

[△>0=>1+病一2/>0

l4mk-2(m2+1)

且MM=------，=------片—,

12l-2k2l-2k2

设MN的中点为G(x°,%),则xo=\筌，%=1枭，

在以A为圆心的圆上，=

：G为A/N的中点，

：.AG±MN,

l+m-2k?,.

--------------k=-l,2k2=3〃z+l②,

2km

由①②得一1＜加＜0或m＞3,

3

故选A

8.【答案】BC

解：由题意得直线/垂直于渐近线丫=上b工，则。4,3玛,

a

由双曲线性质得|人工|=6,|QA|=a,

由31gAi=|名8|,得|AB|=21A/|=2b^,\AB\=4\AF2\=4b.

当|AB|=2|A6|=2方时,如图:

2b

在RIABCH中，tanZBOA=—

a

b

由双曲线渐近线性质得ZAOF=/BOF],tanZAOF=-

22a

因此有tanZBOA=tan("-2NAO玛)=-tan(2NAOg)

当”3女，化简得2=3,

22

l-tanZAO7^-1baa

[a2

故离心率6=)1+2=技

Va

当|AB|=4〃时，如图:

h47?

在Rt&4O8中，tanNAOg一，在RQAOB中，tanZAOB=—

aa

cb

4b2x—

因为乙4。2=2乙4。工，利用二倍角公式，得竺=-5

a1.（与

a

化简得自2=L故离心率e=J1+/=Y5

a2V«2

综上所述，离心率e的值为6或逅

2

故选BC

9.【答案】ABD

解：如图所示：

A选项，延长片。交于点C,

因为尸。为/耳2鸟的平分线，PQLF.Q,

故。为耳。的中点，|£Q|=|QC|,

又因为乙。|，即。为月巴的中点，

故。。为△耳工。的中位线，

所以|4。|=2|。。|,OQ//F2C,

又因为P、B、c共线，

故OQ〃尸鸟，故A正确；

8选项，由定义可知I-|PEJ=2a,

因为|耳尸|=|PC|,而|KP|—|P居|=2a,

故|PC|—|「耳|=|乙C|=2a,而|「。|=2|。。|,

故I。。1='义2a=a，故B正确；

2

C选项,^\PFl\-\PF2\=2b,

222

贝力P片F+1PF°『=（|PF1\-\PF2\）+2\PFi||PF°|=4a+4〃=4c=（月玛/,

则/月2月=90。，题中无说明，故不成立，故C错误；

。选项，因为|AB|=2a,|OQ|=a,

当。。_1无轴时，（SA3o）max=一x2axa=a2,故。正确.

-、△/1£>¥/lllaA

故选：ABD.

10.【答案】±1

解：设A,B两点的坐标分别为B(x2,y2),线段AB的中点为”(%,%).

由137一另一'得2mx—加一2=0(公〉0),

、»-jr+m=0,

2

贝ij玉+々=2m,xxx2=-m-2,

x.+x2c

x0=,।2，=m,y0x0+m-2m.

•.,点MOo，%)在圆好+产=5上，

m2+(2/n)2=5,

故答案为±1.

11.【答案】卜《，阀）

±1

解：⑴由直线,=区+1与双曲线3x2—y2=1,得（3—左2）/一2履一2=0,

-2

因为A,8在双曲线的左右两支上，所以3—左2/0,<0

3-k2

解得-6<k<6；

（2）假设存在实数公使得以线段A8为直径的圆经过坐标原点，设4（%,口）,B（x2,y2）,

则OA-OB=0,即+%%=0，

xxx2+(kxx+l)(fcr2+1)=0,

即伏2+1)XJX2+k(x1+x2)+1=0,

-22k

+k-+1=0,

3-k23-k2

整理得42=1,符合条件,

k—+1.

故答案为卜匈；±1.

12.【答案】3

解：•.•々2=4,片=5,。2=9,则尸(3,0),若A、2都在右支上，

当AB垂直于x轴时，将％=3代入/―\-=1得'=±彳，则1筋1=5,满足,

若A、2分别在两支上，.•.两顶点的距离为2+2=4<5,

满足|AB|=5的直线有2条，且关于x轴对称，

综上满足条件的/的条数为3.

故答案为：3.

13.【答案】4

解：离心率为6=2=2,即c=2a,b—y/3a,

a

M(—a,0),NQ,b),可得MN的方程为陵—纱+9?=0,

设P(加,〃)，Fx(-c,0),£(GO)，

可得跳JPF2=(—c—m,—n)-(c—m,—n)=m2+AZ2—c2,

由加2+/="M+*)2表示原点。与p的距离的平方，

显然OP垂直于MN时，|0P|最小，

由。P：y=_*x,即>=—联立直线上x—y+W=0,

可得P(—乎a),即H=，2c•冷

当尸与N重合时，可得|。尸|最大，

可得S?=g.2c.b=2函,

即有邑=卒d=4.

H旦2

2a

故答案为：4.

b

14.【答案】解：⑴双曲线的渐近方程为y=±±x,焦点为歹(土c,0),

a

：.焦点到渐近线的距离为上4=b二代,

，7+炉

又2〃=4G,

a=2A/3,

22

双曲线的方程为土-匕=1.

123

（2）设点加（号,%）,阳工2，%），0（%，%），

由<f—16石％+84=0,

/.玉+%=16^3,必+%=+%2）-4=12,

■.■OM+ON=tOD,f（玉）,%）=（%+无2，%+%），

（W3）2（12）2

又点。（升,%）在双曲线上，—------=1,

解得d=16,•.•点。在双曲线的右支上，

:.t>0,

：.t=4,此时点0（4石,3）.

15.【答案】解：（1）如图所示，以点。为坐标原点，以尸。所在的直线为x轴建立直角坐标

系，

则P(-2,0),。(2,0),

设点N(x,y),则|NP|-1NQ\=2<|PQ\=4,

所以动点N是以点P,Q为焦点的双曲线的右支，

由题得2。=2,c=2,a=1

所以/=4—1=3,

所以动点N的轨迹方程为=1Q..1).

(2)由题得点M的坐标为(A/3,3),

设直线的方程为y—3=Mx—百)，即：y=k(x-s/3)+3,

2

联立直线和必一'=1(乂.1),

消去y得(3—k2)x2+(2限②-6k)x+6辰-3V-12=0

当3-左2=0时，若左=6,此时直线就是双曲线的渐近线，符合题意；

当k=-6,此时直线与双曲线右支一定有交点，不符合题意；

当3—4270时,由A<o得(2限2—6左)2—4(3-k'(66k-3P-12)<0,

所以伏-百)伏-20)<0,

所以百〈左<2百.

综合得依，左<26.

所以电波所在直线斜率左的取值范围卜敕28).

i22

16.【答案】解：⑴当2=8时，E的标准方程为二—二=1,代入（2,3）,解得储=1.

aa3a

故E的标准方程为炉—2L=1.

3

（2）直线斜率显然存在，设直线方程为y=+与必―5=1联立得：

（比2—3）%2+2ktx+?2+3=0.

由题意,土石且A=4左21—4（左2—3）（产+3）=0,化简得:t2-k2+3=O.

设4（石，％）,3。2，%），

将丁=区+。与y=Gx联立，解得X]=方2—；与y=联立，解得马=下」一.

y/3—kyj3+k

SAAOB=力OAI•I0例•sinZAOB=彳I2%I•I29I•Sin120°=GI1=

22