高等数学下考试题库(含答案解析)

《高等数学》试卷1（下）

一・选择题（3分xIO）

1.点以（2,3,1）到点加2（2,7,4）的距离1MlM21=（）•

A.3B.4C.5D.6

2.向量G=—；+21+旧石=2：+亍，则有（）.

A.aIIb=qD.g,B）=£

3.函数y=J2--一丁-----的定义域是（）.

.j/+y2_l

A.｛（x,刈<x2+y2<2｝B.｛卜,y|l<x2+j2<2）｝

C.｛（x,yjl<x2+y2<2]D|（x,yjl<x2+y2<2]

4.两个向量。与B垂直的充要条件是（）.

K.a-b=0Q.axb=6C.a—b=0D.a+b=6

5.函数2=九3+丁3―3肛的极小值是（）.

A.2B.-2C.lD.-l

dz

6.设z=xsiny,则丁）.

Sy吟

A.字B.一芋C.6D

81

7.若p级数收敛，则（）.

p

〃=in

A.p<lB.pVlC.p〉lD./?>1

00xn

8.募级数£一的收敛域为（）.

»=1n

A.[-1,1]B（-l,l）C.[-l,l）D.（-l,l]

9.幕级数£[W]在收敛域内的和函数是（）.

A12…2

A.------B.-------C.------

1—x2—x1—x

10.微分方程盯ylny=O的通解为（).

A.y=cexB.y=/C.y=cxexD.y二eB

二.填空题（4分x5）

1.一平面过点A（0Q3）且垂直于直线A8,其中点夙2,-1,1）,则此平面方程为

2.函数z=sin（肛）的全微分是.

3.设Z=x3y2_3城—xy+l,贝

oxoy

4.的麦克劳林级数是

三.计算题（5分x6）

1.设z=e"sinv,而&=冲,v=x+y,求色，店.

dxdy

2.已知隐函数2=z（x,y）由方程--2y2+z2—4x+2z-5=。确定，求丁，丁.

oxdy

3.计算jjsin+y2db,其中。：42<工2+y2<船严.

D

4.求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（R为半径）.

四.应用题（10分X2）

1.要用铁板做一个体积为2加3的有盖长方体水箱，问长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省?

试卷1参考答案

一・选择题CBCADACCBD

二.填空题

1.2x—y—2z+6=0.

2.co^xy)^ydx+xdy).

3.6x2y-9y2-1.

4.

n=0乙

2x

5.y=（Q+C2x）e~.

三.计算题

1=exy［ysin（x+y）+cos（x+y）］,-=e盯［xsin（%+y）+cos（x+y）］.

dxdy

dz_2-xdz_2y

dxz+19z+1

广2»广2万2

3.J。dcp^sinp-pdp=-67r.

苧・

5.y=c—c.

四.应用题

1.长、宽、高均为Vim时，用料最省.

2.y

3

《高数》试卷2（下）

一・选择题（3分xlO）

1.点监（4,3,1）,二2（7,12）的距离|陷加21=（）.

A.V12B.V13C.V14D.V15

2.设两平面方程分别为x—2y+2z+l=0和—x+y+5=0,则两平面的夹角为（）.

、兀c71nc兀

A.—B.—C.—D.—

6432

3.函数2=2爪5皿（无2+/）的定义域为（）.

A.h加<x2+j2<1}B.hyjo<x2+y2<1］

C.<（x,yjo<x2+y2<^->D.<（x,y）0<%2+y2<y>

4.点P（—到平面x+2y—2z—5=0的距离为（）.

A.3B.4C.5D.6

5.函数z=2肛一3——2y2的极大值为（）.

A.OB.lC.-lD.-

2

6.设Z=+3盯+,则|.

ex1

A.6B.7C.8D.9

00

7.若几何级数是收敛的，则（）.

n=0

A.r<lB.r>lC.|r|<lD.|r|<l

00

8.募级数ZM+l*1的收敛域为().

n=0

A.[-1,1]B.[-l,l)C.(-l,l]D.(-1,1)

9.级数£包詈是（）.

〃=1〃

A.条件收敛B.绝对收敛C.发散D.不能确定

二.填空题（4分义5）

x=3+1

1.直线/过点A（2,2,-1）且与直线卜=/平行，则直线/的方程为.

z=l-2t

2.函数2:6个的全微分为.

3.曲面z=2尤2—4/在点（2,1,4）处的切平面方程为.

三.计算题（5分x6）

1.设5=，+2/—=2/+31,求5x3.

c、八22K_p.dzdz

2.1gz-uv-uv,而〃=xcosy,v=jrsiny,求一,一.

,dxdy

3.已知隐函数z=z（x,y）由/+3xyz=2确定，求Sz丁0，Z丁.

oxdy

4.如图，求球面无2+y2+z2=4/与圆柱面无2+y2=2。%（«>0）所围的几何体的体积.

四.应用题（10分X2）

L试用二重积分计算由y=&,y=26和％=4所围图形的面积.

试卷2参考答案

一.选择题CBABACCDBA.

二.填空题

x—2y—2z+1

1.---=-----=----.

112

2.exy{ydx+xdy).

3.8x-8y-z=4.

00

4㈠)”.

n=0

4

5.y=x.

三.计算题

1.8z-3j+2k.

2.­=3x2sinjcosj(cosj-sinj),—=-2x3sinjcosj(sinj+cosj)+x3(sin?j+cos3j).

dxdy

dz—yzdz—xz

dxxy+z29dyxy+z2

2xx

5.y^Cxe~+C2e-.

四.应用题

心.

3

c12

2.x——-gt+v。%+XQ.

《高等数学》试卷3(下)

一、选择题（本题共10小题，每题3分，共30分）

2、a=i+2j-k/b=2j+3k,则。与b的向量积为（）

A、i-j+2kB、8i-j+2kC、8i-3j+2kD、8i-3i+k

3、点P点、-2、1）到平面x+2y-2z-5=0的距离为（）

A、2B、3C、4Ds5

7T

4、函数z=xsiny在点-）处的两个偏导数分别为（)

V2V24141V2

A、B、C、D、

222

5、®x2+y2+z2=2Rx,则丁，丁分别为()

oxdy

x—Rx—Rx—Rx—R

A、2B、2C、2D、2

zzzzZZZZ

6、设圆心在原点，半径为R,面密度为〃=无2+V的薄板的质量为（）（面积A二成2）

1

A、R2AB、2R2AC、3R2AD、-R72A

2

8无〃

7、级数Z（—1）"一的收敛半径为（)

〃=1n

]_

A、2B、C、1D、3

2

8、cosx的麦克劳林级数为（)

/2〃00n002n002n-l

x~xJi

A、y(-i)nB、X(T"C、X(T)'D、

士(2n)!n=l(Wn=0(Wn=0(2n-l)!

二、填空题（本题共5小题，每题4分,共20分）

匕^二z的夹角为

1、直线L]:x=y=z与直线L:

22-1

直线L3：==2盘=|与平面3x+2y-6z=0之间的夹角为

2、(0.98)2。3的近似值为sinlO。的近似值为。

3、二重积分JJd(y,D:x2+y2<1的值为=

D

coopn

4、帚级数的收敛半径为___________之一的收敛半径为____________o

H=0n=0"!

三、计算题(本题共6小题，每小题5分，共30分)

2、求曲线x=t,y斗吃斗3在点(1,1,1)处的切线及法平面方程.

3、计算“孙的其中。由直线y=Lx=2及y=x围成.

D

001

4、问级数£(-l)"sin-收敛吗？若收敛，则是条件收敛还是绝对攵敛？

„=1n

5、将函数f(x)=e3x展成麦克劳林级数

四、应用题(本题共2小题，每题10分，共20分)

1、求表面积为a?而体积最大的长方体体积。

参考答案

一、选择题

】、D2、C3、C4、A5、B6、D7、C8、A9、B

10,A

二、填空题

28

1、6/rcos—=,arcsin—2、0.96,0.17365

V1821

3、A4、0,+oo

—1

5、y=ce2,cx=l---

y

三、计算题

2、解：因为x=t,y=P,z=t3,

所以Xt=l,yt=2tz=3t2,

=

所以“|仁尸1,v|十=]二2,zt|t=i3

x—1y—1z—1

故切线方程为：丁=2]—=亍

法平面方程为：(x-1)+2(y-l)+3(z-l)=0

即x+2y+3z=6

3、解：因为D由直线y=1,x=2,y=x围成,

所以

D:pwyw2

lywxw2

故:孙初=xyd^dy=^(2y-^-)dy=1；

DY28

4、解：这是交错级数，因为

Vn=sin—)0,所以，3+l〈Vh,且limsin4=0,所以该级数为莱布尼兹S级数，故收敛。

nn

-1i®i

■v三.1坐+4-p.g(?Hr‘in”▽行和3—发散，从而'sin—发散。丘

又2sin—当x趋于0时,sinx〜x,所以,lim---=1,又级数台〃5

n

所以，原级数条件收敛

11n

e''=1+XH—xH---丁H—H-----X

、解:因为2!3!n!

XG(-00,+00)

用2x代x,得：

e2x=l+(2x)+1(2x)2+1(2x)3+•••+：(2x)〃+…

02030〃

y—乙？乙乙”

=l+2x+—%-+—%a+•-•+—x+■■■

2!3!〃！

xe(-oo,+co)

四、应用题

1、解：设长方体的三棱长分别为x,y,z

贝ij2(xy+yz+zx)=a2

构造辅助函数

F(x,y,z)=xyz+A(2xy+2yz+2zx-a2)

求其对x,y,z的偏导，并使之为0,得:

fyz+22(y+z)=0

<xz+22(x+z)=0

、xy+24(x+y)=0

与2(xy+yz+zx)<|2=o联立，由于x,y,z均不等于零

可得x=y=z

代入2(xy+yz+zx)-a2=0得x=y=z=^^

6

46a3

所以，表面积为而体积最大的长方体的体积为V=xyz

36

2、解：据题意

dM…

---二—AM

dt

其中4〉0为常数

初始条件河ko=M。

对于也=—式

dt

dM一

--=—Aut

M

两端积分得InM=-At+InC

所以，M=ce-九

又因为M|,=O=MO

所以，“0=C

A,

所以，4=Moe~

由此可知，铀的衰变规律为.•铀的含量随时间的增1J而按指数规律衰减

《高数》试卷4(下)

—.选择题：3,xlO=3O,

1,下列平面中过点(1,1,】)的平面是.

(A)x+y+z=0(B)x+v+z=1(C)x=1(D)x=3

2.在空间直角坐标系中，方程N+"=2表示.

(A)圆(B)圆域(C)球面(D)圆柱面

3.二元函数2=(1-丈)2+(1-丫)2的驻点是.

(A)(0,0)(B)(0,1)(C)(1,0)(D)(1,1)

4.二重积分的积分区域。是14炉+产44,则.

D

(A)万(B)4万(C)3万(D)157r

5.交换积分次序后£〃或/(羽y)dy=

^dy^f{x,y)dx⑻CM"'/"©(D)

6.〃阶行列式中所有元素都是1,其值是

(A)n(B)0(C)n!(D)1

8.下列级数收敛的是

00COQn

(A)Z(T)i77T(B)Z-(D)

n=\〃十1八=1N©狞F

0000

9.正项级数Z".和X%满足关系式〃"4叫,则

n=ln=l

00000000

(A)若收敛，则收敛(B)若收敛，则收敛

n=ln=ln=ln=l

00000000

(0)若发散，则X”〃发散(D)若“收敛，则£力发散

n=ln=ln=ln=l

10.已知：-L=I+X+N+...,则—L^的幕级数展开式为____________

1-x1+X23

(A)1+x2+x45+•••(B)-1+x2-x4+•••(C)-1-x2-x4(D)1-X2+X4--

二.填空题：4&5=20'

1.数2=jN+俨一1+1n(2—42一y2)的定义域为

2.若于(x,y)=xy,贝lj/(—,1)=.

X

3.已知(沏,％)是f(x,y)的驻点,若启(沏,,％)=3,&(沏,％)=12,启•(沏，先)="则

当时，(Xo,%)一定是极小点.

00

5.级数！＞，，收敛的必要条件是

n=\

三.计算题（一）:6'x5=30'

1,已知：z=亡，求：生，合.

dxoy

2.计算二重积分-分db,其中£>={(%,y)|OWyWj4-N,0Wx—2}.

D

(12-3、

3.已知：X6=/l,其中/=；;,B=012,求未知矩阵X.

lo01J

8rn

4.求幕级数—的收敛区间.

»=1«

5,求〃x）=er的麦克劳林展开式（需指出收敛区间）.

四.计算题（二）：i0'x2=2（y

1.求平面x-2y+z=2和2x+y-z=4的交线的标准方程.

参考答案

一.1.C;2.D;3.D;4.D;5.A;6.B;7.B;8.C;9.B;10.D.

二.1.{(x,y)11<x2+y2<2)2.—3.-6<a<64.275.lim孙=0

X

Sz

四.1.解：一=yxy~x一=xy\ny

dxdy

----r--|2

2.解：jjyl4-—x2da-4yl^—x2dy=j^(4-x2)dx-4x--=—

D3J。3

“1-2

3.解：Bi=01-2,AB-{=-°

1°04

8

4.解：火=1,当|x|〈1时，级数收敛，当x=l时，得收敛,

9f_n2n_l8_1

当工=—1时，得一=£一发散,所以收敛区间为（-□].

〃=1nn=ln

oon

r亨(r)〃

5.解：.因为4右7xe(-co,+oo)，所以e-工XG(-CO,+oo).

：jk

四.1.解：.求直线的方向向量:亍=1-21=7+3亍+55,求点:令z=0,得y=0,x=2,即交点为(2,0.0),

21-1

所以交线的标准方程为:.一

《高数》试卷5（下）

一、选择题（3分/题）

1、已知〃=，+）,办=一1，则〃xB=（）

A0Bi—jCi+jD—z+j

2、空间直角坐标系中12+丁2=1表示（）

A圆B圆面C圆柱面D球面

3、二元函数z=包吧在（0,0）点处的极限是（）

X

A1B0CooD不存在

4、交换积分次序后（）

0

Ax,y)dxBj域

0X

1

c^dyff(x,y)dxDf(x,y)dx

oy0"

5、二重积分的积分区域D是W+|y|wi,则“dxdy=()

D

A2B1C0D4

0000

10、正项级数»〃和2与满足关系式〈匕厂则（）

n-1n-1

00000000

A若收敛，则W>“收敛B若W>.收敛，则