河北省秦皇岛市部分学校2024届高三上学期开学检测数学试题【含答案】

河北省2024届高三年级开学检测数学本试卷共4页，满分150分，考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场、座位号、考生号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先解不等式，化简集合，求出，再和求交集，即可得出结果.【详解】由得或，则或，因此；又，则.故选：C.【点睛】本题主要考查集合的交集和补集运算，熟记概念即可，属于基础题型.2.已知，则的虚部为（）A. B.4 C. D.【答案】A【解析】【分析】先根据复数的代数形式的乘除运算化简复数，再写出复数的共轭复数，再根据运算可得，即可得到的虚部.【详解】因为，所以，所以，所以的虚部为.故选：A.3.正边长为，、为线段的三等分点，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】法一：用、表示向量、，再利用平面向量数量积运算性质可求得的值；法二：以所在直线为轴，以垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标运算可求得的值.【详解】因为是边长为的等边三角形，（法一）由题意，，，由平面向量数量积的定义可得，所以，；（法二）以所在直线为轴，以垂直平分线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，则、、，则，，所以，；故选：C.4.从点射出的光线经轴反射后，与圆有公共点，则反射光线所在直线斜率的最小值为（）A.1 B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据光学性质可得反射光线一定经过，然后根据点到直线的距离计算经过的直线和圆心的距离不超过半径即可.【详解】根据光学性质可得，反射光线一定经过关于轴的对称点，反射光所在直线斜率不存在时，反射光的直线方程为，由，易得该方程组无解，于是反射光所在直线斜率存在，设经过的直线为，若反射光和圆有公共点，则圆心到直线的距离不超过半径，根据点到直线的距离公式，，整理得，即，解得，故斜率最小值是.故选：A5.中国传统木构建筑的窗棂是框架结构设计，它是传统建筑中最重要的构成要素之一，也是建筑的审美中心.如图中矩形是某窗棂的一部分，图中与矩形边平行的横线与竖线构成矩形（）个A.24 B.27 C.36 D.60【答案】C【解析】【分析】在大矩形中选择两条横线，两条竖线围成的封闭图形就是矩形.【详解】在矩形中的条横线任选条，有种方法，条竖线任选条，有种方法，这时一定会围成一个封闭图形，即为所求矩形，共有种方法.故选：C6.正数满足，则的最大值为（）A1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】根据基本不等式结合对数的运算性质可求得结果【详解】因为正数满足，所以，当且仅当时，等号成立，得.则，当且仅当时取等号，所以的最大值为2，故选：B7.已知是椭圆的两个焦点，点在上，若的离心率，则使为直角三角形的点有（）个A.2 B.4 C.6 D.8【答案】D【解析】【分析】根据离心率取值范围可得，因此以为直径作圆与必有四个不同的交点，再分情况讨论直角位置即可求得符号题意的三角形个数.【详解】由可得，即，可得，因此以为直径作圆与必有四个不同的交点，因此中以的三角形有四个，除此之外以为直角，为直角的各有两个，所以存在使为直角三角形的点共有8个.故选：D8.已知函数在上有两个不等根，则的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据三角恒等变换可得，根据自变量的范围可得，，故，根据诱导公式可求解.【详解】，在有两根，则时，，，不妨设，则，.故选：D二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.已知数列满足且的前项和为，则（）A.是等差数列 B.为周期数列C.成等差数列 D.成等比数列【答案】AB【解析】【分析】根据已知可得、为奇数时，为偶数时，结合等差、等比数列定义判断各项的正误.【详解】由且则且，故，所以在上成立，A对；综上，为奇数时，为偶数时，B对；为奇数，为偶数，不成等差数列，C错；不成等比数列，D错.故选：AB10.如图为一正方体的展开图、则在原正方体中（）A. B.C.直线与所成的角为 D.直线与所成的角为【答案】BCD【解析】【分析】画出原正方体，然后根据线线位置关系有关知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】画出原正方体如下图所示，由图可知：与不平行，A选项错误.根据正方体的性质可知，所以四边形是平行四边形，所以，而，所以，所以B选项正确.根据正方体的性质可知，三角形是等边三角形，直线与所成的角为，所以直线与所成的角为，C选项正确.根据正方体的性质可知，三角形是等边三角形，直线与所成的角为，所以直线与所成的角为，D选项正确.故选：BCD11.定义在上的函数满足，且.则的图象（）A.关于点中心对称 B.关于点中心对称C.关于直线对称 D.关于直线对称【答案】BD【解析】【分析】由可求的周期，由可得函数为奇函数，利用函数图象对称性的特征可求函数的对称轴和对称中心.详解】①，，则②，由①②得，，即③，，④，周期为6，由，得为奇函数⑤，，由③⑤得，，关于对称，由④⑤得，，关于对称，故BD正确.故选：BD.12.为抛物线上的动点，动点到点的距离为（F是的焦点），则（）A.的最小值为 B.最小值为C.最小值为 D.最小值为【答案】BCD【解析】【分析】动点的轨迹为圆，通过抛物线上点的性质，通过设点，化折线为直线表示出距离，利用函数思想或数形结合判断最小值的大小.【详解】抛物线焦点坐标为，动点到距离为设点为，则整理得，，即，点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，设点为，则点到距离时，最小为，最小值为，故A错误.点为，最小为最小值为1，最小为，故B正确.等于点到直线的距离，最小值为到直线的距离减去，即，故C正确.到的距离为最小值为到的距离与和的最小值，即到的距离最小值，设为则到距离为当时，最小值为2，最小值为2，得最小值为，故D正确.故选：BCD【点睛】方法点睛：圆上的点到定点定直线或曲线的距离的最值，转化为圆心到定点定直线或曲线的距离的最值，抛物线上的点到到定点定曲线的距离之和的最小值利用抛物线的定义将动点（在抛物线上）到焦点与到准线的距离进行互化，折线转化为直线.也可利用点到直线距离公式、两点间距离公式，利用函数思想求最值.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.五名学生每人投篮15次，统计他们每人投中的次数，得到五个数据，若这五个数据的中位数是6，唯一的众数是7，则他们投中次数的总和最大是_________.【答案】29【解析】【分析】假设五个数据按照由小到大排列为，根据中位数和众数的定义可求出的值，再由两个较小的数一定是小于6的非负整数，且不相等，从而可求出这五个数和的范围，进而可得答案.【详解】假设五个数据按照由小到大排列为，因为这五个数据中位数是6，唯一的众数是7，所以，所以最大的三个数的和为，因为两个较小的数一定是小于6的非负整数，且不相等，最大为4和5，所以这五个数的和一定大于20且小于等于29，故答案为：2914.的展开式中，的系数为10，则_________.【答案】【解析】【分析】化,利用二项展开式的通项公式求得展开式中的系数,列方程求出的值.【详解】其展开式的通项公式为，令得因为的系数为10，则，解得，故答案为：.15.如图数阵中，第一行有两个数据圴为1，将上一行数据中每相邻两数的和插入到两数中，得到下一行数据，形成数阵，则数阵第11行共有_________个数，第行所有数据的和_________.【答案】①.②.【解析】【分析】设第行数据有个，根据数阵的规律求得关于的递推关系式，利用构造法求得，进而求得.根据数阵的规律求得关于的递推关系式，利用构造法求得.【详解】由数阵形成规律，设第行数据有个，则，则，是以1为首项，2为公比的等比数列.则，，设第行数据的和为，第行数据为，则第行数据为，，，得从第二项起，是以为第二项，以3为公比的等比数列，，，时，，.故答案为：；16.三棱锥中，在底面的射影为的内心，若，，则四面体的外接球表面积为_________.【答案】【解析】【分析】根据三棱锥的几何特征可知内切圆半径为，所以可得四面体外接球球心为在平面射影为中点，根据勾股定理找出等量关系可解得外接球半径，即可求出结果.【详解】三棱锥底面为直角三角形，为内心，由，可得，以为坐标原点，分别为轴建立平面直角坐标系，如下图所示：设内切圆半径，易知的周长为，面积为；由等面积可得，解得；设四面体外接球球心为，所以易知在平面射影为中点，易知，则，设，则，且，即，解得，则四面体的外接球表面积为.故答案为：【点睛】方法点睛：求解几何体外接球半径问题时，一般是根据几何体特征找出外接球球心位置再利用等量关系解出半径即可求出结果.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.某市电视台为了解一档节目收视情况，随机抽取了该市n对夫妻进行调查，根据调查得到每人日均收看该节目的时间绘制成如图所示的频率分布直方图，收视时间不低于40分钟的观众称为“热心观众”，收视时间低于40分钟的观众称为“非热心观众”，已知抽取样本中收视时间低于10分钟的有10人.（1）求n，p；（2）根据已知条件完成下面列联表，试根据小概率值的独立性检验，分析“热心观众”是否与性别有关.非热心观众热心观众总计男女10总计附：，其中.0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】（1）（2）列联表见解析，认为“热心观众”与性别无关联【解析】【分析】（1）由所有组的频率之和为1，计算出第一组的频率，可求的值，由频数可求的值.（2）由“热心观众”人数，完成列联表，计算，与临界值比较后下结论.【小问1详解】收视时间在分钟组的频率为，，又收视时间低于10分钟的有10人，，；【小问2详解】“热心观众”有人，则列联表如下图所示：非热心观众热心观众总计男351550女401050总计7525100零假设：“热心观众”与性别无关联.将列联表数据代入公式计算得：，根据小概率值的独立性检验，没有充分证据证明不成立，因此可认为成立，即认为“热心观众”与性别无关联.18.已知数列前项和为，且是首项为4，公比为2的等比数列.（1）求；（2）求证：数列的位项和.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）先求得，然后利用求的.（2）利用裂项求和法求得，进而证得.【小问1详解】是首项为4，公比为2的等比数列.，，当时，，又，；【小问2详解】，，，得.19.如图，圆柱底面直径长为4，C是圆上一点，且.（1）求证：平面平面；（2）若与面所成角为，求平面与平面夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据线面垂直的判定定理先证平面，在利用面面垂直的判定定理即可证明平面平面；（2）过点作于点，连接，然后根据线面关系得到即为与面所成角，求出，然后以点为坐标原点，以直线为轴，以过点且垂直于直线的直线为轴，以所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，再根据，面面角的向量求法即可得到平面与平面夹角的余弦值.【小问1详解】为圆柱，直线平面，直线直线又直线为圆的直径，，，又，平面，且平面，平面平面.【小问2详解】过点作于点，连接，平面，平面，所以平面平面，又因为，平面与平面的交线为，所以平面，所以即为与面所成角，即，平面，所以，所以为等腰直角三角形，，，为等边三角形，，，以点为坐标原点，以直线为轴，以过点且垂直于直线的直线为轴，以所在的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.根据题意得，，，，，，，设为平面的法向量，，，令，则，，所以平面的法向量为，设为平面的法向量，，，令，则，，所以平面的法向量为，平面与平面夹角的余弦值.20.记的内角的对边分别为，面积为，已知.（1）求的值；（2）若边上的中线，求周长的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据三角形面积公式及正弦定理化简，可得，即可求出的值；（2）先根据为边上的中线得到，即，根据不等式求出，以及和，可得，再根据函数关系即可求出最值.【小问1详解】∵面积为，，且，得，，由正弦定理得：，，，，，.【小问2详解】边上中线，，，得，，，，且，即，，当且仅当时，“=”成立.又，由余弦定理得，，，设，，设，，在单调递减，又，，，在单调递减，则最小值为，所以当时，的最小值为，故周长最小值为.21.已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为.（1）求双曲线的方程；（2）过的直线与交于两点，过的左顶点作的垂线，垂足为，求证：.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得双曲线的方程.（