专题透析一 平面向量考点和技巧一遍过高分必刷题-2021-2022学年高一数学【考题透析】满分计划系列（人教A版2019必修第二册）

专题透析一：平面向量考点和技巧一遍过高分必刷题一、单选题1．（2021·广东·东莞市新世纪英才学校高一）有下列四个命题：①互为相反向量的两个向量模相等；②若向量与是共线的向量，则点必在同一条直线上；③若，则或④若，则或；其中正确结论的个数是A． B． C． D．2．（2021·全国·高一课时练习）已知非零向量满足，且，则与的夹角为A． B． C． D．3．（2020·浙江诸暨·高一期末）如图，正方形中，是的中点，若，则A． B． C． D．4．（2021·重庆第二外国语学校高一阶段练习）如图，在△中，点是线段上两个动点，且，则的最小值为（）A． B． C． D．5．（2021·广东·东莞市新世纪英才学校高一阶段练习）如图所示的中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段的中点，则（）A． B．C． D．6．（2021·江苏·赣榆智贤中学高一阶段练习）设四边形ABCD为平行四边形，，.若点M，N满足，则（）A．20 B．15 C．9 D．67．（2020·河北·衡水市第十四中学高一阶段练习）已知点是所在平面内一点，且满足，则直线必经过的A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心8．（2019·湖北·武汉市第六中学高一阶段练习）若平面向量满足，，，，则的最大值为（）A． B． C． D．9．（2020·重庆巴蜀中学高一期末）如图梯形，且，，在线段上，，则的最小值为A． B． C． D．10．（2021·全国·高一课时练习）已知四边形是边长为1的正方形，P为对角线上一点，则的最小值是（）A．0 B． C． D．11．（2020·浙江·宁波市北仑中学高一期中）已知是不共线的两个向量，的最小值为，若对任意m,n，的最小值为1,的最小值为2，则的最小值为（）A．2 B．4 C． D．12．（2020·湖北·华中师大一附中高一期中）已知点为线段上一点，为直线外一点，是的角平分线，为上一点，满足，，，则的值为（）A． B． C．4 D．5二、多选题13．（2021·广东·惠来县第一中学高一阶段练习）已知向量，则（）A． B．C．向量在向量上的投影是 D．向量的单位向量是14．（2021·江苏·邳州宿羊山高级中学高一阶段练习）设点是所在平面内一点，则下列说法正确的是（）A．若，则点是边的中点B．若，则点在边的延长线上C．若，则点是的重心D．若，且，则的面积是的面积的15．（2021·湖北·汉阳一中高一阶段练习）对于给定的，其外心为，重心为，垂心为，则下列结论正确的是（）A．B．C．过点的直线交于，若，，则D．与共线16．（2021·江苏·吴江汾湖高级中学高一阶段练习）如图所示，在中，点D在边BC上，且，点E在边AD上，且，则（）A． B．C． D．17．（2021·福建尤溪·高一期中）已知的面积为3，在所在的平面内有两点P，Q，满足，，记的面积为S，则下列说法正确的是（）A． B．C． D．18．（2021·山西省长治市第二中学校高一期中）如图所示，在凸四边形ABCD中，对边BC，AD的延长线交于点E，对边AB，DC的延长线交于点F，若，则（）A． B．C．的最大值为1 D．三、填空题19．（2021·全国·高一课时练习）设向量，若，则______________.20．（2021·山西·长治市潞城区第一中学校高一阶段练习）下列命题中：①存在唯一的实数,使得；②为单位向量,且,则；③；④共线,共线,则共线；⑤若且,则.其中正确命题的序号是_________.21．（2021·全国·高一专题练习）如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若＝，则的值是________．22．（2020·全国·高一课时练习）如图，在中，分别为上的点，且，，.设为四边形内一点（点不在边界上），若，则实数的取值范围为______四、解答题23．（2021·安徽·安庆九一六学校高一阶段练习）已知向量．（1）若，求x的值；（2）记，求函数y＝f（x）的最大值和最小值及对应的x的值．24．（2021·江西·南昌二中高一开学考试）如图，G是△OAB的重心，P，Q分别是边OA、OB上的动点，且P，G，Q三点共线．(1)设，将用，，表示；(2)设，，证明：是定值．25．（2021·山东枣庄·高一期中）已知向量与的夹角为，且，.（1）若与共线，求k；（2）求，；（3）求与的夹角的余弦值26．（2021·上海·高一单元测试）如图，在菱形ABCD中，，．（1）若，求的值；（2）若，，求．（3）若菱形ABCD的边长为6，求的取值范围．27．（2019·辽宁·大连市普兰店区第一中学高一期末）如图所示，在中，，，与相交于点.（1）用，表示，；（2）若，证明：，，三点共线.28．（2021·全国·高一课时练习）如图，在直角梯形中，为上靠近B的三等分点，交于为线段上的一个动点．（1）用和表示；（2）求；（3）设，求的取值范围．参考答案：1．D【解析】【分析】根据相反向量的定义可判断①；由共线向量性质，可判断②；由向量的模相等判断③；由向量数量积判断④.【详解】方向相反，模相等的两个向量是相反向量，故①正确；因为向量是自由移动的量，所以两向量共线，点不一定共线，故②错；向量有方向，因此模相等时，向量方向不确定，故③错；两向量垂直时，数量积也为0，所以④错.故选D【点睛】本题主要考查平面向量，熟记向量的相关知识点即可，属于基础题型.2．B【解析】【分析】本题主要考查利用平面向量数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与化归、数学计算等数学素养．先由得出向量的数量积与其模的关系，再利用向量夹角公式即可计算出向量夹角．【详解】因为，所以=0，所以，所以=，所以与的夹角为，故选B．【点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为．3．B【解析】【分析】以为坐标原点建立平面直角坐标系，设正方形边长为，利用平面向量的坐标运算建立有关、的方程组，求出这两个量的值，可得出的值.【详解】以为坐标原点建立平面直角坐标系，设正方形边长为，由此，，故，解得.故选B.【点睛】本题考查平面向量的线性运算，考查平面向量的基底表示，解题时也可以利用坐标法来求解，考查运算求解能力，属于中等题.4．D【解析】【分析】根据题意求出x,y满足的等式，然后利用基本不等式中“1”的代换，求解最小值【详解】如图可知x，y均为正，设，共线，，，则，，则的最小值为，故选D.【点睛】平面向量与基本不等式的综合题目，考察基本不等式中“1”的代换，求解代数式最值问题5．B【解析】【分析】根据向量的加法减法运算即可求解.【详解】依题意，，故选：B6．C【解析】【分析】根据图形得出,,,结合向量的数量积求解即可.【详解】因为四边形ABCD为平行四边形,点M、N满足,根据图形可得:,,,,,,，，故选C.本题考查了平面向量的运算,数量积的运用,考查了数形结合的思想,关键是向量的分解,表示.考点：向量运算.7．D【解析】两边同乘以向量，利用向量的数量积运算可求得从而得到结论．【详解】两边同乘以向量,得即点P在BC边的高线上，所以P的轨迹过△ABC的垂心，故选D.【点睛】本题考查平面向量数量积的运算、向量的线性运算性质及其几何意义，属中档题．8．D【解析】【详解】设向量的夹角为θ，则，∴，．于是可设，令，则，由题意得，表示点在以为圆心，半径为的圆上．又，∴，表示圆上的点与点间的距离，∴的最大值为．故选D．【点睛】由于向量具有数形两方面的性质，所以在解答向量的有关问题时可借助坐标，将向量的问题转化为数的运算的问题，如本题中最值的计算问题，通过建立适当的平面直角坐标系，将向量模的问题转化为距离问题求解，考查数形结合和转化的运用，同时也考查计算能力．9．B【解析】【分析】先建系解得坐标，再设坐标，根据向量数量积列函数关系式，最后根据二次函数性质求最值.【详解】以为坐标原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，设，因此，因此，设所以当时，最小值为选B.【点睛】以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.10．B【解析】【分析】根据向量的加法和向量的数量积的定义，以及再利用基本不等式可得出，可得选项.【详解】作出图形如下图所示，，而此时，所以，当且仅当时取等号，所以的最小值是，故选：B.【点睛】本题考查向量的加法和向量的数量积的运算，以及基本不等式的应用求最值，属于中档题.11．B【解析】【分析】设的夹角为，则，则由的最小值为,的最小值为，可得可得结合可得到，由即可得到答案.【详解】设的夹角为，则，则由的最小值为,的最小值为，可得，两式相乘可得（*）而，结合（*）可得，解得则故选B.【点睛】本题考查了向量的三角形法则、向量共线定理、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．B【解析】【分析】由题意结合向量的运算法则可得点I为三角形内切圆的圆心，结合三角形内切圆与边长关系的公式和向量的数量积运算公式整理计算即可确定的值.【详解】由可得，所以I在∠BAP的角平分线上，由此得I是△ABP的内心，过I作IH⊥AB于H，I为圆心，IH为半径，作△PAB的内切圆，如图，分别切PA，PB于E，F，，则，，在直角三角形BIH中,，所以.故选B.【点睛】本题主要考查向量的运算法则，内切圆的性质，向量数量积的定义与应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.13．ABD【解析】多项选择题需要要对选项一一验证:对于A:利用向量垂直的条件判断；对于B:利用模的计算公式；对于C:利用投影的计算公式；对于D:直接求单位向量即可．【详解】对于A:，故A正确；对于B:，故B正确；对于C:向量在向量上的投影是，故C错误；对于D:向量的单位向量是，故D正确．故选：ABD．【点睛】多项选择题是2020年高考新题型，需要要对选项一一验证．14．ACD【解析】【分析】判断命题真假；将前面条件进行化简，去判断点M的位置（D中若能判断M位置也是一定得出面积比值）.【详解】A中：,即：,则点是边的中点B.,则点在边的延长线上，所以B错误.C.设中点D,则,，由重心性质可知C成立.D．且设所以，可知三点共线，所以的面积是面积的故选择ACD【点睛】通过向量加减运算，进行化简去判断点M的位置，难度较大.15．ACD【解析】根据外心在AB上的射影是AB的中点，利用向量的数量积的定义可以证明A正确；利用向量的数量积的运算法则可以即，在一般三角形中易知这是不一定正确的，由此可判定B错误；利用三角形中线的定义，线性运算和平面向量基本定理中的推论可以证明C正确；利用向量的数量积运算和向量垂直的条件可以判定与垂直，从而说明D正确.【详解】如图，设AB中点为M,则,,故A正确；等价于等价于,即，对于一般三角形而言，是外心，不一定与垂直，比如直角三角形中，若为直角顶点，则为斜边的中点，与不垂直.故B错误；设的中点为,则，∵E,F,G三点共线，，即,故C正确；,与垂直,又,∴与共线，故D正确.故选：ACD.【点睛】本题考查平面向量线性运算和数量及运算，向量垂直和共线的判定，平面向量分解的基本定理，属综合小题，难度较大，关键是熟练使用向量的线性运算和数量积运算，理解三点共线的充分必要条件，进而逐一作出判定.16．BD【解析】【分析】根据向量的加减的几何意义和三角形法则即可求出．【详解】解：，点在边上，，故选：．17．BD【解析】利用向量的共线定义可判断A；利用向量加法的三角形法则以及向量减法的几何意义即可判断B；利用向量数量积的定义可判断C；利用三角形的面积公式即可判断D.【详解】由，，可知点P为的三等分点，点Q为延长线的点，且为的中点，如图所示：对于A，点P为的三等分点，点为的中点，所以与不平行，故A错误；对于B，,故B正确；对于C，，故C错误；对于D，设的高为，，即，则的面积，故D正确；故选：BD【点睛】本题考查了平面向量的共线定理、共线向量、向量的加法与减法、向量的数量积，属于基础题18．ABD【解析】【分析】选项A.由，可得可判断；选项B.过作交于点，所以,结合条件可判断；选项C.由B结合均值不等式可判断；选项D.由结合均值不等式可判断.【详解】选项A.由，可得所以，故A正确.选项B.过作交于点所以,由这两式可得由，则，，所以，即，故B正确.选项C.由B可得当且仅当,即时取得等号,故C不正确.选项D.由得,由，当且仅当,即时取得等号所以，故D正确.故选：ABD【点睛】关键点睛：本题考查向量的线性运算共线等的应用，考查利用均值不等式求最值，解答本题的关键是过作交于点，得到，，属于中档题.19．5【解析】【分析】根据向量垂直，结合题中所给的向量的坐标，利用向量垂直的坐标表示，求得结果.【详解】由可得，又因为，所以，即，故答案为：5.【点睛】本题考查有关向量运算问题，涉及到的知识点有向量垂直的坐标表示，属于基础题目.20．②③【解析】【详解】若为零向量,则①不成立.由于故②正确.根据向量数量积的运算可知③正确.当为零向量时,④不成立.都与垂直时，⑤错误.故正确需要为②③.21．【解析】【分析】根据矩形的垂直关系和长度关系，先利用平面向量加法的运算律求解，，再利用运算律转化求即可.【详解】∵，，∴，∴，，∴，∵,,，故答案为：.22．【解析】【分析】取BD中点M,过M作MH//DE交DF,AC分别为G,H,则由可知,P点在线段GH上运动（不包括端点）,求出端点G,H对应的即可求解.【详解】取BD中点M,过M作MH//DE交DF,AC分别为G,H,如图：则由可知,P点在线段GH上运动（不包括端点）当与重合时，根据,可知，当与重合时,由共线可知，即，结合图形可知.【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，加法平行四边形法则，三点共线，数形结合的思想方法，属于难题.23．（1）（2）时，取到最大值3；时，取到最小值.【解析】【分析】（1）根据，利用向量平行的充要条件建立等式，即可求x的值．（2）根据求解求函数y＝f（x）解析式，化简，结合三角函数的性质即可求解最大值和最小值及对应的x的值．【详解】解：（1）∵向量．由，可得：，即，∵x∈[0，π]∴．（2）由∵x∈[0，π]，∴∴当时，即x＝0时f（x）max＝3；当，即时．【点睛】本题主要考查向量的坐标运用以及三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．24．（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）寻找包含的图形，利用向量的加法法则知，再根据和即可（2）根据（1）结合，知：，再根据是的重心知：，最后根据不共线得到关于的方程组即可求解【详解】(1)解＝＋＝＋λ＝＋λ(－)＝(1－λ)＋λ.(2)证明一方面，由(1)，得＝(1－λ)＋λ＝(1－λ)x＋λy；①另一方面，∵G是△OAB的重心，∴＝＝×(＋)＝＋.②而，不共线，∴由①②，得解得∴＋＝3(定值)．【点睛】本题考查了向量的加减法，三角形的重心的性质，平面向量的定值问题，属于基础题．25．（1）；（2），；（3）.【解析】【分析】（1）利用向量共线定理即可求解.（2）利用向量数量积的定义：可得数量积，再将平方可求模.（3）利用向量数量积即可夹角余弦值.【详解】（1）若与共线，则存在，使得即，又因为向量