空间点、线、面的位置关系 高考数学一轮复习

第41课时空间点、线、面的位置关系第七单元立体几何01知识体系02考情回顾03课前自学目录04课堂导学【单元概述】

1.通过柱、锥、台、球等基本立体图形的组成元素及其

相互关系，认识其几何结构特征，学习它们在平面上的直观图表示以及

它们的表面积和体积的计算.然后以组成立体图形的基本元素——点、

直线、平面为对象，在研究平面基本性质的基础上，认识空间点、直

线、平面的位置关系，重点研究直线、平面的平行和垂直这两种特殊的

位置关系.2.在平面向量的基础上，利用类比方法，学习空间向量的概念、运算

（包括线性运算和数量积）、基本定理，并运用空间向量研究基本图形

的平行、垂直等位置关系和距离、角度问题.

年份新高考Ⅰ卷新高考Ⅱ卷适应性卷高考预

测2023第12题几何体计算第14题台体计算第18题证明线线

平行及二面角应用第9题锥体计算第14题体积计算第20题证明线线

垂直及求解二面角四

省第6题锥体计算第10题空间位置关系第17题体积计算及求解二面角1.重点：空间平行与垂直.2.热点：线、面

位置关系的证明与线面角、二面角.3.关注点：几何体的分割与组合.年份新高考Ⅰ卷新高考Ⅱ卷适应性卷高考预

测2022第4题台体计算第8题锥体计算第9题线线角与线面角第19题点面距离及求解二面角第7题正三棱台及外接球问题第11题体积计算第20题证明线面

平行及求解二面角1.重点：空

间平行与垂直.2.热点：线、面位置关系的证明与线面角、二面角.3.关注点：几何体的分割与组合.年份新高考Ⅰ卷新高考Ⅱ卷适应性卷高考预测年份2021第3题锥体计算第12题柱体分析第20题证明线线垂直与体积计算第5题台体计算第10题空间位置关系第19题证明面面垂直及求解二面角八省第11题空间想象第13题圆台与球的切接第20题立体几何的新定义1.重点：空间平行与垂直.2.热点：

线、面位置关系的证明与线面角、二面角.3.关注点：几何体的分割与组合.2020第16题棱柱与球的交线问题第13题锥体计算第20题证明线面垂直及利用空间向量求线面角的正弦值山东第5题锥体计算第11题空间位置关系第16题球体计算第19题证明线面垂直及求解二面角年份新高考Ⅰ卷新高考Ⅱ卷适应性卷高考预测年份2020第20题证明线面垂直及利用空间向量求线面角的正弦值第13题锥体计算第20题证明线面垂直及利用空间向量求线面角的正弦值山

东第5题锥体计算第11题空间位置关系第16题球体计算第19题证明线面垂直及求解二面角1.重点：空间平行与垂直.2.热点：

线、面位置关系的证明与线面角、二面角.3.关注点：几何体的分割与组合.【考情概述】空间点、直线、平面之间的位置关系是新高考的基本内

容之一，常以选择题、填空题的形式考查，偶以解答题的形式进行考

查，如四点共面问题等，难度中等，属于高频考点.【课时目标】了解平面及其基本性质；理解空间点、直线、平面之间

的位置关系.

知识梳理1.公理1～3公理文字语言图形语言符号语言公理1如果一条直线上

的

⁠在

一个平面内，那

么这条直线在此

平面内

⇒

l

⊂α两个点公理文字语言图形语言符号语言公理2过

的三点，有且只有一个平面

A，B，C三点不

共线⇒有且只有一个平面α，使A

∈α，B∈α，C∈α公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有

⁠

⁠过该点的公共直线

P∈α，且P∈β⇒α∩β＝l，且

P∈l

不在一条直

线上一

条2.公理2的三个推论推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.推论2：经过两条

直线，有且只有一个平面.推论3：经过两条

直线，有且只有一个平面.注意：公理1是判断一条直线是否在某个平面内的依据，公理2及其推论

是判断或证明点、线共面的依据，公理3是证明三线共点或三点共线的

依据.平行相交3.空间中两条直线的位置关系（1）

位置关系分类：①

共面直线：同一平面内，有且只有一个公共点（相交直线）；同一

平面内，没有公共点（

直线）.

②

异面直线：不同在

内，没有公共点.平行任何一个平面（2）

平行公理和等角定理：①

平行公理：平行于同一条直线的两条直线

.

②

等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个

角

⁠.相互平行相等或互补4.异面直线所成的角（1）

定义：已知两条异面直线

a

，

b

，经过空间任一点

O

作直线a'∥

a

，b'∥

b

，把

叫做异面直线

a

与

b

所

成的角（或夹角）.（2）

范围：

⁠.5.空间中直线与平面、平面与平面的位置关系（1）

直线与平面的位置关系有相交、平行、在平面内三种情况.（2）

平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况.a'与b'所成的锐角（或直角）

常用结论1.如果空间中两个角的两边分别对应平行，那么这两个角

⁠

⁠.2.异面直线的判定：经过平面

一点和平面

⁠一点的直线与平

面内

的直线互为异面直线.相等或互

补内外不经过该点3.唯一性定理（1）

过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行.（2）

过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直.（3）

过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.（4）

过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直.回归课本1.判断：（1）

（RA二P128练习第1题（1））书桌面是平面.

（

✕

）（2）

（RA二P132习题8.4第3题（1））两两相交且不共点的三条直线

确定一个平面.

（

√

）（3）

（RA二P131练习第3题（2））若直线

l

与平面α平行，则

l

与α内

的任意一条直线都平行.

（

✕

）（4）

（RA二P148练习第1题（1））如果两条平行直线中的一条与已知

直线垂直，那么另一条也与已知直线垂直.

（

√

）✕√✕√2.（RA二P128练习第2题）下列命题正确的是（

D

）A.三点确定一个平面B.一条直线和一个点确定一个平面C.圆心和圆上两点可确定一个平面D.梯形可确定一个平面3.（RA二P147例1改编）在正方体

ABCD

－

A

1

B

1

C

1

D

1中，

E

，

F

分别

是

AB

，

AD

的中点，则异面直线

B

1

C

与

EF

所成的角的大小为

（

C

）A.30°B.45°C.60°D.90°DC4.（多选）（RA二P132习题8.4第2题（2）改编）若直线

a

不平行于平

面α，且

a

⊄α，则下列结论不成立的是（

ACD

）A.α内的所有直线与

a

是异面直线B.α内不存在与

a

平行的直线C.α内存在唯一一条直线与

a

平行D.α内的所有直线与

a

都相交ACD5.（RA二P132习题8.4第5题改编）正方体各面所在的平面将空间分

成

部分.27

考点一

平面基本性质的应用例1如图，在正方体

ABCD

－

A

1

B

1

C

1

D

1中，

E

，

F

分别是

AB

，

AA

1

的中点.求证：

（1）

E

，

C

，

D

1，

F

四点共面；证明：（1）

如图，连接

EF

，

CD

1，

A

1

B

.

因为

E

，

F

分别是

AB

，

AA

1的中点，所以

EF

∥

BA

1.又因为易知

BA

1∥

CD

1，所以

EF

∥

CD

1.所以

E

，

C

，

D

1，

F

四点共面.（2）

CE

，

D

1

F

，

DA

三线共点.证明：（2）

因为

EF

∥

CD

1，

EF

＜

CD

1，所以

CE

与

D

1

F

必相交，设

交点为

P

（如图）.因为

P

∈

CE

，

CE

⊂平面

ABCD

，所以

P

∈平面

ABCD

.

同理，可得

P

∈平面

ADD

1

A

1.又平面

ABCD

∩平面

ADD

1

A

1＝

DA

，所以

P

∈直线

DA

.

所以

CE

，

D

1

F

，

DA

三线共点.1.若本例中平面

BB

1

D

1

D

与

AC

1交于点

M

，求证：

B

，

M

，

D

1三

点共线.

[变式演练]//////总结提炼

共面、共线、共点问题的证明（1）

证明共面的方法：先确定一个平面，然后证其余的线（或点）

在这个平面内.（2）

证明共线的方法：①

先由两个点确定一条直线，再证其他各点

都在这条直线上；②

直接证明这些点是两相交平面的公共点.（3）

证明线共点的方法：先证其中两条直线交于一点，再证其他直

线经过该点.[对点训练]1.如图，在空间四边形

ABCD

中，

E

，

F

分别为

AB

，

AD

的中点，点

G

，

H

分别在

BC

，

CD

上，且

BG

∶

GC

＝

DH

∶

HC

＝1∶2.求证：（1）

E

，

F

，

G

，

H

四点共面；证明：（1）

因为

BG

∶

GC

＝

DH

∶

HC

＝1∶2，所以

GH

∥

BD

.

因为

E

，

F

分别为

AB

，

AD

的中点，所以

EF

∥

BD

.

所以

EF

∥

GH

.

所以

E

，

F

，

G

，

H

四点共面.（2）

EG

与

HF

的交点在直线

AC

上.证明：（2）

因为

G

，

H

不是

BC

，

CD

的中点，所以易

得

EF

≠

GH

.

所以

EG

与

FH

必相交.设

EG

∩

FH

＝

M

.

因

为

EG

⊂平面

ABC

，

HF

⊂平面

ACD

，所以

M

∈平面

ABC

，且

M

∈平面

ACD

.

因为平面

ABC

∩平面

ACD

＝

AC

，所以

M

∈

AC

.

所以

EG

与

HF

的交点在直线

AC

上.考点二

判断空间两直线的位置关系例2如图，在正方体

ABCD

－

A

1

B

1

C

1

D

1中，

M

，

N

分别为棱

C

1

D

1，

CC

1的中点，有下列结论：①

直线

AM

与

CC

1是相交直线；②

直线

AM

与

BN

是平行直线；③

直线

BN

与

MB

1是异面直线；④

直线

AM

与

DD

1

是异面直线.其中，正确的是

（填序号）.③④

解：因为点

A

在平面

CDD

1

C

1外，点

M

在平面

CDD

1

C

1内，直线

CC

1在

平面

CDD

1

C

1内，且直线

CC

1不过点

M

，所以直线

AM

与

CC

1是异面直

线.故①错误.取

DD

1的中点

E

，连接

AE

，则

BN

∥

AE

.

所以

BN

与

AE

确

定平面

ABNE

.

因为易知

AM

⊄平面

ABNE

，

AE

与

AM

相交，所以

AM

与

BN

异面.故②错误.因为点

M

在平面

BCC

1

B

1外，点

B

1与直线

BN

都在

平面

BCC

1

B

1内，且直线

BN

不过点

B

1，所以直线

BN

与

MB

1是异面直

线.故③正确.同理，④正确.总结提炼

1.点、线、面位置关系的判定，注意构造几何体（长方体、正方体）

模型来判断，借助模型，直观感知并认识空间点、线、面的位置关系.2.异面直线的判定常用到以下结论：平面外一点

A

与平面内一点

B

的

连线和平面内不经过点

B

的直线是异面直线.[对点训练]2.如图，在正方体

ABCD

－

A

1

B

1

C

1

D

1中，

P

是

A

1

D

的中点，则下列说

法正确的是（

A

）A.直线

PB

与直线

A

1

D

垂直，直线

PB

∥平面

B

1

D

1

C

B.直线

PB

与直线

D

1

C

平行，直线

PB

⊥平面

A

1

C

1

D

C.直线

PB

与直线

AC

异面，直线

PB

⊥平面

ADC

1

B

1D.直线

PB

与直线

B

1

D

1相交，直线

PB

⊂平面

ABC

1A解：如图，连接

AB

1，

C

1

D

，

A

1

C

1，

DB

，

A

1

B

，

D

1

B

1，

D

1

C

，

B

1

C

，

AC

.

由正方体的性质可知，

BA

1＝

BD

.

因为

P

是

A

1

D

的中点，所以

直线

PB

与直线

A

1

D

垂直.因为

DB

∥

D

1

B

1，

DB

⊄平面

B

1

D

1

C

，

D

1

B

1⊂平面

B

1

D

1

C

，所以

DB

∥平面

B

1

D

1

C

.

同理，可得

A

1

B

∥平面

B

1

D

1

C

.

又

A

1

B

∩

DB

＝

B

，

A

1

B

⊂平面

BDA

1，

DB

⊂平面

BDA

1，所以平

面

BDA

1∥平面

B

1

D

1

C

.

又

PB

⊂平面

BDA

1，所以直线

PB

∥平面

B

1

D

1

C

.

3.（多选）如图，在正方体

ABCD

－

A

1

B

1

C

1

D

1中，点

O

为正方形

ABCD

的中心，当点

M

在线段

B

1

D

1（不包含端点）上运动时，下列直

线一定与直线

OM

异面的是（

BC

）A.

CC

1B.

A

1

B

C.

AB

1D.

DB

1BC考点三

异面直线所成的角例3如图，在底面为正方形、侧棱垂直于底面的四棱柱

ABCD

－

A

1

B

1

C

1

D

1中，

AA

1＝2

AB

＝2，则异面直线

A

1

B

与

AD

1所成角的余弦值为

（

D

）A.

B.

C.

D.

D

3

[变式演练]总结提炼

用平移法求异面直线所成的角的三个步骤（1）

一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角.（2）

二证：证明作出的角是异面直线所成的角.（3）

三求：解三角形，求出所作的角.[对点训练]4.如图，在正三棱柱

ABC

－

A

1

B

1

C

1中，

AB

＝

AA

1，

M

，

N

分别是

BB

1

和

B

1

C

1的中点，则直线

AM

与

CN

所成角的余弦值为

⁠.

考点四

立体几何中的截面问题例4用一个平面截正方体，所得截面可以是几边形？该多边形有何特

征？截面能否为正五边形？解：用一个平面截正方体，所得截面可以是三角形、四边形、五边形、

六边形.根据平面与平面平行的性质定理知，所得四边形至少有一对对

边平行、五边形恰有两对边平行、六边形恰有三对对边平行.用一个平

面去截一个正方体所得截面不能是一个正五边形.事实上，若截面可以

为一个正五边形，则此五边形的五条边分属于此正方体的五个不同的

面.我们将正方体的每两个相对的面作为一个抽屉，则上述包含正五边

形的边的五个面中，必有两个面为相对的平面，它们是平行的，利用平

行平面的性质，可知此五边形中有两条边是平行的.但是正五边形的五

条边是