平面向量的概念与线性运算 高考数学一轮复习

第五单元平面向量与复数第29课时平面向量的概念与线性运算第一部分大单元过关01知识体系02考情回顾03课前自学目录04课堂导学【单元概述】本单元学习了向量的一些基本概念，掌握其加、减、数

乘、数量积的运算，懂得其几何意义；掌握平面向量基本定理，并由此

理解向量的坐标形成过程，掌握其加、减、数乘、数量积的坐标运算，

并能解决一些简单的实际问题.

年份新高考Ⅰ卷新高考Ⅱ卷适应性卷2023第3题利用向量

的坐标运算解决

垂直问题第16题向量的线

性运算中的几何

意义第13题向量的线

性运算，求模四

省第4题利用向

量的坐标运算

求夹角2022第3题向量的线

性运算第4题向量的坐

标运算，求夹角年份新高考Ⅰ卷新高考Ⅱ卷适应性卷2021第10题向量的坐

标运算，求长度

及数量积第15题向量的数

量积八

省第5题向量的

线性运算，利

用数量积求夹

角2020第7题向量的数

量积第3题向量的线

性运算山

东第3题利用向

量解决垂直问

题高考预测1.重点：向量的线性运算与向量的坐标运算.2.热点：利用向量解决垂直、平行问题以及利用数量积求夹角、模.3.关注点：向量的数量积的应用.【课时目标】正确理解平面向量的一些基本概念，掌握平面向量的加

法、减法、数乘、数量积的运算及几何意义；理解两个平面向量共线、

垂直、相等、相反的含义，并学会利用线性运算解决相关问题.【考情概述】平面向量的相关概念与线性运算、向量共线定理是高考

考查的重点内容之一，常以选择题或填空题的形式进行考查，难度中等

偏下，属于高频考点.

知识梳理1.向量的有关概念（1）

向量：既有

又有

⁠的量叫做向量，向量的大小叫

做向量的长度（模）.（2）

零向量：长度为

的向量，记作0.（3）

单位向量：长度等于

的向量.（4）

平行向量：方向

或

⁠的非零向量，又叫共线向

量，规定：

与任意向量平行.（5）

相等向量：长度

且方向

的向量.（6）

相反向量：长度

且方向

的向量.大小方向0

1个单位长度相同相反零向量相等相同相等相反2.向量的线性运算向量运算定义法则（或几何意义）运算律加法求两个向量和

的运算

交换律：

a

＋

b

＝

b

＋

a

；结合律：（

a

＋

b

）＋

c

＝

a

＋

（

b

＋

c

）向量运算定义法则（或几何意义）运算律减法求

a

与

b

的相

反向量－

b

的

和的运算

a

－

b

＝

a

＋（－

b

）数乘求实数λ与向量

a

的积的运算｜λ

a

｜＝｜λ｜｜

a

｜，

当λ＞0时，λ

a

与

a

的方

向

；当λ＜0时，

λ

a

与

a

的方向

⁠；

当λ＝0时，λ

a

＝0λ（μ

a

）＝

（λμ）

a

；（λ＋μ）

a

＝λ

a

＋μ

a

；λ（

a

＋

b

）＝λ

a

＋λ

b

相同相反3.向量共线定理向量

b

与非零向量

a

共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使

b

＝λ

a

.

1

回归课本[注：“RA二”指新人教A版必修第二册教材]

√✕✕√

A.

a

＋

b

＋

c

＋

d

＝0B.

a

－

b

＋

c

－

d

＝0C.

a

＋

b

－

c

－

d

＝0D.

a

－

b

－

c

＋

d

＝03.（RA二P60复习参考题6第2（1）题）如果

a

，

b

是两个单位向量，那

么下列结论正确的是（

D

）A.

a

＝

b

B.

a

·

b

＝1C.

a

2≠

b

2D.｜

a

｜2＝｜

b

｜2BD4.（多选）（RA二P60复习参考题6第2（2）题改编）对于任意两个向

量

a

和

b

，下列命题中，不正确的是（

ACD

）A.若

a

，

b

满足｜

a

｜＞｜

b

｜，且

a

与

b

同向，则

a

＞

b

B.｜

a

±

b

｜≤｜

a

｜＋｜

b

｜C.｜

a

·

b

｜≥｜

a

｜｜

b

｜D.｜

a

－

b

｜≤｜｜

a

｜－｜

b

｜｜ACD

A.0B.1C.2D.3C（2）

给出下列结论：①

对于实数

m

和向量

a

，

b

，恒有

m

（

a

－

b

）＝

ma

－

mb

；②

对于实数

m

和向量

a

，

b

，若

ma

＝

mb

，则

a

＝

b

；③

若

ma

＝

na

（

m

，

n

∈R），则

m

＝

n

；④

对于实数

m

和向量

a

，若

ma

＝

0，则

m

＝0.其中，正确的是

（填序号）.①

总结提炼

向量有关概念的关键点向量的定义的关键是长度与方向；相等向量的关键是长度相等，

且方向相同.

[对点训练]1.有下列命题：①

任一向量与它的相反向量不相等；②

长度相等、方

向相同的两个向量是相等向量；③

若

a

≠

b

，则｜

a

｜≠｜

b

｜；④

两

个相等向量的起点与终点相同.其中，真命题的个数为（

B

）A.0B.1C.2D.32.有下列命题：①

两个有共同起点且相等的非零向量，其终点必相

同；②

若

a

∥

b

，则

a

与

b

的方向相同或相反；③

若

a

∥

b

，且

b

∥

c

，

则

a

∥

c

.其中，真命题的个数为（

B

）A.0B.1C.2D.3BB

A.

a

－2

b

B.

a

＋2

b

C.

a

－

b

D.

a

＋

b

A

[对点训练]

A.

＝－

a

－

b

B.

＝

a

＋

b

C.

＝－

a

－

b

D.

＝

a

＋

b

A

考向2

根据向量的线性运算求参数

A.

B.－

C.－6D.6D

2

总结提炼

向量线性运算的解题策略（1）

常用平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用

平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连的向量的和用三角

形法则.（2）

找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转

化到同一个平行四边形或三角形中求解.（3）

用几个基本向量表示某个向量的基本技巧：①

观察各向量的位

置；②

寻找相应的三角形或平行四边形；③

运用法则找关系；④

化

简结果.（4）

求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向

量表示出来，进行比较，利用向量相等求参数的值.

A.－

B.

C.－

D.

A.

B.

C.

D.1BB

A.

A

，

B

，

D

三点共线B.

A

，

B

，

C

三点共线C.

B

，

C

，

D

三点共线D.

A

，

C

，

D

三点共线A（2）

（RA二P16练习第3题改编）已知

e

1，

e

2是两个不共线的向量，

a

＝

ke

1＋2

e

2，

b

＝2

e

1＋

ke

2.若

a

与

b

是共线向量，求实数

k

的值.

[变式演练]若将例4（2）中的“

a

与

b

是共线向量”改为“

a

与

b

的方向相反”，求

实数

k

的值.

总结提炼

利用向量共线定理解决问题（1）

证明三点共线的步骤：若存在实数λ，使

＝λ

，则

A

，

B

，

C

三点共线.

注意：①

使用向量共线定理的大前提是至少有一个向量是非零向量；②

证明三点共线时，需说明共线的两个向量有公共点.（2）

向量

a

与

b

共线是指存在不全为零的实数λ，μ，使得λ

a

＋μ

b

＝0

成立.若λ

a

＋μ

b

＝0在当且仅当λ＝μ＝0时成立，则向量

a

与

b

不共线.[对点训练]

A.3

n

－2B.3

n

＋1－2C.

D.

A解：由题意可知，

B

，

C

，

D

三点共线，所以3（

an

＋1）－（

an

＋1－

2）＝1.所以

an

＋1＝3

an

＋4，即

a