《信号与系统》课件ch6

1第六章离散时间信号与系统的Z域分析6.1z变换一、从拉普拉斯变换到z变换二、收敛域6.2z变换的性质6.3逆z变换6.4z域分析一、差分方程的变换解二、系统函数三、系统因果性和稳定性6.5离散系统的频率响应点击目录，进入相关章节26.1Z变换第六章离散系统z域分析

在连续系统中，为了避开解微分方程的困难，可以通过拉氏变换把微分方程转换为代数方程。出于同样的原因，也可以通过一种称为z变换的数学工具，把差分方程转换为代数方程。6.1z变换一、从拉氏变换到z变换对连续信号进行均匀冲激取样后，可得到离散信号。

取样信号两边取双边拉普拉斯变换，得36.1Z变换令z=esT，上式将成为复变量z的函数，用F(z)表示；将f(nT)记为f(n)，得称为序列f(n)的双边z变换称为序列f(n)的单边z变换若f(n)为因果序列，则单边、双边z变换相等，否则不等。今后在不致混淆的情况下，统称它们为z变换。F(z)=Z[f(n)],f(n)=Z-1[F(z)]；f(n)←→F(z)称为象函数46.1z变换二、收敛域

z变换定义为一无穷幂级数之和，显然只有当该幂级数收敛，即时，其z变换才存在。上式称为绝对可和条件，它是序列f(n)的z变换存在的充分必要条件。收敛域的定义：对于序列f(n)，满足所有z值组成的集合称为z变换F(z)的收敛域。56.1z变换例6.1.1求因果序列的z变换（式中a为常数）。解：代入定义可见，仅当

az-1

<1，即

z

>

a

=时，其z变换存在。收敛域为|z|>|a|66.1z变换例6.1.2求反因果序列的z变换。解可见，

b-1z

<1,即

z

<

b

时，其z变换存在，收敛域为|z|<|b|76.1z变换例6.1.3求双边序列f(n)=f1(n)+f2(n)=解的z变换。可见，其收敛域为

a

<

z

<

b

（显然要求

a

<

b

，否则无共同收敛域)总结：（1）对于有限长的序列，其双边z变换在整个平面；（2）对因果序列，其z变换的收敛域为某个圆外区域；（3）对反因果序列，其z变换的收敛域为某个圆内区域；（4）对双边序列，其z变换的收敛域为环状区域；86.1z变换注意：对双边z变换必须注明收敛域，否则其对应的原序列将不唯一。例对单边z变换，其收敛域只有一种可能，即一定是某个圆以外的区域，圆的半径是最远处极点的模。可以省略。9三、s域与z域的关系S平面与z平面的映射关系为：令有由此得到两平面之间区域的映射关系如下：

s平面z平面（1）左半平面（σ＜0）单位圆内（r＜1）（2）虚轴（σ=0）单位圆（r=0）（3）右半平面（σ＞0）单位圆外（r＞1）

，

(4)106.1z变换1、四、常用序列的z变换2、3、4、116.2z变换的性质一、线性

6.2z变换的性质本节讨论z变换的性质，若无特殊说明，它既适用于单边也适用于双边z变换。若f1(n)←→F1(z)1<z<1,

f2(n)←→F2(z)2<z<2对任意常数a1、a2，则

a1f1(n)+a2f2(n)←→a1F1(z)+a2F2(z)其收敛域至少是F1(z))与F2(z)收敛域的相交部分。126.2z变换的性质二、移位（移序）特性单边、双边差别大！双边z变换的移位：

若f(n)←→F(z),<z<，且对整数m>0，则f(nm)←→zmF(z),<z<单边z变换的移位：

若f(n)←→F(z),|z|>，且有整数m>0,则f(n-1)←→z-1F(z)+f(-1)f(n-2)←→z-2F(z)+f(-2)+f(-1)z-1

136.2z变换的性质f(n+1)←→zF(z)–f(0)zf(n+2)←→z2F(z)–f(0)z2–f(1)z特例：若f(n)为因果序列，则f(n–m)←→z-mF(z)146.2z变换的性质三、序列乘an(z域尺度变换)若f(n)←→F(z),<z<，且有常数a0则anf(n)←→F(z/a),a<z<a156.2z变换的性质四、卷积定理若f1(n)←→F1(z)1<z<1,f2(n)←→F2(z)2<z<2

则f1(n)*f2(n)←→F1(z)F2(z)对单边z变换，要求f1(n)、f2(n)为因果序列其收敛域一般为F1(z)与F2(z)收敛域的相交部分。例6.2.1：求f(n)=nU(n)的z变换F(z).解：

f(n)=nU(n)=U(n)*U(n-1)166.2z变换的性质五、序列乘n（z域微分）若f(n)←→F(z),<z<则,<z<例6.2.2：求f(n)=nU(n)的z变换F(z).解：176.2z变换的性质六、初值定理和终值定理初值定理适用于右边序列，即适用于n<M(M为整数)时f(n)=0的序列。它用于由象函数直接求得序列的初值f(M),f(M+1),…，而不必求得原序列。初值定理：如果序列在n<M时，f(k)=0，且

f(n)←→F(z)，

<

z

<∞

则序列的初值对因果序列f(n)，186.2z变换的性质证明：两边乘zM得zMF(z)=f(M)+f(M+1)z-1+f(M+2)z-2+…196.2z变换的性质终值定理：终值定理适用于右边序列，用于由象函数直接求得序列的终值，而不必求得原序列。如果序列在n<M时，f(n)=0，且

f(n)←→F(z)，

<

z

<

且0

<1

则序列的终值含单位圆206.3逆z变换6.3逆z变换求逆z变换的方法有：幂级数展开法、部分分式展开法和反演积分（留数法）等。一般而言，双边序列f(n)可分解为因果序列f1(n)和反因果序列f2(n)两部分，即f(n)=f2(n)+f1(n)=f(n)U(–n–1)+f(n)U(n)相应地，其z变换也分为两部分F(z)=F2(z)+F1(z)，<|z|<其中F1(z)=Z[f(n)U(n)]=，|z|>

F2(z)=Z[f(n)U(–n–1)]=，|z|<216.3逆z变换一、部分分式展开法式中m≤n（1）F(z)均为单极点，且不为0可展开为：其中，系数Ki用下式求出：22根据给定的收敛域，将上式划分为F1(z)(

z

>

)和F2(z)(

z

<

)两部分，根据已知的变换对，如

(n)←→16.3逆z变换即可求出逆变换。236.3逆z变换例6.3.1：已知象函数其收敛域分别为：（1）

z

>2(2)

z

<1(3)1<

z

<2求相应的逆变换。解部分分式展开为

246.3逆z变换(1)若

z

>2，则f(n)为因果序列(2)若

z

<1，则f(n)为反因果序列(3)若1<

z

<2，则f(n)为双边序列

256.3逆z变换(2)F(z)有重极点不妨设在z1是r重极点，则其中计算同（1），而由下式计算266.4Z域分析6.4z域分析单边z变换将系统的初始条件自然地包含于其代数方程中，可求得零输入、零状态响应和全响应。一、差分方程的变换解设f(n)在n=0时接入，系统初始状态为y(-1),y(-2),…y(-N)。取单边z变换并整理，可得如下结果：276.4Z域分析例6.4.1：若某系统的差分方程为

y(n)–y(n–1)–2y(n–2)=f(n)+2f(n–2)已知y(–1)=2，y(–2)=–1/2，f(n)=U(n)。求系统的yx(n)、yf(n)、y(n)。解：方程取单边z变换Y(z)-[z-1Y(z)+y(-1)]-2[z-2Y(z)+y(-2)+y(-1)z-1]=F(z)+2z-2F(z)286.4Z域分析296.4Z域分析2.系统函数的确定（3）差分方程系统函数二、离散系统的系统函数1、定义（1）根据定义确定（2）306.4Z域分析DD3ΣΣf（n）y（n）__x（n）32例：因果系统框图如图所示，求（1）系统函数，（2）差分方程，（3）单位样值响应，（4）单位阶跃响应解（1）316.4Z域分析（2）差分方程为：（3）h(n)：因为：（3）g(n)：所以：设，则326.4Z域分析所以因此336.4Z域分析（即因果信号）

的ROC为1.因果性条件:时域Z域三、因果性、稳定性与系统函数的关系346.4Z域分析对因果系统，该条件等价为：（绝对可和）的ROC包含单位圆的所有极点均在单位圆内。2.稳定性条件:时域Z域356.5离散系统的频率响应6.5离散系统的频率响应一、序列的傅里叶变换（DTFT）定义：，即序列在单位圆上的ZT即为也称为的频谱。通常2.逆变换的定义（IDTFT）正、逆变换分别记为：

和，或简记为其傅里叶变换。存在的充分条件：序列绝对可和。366.5离散系统的频率响应3、DTFT的特点（1）连续谱（2）周期性，以2π为周期。二、离散系统的频率响应定义，即令称为幅度相应；称为相位响应。单位样值响应的傅里叶变换称为离散系统的频率响应，记为2.频响的物理含义376.5离散系统的频率响应，此时系统的输出为我们通过考察正弦信号产生的响应来说明频响的物理含义。设i.e.