《信号与系统》课件ch2

1第二章连续时间信号与系统的时域分析2.1常用信号及信号的基本运算

一、常用信号二、信号的基本运算2.2阶跃信号和冲激信号

一、阶跃信号二、冲激信号2.3零输入响应2.4阶跃响应和冲激响应

一、阶跃响应和冲激响应

二、冲激响应的求解2.5卷积积分

一、信号时域分解与卷积二、卷积的图解三、卷积积分的性质

(一)卷积代数

(二)奇异函数的卷积特性

(三)卷积的微积分性质

(四)卷积的时移特性2.6连续系统的时域分析点击目录，进入相关章节22.1常用信号及信号的基本运算

一、常用信号1、实指数信号f(t)=Keat,a为实数2、复指数信号f(t)=Kest,其中s=σ+jω3、正弦（余弦）信号f(t)=Asin(ωt+φ)4、抽样函数2.1常用信号及信号的基本运算32.1常用信号及信号的基本运算（一）、信号的＋、－、×运算

两信号f1(·)和f2

(·)的相+、－、×指同一时刻两信号之值对应相加、减、乘。如二、信号的时域基本运算42.1常用信号及信号的基本运算（二）信号的时间变换运算

1.翻转

将f

(t)→f

(–t)，f

(n)→f

(–n)称为对信号f(·)的翻转或反折。从图形上看是将f(·)以纵坐标为轴翻转180o。如f(t)to11翻转t

→-tf(-t)-11to52.1常用信号及信号的基本运算

2.平移

将f

(t)→f

(t–t0)，f

(n)→f

(n–n0)称为对信号f(·)的平移或移位。若t0(或n0)>0，则将f(·)右移；否则左移。如右移t→t–1左移t→t+162.1常用信号及信号的基本运算平移与翻转相结合法一：①先平移f

(t)→f

(t+2)②再翻转f

(t+2)→f

(–t+2)法二：①先翻转f

(t)→f

(–t)画出f

(2–t)。②再平移f

(–t)→f

(–t+2)=f[–(t–2)]左移右移注意：是对t的变换！72.1常用信号及信号的基本运算

3.尺度变换（横坐标展缩）

将f

(t)→f

(at)，称为对信号f(t)的尺度变换。若a>1，则波形沿横坐标压缩；若0<a<1，则展开。如t→2t

压缩t→0.5t

展开对于离散信号，由于f

(an)仅在为an

为整数时才有意义，进行尺度变换时可能会使部分信号丢失。82.1常用信号及信号的基本运算获得它的方法除了将变量t换为at+b以外，一般按照以下步骤进行：信号的时间变换运算的一般形式是：f(t)平移b>0,左移b<0,右移f(t+b)展、缩:展:缩翻转若a<0f(at+b)92.2阶跃信号和冲激信号2.2阶跃信号和冲激信号

阶跃信号和冲激信号不同于普通函数，称为奇异信号。研究奇异信号的性质要用到广义函数（或分配函数）的理论。这里将直观地引出阶跃信号和冲激信号。一、阶跃信号1、定义和符号单位阶跃信号定义为to1U(t)简称阶跃信号，右边为其波形。也常用u(t)与ε(t)表示102.2阶跃信号和冲激信号2、阶跃函数性质：（1）可以方便地表示某些信号f(t)=2U(t)-3U(t-1)+U(t-2)（2）用阶跃函数表示信号的作用区间（3）积分(a)(b)f(t)f(t)U(t)oottot(c)f(t)[U(t-t1)-U(t-t2)]t1t2112.2阶跃信号和冲激信号二、冲激信号

单位冲激信号是个奇异函数，它是对强度极大，作用时间极短的一种物理量的理想化模型。2、定义2（直观定义）即δ(t)为高度无穷大、宽度无穷小、面积为1的对称窄脉冲。

1、定义1（由狄拉克最早提出）：两种定义等价！topn(t)n1n1-2n122.2阶跃信号和冲激信号三、冲激信号的性质

1.与普通函数f(t)的乘积——取样性质若f(t)在t=0、t=t0处存在，则

f(t)δ(t)=f(0)δ(t)，f(t)δ(t–t0)=f(t0)δ(t–t0)例2.2.1(1)(2)(3)(4)0132.2阶跃信号和冲激信号

2.与U(t)的关系可见，引入冲激函数之后，间断点的导数也存在。如求导f(t)=2U(t+1)-2U(t-1)f′(t)=2δ(t+1)-2δ(t-1)(1)(2)142.2阶跃信号和冲激信号

3.δ(t)的尺度变换证明略推论:(1)(2)当a=–1时所以δ(t)为偶函数152.2阶跃信号和冲激信号

4.冲激信号的导数δ’(t)（也称为冲激偶）

f(t)δ’(t)=f(0)δ’(t)–f’(0)δ(t)(1)(2)δ’(–

t)=–

δ’(t)为奇函数(3)例2.2.2：162.3零输入响应一、概念----何为零输入响应

系统在外加激励为零，由初始状态（储能）产生的响应。需注意的是：系统的初始状态指的是激励出现之前的一组响应及其导数值，通常为0-时刻。

二、零输入响应如何求解设因果系统的微分方程为：对零输入,f(t)=0,可知零输入响应与齐次解具有相同形式,取决于以下的特征方程的根（特征根）的情形：2.3零输入响应172.3零输入响应1、所有特征根都是单根，此时yx(t)为：----特征方程t≥0

2、特征根中含有重根，不妨设λ1

为r重根，此时，yx(t)为：t≥0

此方程的根称为特征根，设为λ1,λ2,…,λn系数ck的确定：由n个初始条件来确定182.3零输入响应小结：特征方程→特征根→yx(t)的形式→代入初始值求系数。例2.3.1：因果系统微分方程为：初始状态为：求零输入响应。解:(1)特征方程：特征根：(2)由特征根可知：,t≥0代入初始条件，有,故零输入响应为或写为192.4冲激响应和阶跃响应2.4冲激响应和阶跃响应一、冲激响应

由单位冲激信号δ(t)所引起的零状态响应称为单位冲激响应，简称冲激响应，记为h(t)。二、冲激响应的时域求解——冲激平衡法设因果系统的微分方程为：1、解的形式首先冲激响应h(t)

应为因果信号且满足以下方程：202.4冲激响应和阶跃响应其次上述方程当t>0时退化为齐次方程，因此h(t)与其次解形式相同；最后，在t=0处，若m≥n，那么h(t)应含有冲激函数及其导数方能使两边奇异函数平衡。故h(t)的最终形式为：(特征根为单根的情形)上式中，如果n＞m，则第二项为零。特征根有重根时，第一项做相应修改即可。2、系数ck和Ak的确定：212.4冲激响应和阶跃响应将h(t)的表达式代入以下方程，比较两边冲激及其导数的系数，即可确定ck和Ak-----冲激平衡法。

例2.4.1

某因果系统的微分方程为y”(t)+5y’(t)+6y(t)=f(t)求其冲激响应h(t)。

解：(1)特征方程和特征根：特征根为单根，且左边最高求导次数>右边最高求导次数222.4冲激响应和阶跃响应(2)系数计算：将h(t)代入方程：得所以三、阶跃响应

由单位阶跃信号U(t)所引起的零状态响应称为单位阶跃响应，简称阶跃响应，记为g(t)。g(t)与h(t)的关系：232.5卷积积分2.5卷积积分一、信号的时域分解与卷积积分1.信号的时域分解从图中可以看出，折线信号可表示为：其中：所以：242.5卷积积分2.任意信号作用下的零状态响应yf(t)f(t)根据h(t)的定义：δ(t)

h(t)由时不变性：δ(t

-τ)h(t-τ)f(τ)δ(t

-τ)由齐次性：f(τ)h(t-τ)由叠加性：‖f(t)‖yf(t)--卷积积分故：252.5卷积积分3.卷积积分的定义已知定义在区间（–∞，∞）上的两个函数f1(t)和f2(t)，则定义积分为f1(t)与f2(t)的卷积积分，简称卷积；记为

f(t)=f1(t)*f2(t)注意：卷积结果是t的函数！由此得出结论：系统的零状态响应等于输入信号与系统冲激响应的卷积，即：262.5卷积积分二、卷积的图解法卷积过程可分解为四步：（1）换元：t换为τ→得f1(τ)，f2(τ)（2）反转平移：由f2(τ)反转→f2(–τ)右移t→f2(t-τ)（3）乘积：f1(τ)f2(t-τ)（4）积分：τ从–∞到∞对乘积项积分。注意：t为参变量。下面举例说明。272.5卷积积分例2.5.1求yf(t)=h(t)*f(t)

。[解]

采用图形卷积。f(t-τ)f(τ)反折f(-τ)平移t①t<0时,f(t-τ)向左移f(t-τ)h(τ)=0，故

yf(t)=0②0≤t≤1

时,f(t-τ)向右移③1≤t≤2时⑤3≤t时f(t-τ)h(τ)=0，故

yf(t)=0h(t)函数形式复杂换元为h(τ)。

f(t)换元f(τ)④2≤t≤3

时0282.5卷积积分图解法一般比较繁琐，但若只求某一时刻卷积值时还是比较方便的。确定积分的上下限是关键。例2.5.2：f1(t)、f2(t)如图所示，已知f(t)=f2(t)*f1(t)，求f(2)=？f1(-τ)f1(2-τ)解：（1）换元（2）f1(τ)得f1(–τ)（3）f1(–τ)右移2得f1(2–τ)（4）f1(2–τ)乘f2(τ)（5）积分，得f(2)=0（面积为0）292.5卷积积分二、卷积的性质

卷积积分是一种数学运算，它有许多重要的性质（或运算规则），灵活地运用它们能简化卷积运算。下面讨论均设卷积积分是收敛的（或存在的）。(一）卷积的代数律满足乘法的三律：交换律：f1(t)*f2(t)=f2(t)*f1(t)2.

分配律：f1(t)*[f2(t)+f3(t)]=f1(t)*f2(t)+f1(t)*f3(t)3.

结合律：[f1(t)*f2(t)]*f3(t)]=f1(t)*[f2(t)*f3(t)]302.5卷积积分与分配律和结合律有关的两个推论：推论1：两系统并联，总的冲激响应等于两系统冲激响应之和。即：推论2：两系统级联，总的冲激响应等于两系统冲激响应之卷积。即：h1(t)h2(t)+h(t)=h1(t)+h2(t)h2(t)h1(t)h(t)=h1(t)*h2(t)312.5卷积积分（二）奇异函数的卷积特性1.f(t)*δ(t)=δ(t)*f(t)=f(t)证：f(t)*δ(t–t0)=f(t–t0)2.f(t)*δ’(t)=f’(t)证：f(t)*δ(n)(t)=f(n)(t)3.f(t)*U(t)U(t)*U(t)=tU(t)322.5卷积积分（三）卷积的微积分性质1.证：上式=δ(n)(t)*[f1(t)*f2(t)]=[δ(n)(t)*f1(t)]*f2(t)=f1(n)(t)*f2(t)2.证：上式=U(t)*[f1(t)*f2(t)]=[U(t)*f1(t)]*f2(t)=f1(–1)(t)*f2(t)3.在f1(–∞)=0或f2(–1)(∞)=0的前提下，

f1(t)*f2(t)=f1’(t)*f2(–1)(t)332.5卷积积分例2.5.3：f1(t)=1，f2(t)=e–tU(t)，求f1(t)*f2(t)

解：通常复杂函数放前面，代入定义式得注意：若套用f1(t)*f2(t)=f1’(t)*f2(–1)(t)=0*f2(–1)(t)=0显然是错误的。例2.5.4：f1(t)如图,f2(t)=e–tU(t)，求f1(t)*f2(t)解法一：f1(t)*f2(t)=f1’(t)*f2(–1)(t)f1’(t)=δ

(t)–δ

(t–2)f1(t)*f2(t)=(1-e–t)U(t)–[1-e–(t-2)]U(t-2)f2(t)*f1(t)=342.5卷积积分解：f1(t)=U

(t)–U(t–2)f1(t)*f2(t)=U

(t)*f2(t)–U

(t–2)*f2(t)

U(t)*f2(t)=f2(-1)(t)=（1-e-t)U(t)（四）卷积的时移特性若f(t)=f1(t)*f2(t)，则f1(t–t1)*f2(t–t2)=f1(t–t1–t2)*f2(t)=f1(t)*f2(t–t1–t2)=f(t–t1–t2)前例：f1(t)如图,f2(t)=e–tU(t)，求f1(t)*f2(t)利用时移特性，有U

(t–2)*f2(t)=f2(-1)(t–2)f1(t)*f2(t)=(1-e–t)U(t)–[1-e–(t-2)]U(t-2)352.5卷积积分例2.5.5：f1(t),f2(t)如图，求f1(t)*f2(t)解：f1(t)=2U

(t)–2U

(t–1)f2(t)=U

(t+1)–U

(t–1)f1(t)*f2(t)=2

U(t)*U

(t+1)–2

U

(t)*U

(t–1)–2U

(t–1)*U

(t+1)+2U

(t–1)*U

(t–1)由于U

(t)*U

(t)=tU

(t)据时移特性，有f1(t)*f2(t)=2(t+1)U

(t+1)-2(t–1)U

(t–1)–2tU

(t)+2(t–2)U

(t–2)362.5卷积积分（五）卷积的范围的确定设f1(t)的定义域为[t1,t2],f2(t)的定义域为[t3,t4]，则f1(t)*f2(t)的范围为[t1+t3,t2+t4]。

至此，求解卷积的时域方法可归纳为：（1）