2023-2024学年人教A版必修第二册 10-1-3　古典概型 学案

10.1.3古典概型新课程标准解读核心素养1.结合具体实例，理解古典概型数学抽象2.能计算古典概型中简单随机事件的概率数学运算据《西墅记》所载，唐明皇与杨贵妃掷骰子戏娱，唐明皇的战况不佳，只有让六颗骰子中的两颗骰子同时出现“四”才能转败为胜.于是唐明皇一面举骰投掷，一面连呼“重四”.骰子停定，正好重四.唐明皇大悦，命令高力士将骰子的四点涂为红色，红色通常是不能乱用的.因此直到今天，骰子的幺、四两面为红色，其余四面都是黑色.问题你能算出唐明皇转败为胜的概率是多少吗？

知识点古典概型1.事件的概率对随机事件发生可能性大小的度量（数值）称为事件的概率，事件A的概率用P（A）表示.2.古典概型的定义试验E具有如下共同特征：（1）有限性：样本空间的样本点只有有限个；（2）等可能性：每个样本点发生的可能性相等.称试验E为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型.3.古典概型的概率计算公式一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P（A）＝kn＝n（A）n（Ω）.其中，n（A）和n（提醒若一次试验的结果所包含的样本点的个数是有限个，则该试验还不能判断是古典概型，还必须满足每个样本点出现的可能性相等.掷一枚不均匀的骰子，求出现点数为偶数点的概率.这个概率模型是古典概型吗？提示：不是.因为骰子不均匀，所以每个样本点出现的可能性不相等.1.袋中装有6个白球，5个黄球，4个红球，从中任取一球，取到白球的概率为（）A.25 B.415 C.35 解析：A从装有6个白球，5个黄球，4个红球的袋中，任取一球，有15种取法，其中取到白球的有6种取法，所以取到白球的概率为615＝25.2.（多选）下列试验中是古典概型的为（）A.从6名同学中选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性大小相等B.同时掷两颗骰子，点数和为6的概率C.近三天中有一天降雨的概率D.10人随机站成一排，其中甲、乙相邻的概率解析：ABD由古典概型的定义和特点知：A、B、D是古典概型，C不是古典概型，因为不符合等可能性.故选A、B、D.3.一枚硬币连掷两次，恰好出现一次正面的概率是.

解析：一枚硬币连掷两次，出现的结果可能是：（正，正），（正，反），（反，正），（反，反），共4种，恰好出现一次正面的有：（正，反），（反，正），共2种，故所求概率为24＝1答案：1题型一古典概型的判断【例1】（多选）下列试验是古典概型的是（）A.在适宜的条件下种一粒种子，发芽的概率B.口袋里有除颜色外完全相同的2个白球和2个黑球，从中任取一球为白球的概率C.向一个圆面内部随机地投一个点，该点落在圆心的概率D.老师从甲、乙、丙三名学生中任选两人做典型发言，甲被选中的概率解析对于A：在适宜的条件下种一粒种子，发芽的概率，不符合等可能性；对于B：从中任取一球的事件有限，且任取一球为白球或黑球的概率是等可能的；对于C：向一个圆面内部随机地投一个点，该点落在圆心的概率，不符合有限性；对于D：老师从甲、乙、丙三名学生中任选两人的事件有限，甲、乙、丙被选中的概率是等可能的.故选B、D.答案BD通性通法判断一个试验是不是古典概型的步骤（1）明确试验及其结果；（2）判断所有结果（即样本点）是否有限；（3）判断有限个结果是否等可能出现，这需要有日常生活的经验.另外，题目中“完全相同”“任取”等是表述等可能的语言.下列概率模型中属于古典概型的是（）A.在平面直角坐标系内，从横坐标和纵坐标都是整数的所有点中任取一点B.某射手射击一次，可能命中0环，1环，2环，…，10环C.某小组有男生5人，女生3人，从中任选1人做演讲D.一只使用中的灯泡寿命长短解析：C对于A，不属于古典概型，因为所有横坐标和纵坐标都是整数的点有无限多个，不满足有限性；对于B，不属于古典概型，因为命中0环，1环，2环，…，10环的概率不相同，不满足等可能性；对于C，属于古典概型，该事件显然满足有限性，且任选1人与学生的性别无关，是等可能的；对于D，不属于古典概型，因为灯泡的寿命是任意一个非负实数，有无限多种可能，不满足有限性.故选C.题型二古典概型的计算【例2】（1）同时掷两枚硬币，“至少出现一枚正面向上”的概率是（）A.13B.23 C.12（2）甲、乙两人玩数字游戏，先由甲任想一数字，记为a，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜出的数字记为b，且a，b∈{1，2，3}，若｜a－b｜≤1，则称甲、乙“心有灵犀”，现任意找两个人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为.

解析（1）同时掷两枚硬币，向上的面的情形有：正正，正反，反正，反反共4种，其中“至少出现一枚正面向上”含有正反和反正及正正三个基本事件，所以概率为P＝34.故选（2）试验发生的所有事件是从1，2，3中任取两个数，共有9种不同的结果，其中不满足｜a－b｜≤1的情况有（1，3），（3，1）共2种情况，故所求概率为P＝1－29＝7答案（1）D（2）7通性通法“四步”法求解古典概型的概率1.从甲、乙、丙三名候选人中任选两人参加党史知识竞赛，则乙被选中的概率为（）A.13B.12C.23解析：C从甲、乙、丙三名候选人中任选两人参加党史知识竞赛，共有（甲，乙），（甲，丙），（乙，丙）3种选法，其中乙被选中有2种选法，故乙被选中的概率为23.故选2.（2022·全国甲卷）从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为（）A.15 B.13 C.25解析：C从写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回地抽取2张，共有15种取法，它们分别是（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6），（5，6），其中卡片上的数字之积是4的倍数的是（1，4），（2，4），（2，6），（3，4），（4，5），（4，6），共6种取法，所以所求概率是P＝615＝25.题型三“放回”与“不放回”问题【例3】从含有两件正品a1，a2和一件次品b1的3件产品中每次任取一件，每次取出后不放回，连续取两次.（1）求取出的两件产品中恰有一件次品的概率；（2）如果将“每次取出后不放回”这一条件换成“每次取出后放回”，则取出的两件产品中恰有一件次品的概率是多少？解（1）每次取一件，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的样本空间Ω＝{（a1，a2），（a1，b1），（a2，a1），（a2，b1），（b1，a1），（b1，a2）}，其中小括号内左边的字母表示第一次取出的产品，右边的字母表示第二次取出的产品.Ω由6个样本点组成，这些样本点的出现是等可能的.用A表示“取出的两件中，恰好有一件次品”这一事件，则A＝{（a1，b1），（a2，b1），（b1，a1），（b1，a2）}，事件A由4个样本点组成，所以P（A）＝46＝2（2）有放回地连续取出两件，其一切可能的结果组成的样本空间Ω＝{（a1，a1），（a1，a2），（a1，b1），（a2，a1），（a2，a2），（a2，b1），（b1，a1），（b1，a2），（b1，b1）}，共9个样本点.用B表示“恰有一件次品”这一事件，则B＝{（a1，b1），（a2，b1），（b1，a1），（b1，a2）}.事件B由4个样本点组成，所以P（B）＝49通性通法解决“放回”与“不放回”问题的方法及注意点（1）关于不放回抽样，计算样本点个数时，既可以看做是有顺序的，也可以看做是无顺序的，其最后结果是一致的，但不论选择哪一种方式，观察的角度必须一致，否则会产生错误；（2）关于有放回抽样，应注意在连续取出两次的过程中，因为先后顺序不同，所以（a1，b1），（b1，a1）不是同一个样本点.解题的关键是要清楚无论是“不放回抽取”还是“有放回抽取”，每一件产品被取出的机会都是均等的.一个袋中装有四个大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4.（1）从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；（2）先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n≥m＋2的概率.解：（1）从袋中随机取两个球，所有可能样本点有（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），共6个，从袋中取出的两个球的编号之和不大于4的样本点为（1，2），（1，3），共2个，因此所求事件的概率为P＝26＝1（2）先从袋中随机取一个球，记下编号为m，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为n，则试验的样本空间Ω＝{（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）}，共16个样本点.又满足条件n≥m＋2的事件的样本点有：（1，3），（1，4），（2，4），共3个，所以满足条件n≥m＋2的事件的概率为P＝3161.下列有关古典概型的说法中错误的是（）A.试验的样本空间的样本点总数有限B.每个事件出现的可能性相等C.每个样本点出现的可能性相等D.已知样本点总数为n，若随机事件A包含k个样本点，则事件A发生的概率P（A）＝k解析：B由古典概型概念可知：试验的样本空间的样本点总数有限；每个样本点出现的可能性相等.故A、C正确；每个事件不一定是样本点，可能包含若干个样本点，所以B不正确；根据古典概型的概率计算公式可知D正确.故选B.2.甲随机写一个大写英文字母，乙随机写一个小写英文字母，则他们写的正好是同一个字母的大小写的概率为（）A.113 B.126 C.1169解析：B样本点的总数为676，正好是同一个字母的大小写的样本点有26个，所以所求概率为26676＝126.3.从甲、乙、丙、丁、戊五人中选两人担任五月一日的值班工作，则甲、乙均不被选中的概率为（）A.110 B.C.310 D.解析：C从甲、乙、丙、丁、戊五人中选两人担任五月一日的值班工作，有：甲乙，甲丙，甲丁，甲戊，乙丙，乙