高等数学公式知识点

仅含高数公式(不含线性代数和2u1-u2x.2du

cos%=…5,dx=-------------T

概率统计)1+1?,l+"21+w2

一些初等函数

高等数学公式［全］两个重要极限：

导数公式：

基本积分表：

(arcsinx)/=/1

(fgx)'=sec2x

2

Vl-x三角函数公式:

(ctgx)(=-CSC2X1

•诱导公式：

(secx)r=secx-tgx(arccosx)/=一一.----；

A/1-X,2\函

(cscxY=-cscx-ctgx]sincostgctg

(arctgx)-,

(ax\=axIna角A\

1+x-a-sinacosa-tga-ctga

90°-acosasinactgatga

(logax)-(arcctg州-。

xlna\+x-900+acosa-sina-ctga-tga

180°-asina-cosa-tga-ctga

180°+a-sina-cosatgactga

三角函数的有理式积分：

Jtgxdx=-ln|cosx|+Cdx=jsec2xdx-tgx+C

cos2x

jctgxdx=ln|sinx|+C

dx=jcsc2xdx=-ctgx+C

jsecxdx=In卜ecx+fg'+Csin2x

jsecx-tgxdx=secx+C

jescxdx=ln|cscx-ctg^+C

jcscx-ctgxdx=-escx+C

rdx1x

7、一—arctg—+C

a+Xaa

[axdx=+C

dx1,x-aJIn。

22一—In+C

X2ax+ajshxdx=chx+C

dx1,a+x-

—In------+CIchxdx=shx+C

a2-X2一2aa-x

dxxf/"：=ln(x+Vx2±a2)+C

=arcsi・n—+C厂

da?-x1a3ylx2±a2

71

22

Hzlj

In=Jsin"xdx-^cos“xdx=ln-2

oon

2__________

^x2+a2-ln(x+dx2+〃)+c

22

2__________

1A/X2-a2dx=—yl1x—2Cl——ln|x+J-a?+c

esinx1

双曲正弦:就九2u/irn——#l八

j^a2—x+-r=>®rcsm—+C

2\a

双曲余弦:办J*'lim(l+-)J=e=2.718281828—9045..

2・S8X

x

双曲正切:加=四=9

chxex+e-X

arshx=In(x+Vx2+1)

archx^+\n(x+y/x2-1)

.1.\+X

arthx=~\n-----

21-x

270°-a-cosa-sinactgatga

270°+a-cosasina-ctga-tga

360°-a-sinacosa-tga-ctga

360°+asinacosatgactga

•和差角公式:•和

a+Ba-B

sin(a±p)=sinacosy9±cosasin0sina+sin°=2sin-------cos

2-------2

cos(a±/?)=cosacos^+sinasin0a-P

tgattg/3sina-sinp=2cos-^-sin

tg(a+/7)=2

\+tgatg(3cca+0cc-B

cosa+cos/?=2cos------cos-------

,,。、ctga-ctg/3+122

cts{a±^=-ct-c-

cosa-cos夕=2sin。」sin。」

差化积公式:

•倍角公式:

sin2a=2sinacosa

cos2a=2cos2a-1=l-2sin2a=cos2«-sin2asin3a=3sina—4sin3a

ctg2a-icos3a=4cos3a-3cosa

ctgla

2ctga

2tga3誓箸

tg2a

Ig2a

弧微分公式：ds=y也x,奠申‘金tga

■半角公式：

水压力：F=p-A

.a,/l-cosa圭野Xa:从M点到M',怎,»J线斜率的倾角妣量;

sin—=±-----------;As

2V2iM引力：E产==%Z生号篓次次为为引引力力系系数数

1jA&强,"a&na卜”

al-cosa1-coscrsina4收却nb

次万=±

l+coscrsina1+cosali-cosaASTO4

,直线：K=0;

CLbc

.正弦定理：温彳=温"=碇=2八余弦半径为a的圆:K=L「3dt

a

定理：c2=a2+b2-2abcosC

空间解析几何和向量代数:

,性质：定积分的近似计算：

,反三角函

.nx1

arcsinx=----arccosxarctgx---法J/()~〃(%+H-+X,-i)

22a〃

梯形法J/(X)«勺3；(%+K)+M+…+X)-J

高阶导数公式——莱布尼兹(Leibniz)公式:

(―严=ZC>("Y)网抛物线法与5

[(%+”)+2(h+”+~+%-2)+4(必+%+一

k=0

=〃"％+1%，+”(〃T)〃(“一1＞一(〃-4+1)(“_*)(*)

2!定积分应用相关公式：

中值定理与导数应用：

拉格朗日中值定理:f(b)-/(a)=f\^(b-a)

柯西中值定理:f(b)—f(a)■TC)

F(b)-F(a)FC)

当F(x)=x时，柯西中值定理就啦格朗日中值定理,

曲率:

空间2点的距禺：d=M%|=1区-%)”+(小微分：虫3二01》1+—题数z=狈/g镂dx一方向/的，

—►I—d—►dxdydx

向量在轴上的投影PrjuAB=网.cos*@是懒党龄加家算："我为斓懒昉狗纸阚蚓

Pr"：H)PrM+Pr/%人皆性复合函数的求导法函数2=/'(》广)在_点/?(》广)的梯度：翻(1/'(;

a-b=B*cos6=a,r+a,%+电么,ZE一个数星,dzdzdudzdv

两向量之间的夹角cos”-3+3北',以曹与蹩啜麹絮是柒grad/(x,y)Z

+-,标而焉菽(X，刈硒糜豕+菽天

jk当〃=〃(x,y)，v=v(x,y)时■毋曰...、左小的地出

琴奥壮吃谒裂肥)在/上的投以

a,|c|=|a|-|^|sin。.例:

c=axb%ya

bbh多元赢的极畲及其求法：

xy

小、函数的求导么式：设以%,打)=々(%,光)=0,令：匕(%，加)=

aXaya

向量的混合积E拓司=(axb)chbb寤宙蝴(捌绛P为蹩叫刍*

y

dxAC-

,%>O,Vo，坊)为极小褶

代表平行六面体的体积隐函数"x,y,z)=O,包则上无极t

dx

@C—5逊o时，工不确定

平面的方程：dFdF

国磷及某应用尸F"

1、点法式：A(x-Xo)+8(y-yo)+C(z-Zo)=隐献魏程微dudv

'常注,y)dxdy=J伊俄os。dGdGG,

2、■般方程：Ax+By+Cz+D=0葡n网-用

DD'

du16(F,G)dv15(F,G)

3、截距世方程1+上+三=1————«----------------

abcdz

dx5(x,v)解面z=4(£%的幅积4=j]+

平面外任意一点到该邛面的距离：d=您/哝用G)

dv_16(F,G)D

2

VB-j/CS(y,u)dyJ8(”,y)||xp(x,y)da

邛而簿片的蛆心：元=必;D

空间直线的方程二^=匕九=三幺方程4y=%+Mjjp(x,y)d(T'

mnPD

空间曲线jy=济)在点砒确由福，产(。

二次曲面:a

z=co(t)

222

椭球面二•+、+==1

1、:(p.x-Xo)+-的)(yCDz-zo)

a2b1c2

22"5矶盘器fl,%

2、抛物咤+力如洞号)若空间曲线方程为G(x,y,z)」b逑印典瞽利

2qGy部噱

3、双曲面:曲面F(x,y,z)=0上一点唯便坐.标箱球面嘤标：

22

X1、过此点的法向量：n={F(x,y,z),F,(x,y,z),F(x，.yo,zo))

单叶双曲面v000v00020

2、过此点的切平面方程F(x,y,z)(x-x)+F(x,y,z)(y-y)

222v0000v0000

双叶双曲面鼻-4+3=1(马鞍面)

X7),一＞0

ab~c3、过此点的法线方程：。

工(Xo，>o，Zo)K(Xo，yo，Zo)工(尤o，yo，z0)

方向导数与梯度:

多元函数微分法及应用

x=rcosO对面积的曲面积分“/小,超现怨.先更费甑3%那暧憾诔z和

JJJ/(•«，y，z)dxdydz=jjjF(r,0,z)rdrdddz,%；p<l时，或数收敛

柱面坐标，y=rsinO9

z=z对坐标的曲面积分，，P(设y,力今"n叫岚^,则<)曲Mt时R(辎数外散y

其中：F(r,^,z)=/(rcos^,rsin^,z)£夕=1时，不确定

jjR(x,y,z)dxdy=±JJ用与),朝商蕾薮俣.取曲面的上侧时取假;

x=rsingcos。

E2%

球面坐标，y=rsin^sin^,dv=rd(p-rs\a(pdO'dr=rsin^/1置翳烂盥鳍取艰撇或^

JJr(x,y,z)dydz=士JJ」

z-rcos^z

〃一一>oou

2;r'zdx取曲喻的晋fel时械呼。

jjj/(x,y,z)dxdydz=JJjF(r,(pf)产sin(pdrd(^^^2

QQ2.0

重心：元「胪刖了」％即，两爹典哪f版间的独曲胜也刖脚町耐叫(摭腺斯解

MaMQMa0

转动惯量:/、.=JjpV+z?)*H}pdv,I：=掰^^1)砂+“3-%+…(或-/+“2f3

，(2+丝+当”幅翳辘施u…n>un.}照翦咚

曲线积分：

cdxdy6z

第一类曲线积分(对弧^的曲线积分)：E

晨鬲斯公式的物理意义绝对收趟骤辨牧酸::

设/'(x,y)在L上连续，L的参数方程为:•・+〃■!--,其中%为任意实数；

M匹山和所产生的流体质

P

J7(X,y)ds=J九夕⑺"⑺6’2⑺+/2⑺8逋量亚耳.无质物理时嘲犍锹

♦炒蔓甜，瓠。阴隙绝对

第二类曲线积—积分)：因此：高斯公金可滂慧

，而⑴收敛，则称①为条件收4

设L的参数方程止="")I攵敛;

，贝小

[y="⑺斯托克斯公式一一曲线积

级数》4收敛；

P分与曲面积分的关系：

JP(x,y)dx+Q(x,y)d>=J{2[夕《),*)]°'«)+怦y，孤吸❷物"_叫d喘噜T聋修皿盛。。+

Rd

adx「，

两类曲线积分之间的：JPdx+Qdy=j(Pcosa+Qcos/3)ds,其/)翎应^^dxdy\p〉l时收佥

COS6ZCOS2cos/

巢级数2Ada

L上积分起止点处切向量向方向角。上式左端又可写成u

dxdydzOydz

@<1时小卜敛

格林公式Pdx+Qd)格林公式。(孚-)温对用净射晕'P...

■+X

卜I通或散

dP空间曲线积分与路径麻的条件:生=丝，丝=0

当尸=一乂。=修即:d等0—W=2时，得至⑺的面积：A=

dxdy=-\^dydzdz2dxdxdy

dxdy..乙I.IS)。。+4%+。2尤~+•••+

ik

J/W<R时收

・平面上曲线积分与路筋关的条件:ddd_

旋度：rot4使(x|>火时发

1、G是一个单连通区域；dx办寓:轴上都收敛，则必存生R,

…dQdPf盘意寄R点，姐0&),应._同■=R时不

2,P(x,y),Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数H.

向量场留耕有内闭曲砥T的环流量,Ddx+Qdy+Rdz=^A-tds

减去对此奇点的积分，注意方向相反!rr

•二元函数的全微分求积常数项级数：求收敛半径的方法：设im—=p,其中a,

C\7~\八PinnsQ

在要=学时，Pdx+Q/y才是二元函麴(x,醐陶微附+滥用+…+/-=」-

dxdy\-q

“(X,y)=jP(x,y)dx+Q(x,y)d»通常设飞港美数列」+2+3+…+，羸展开成幕级数.

(%,%)1

调和级1数…+工1是发散的

曲面积分：23n

级数审敛法:

机函效的解R诚;)+m'+。其中为常数；

函数展开成泰勒级数:/(幻=/(4)5-%)馅由丁+…+…

n7ix

篇方程粗亓卦/"+q=°，其中户

余项：ar°)

2、求甘(△斌的两个根斗弓—

;靠哪蹄5颉胆同情况,按下表里(*就白

%=0时即为麦克劳林公式：/(幻=/(0)+/'(0)x-

其中＜

n:朝味的辑主根(*)式的通解

一些函数展开成幕级数：

y=ceriX+ce^x

m(m-1)•••(zn+1)*[12

(1+x)=1+mx+--------x+•••+x+…(-^六轴)〉。)

2!械分方程的相关概念:两个相等实根

比3r5,y=(G+

sinx=x-------1-------…+(-1)〃।------------F…一懒M里)>'=/(X或一购=8/,y)dx+<20,y)dy=0

几一

3!5!(21)!可分离变量的微分方,g做微城渊呈度以■御J期,西毋a胭磨的

价?2G制S9(x)+c称为隐式通解。

欧拉公式:Jg(y)dy=J/(x)dx

4=a+加，r=a-if3

cosx=j2

齐次方程：一阶微分:濯可玛芦dy成押耳)=0(x,y),即写成占

2

elx=cosx+zsinx或CC--------9P—-----------------“

,eix-e-ix设〃=2,则虫=〃+无duMu2dx鼐分离变量,

sinx=-----------

2xdx

三角级数:即得齐次方程通解。

/(©=/*"(幻型，/为常数;

=包+自⑷。吧解赢翻"程:

/⑺=4+ZA“sin(rt(yr+(pn)

n=\2f-ix)=一［写(x)cos如M；＜x)sincyx］型

其中，a0=a\,a“=A,sin°“，4=A“cos%,、a阶线性微分方程@+P(x)y=Q(x)

正交性：l,sinx,cosx,sin2x,cos2x---sin〃xcos〃/…任意两个不同项的藻科£［-肛司

当。(x)=0时，为齐次方程7y文汇团作

上的积分=0。

P(x)dx

傅立叶级数:当。(x)w0时，为非齐次方程首

a9,1^3-------

fM=寸+£(a,cosnx+bnsinnx),周期=2么贝努力方程"+p(x)y=Q(x)y",(〃牛0,1)

2〃=1—dx

]11

a〃=一J/(x)cosnxJx(«=0,1,2.-•)全微分方程：

其中4一兀如果P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0中左端是某函数的全彳粉方程,即：

]n

bn=—j/(x)sinnxJx(〃=1,2,3…)du(x,y)=P{x,y)dx+Q{x,y)dy=0,其中受=P(x,y),包=Q(x,y)

—n一.函数的概念&dy

,11TC~.•・加，焉/应该是该全微分方触通解T限积分表示的函数

1+—+^-+---=i++­••=—(TOOT)考研数学知识点-高等数学

3252~8~

111乃一公式1.

//(x)三耐为齐次

-24

八h(x)。。时为非齐次

弗嘉奇函数

正弦级数：%=o,bn=—J/(%)sinvadxn-1,2,3---/(x)=£b“Hin

71o二阶常系数齐次线性微分.0X

2冗方程及其解法：&、LngU

余弦级数：a=0,an=—jf{x}CQsnxdx〃=0,1,2…/(x)=T+Za“coszM是偶函数

冗o

0y=I累)力，其中X)连续，财丝X)

()公式2.limyl

dx〃一*30\

y

12)z

(+

\V).-

取

其

中

以<P（）可导，A）

11

,i1m

连

续v->0

V

，

广

则-

2[

比

用

等

O价

无

]

穷

小

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o

深

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{

数

A学

一

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O}

]

6，

0}

4

•

用

无

穷

小

重

要

性

质

和

等

价

无

穷

小

代

换

5

•

用

泰

勒

公

2.两个无穷小的比较

X)

2

设limX)=0,limg()=0,且数学一)

lim

x4)

0

gQ/

当

XT。时，

e

,r=1+X++A++

2!n\

(I)/=0,称/()是比g()高阶的无穷小,记以Qf"+i+

,CLo(>+i

()o[g(

f=)]

,称

g()

是比X)低阶的无穷

sinx

=x

XX

一十十

A+

3

j

5

j

2

4

2

n

+

1

!

CL

+0()

小。x2!4!

(2)/WO，称H)与g。是同阶无穷小。23

-A+

COSX1

XX

X

(3)/=1,称/()与g()是等价无穷小，记以+X4X-+一+

“+2

一)~g()

0

In13

3

5

1

1

n

xxA

()“+

JC\

().

1

3.常见的等价无穷小1

arctanx=x-+-+n