高中数学教学设计与反思

我先来介绍一下参加我们这次讲座的几位嘉宾，我身边这位是苏州五中的罗强

校长，这边这位是苏州中学的刘华老师，那边那位是大家熟悉的首都师范大学

数学系博士生导师王尚志教授。欢迎大家来到我们研讨的现场！

老师们都知道，素质教育要落实在课堂上，课堂是我们实行数学新课程的主战

场，做好教学设计是我们整个高中数学新课程推进的一个关键点。那么，怎样

才能做好数学的教学设计呢？我们问过一些老师，大家感觉有些疑惑，比如说

有的老师们认为：教学设计是不是就是备备课，写好一个教案、做一个课件，

是不是这样？我们想听听来自江苏的老师怎么看这个问题？

罗强：我来谈谈自己对教学设计理论的学习和实践过程中的一些体会。以前我

们在教学实践中往往把教学设计变成一种简单的教案设计，但实际上这只是一

种经验型的教学设计，没有上升为科学型的教学设计。其实，国际上对教学设

计的研究已经进行多年，提出了许多思想、理论、案例，教学设计已经成为一

个独立的研究领域。

教学设计理论的发展基本上经历了两个阶段：第一个阶段是突出以“教的传递

策略”为中心来进行教学设计的传统教学设计理论，它更接近工程学，遵循设

计的规则和程序，强调目标递进和按部就班的系统操作过程，其特点是注重目

标细化，注重分层要求，注重教学内容各要素的协调。就好像我们要造一幢房

子，先要把这幢房子的图纸设计出来，然后再设计一个施工的蓝图，教学就是

按照这样的设计来进行实施的一个过程。

第二个阶段是突出以“学的组织方式”为中心来进行教学设计的现代教学设计

理论，它的基础是信息加工理论与建构主义的学习理论，现代教学设计理论强

调依据学习任务类型（如认知、情感与心理动作等）来选择教学策略，强调以

问题为中心，营造一个能激活学生原有知识经验，有利于新知识建构的学习环

境。其特点是问题与环境，强调创设情境，提出问题，营造问题解决的环境，

突出学生的自主学习和自主探究。

按照新的教学设计的理论，我们应该以学为中心来进行教学设计，简单的说就

是——为学习而设计教学！打个比喻，就是说我们教师好比是导游，带着学生

去一个新的景点旅游，那么在这个过程中间，教学设计就是设计这么一个导游

图，让学生在参观各个景点的过程中，经历学习这些知识的一种过程。

按照为学习而设计教学的理念，我觉得在教学设计时要考虑三条线索，这样实

际上也就构成了教学设计的一种三维结构。第一条线索就是一种数学知识线索。

因为教师进行的是学科教学；第二个线索是学生的认知线索。因为学习的主体

是学生；第三个线索就是教师的教学组织线索，因为教学过程是通过教师的组

织来实现的。比如第一条线索——数学知识，我觉得数学知识实际有三个形态:

一是自然形态，它既存在于客观世界中间，实际上也存在于学生的头脑中间；

二是学术形态，它是作为数学学科的一种知识体系而存在。那么，我们的教学

就是要在数学的自然形态和学术形态的中间架一座桥梁，这座桥梁就是数学的

教育形态。因此，我觉得教学设计的本质就是设计好数学的教育形态，教学设

计的过程实际上就是构建数学教育形态的一个过程。

通过对教学设计理论的学习，并在实践中反思和总结，我的体会很深。有一位

美国学者兰达曾经说过：教学设计是使天才能够做到的事一般人也能去做。我

想对教学设计理论的学习是一个大家都要努力的目标。

张思明：刚才罗强老师从理论上分析了什么是教学设计？教学设计应该关注哪

些问题？下面我们请刘华老师帮我们分析一下：在你们实验区和老师接触的实

践中，你感觉到老师们在教学设计中存在着哪些主要问题？

刘华：我想解剖一个由职初教师，就是刚刚工作的青年教师所提供的一个教学

案例。

我先简单介绍一下他的教学设计。这是高一函数单调性的一节起始课，在教学

设计中，这个职初教师首先明确了这节课的三维目标，然后他提出了两个生活

中的情境，一个情境是生活中的气温图；第二个情境是股票的价格走势图，然

后引入新课。接着把函数单调性的概念介绍给学生，紧接着进入了例题讲解阶

段，最后是有两个思考题。

我觉得这个教学设计大致存在这样四点比较普遍的问题：

第一个问题就是这位教师在确定课程目标的时候，比较机械地套用了新课程的

理念，按照“知识技能，方法与过程，情感、态度、价值观”这样的三维目标

来叙述他的本节课目标。在这些目标中，知识与技能的目标还是比较实在的，

但“过程与方法”的目标以及“情感、态度、价值观”的目标就比较空洞，流

于形式。其实，这位老师对教学目标并没有做深入的分析，这样的教学目标只

是一个标签而已，这是第一个问题。

第二个问题是问题情境的设计。好的情境应当是兼顾生活化与数学化，股票的

价格走势图这个情境离学生的生活太远，其中还包含了许多股票方面的专门知

识，对函数单调性这个数学概念的反映也不够准确，作为本课的情境，不太恰

当。

第三个问题就是在情境到数学概念的产生过程中，应当让学生充分体验或参与

数学化的探索过程，从而建构起函数单调性这一概念。我们看到在这位教师的

设计当中，他忽略了学生活动，尤其是学生思维活动这样一个环节，而是直接

把概念抛给了学生。我们认为学生在数学学习中，“过程”相对来说比仅仅接

受概念这个“结果”更为重要。

最后一个问题就是我们发现有很多老师认为数学教学设计主要就是习题的设

计，这位教师本节课的例题、习题量非常多，而且对这些习题的要求他存在着

一步到位的倾向，尤其是他最后抛出来的含字母的函数单调性的探索这个问题,

我们觉得在新授课当中这个习题的要求太高了。我觉得老师们在教学设计中主

要存在这样几点问题。

张思明：刘华老师谈了一个单调性的案例，对一个新教师的案例做了一个分析,

分析出了我们老师在教学设计中常常出现的一些问题。那么面对这样一些问题,

我们应该怎么办？我们就以这个案例为出发点，请罗强老师对函数单调性这个

课题做了一个分析和再创造的工作，在这个工作中我们可以看到如何通过教师

自己的再学习、再认识，设计出一个更好、更适用于学生的教学设计。我们来

看一下罗强老师的说课录像。

罗强老师的说课：各位老师大家好，我向大家汇报一下我对函数单调性的教学

设计。

首先谈一下我对教学设计的认识。我觉得教学设计的根本目的是创设一个有效

的教学系统，这样的教学系统不是随意出现的而是教师精心创设的，没有有效

的教学设计就不可能保证教学的效果和质量。教学设计最根本的着力点是“为

学习设计教学”，而不是“为教学设计学习”。

教学设计的首要任务就是明确教学目标，实际上教学目标是教学设计的灵魂和

统帅，将指引后续教学设计的方向，决定后续教学设计的具体工作。在制定教

学目标的时候，我觉得要把握以下几点：

第一，把握教学要求，不求一步到位。函数单调性是高中阶段刻划函数变化的

一个最基本的性质。在高中数学课程中，对于函数单调性的研究分成两个阶段:

第一个阶段是用运算的性质研究单调性，知道它的变化趋势；第二阶段用导数

的性质研究单调性，知道它的变化快慢。那么高一我们是处在第一个阶段。

第二，明确知识目标，落实隐性目标。知识目标往往就是教学的显性目标，确

定知识目标的关键在于分清主次轻重，把握好教学要求。根据课程标准的要求,

本节课的知识目标定位在以下三个方面：一是理解函数单调性的概念；二是掌

握判断函数单调性的方法；三是会用定义证明一些简单函数在某个区间上的单

调性。另外这节课的隐性目标我觉得也很重要，因为函数单调性的定义是对函

数图象特征的一种数学描述，它经历了由图象直观特征到自然语言描述再到数

学符号的描述的进化过程，反映了数学的理性思维和理性精神。对高一学生来

讲它是一个很有价值的数学教育载体和契机。因此这节课的隐性目标应该包括

让学生体验数学知识的发生发展过程，学会数学概念符号化的建构过程。

根据刚才的分析，我把教学流程分成了三个阶段：第一个阶段是进行函数单调

性概念的数学化过程；第二个阶段是从不同的角度帮助学生深入理解函数单调

性的概念；第三个阶段是让学生学会判断，并用函数单调性的定义证明函数的

单调性。

第一阶段的教学流程分成三个教学环节。第一，问题情境；第二，温故知新；

第三，建构概念。具体如下：

先是创设问题情境。由老师和学生一起举出生活中描绘上升或者下降的变化规

律的成语。老师可以启发一下，先说一个“蒸蒸日上”，然后和学生一起举出

比如“每况愈下”，“波澜起伏”这样三种描绘不同变化的成语。然后请学生

根据上述成语，给出一个函数，并在平面直角坐标系中绘制相应的函数图象。

这样设计的意图是让学生结合生活体验用朴素的生活语言描绘变化规律，体会

力n何海十字语等蛀"*图被落—

接下来是温在若新。在刚才城制出的三个函数图象的基础上，我请学生观

察它们变化的趋势。在刚才学生绘制的三个函数图象的基础上，再请学生用初

中的语言来叙述什么叫图象呈逐渐上升的趋势，也就是“函数值随着的增大而

增大”。这样设计的意图是让学生对照绘制的函数图象，用自然语言描述函数

的变化规律，重温初中函数单调性的描述定义

张思明：刚才我们看到了时骏老师的说课，下面我们来听一听嘉宾对这个说课

的分析。

罗强：我还是要强调教学设计一定要注意为学习而设计教学。还是拿我刚才的

这个比喻，就是教师带学生去旅游。既然是带学生去旅游，首先就要考虑我要

带学生到什么地方去？然后需要考虑我怎么才能够带学生到达这个地方？然后

我要确定学生是不是真的到达了这个地方？还要注意的是，作为教学的一种延

伸，我觉得还应该让学生有兴趣、有能力继续他自己的旅程。我觉得这是我们

教学设计要做的主要工作。

张思明：通过以上几个案例，我想老师们对于如何做教学设计有了一个初步的

认识。怎样做好教学设计呢？我们也想听一听在教育指导部门的老师的一些想

法，我们特别采访了江苏省教研室的董林伟主任，我们来听一听董主任关于教

学设计的思考和认识。

董主任：美于设计,嬴个词大家应该都非常的熟悉。当人们要从事一项有目的

的活动的时候，事先都要有一些设想，要进行一些规划，要进行一些设计。作

为我们教学工作者来说，在开始我们的教学活动之前，我们的老师都必须做一

项非常重要的工作，那就是教学设计。今天我要谈的就是关于教学设计的话题。

我想就三个方面来谈谈我的一些基本想法。第一，我想先谈谈什么叫教学设计？

第二，谈谈我们在教学设计过程中应该来设计一些什么？第三，在设计的过程

当中我们要注意哪几点？下面我想简要的把这三个方面跟大家做一个交流。

一、关于什么叫教学设计？所谓的教学设计就是用系统的方法对各种课程资源

进行有机的整合，对教学过程中相互联系的各个部分作出整体安排的一种构想。

它是一种构想，是一种整体的安排，是我们教师为将来进行的教学勾画的一些

图景，它反映了我们的教师对自己未来教学的一种认识和期望。如果通俗一点

来说，那么所谓的教学设计可以这样来理解，就是：你要把学生带到哪里去？

你怎样把学生带到那里去？你这样做能把学生带到那里去吗？

二、在教学设计过程当中我们应该关注些什么，就是说设计一些什么？

首先，我们必须明确我们的教学目标，教学目标是我们教学根本的指向与核心

的任务，是教学设计的关键。教学的目标是教学中师生所预期达到的一种教学

效果和标准，因此，明确教学目标就是要明确你要把学生带到哪里去。在确定

教学目标的时候，我们要关注以下的几点：第一，整体性。就是要注意这部分

内容在整个高中阶段数学教学中的联系，以达到教学的一种连贯性，要正确处

理好我们的近期的目标跟远期目标的相互关系。第二，在我们明确目标的时候,

要关注它的全面性。新课程对数学教学的目标提出了新的一种要求，三维目标

在关注知识结果的同时，更注重对过程目标的关注和对学习者——学生的关注,

更关注学生获取数学知识的过程以及在学习中的经历、感受和体验。因此，教

师在设计数学教学目标时，应特别注意关注新课程所提出的过程性目标。第三,

我们要关注目标的现实性。确定教学目标时，应当注意它与所授课任务的实质

性联系，以避免目标空洞、无法落实。我们在设计教学目标时，常见的一种状

况是目标过分的大，过分的空洞，那么在落实过程中，就难以达到预设的目标。

其次，我们在教学设计中要非常关注学生，要了解学生。我想，以下几个方面,

至少老师在教学设计过程中应该心中有数。

第一，在数学方面学生以前做过什么？他在数学活动或者是在数学实验方面，

曾经做过什么？这里我们实际上要关注的是学生的活动经验。

第二，不同的学生在思维方式上会有什么不同。实际上就是要在教学中关注我

所授课的学生的特点，关注我班学生的构成，班级当中不同群体的学生在思维

方面有些什么样的不同。

第三，要初步确定课堂的组织形式，就是说我这一堂课是整个班级一起学习，

还是将学生分成若干个组来活动，甚至于是一种个体性的活动，包括开展一些

个体性的实验活动，包括自主学习的一种活动方式。组织形式上还要关注这堂

课需要利用什么模型？是否需要做适当的课件？或者准备一些相关的硬件设

施。这也是我们在确定课堂组织形式是所必须要关注的。

第四，要勾勒教学的一种顺序。这个顺序当中主要包括这样几点：第一点，应

当怎样提出主题，通俗一点讲就是问题情境的创设。关于问题情境的创设，我

们在相关的专题中也都提到它的重要性和一些要求。我们在勾勒教学顺序的时

候，首先要关注的是怎样提出主题，这个主题应该是跟学生接近的，又要能够

引起他的兴趣，又要围绕着我们的教学主题的，而且能够使得学生迅速的进入

学习活动中。第二点，就是要关注是否需要复习以前的相关知识。一堂课的教

学它往往不是独立的，而是有前后联系的，因此需要考虑我在这堂课教学中是

否需要复习相关的知识？第三点，当学生对材料产生争论的时候，你准备提出

怎样的探索性问题。当我们提出问题以后学生可能会产生什么样的一种思考，

可能会产生一种什么样的争论？我们要了解这些争论的思维的背景，需要进行

正确的引导，那么你就必须要设计好一些问题串，来引导学生围绕主题展开探

索。第四点，我们在设计教学程序的过程中要关注一下我们使用的材料，我们

的课本提出了什么样的观点，使用什么样课外的材料来帮助我们的教学。第五

点，要根据学生对主题的掌握程度，准备几个可以供选择的，课堂当中要自主

完成的练习，或者是课后要完成家庭作业。这些是勾勒我们整个教学流程的一

三、教学设%•中我们应该注意的方面。教学设计永远只是教学过程的一种预期,

实际的教学活动则永远是一个谜。我们老师都有经验，同样的一个课题，同一

个老师的备课，他在不同班的授课过程中都会产生不同的教学流程、教学效果。

因为我们所面对的学生是不同的，是在变化的，我们的教学生成是变化的，只

有当这堂课教学完成了，我们才能知道这堂课最后的结果。所以前面的教学设

计只是一种预期，我们的教学设计就是要关注这样的一种变化。

因此，教学设计首先要注意它的整体性，就是说我们的教学设计不是一种片断,

是一种整体的设计，它不是写在我们纸上的一种文本，而是我们教师对自己和

学生所持的一种整体性的目标。其次，要注意它的可变性，没有一件事情是丝

毫不差地按照计划进行的。学生的思维可能还停留在你认为根本不重要的问题

上，他们还会以你几乎不能想象的方式来理解某些概念。当活动过程受到影响

时，你必须放弃你原来的教学计划，运用你对学生已有的知识的了解和更宏观

的数学教学目标，去指导你的教学行动，也就是说要产生一些生成的问题。第

三，要注意它创造性。我们的教师很大程度上会依赖于教材或教学参考书，以

确保他们的数学教学内容符合一个内部连贯的发展框架。这种依赖有一定的好

处，它能够使得我们的教学设计能够围绕着我们课程的设计来进行，但是同时

也存在一些问题，就是说毕竟教材是我们课程的一种呈现，跟教学的呈现还是

有着本质差别的。我们的教学设计应该是一种流动的过程，应该适合我们的学

生，就像设计师设计的服装要符合你所设计的群体的特点和要求，如果考虑到

个体，就要符合他的气质，符合他的整体形象。我们的教学设计也是这样，我

想每个人都应该有个人设计的一种思考和魅力。

刚才谈到这几点仅供我们老师做一种参考。

完整的说课资料请看拓展阅读材料：4.关于教学设计的一些认识，江苏省中小

学教研室，董林伟。

张思明：各位老师，我们这一讲把教学设计中存在的问题通过几个案例给大家

做了一个初步的展示。我想教学设计中的问题是一个教学实践过程中产生的问

题，我们每一个老师都有自己的设计理念，都有自己设计成功或者不如意甚至

失败的地方。我们希望研讨是一个互动的过程，我们真诚的期待着老师们把您

们在教学设计中遇到的问题和成功的经验寄给我们，我们一起来研讨。那么这

一讲就到这里，谢谢老师们的参与！

张思明：各位老师，大家好！欢迎大家参加高中数学新课程远程研修！我们这

一个系列讲座是围绕着高中数学的新课程的教学设计展开的。

我先来介绍一下参加我们这次讲座的几位嘉宾，我身边这位是苏州五中的罗强

校长，这边这位是苏州中学的刘华老师，那边那位是大家熟悉的首都师范大学

数学系博士生导师王尚志教授。欢迎大家来到我们研讨的现场！

从上一讲我们已经了解到了教学设计是什么？教学设计关注的问题有哪些？我

们这一讲就比较具体的来进行进一步的讨论，我们讨论的主题是如何进行教学

活动的设计，我们希望深入到课堂的角度里。

我们首先来看几个案例，我们想从这些案例里，看一看课堂活动设计里有哪些

要点。我们先来观摩两节“直线与平面平行”的课堂教学片断，并听一听上课

老师自己做的分析和点评。

苏州市第五中学黄骁健老师的课堂实录片段：T——教师，S——学生。

T：今天这节课我们来研究一下直线和平面的位置关系有多少种？

首先我们来看这样一个问题，这是一个足球门的图片，请大家观察一下组成足

球门的每根柱子和地面之间的位置关系有哪些？只需要直观的感知一下有几

种？

S：有垂直，平行，还有相交。

T：一条直线和一个平面的位置关系，有且只有以下三种：直线在平面内；直线

和平面相交以及直线和平面平行。

在这三种位置关系里，直线在平面内那么直线和平面有无数个公共点。而直线

和平面相交，直线和平面平行这两种位置关系，我们把它统一的称作为直线在

平面外。

直线在平面外的符号的记法大家想想应该记作什么？

S：直线在平面内，是。

T：那么在平面内外呢？

S：不包含。

T：对，记作：。

接下来我们还是回到足球门这个问题上，刚才大家说了在这个足球门里面，

4?和地面是平行关系。那么在造足球门的时候我如何去判断造完以后门放在这

个足球场上，上面这个门框就和地面平行的呢？

也就是说我如何去判断一条直线和一个平面平行呢？

为了研究这个问题，我们把足球门抽象一下，抽象成在一个长方体内。在这个

长方体里面，大家应该很直观的看到力/B/和下底面是平行关系。

那么它们为什么是平行的呢？我们从直线和平面平行的定义出发，它的定义是

什么？是线面没有公共点。那么我们怎么说明它们是没有公共点的呢？

请同学们看图，从这张图上我们看到：直线4,6’和谁没有公共点？

S：ABO

T：因为4’夕，和居是平行的。而下底面可以看成是由居这条直线平移所构成

的，在平移过程当中的每条直线与4'夕’都没有公共点，因此直线4,夕,就与

下底面没有公共点了。

现在请大家来归纳一下，如何判断直线和平面平行？

S：直线和平面的一条边平行且不在平面内，则直线和平面平行。

T：我们调整一下这句话，就是说：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直

线平行，那么这条直线就和这个平面平行。

从图形上来叙述的话，（看幻灯片）只要说和这两条直线平行，那么就和平

面平行。我们简单一点来说：就是由线线平行这个条件，可以得到线面平行的

结论。但是这两条线要分清楚，一条是在平面外的，一条是在平面内的。

完整的上课录像请查看拓展资源。

黄骁健老师的说课：我说课的课题是《直线与平面的位置关系》（第一课时）。

本节课是高中数学新课程必修二中的内容。我的说课分四部分进行：

（1）教材分析目标定位。首先，从新老教材的对比上，我们可以看到，新教材

有非常明显的变化。老教材是一次完成教学，而新教材中文科在高一完成立体

几何教学后就已经结束了；理科则是分两次完成，一次是在必修二当中，一次

是在选修系列2中。其次，新教材强调：直观感知，操作确认，思辨论证，度

量计算是探索和认识空间图形及其性质的主要方法。在高一阶段立体几何的学

习中更加注重直观感知，操作确认，并适度进行思辨论证。再次，本小节在教

材当中前后联系非常紧密，线面位置关系的分类和它之前的线线位置关系以及

之后的面面的位置关系的分类标准都是一致的，都是从有没有公共点，有多少

个公共点出发进行分类。线面位置关系的研究顺序也和之后的面面位置关系的

研究顺序一致，都是先进行分类，然后讨论两种特殊的位置关系：平行和垂直。

因此本小节在教材当中是起到了一个承上启下的作用。

所以本节课我的目标定位是：第一，能够直观感知直线与平面的位置关系并会

用符号语言表示；第二，能通过直观感知、操作确认，归纳并理解线面平行的

判定定理并能运用它证明一些简单的问题。第三，能够通过直观感知、操作确

认、思辨论证，归纳并证明线面平行的性质定理并能运用它证明一些简单命题。

（2）创设问题情境。我认为问题情境应该能够引起学生的学习兴趣，并且能够

反映本节课的中心内容，而且本节课的教学也应该围绕着这个问题展开。因此

本节课我设计了这样一个问题情境：就是有关足球门的例子，用它来引入直线

和平面的位置关系，并且引入直线和平面平行的判定定理。

（3）本节课的问题串设计。在第一部分直线和平面的位置关系上，首先是问这

样一个问题：观察组成足球门的每根柱子与地面的位置关系；接着抛出第二个

问题：直线和平面可能有哪几种位置关系；最后要求学生不看图从直线和平面

公共点个数来划分，归纳出直线和平面的位置关系应该有怎样几种。这三个问

题由直观到抽象，引导学生归纳得到线面的三种位置关系。第二在直线和平面

平行的判定定理的教学当中，还是从足球门的问题情境出发，问在足球门的图

片当中如何保持球门的门框和地面是平行关系；接着抽象到长方体模型当中，

询问这样两个子问题：首先是在直线四的平移过程当中询问学生是否每一个位

置都和直线4,8,平行；接下来一个子问题就是询问他们直线力,8,和平面AC

是否有公共点。那么通过这样两个子问题，以问题的形式引导学生自己归纳得

出判定定理。接下来在线面平行的性质定理的教学当中，我问了这样几个问题：

第一，如果直线和平面平行那么这条直线是否和这个平面任意一条直线平行；

第二，如果直线和平面平行那么这条直线和平面内多少条直线平行；第三，在

平面当中怎样找出和已知直线平行的直线。通过这三个问题引出线面平行的性

质定理，同时让学生辨析了这样几个概念，就是无数条直线和任意一条直线和

所有直线的区别。

（4）教学模具的运用。运用教学模具在立体几何的教学当中是非常普遍的，因

为运用教学模具讲解非常直观能够使学生容易理解。但是教学模具并不一定非

要是教学模型，比如说长方体、正方体或者棱柱、棱锥、棱台等模型。身边的

各个具体的事物都可以用来作为模具。我在本节课当中讲解思考练习二，辨析

命题“过直线外一点有无数个平面与这条直线平行”是否成立的时候，我利用

教室的门作为模具演示开关门的过程，在这个过程当中让学生发现教室的门框

与门在转动过程当中每一个所在平面都是平行的，从而判断出该命题的真假。

设计这样一个演示过程我还有另外的一个想法，就是这时候课上了大概有一半

了，可能有学生的注意力有所分散，通过这个演示可以再次提高学生的兴奋点,

继续吸引学生的注意力。同时，我希望通过这样慢慢的渗透能够使得学生学会

观察身边的各种事物从中发现数学的奥妙。

完整的说课资料请看拓展阅读材料：1.“直线与平面位置关系”教学案例，苏

州市第百中学苗磕犍

苏州市吴县中屋王新民》师的课堂实录片段：T——教师，S——学生。

T：同学们，前面我们刚刚学过空间两条直线的位置关系，请问空间两条直线的

位置关系有哪些？

S：平行，相交或者异面。

T：非常棒，请坐下。请问这三种位置关系从公共点的角度来判断，两条直线平

行公共点有多少个？

S：如果两条直线平行那么这两条直线没有公共点；两条直线是异面直线那么它

们也没有公共点；当两条直线相交的时候它们有一个公共点。

T：回答得非常棒！同学们，今天我们就是从公共点的角度来研究直线与平面的

位置关系。请大家以笔代直线，以桌面代平面来比划一下直线跟平面公共点的

情况。好，我请个同学来讲一讲，这位女同学。

S：（拿笔比画演示）……

T：她刚才讲得非常好。（演示）直线与平面没有公共点；直线跟平面只有唯一

的公共点；还有整条直线在平面上。前面我们在公理一中已经讲到，如果说一

条直线上有两个点在平面内，那么这条直线就在平面内。我们给出三个定义：

第一种情况，如果直线跟平面有无数个公共点就称直线在平面内；如果说只有

一个公共点我们称直线跟平面相交；如果说没有公共点就称直线与平面平行。

它们的记号依次是：如果线面平行，我们模仿两条直线平行的写法，读作直线

a平行平面a；相交怎么表示呢？直线a交平面a于点4；表示直线a在平

面a内，；相对于直线在平面内，直线a与平面a相交以及平行这两种统称直

线a在平面a外,它的记号：.

这就是今天给大家抛出的直线与平面的三种位置关系.

那么我们今天首先来研究直线跟平面平行这样一种特殊的位置关系.同学们，我

们现在已经知道直线跟平面平行它的定义是没有公共点.那么，接下来就要判断

直线跟平面是不是平行？定义当然是一种重要的方法，除这之外到底有没有其

他办法？我们先来看一个做法：直线跟现在重合在一块，都在平面a里面，

我现在把这条直线放在平面a内，保持，平行，往上移动从面内移到面外，

这里面具备哪些条件？

S:跟平行，在a内，不在a内。我们猜想一下。

T:我们猜想一下跟a的位置关系是什么？

S：平行。

T：同学们的猜想完全正确。直线在平面a夕卜，直线在平面a内，，为两条

平行直线，这三个条件，我们能推出a跟平面a平行。

完整的上课录像请查看拓展资源。

王新民老师的说课：今天我说课的课题是《直线与平面的位置关系》，它是高

中数学新课程必修二中的内容。

点、直线与平面是立体几何的三个基本对象。直线与平面的位置关系是立体几

何的重点与难点。根据新教材的教学目标和教学内容，教师存在的两大难点：

第一个难点，课时减少、容量增加。旧教材中直线与平面平行的判定和性质安

排了三课时，而新教材中的相关内容仅安排了一课时，原教材中的练习三在新

教材中变成了例题三，还增加了一个思考题。因此本节课相比原教材而言，课

时数是原来的三分之一，而教学内容比原来反而增多了。与原教材相比，新教

材对直线与平面平行的判定定理的证明虽然不做要求，但教学时要通过观察动

手或多媒体演示等等手段让学生感知直线与平面中一条直线平行可以得到线面

平行。虽然对定理证明的要求降低了，但实践能力要求增加了。新教材对例题

习题的推理要求并未降低，教学时间显得更为紧迫。

教学中，直线与平面平行的判定是一个难点，学生比较难理解。在新教材中它

的证明不作要求，但是让学生体验这个定理的演示过程显得非常重要，在这个

过程中，让学生体会到线和平面没有公共点，由此导出判定定理。

第二个难点，性质定理内容的生成难以下手。由于性质定理的引入不太自然，

要求又比较高，学生不太容易理解，因此我在此处设计了大量的问题，通过问

题串来解决线面平行的性质定理的引入。等例题一结束以后，我是这样设问的：

跖跟平面戚是平行的，那么班除了跟初平行以外，还有没有其他直线和厮

平行？学生不难发现三角形以》的中位线等一系列平行直线。我继续发问：直

线即与平面政中的直线是不是都平行？同学也很容易得到死跟郎是不平行

的。那么斯与平面攻中的直线除了平行还有什么其他关系？显然是异面的。

那么跖与平面版中的直线除了平行异面之外有没有其他可能？事实上只有两

种：要么异面要么平行。我继续追问：线面平行线跟平面内的直线怎样前提下

才能保证线线平行？这就导出来线面平行的性质定理。通过这样的设问学生很

自然的就得到了它的证明。

讲完性质定理之后，教材给出了例题二。例题二是一个长方体木块，要经过平

面4G内一点和棱死将木块锯开，应该怎样画线？当性质定理和判定定理得以

充分解决以后，由于担心学生的直观理解还不够，因此我在教学过程中带了小

木块给每个同学，让他们自己刻画、自己操作，最后同学基本上都能比较自然

的画出该画的线。应该说线画好本题已经解决，由于本节课的课时比较紧，内

容比较多，经过反复推敲，例题二跟例题三其本质是一样的，例题三要求三个

平面两两相交，交于三条直线，其中两条线平行，那么第三条线一定平行。我

就抓住例题二这样的结论，把上面看成其中一个面，右边看成第二个面，现在

的截面看成第三个面，其本质就是三个平面两两相交，其中满足勿跟阳平行，

那么把它锯开就得到了例三所要的。例题三就通过例题二的充分分析，两者通

过巧妙的整合完成了例题三所提出的要求，最后给出严格的证明。

完整的说课资料请看拓展阅读材料：2.“直线与平面平行”的教学案例，苏州

市吴县中学，王新民。

张思明：两位老师给我们提供了研究数学教学活动设计的很好的案例，下面我

们听听罗强老师和刘华老师对“直线与平面平行”这个案例的分析。

罗强：好，我们就以“直线与平面平行”这堂课，来探讨数学教学活动的设计。

“直线与平面平行”这堂课，我觉得是新教材“立体几何初步”中非常典型的

一堂课，这堂课的典型性，主要体现在它反映了研究空间元素位置关系的一个

全流程。我们研究空间元素位置关系，首先要先建构位置关系，通过建构了位

置关系之后，得到了位置关系的一些定义，然后把其中的第一种位置关系线面

平行拿出来，对线面平行进行研究，研究它的判定定理以及它的性质定理。因

此这是一个完整的研究空间元素位置关系的一节课。

我觉得它的典型性还体现在就是我们在教学设计的过程中间，一定要从整体把

握和单元设计的角度来进行设计。我们现在新课程的立体几何分成两块，一块

是必修二，叫立体几何初步；然后选修2-1是空间向量与立体几何。我们现在

教的“直线与平面平行”是立体几何初步中的一个内容。因此，我觉得在本节

课的教学设计中，一定要突出初步这个关键词，把握好新教材对于立体几何这

样一种分段教学、螺旋上升的要求。从单元设计的角度来看，就是说我们现在

研究的直线与平面平行的位置关系，实际上就是一个立体几何中间研究空间元

素与元素位置关系的一个缩影，这样一种课堂教学的流程应该可以移植到研究

其他比如说面与面的位置关系，线与线的位置关系中。所以，我觉得这堂课还

是非常典型的一堂课。

刘华：我觉得这堂课的教学活动也是非常典型的，这个典型性首先反映在要让

学生独立地面对问题。比如，这节课我们总共要提出三个主导问题：一个是直

线和平面可能有几种位置关系？我们如何用公共点的数量来进行分类？这是第

一个问题，通过这个问题，教师是希望指导学生建构直线和平面位置关系的几

种情况，从而得出定义，也为我们进一步地研究提供一个基础。第二个主导问

题是我们在研究直线和平面平行的判定的时候需要提出：如何判定线面平行？

我们可能会在解决这个问题的过程当中需要学生主动地参与问题解决的这样一

个过程。从而使得他们能够自主地建构线面平行的这个判定定理。第三个主导

的问题是如果直线和平面已经平行了，那么这条直线是否和这个平面内的任意

一条直线都平行？当然学生在解决问题的过程当中通过自己的理性思考，通过

自己的这种思辨的过程，能够认识到直线并非和平面内的任意直线都平行。这

样，我们的子问题就可以接踵而来，比如说可以问：那么这条直线是不是能够

和这个平面内的一条直线平行呢？和哪条直线平行呢？和这个平面内平行的直

线之间有什么样的关系呢？这样，我们可以从关系的角度能够逐层地展开我们

的教学活动，因此说这堂课的一个典型性是学生需要独立地面对问题。

其次，这堂课的教学需要强调学生要主动参与问题解决的一个过程，从而使得

我们数学的教学过程成为学生主动进行意义建构的一个过程，我想这也是这堂

课教学中典型性的一个体现。我觉得这堂课的教学活动设置的流程非常清楚，

这个流程就是从位置关系到定义到判定到性质到应用，这个流程在接下来研究

其他位置关系的时候也是这样的，具有一种全息性。

罗强：我觉得在这堂课的教学设计中间一定要突出初步这个关键词，《课程标

准》提出立体几何初步的教学应该突出直观感知、操作确认、思辨论证和度量

计算，这样一种要求跟教材的设计次序是吻合的。那么在这堂课里，我觉得教

师在教学活动设计中应该突出让学生直观感知，在直观感知的基础上进行理性

思维。王新民老师和黄骁健这两位老师在教学中间都借用了门这个道具，展示

了门打开过程中门和门框的位置关系，这就充分借助了我们身边的实物让学生

来感知。再比如说黄骁健老师和王新民老师都使用了多媒体课件，让学生体会

直线与平面判定定理的合理性。所以我觉得在立体几何教学中，我们一定要突

出让学生通过实物，通过多媒体课件来进行直观感知，在直观感知的基础上进

行理性思维。

再比如例题二，应该怎样画线把木块切割开来？这个问题本身就包含了对前面

知识和后面知识一种前后联系，所以这个问题，虽然它放在这个部分侧重研究

的是线面平行这种关系，但实际上，它还包含了研究线线位置关系以及其他的

内容，它最后也可以看作是面面平行的一个性质定理。所以我们在教这个内容

的过程中间，要更多地从整体上来理解这个内容，为后续的教学打下伏笔，为

前面的教学做一个延伸。

刘华：打个比方，比如说我们教师可能看作是泥水匠，你在砌墙的时候知道这

块砖头可能不是很规则，但是你需要知道它放在什么地方，然后我们才能够砌

出一个完整的、比较漂亮的建筑出来。

罗强：这个比喻很好，就是说我们教师在教的时候，实际上从行为上来讲是砌

砖，但是从整体上来看我们是在砌一幢楼，这幢楼的形象要在脑海里有一个比

较深刻的认识。

张思明：大家看过了这个两个案例以后，也听了两位老师的点评，我想大家会

有一定的感受，下面，我们想就教学设计来采访一下江苏省教研室的李善良老

师，听一听李善良老师对教学设计的想法。

李善良：每套教材都集中了大量的智慧和经验，教师在进行教学时，要对教材

的编写意图进行深入的研究，这样才能进行有效的教学设计。下面我从三个方

面简要的说明一下，如何从教材设计到教学设计：

第一，研究整体意图，理清教学流程。

(1)熟悉教材的整体结构。在研究教材的整体设计意图时，首先要熟悉整套教

材的结构体系安排，这样才能找到同一个具体内容的定位，而且站在整体角度

来设计具体一节课才能更加清晰到位。例如，苏教版高中数学实验教材在整体

设计时就充分考虑注意整体贯通相互联系，教材的编写时从整体出发，按知识

发展、背景问题、思想方法三个纬度，将全书模块章节做整体设计，实现整体

贯通。教师在进行教学时只有从整体上把握，才能找到某一具体内容地位作用,

也才能进行合理的教学设计。

(2)理解内容的组织方式。教材内容的组织方式对于课堂教学设计有着直接的

启发示范作用，在进行教学设计时要认真研究教材的内容组织方式，这样才能

把教材的设计转化为教学的设计。例如，苏教版教材的内容组织方式主要为从

问题情境出发提出问题，引导学生进行积极的数学活动，在活动过程中进行一

一建构，进而由学生提出数学理论，有了数学理论之后通过例题、练习、习题

等加强数学运用，在整个内容学完之后进行回顾反思，进而升华。在教学时只

有充分关注到教材的设计流程，才能有效的设计好教学的流程。

(3)注意教材的弹性要求。为了使每个学生都能获得最佳发展，教材在设计时

都要考虑到不同学生的不同需求。在教学设计时应充分研究教材的层次设计，

考虑适合于所有学生的教学设计。例如，苏教版数学实验教材的必修课程，主

要从基础性、兴趣性、层次性三个方面考虑，整套教材设计为一个核心、多个

层次、多种选择。以基本教学要求为核心，通过这个载体，学生可以获得全方

位的发展，学生学好核心内容后根据需要有多种选择，具体设计为教科书中的

引言、正文、练习、习题中的感受理解部分、阅读材料、探究案例、实习作用、

本章回顾等内容，构成一个完整的体系。正文是教科书的核心，体现了高中数

学教学要求，是所有学生应该掌握的基本内容，编写时力图使所有学生都能理

解。考虑到广大同学的不同需求，教科书提供了较大的选择空间，主要是设计

了一些具有挑战性的内容，包括思考、探究、链接、习题中的思考运用、探究

拓展等，以激发学生探索数学的兴趣。在掌握基本内容之后，学生可以自主选

择一些内容进行思考与探究。

第二，研究教材编写特点，精琢教学细节。

在进行教学设计时，要充分研究教材的设计特点，力图使每个细节都能充分体

现教材的设计特点。例如，苏教版高中数学教材，采取以问题为主线的方式进

行编写，这样对于促进学生的主动探究、积极思维是十分有益的，通过提出问

题、解决问题、反思升华的过程，促进学生思维的发展。

教材为学生的主动学习留有一定的空间，为教师的创新教学也留有一定的空间,

在研究教材时必须充分抓住这些潜在的设计特点，根据教材设计的思路，教师

在设计数学活动时要善于创设问题情境、引导学生提出问题，引导学生探究发

现、建立数学理论，引导学生自我建构数学。在进行数学问题情境设计时，要

注意问题情境设计要有利于学生提出问题，而不是过分强调生活化的实际情境,

没有问题的情境、人为的情境都是我们不提倡的。数学活动主要是在教师引导

下学生的积极思维活动，包括再创造、再发现等活动，不能把活动简单理解为

工业化的操作活动、小组活动，在教学设计时更反对没有问题的各种各样的活

动。在数学运用设计时应注意到数学运用是一个有机协调的整体，例题、练习、

习题、实习作业等等应整体设计不能随意进行。此外，回顾反思是非常重要的,

在进行教学时我们必须注重回顾反思的设计。

第三，研究不同教材，突显教学特色。每套教材编写都有自己的理念、思想、

特色，这些理念、思想、特色又都是借助具体的内容设计来体现的。而教材不

是百科全书，在选材时都是极为精炼典型的，教材选用的材料往往具有示范性,

它未必是最好的素材，但是可以启发我们以此为示范去进一步选择设计适合于

我们课堂的内容。在进行教学设计时为了能更好的把握教材的设计意图，教师

可以选择不同的教材进行比较，由此发现对同一内容不同编写者的想法，从而

获得启发，进而以教材的编写素材为示范，进一步去选择合理的素材，这样形

成适合于自己班级的教学设计，逐步形成教师自我的教学特色。

完整的资料请看拓展阅读材料：3.从教材设计到教学设计，江苏省中小学教研

室，李善良。

张思明：好！李善良老师给我们讲了一些他的思考，我们现在想就以下几个问

题跟嘉宾进行讨论。在数学教学活动的设计中，老师们非常关注这样一些问题,

就是数学课需要设计哪些活动？如何提高这些活动的价值？第二个问题就是如

何设计好问题串，或者说问题呈现的方式和顺序？我想听听嘉宾们对这个问题

的分析和想法。

罗强：我觉得从操作层面上来讲，教学设计实际上就是问题的设计。我们知道

学生在学习数学的过程中间，从某种程度上来讲应该说是再现了数学发展的过

程。为什么说某种程度呢？因为学生不可能完全重现数学的发展过程。

我举一个事例，我以前的一个学生，他现在在新加坡学习，有一次在跟我聊天

的过程中间，他谈到，说他有一次在新加坡看到个电视片后感到非常的震撼，

他用了“震撼”这两个字。我说你看到一个什么电视片，他说片子讲的是一个

加拿大的小学老师，这个老师教考古，他怎么教呢？他先买了一块废地，然后

每年夏天就带自己以前毕业的学生到这块空地，把一些文物，当然是现代的物

品，还有一些动物的尸骨之类的埋到地下。到了开学的时候，他就带他现在的

学生到这个现场进行一些考古的活动，在这样一个考古活动中进行知识的传授

教学。我觉得加拿大这位老师的做法应该说非常符合学生的认识规律，实际上,

数学教学设计的过程中，我觉得要从三个维度出发来进行问题的设计：一个是

从数学知识本身这个维度，要注意我们提出的问题能否生长出我们所要学的这

些知识；第二个就是从学生认知规律这个维度；第三个就是要从组织教学的这

个维度。

那么怎样的问题才是比较好的问题？我觉得对数学课来讲，一个好的问题需要

有这么几个特征：第一个特征就是初始性。就是说一个问题提出以后，能够像

一个胚胎一样，逐步的在这个胚胎的基础上生长出我们所要学习的数学知识这

棵大树；第二个就是它要有一种情境性。因为这个知识对学生来说是第一次学

习，从学生这样一种年龄特点来讲，他需要一种生动活泼的方式进行学习，所

以我觉得需要有情境；第三，我觉得需要有一种全息性。就是说这个问题提出

以后，它的研究过程能够代表一种数学研究的过程；第四个是结构性。一个好

的问题要有一个良好的结构，我们所学的知识都不是孤立的，一个好的问题就

像一个支架一样，有很多附着点，能够从这些附着点出发连接不同的其他的数

学知识，使得学生在学习中能够得到一个比较完整的数学认知结构。

刘华：我觉得高中数学课程的教学设计，尤其是在学生活动这方面的设计，和

初中略有不同。因为高中生的认知能力从心理学来说，他们已经能够接受比较

抽象的从理论到理论的这种演绎体系。所以高中生在数学课堂上的数学活动大

都是思维活动，就像刚才罗老师已经提出的问题的解决过程就是学生思维活动

的过程，也就是数学课堂上学生自主建构数学，完善数学知识体系的过程。

举一个例子，我们在函数单调性的教学过程当中，因为函数单调性学生在初中

已经有接触了，当初我们的表述方式叫做随着X的增加/随之增加，老师在教

学中很容易提出这样一个问题：“什么叫单调递增？”学生会回答：随着X的

增加y随之增加，这叫单调递增。那么有没有考虑到理性思维的渗透呢？我可

以反过来提出问题，我说你们把这句话反过来说一下随着x的减少y怎么样呢,

y减少。当然这个提问题的方式我觉得有很多种，如果说你一直让学生只是回答

是不是？对不对？会不会？我觉得这样的问题恐怕就像刚才罗老师所说的不是

一个好的问题。虽然一节课可能提出了十七八个乃至更多的问题，甚至可以叫

很多学生起来回答问题，但是对于学生的思维活动来说没有真正能够起到一个

推进的作用。如果你能够让学生自主的表述问题、研究问题、最终解决问题，

我觉得这样整个数学课堂的教学设计才能够更加符合数学认知的规律和特点。

王尚志：我同意刚才二位的分析，没有问题你创造什么？因此需要有问题。我

们现在倡导创新，所谓创新我想在中学阶段就是需要有问题意识，我想用问题

来引导我们的数学教学设计是一个重要的想法，我们可以通过言传身教不断地

帮助学生形成问题意识。

我也同意二位的分析，问题是有好有坏的，我觉得在这个方面是我们老师创造

的空间。按照罗老师说的三个维度：数学的维度、学生的维度、教学的维度，

怎样才能设计出好的问题，这是对于我们老师的一个挑战。我想这个也涉及到

我们如何创造性的使用教材，教材上一定有问题，但是这个问题是不是适合于

我的学生，我们可以思考，适合，就可以拿来用；需要调整，我们就做调整；

需要变化，我们做变化。我想创造始终是教学设计的一个基点，我觉得这也给

我们老师的发展提供了一个广阔的空间，所以我觉得刚才二位老师的分析值得

我们参加研修的老师思考，是不是可以结合你们自己的思考，我们一起来交流

这方面的看法。

张思明：好！刚才三位老师对课堂教学活动设计提出了自己的看法，我们也看

到了课堂活动设计的关键是找出一串能够引导学生不断深入思考的问题串。那

么对问题串的这种设计的要点刚才罗老师、刘老师和王老师都做了分析，我想

这个应该成为大家进一步思考的出发点。

这次我们这个专题留给大家的思考题有这样一些：

1.结合您的教学实践，给出您的一个成功的单元教学设计；

2.请您提出一个教学设计中遇到的难题；

3.请您提出一个教学设计难度较大的案例；

4.结合您的教学实践，给出您的一个成功的情境创设的问题串设计；

5.请您完成一个平面与平面平行的教学设计，当然可以参考前面的案例，我

们可以做的比它更好；

6.请您就如何提高数学课堂教学的有效性发表意见。

张思明：各位老师，大家好！欢迎大家参加高中数学新课程远程研修！我们这

一个系列讲座是围绕着高中数学的新课程的教学设计展开的。

我先来介绍一下参加我们这次讲座的几位嘉宾，我身边这位是苏州五中的罗强

校长，这边这位是苏州中学的刘华老师，那边那位是大家熟悉的首都师范大学

数学系博士生导师王尚志教授。欢迎大家来到我们研讨的现场！

前两讲我们都在结合教学设计进行一些交流，上一讲我们介绍了教学活动的设

计，这一讲我们将围绕几种不同课型的具体的教学设计来进行一些分析和点评。

张思明：我想先问问刘老师，您在基层第一线，作为一个基层的老师，每天都

跟上课打交道，您认为中学数学课堂教学中，出现频率最高的课型有哪些？

刘华：从上课操作这个角度来说，我觉得中学数学课的课型大致可以有讲授数

学概念的概念课、讲授数学方法的方法课、一个单元或者章节的复习课、针对

试卷习题的讲评课，我觉得主要有这样一些课型。

张思明：老师们都很关心对于这些具体课型，我们在进行教学设计的时候，应

该注意哪些环节？

为了使我们的讨论更加形象，我们先来看一些具体的教学设计的案例。我们先

就数学概念课的教学设计来看两个案例。他们是苏州市吴中区苏苑中学的金曦

东老师提供的“平均变化率”的案例，还有一个是苏州市吴中区苏苑中学殷容

仪老师提供的“数列”的案例。我们一起来看这两个案例。

金曦东老师的说课：我是苏州市吴中区苏苑高级中学的金曦东，我说课的课题

是《平均变化率》。“平均变化率”是新课程选修教材”导数及其应用”一章

中的起始教学内容，《课程标准》对导数这一章教学的整体定位是：通过对大

量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的

实际背景，知道瞬时变化率—导数，体会导数的思想及其内涵。

本节内容作为导数概念的第一节课，其具体目标为：通过对一些生活实例的分

析，构建平均变化率这个数学模型，并加以简单应用；帮助学生直观感知导数

的背景、思想和作用。

根据课程标准的要求，本节课的目标定位如下：

第一，通过对一些实例直观感知，构建平均变化率的概念，并初步运用和加深

理解平均变化率。第二，渗透以直代曲的思想方法，培养学生分析问题和解决

问题的能力。第三，通过本节课的学习，让学生领悟数学研究的一般方法，体

会数学概念如何从背景到数学化再到具体应用这样一个全过程。

其次，我想就问题情境的设计谈一些体会。教师教学的有效性，首先应体现在

能否调动学生的学习积极性，促进学生对知识的主动建构。因此教学设计的关

键在于科学地、艺术地处理教材内容，唤起学生强烈的求知欲。教材中通过引

言中的一则案例提出问题，用怎样的数学模型来刻划变量变化的快与慢，这样

的数学模型有哪些运用？意图是在此基础上，提出平均变化率的概念。教学时

是抛开教材中的案例另辟蹊径来构建概念，还是在教材基础上，着力创设最近

发展区，让学生知识迁移，主动构建平均变化率的概念呢？我发现，教学中对

如何量化曲线的陡峭程度的处理是一个难点，如何从学生熟悉的背景出发，挖

掘出以直代曲的思想方法，从而构建平均变化率这个数学模型来解决有关问题,

使得平均变化率概念的引入显得流畅自然，这是我在教学设计中考虑的第一个

问题。我采用的办法是从学生熟悉的、亲身感受的生活经验入手，将其数学化,

让学生初步体会用已学的直线斜率知识来刻划山路的陡峭程度，引导学生联想

类比。采用以直代曲的思想方法来量化气温曲线的陡峭程度，从而水到渠成的

构建了平均变化率这个数学概念。

完整的说课资料请看拓展阅读材料：1.“平均变化率”的教学案例，苏州市吴

中区苏苑高级中学，金曦东。

殷容仪老师的说课：我说课的课题是《数列》，它是新教材必修五的教学内容,

是一堂概念教学课。在中学数学概念的教学中，有些概念可以通过与生活实际

的直接联系而获得，如圆的定义，其特点是情境性好。但也有很多数学概念并

不能以此途径获得，他们往往只能用语言对其作出界定，学生需要理解这些语

言的内涵和外延，才能获得其确切的含义。高中数学教材中的数列概念就是这

样的一个概念。对于这类数学概念的教学，我认为大致应该有概念的引入、概

念的辨析、概念的深化和概念的巩固这样四个阶段。

在数列概念的引入阶段，鉴于本节课是数列的第一堂课，学生第一次接触数列,

因此从整个章节内容来考虑，先让学生见识各种各样的数列是非常必要的。这

样可以为他们今后的学习打下基础。基于这种考虑，我在引入部分一共设计了

五个数列。第一个例子用捐助失学儿童的背景，经过教师的引导生成一个常数

数列；第二个例子通过统计中国参加六届奥运会所获得的金牌数生成一个数列;

第三个例子用几何图形来生成一个数列；第四个例子通过一个代数式计算得到

一个数列；第五个例子通过一个函数式得到一系列的函数值，由这些函数值生

成一个数列。在这里出现了等差数列、等比数列、常数数列、摆动数列还有无

规律的数列等。

在上述数列中，有直接告知的数列、有间接生成的数列、有用表格给出的数列、

有用通项公式计算的数列、也有通过函数及其图象可以计算的数列，这些都是

为后面将要学习的数列表示埋下了伏笔。特别需要强调的是数列五的设计，也

就是关于放射性物质的剩留量构成的数列，主要是为了后面数列与函数关系的

学习作了铺垫。

在数列概念的辨析阶段，我用洗牌来说明数列的序，并把数列与数集概念加以

区别，这样的方式直观生动易于被学生接受。在辨析三当中有这样一句话：在

22

数列1,0.84,0.84,0.833中。它的首项为b第二项为0.84,第三项为0.84,

那么它的第十项是多少？第〃项呢？这个问题承上启下与前可以呼应，对后可

以衔接，通过这个问题情境我们可以自然过渡到概念的升华阶段。

在数列概念的升华阶段，即数列与函数关系的研究。为什么我用了无穷数列L

0.84,0.842,0.833,…，作为研究对象呢？一方面是为了用好用透数列五，使

教学内容层层推进环环相扣，另一方面也是为了顺应教材。教材上有这样一句

话：从函数观点看：数列可以看作是定义域为正整数集N*（或者它有限子集

{1,2,3,…，处）为定义域的函数，当自变量从小到大取值时，对应的一系列函

数值。如果用有穷数列来研究，它的定义域是正整数集的有限子集，而书上讲

定义域为正整数集在前,用有穷数列来处理感觉不太顺，于是就用了无穷数列1,

0.84,0.84?,0.84：…这个数列。

完整的说课资料请看拓展阅读材料：2.“数列”的教学设计和教学反思，苏州

市吴中区苏苑高级中学，殷容仪。

张思明：下面我们请苏州市新区一中的陈新老师就数学概念课的教学设计，给

我们谈一谈他的思考是什么？

陈新：数学概念课的教学设计需要思考：概念教学一般可以分为哪几个阶段？

各个阶段分别要侧重解决什么问题？如何解决这些问题？

我认为数学概念教学大致分三个阶段：一概念的引入、二概念的分析、三概念

的应用。

概念的引入侧重引起学生的注意，激发学生的兴趣，体现概念的本质，蕴含概

念发生的思维方法，做到先声夺人。引入的方式有很多，常见的有下面四种：

数学故事引入数学概念；二，通过学生已有的知识和经验引入概念；三，

动手做实验引入数学概念；四，通过实际问题引入数学概念。

这里我以动手做实验引入数学概念举一个直线的斜率的实例。我们可以请同学

们在纸上画两个点4、B,再画出过点Z与点方的直线及过点Z的不同于4?的五

条不同直线，画完后展示学生的作品，并且要求学生回答：同时过定点力与8

你能作几条不同的直线？从中能得到怎样的结论？当4点确定后过这点，如何

作出五条不同的直线？在此基础上，让学生观察两幅陡缓不同的楼梯示意图，

请他们选择一个上楼梯省力的楼梯，并说明理由。

进一步用几何画板演示制作好的楼梯示意图，使学生得出楼梯的斜面对应的直

线，这条直线倾斜程度的度量方法是楼梯的高与楼梯的宽之比，进一步分析能

知道，直线的斜率是反映直线倾斜程度的量，是直线任意两点纵坐标之差与横

坐标之差的比值，它与直线上两点的位置无关，与直线的方向有关。一旦直线

方向确定了以后，其斜率也随之确定。这就是直线斜率概念的内涵。如果我们

改变直线的方向，可以得到当直线与X轴垂直时，其斜率是不存在的；而当直

线与X轴平行时斜率为零；当直线从左下方向向右上方向倾斜时，斜率为正；

而当直线由左上方向向右下方倾斜时，斜率为负，这些是直线斜率概念的外延。

概念分析我们还要善于从逆向分析，通过反例来阐述。如对正棱锥概念的理解:

我可以设立五个问题，前面三个问题是否定的，通过学生举反例来认识，必要

时概念的分析更需咬文嚼字，只有这样才可以突出概念的本质。

再例如函数周期性概念，其定义是：对定义域中的任何一个X值，存在某一常

数北使得/'(户加=F(x)成立。我们通过分析，可以得到下面一些性质或结

论，如：(1)?是不等于0的常数，则7可以正可以负，是个非变数；(2)定

义域中每一个x值都满足/'(x+Z)=F(x),而不是某些x满足这个关系式；(3)

当T乘以常数4的时候，只要A为非零整数，A7也为该函数的周期；(4)由定

义可以推出函数的定义域是无界的。

概念的分析，必要时我们会适当应用多媒体动画，解决其抽象的问题。通过多

媒体能把抽象问题具体化，给一个学生感性的认识。

在概念课的教学中，还要注意下面四个方面：

第一，要明确数学概念，不是简单的给出定义就行。因为在教师创设培养之下,

学生要通过探索得出定义的本质，所以我们要尽力揭示数学的发生和应用的思

维过程，同时通过这些过程，来培养学生探究精神。

第二，要恰当的引入感性材料，这个感性材料必须要适度与典型，不可以为了

要引起学生的兴趣，提供与概念联系不大的材料。

第三，要从多方面入手去建构概念。

第四，概念分析设计应该正确预测学生对概念的理解的困难，把握学生对概念

理解的层次，教师要恰当设计引导问题，合理选用分析方法，特别是多媒体的

应用更要注意到恰当，不能喧宾夺主，切忌哗众取宠。

完整的说课资料请看拓展阅读材料：3.数学概念课如何进行教学设计，苏州新

区第一中学，陈新。

张思明：我们听了三位老师的介绍，对数学概念课的教学已经有了一些认识，

也有了一些感受，下面我们也想听一听嘉宾们对数学概念课的教学设计有什么

看法？

刘华：数学概念教学是数学教学当中的首道工序，学生对概念的理解和把握是

否准确，将直接影响到后续数学学习的效果。我认为数学概念的表述应当要用

精炼的语言，准确无歧义地反映概念的本质特征。比如，我们高中阶段一开始

学习的集合，它的概念就要反映出集合本身能够精确描述事物属性的这样一个

特性。高中阶段为什么先学集合，就是因为学完集合之后，我们就可以用集合

的语言来描述很多的概念，从而使得我们能够无歧义地理解数学概念。再举一

个例子，函数的单调性的概念是说：在区间上任意取两个值如莅，当时,

如果历小于乃，那么这个函数是单调递增的。这就不会产生歧义。为什么要在

区间上呢？因为区间是实数集的一个连续的子集，它本身是一个集合的概念。

如果我们跟学生讲在某个范围内，就像初中表述的这种方式的话，可能学生在

后面求解函数的单调区间问题时会引发歧义，最极端的例子就是认为函数的单

调区间是(-8,0)(0,+8)是错误的。

我们发现很多学生过了一段时间，就会忘记概念，这样就会影响到他的学习，

在解决问题过程当中，也容易发生错误。所以，除了在概念的表述上语言要精

炼之外，还需要学生在概念的记忆上有一个凝缩的过程，只有记住了概念的本

质特征，才能够不遗忘概念。

另外还需要给学生提供一些相近的概念，我们称之为辩义，就是辩明概念的含

义。比如说向量和有向线段，我们很多学生把它们混为一谈。再比如说复数和

向量之间有联系也有区别，因为复数它有一个向量表示的问题。还有复数的三

角形式和极坐标，它们之间也有一些联系。在讲授的过程当中，我们可以采用

他山之石可以攻玉的办法，但是也要分清楚其中的区别，使得学生更深入地理

解这个概念。

张思明：罗老师有什么补充吗？

罗强：我觉得数学概念教学是数学教学中非常重要的一种课型，也是数学教学

非常重要的一个任务。概念教学我觉得：

第一，要展现数学概念的来龙去脉。一个重要概念的产生，总有它的必然性和

它的原因，我们不可能完全再现这样一种过程，但是我们应该展现人类思想中

那些最关键的几个步骤。比如说可以结合一些数学史，可以从数学知识自身生

长的需要这些角度来提出这个概念，也可以来讲解这些概念在生产生活实际中

的重要作用。

第二，我觉得应该让学生多角度的来理解概念。多角度的理解概念里面，我觉

得有一个很重要的方法，叫做顾名思义。数学概念的名字往往比较概括，比如

说刚才刘老师讲的向量和有向线段这两个概念怎么理解？实际上从名称上面我

们就可以区别它们的主要差别了。再比如说斜率：斜，理解成倾斜，率，就是

一种程度，既然要研究直线倾斜的程度，那么我们只用两点纵坐标的差是不

够的，还需要除一除那才能表现它的这种倾斜程度。总之，概念教学中应

该注意的地方很多，不同的概念都有它不同的特定的教学方法。

张思明：王老师，您有什么补充吗？

王尚志：二位老师说的都比较清楚，我补充这样一个想法：就是概念是非常重

要的，但是对概念的理解，特别是对一些重要的概念的理解，常常不是一节课

可以解决问题的，需要我们把它放在整个高中数学课程中去认识一些概念，这

个时候你就容易把握，在这节课上对这个概念，我把握到什么程度，以后在哪

个地方去拓展这些概念。比如刚才所举的斜率这个概念，斜率从数学上来说，

我们可以从不同的角度来认识它，可以用cosa、tana来刻划它，我们也可以

用向量来刻划它，我们也可以用导数的思想来刻划它。正是因为这样，所以斜

率这个概念就是我们数学中的一个重要的概念。所谓重要的概念就是可能不在

一个地方，至少是不只在一个地方出现的概念。那么在教学中就应该考虑到这

些概念的这些特征，当你引入的时候是一个角度，特别是教材的处理总是一种

处理的方式，那么当你学到向量的时候，你一定要呼应我们原来对于这个概念

的认识；当你学完导数的时候，仍然需要呼应。把对数学概念的理解，作为我

们理解数学基本脉络的一个层次去认识，这是我想补充的第一点。

第二点就是概念的教学，不只是在概念课上才出现。对概念的认识，应该成为

我们在其他课型中随时随地都应该关注的一个出发点。我们可以去讲题，但是

我们讲题的目的是什么？是提高学生的