重庆大学自动控制原理课程设计——倒立摆系统的控制器设计

1、姚浪：倒立摆系统的控制器设计自动控制理论课程设计倒立摆系统的控制器设计学生姓名： 指导教师： 杨欣班 级： 自动化7班重庆大学自动化学院二O一三年一月课程设计指导教师评定成绩表项目分值优秀(100>x90)良好(90>x80)中等(80>x70)及格(70>x60)不及格(x<60)评分参考标准参考标准参考标准参考标准参考标准学习态度15学习态度认真，科学作风严谨，严格保证设计时间并按任务书中规定的进度开展各项工作学习态度比较认真，科学作风良好，能按期圆满完成任务书规定的任务学习态度尚好，遵守组织纪律，基本保证设计时间，按期完成各项工作学习态度尚可，能遵守组织纪律

2、，能按期完成任务学习马虎，纪律涣散，工作作风不严谨,不能保证设计时间和进度技术水平与实际能力25设计合理、理论分析与计算正确，实验数据准确，有很强的实际动手能力、经济分析能力和计算机应用能力，文献查阅能力强、引用合理、调查调研非常合理、可信设计合理、理论分析与计算正确，实验数据比较准确，有较强的实际动手能力、经济分析能力和计算机应用能力，文献引用、调查调研比较合理、可信设计合理，理论分析与计算基本正确，实验数据比较准确，有一定的实际动手能力，主要文献引用、调查调研比较可信设计基本合理，理论分析与计算无大错，实验数据无大错设计不合理，理论分析与计算有原则错误，实验数据不可靠，实际动手能力差，文献

3、引用、调查调研有较大的问题创新10有重大改进或独特见解，有一定实用价值有较大改进或新颖的见解，实用性尚可有一定改进或新的见解有一定见解观念陈旧论文(计算书、图纸)撰写质量50结构严谨，逻辑性强，层次清晰，语言准确，文字流畅，完全符合规范化要求，书写工整或用计算机打印成文；图纸非常工整、清晰结构合理，符合逻辑，文章层次分明，语言准确，文字流畅，符合规范化要求，书写工整或用计算机打印成文；图纸工整、清晰结构合理，层次较为分明，文理通顺，基本达到规范化要求，书写比较工整；图纸比较工整、清晰结构基本合理，逻辑基本清楚，文字尚通顺，勉强达到规范化要求；图纸比较工整内容空泛，结构混乱，文字表达不清，错别字

4、较多，达不到规范化要求；图纸不工整或不清晰指导教师评定成绩：指导教师签名： 年 月 日重庆大学本科学生课程设计任务书课程设计题目倒立摆系统的控制器设计学院自动化学院专业自动化年级2010级1、已知参数和设计要求：M：小车质量1.096kgm：摆杆质量0.109kgb：小车摩擦系数0.1N/secl：摆杆转动轴心到杆质心的长度0.25mI：摆杆惯量0.0034kgm2建立以小车加速度为系统输入，以摆杆角度为系统输出的被控对象数学模型。分别用根轨迹法、频率特性法设计控制器使闭环系统满足要求的性能指标；调整PID控制器参数，使闭环系统满足要求的性能指标。2、利用根轨迹法设计控制器，使得校正后系统的性

5、能指标满足：调整时间最大超调量3、利用频率特性法设计控制器，使得校正后系统的性能指标满足：(1) 系统的静态位置误差常数为10；(2) 相位裕量为 50°；(3) 增益裕量等于或大于10dB。4、设计或调整PID控制器参数，使得校正后系统的性能指标满足：调整时间最大超调量学生应完成的工作：1、利用设计指示书中的实际参数，通过机理推导，建立倒立摆系统的实际数学模型。2、进行开环系统的时域分析。3、利用根轨迹法设计控制器，进行闭环系统的仿真分析。4、利用频域法设计控制器，进行闭环系统的仿真分析。5、设计或调整PID控制器参数，进行闭环系统的仿真分析。6、将所设计的控制器在倒立摆系统上进行

6、实时控制实验。7、完成课程设计报告。参考资料：1、固高科技有限公司.直线倒立摆安装与使用手册R1.0，20052、固高科技有限公司. 固高MATLAB实时控制软件用户手册，20053、Matlab/Simulink相关资料4、谢昭莉，李良筑，杨欣. 自动控制原理. 北京：机械工业出版社，20125、胡寿松. 自动控制原理（第五版）. 北京：科学出版社，20076、Katsuhiko Ogata. 现代控制工程. 北京：电子工业出版社，2003课程设计的工作计划：1、布置课程设计任务；消化课程设计内容，查阅并参考相关资料，进行初步设计（3天）；2、按课程设计的要求进行详细设计（3天）；3、进行实

7、时控制实验，并按课程设计的规范要求撰写设计报告（3天）；4、课程设计答辩，实时控制验证（1天）。任务下达日期 2012 年 12 月 24 日完成日期 2013 年 1 月 6 日指导教师 （签名）学 生 （签名）目 录引言61 数学建模71.1直线一级倒立摆数学模型概述71.2直线一级倒立摆的物理模型71.3系统实际模型92 开环响应分析103 根轨迹法设计113.1原系统的根轨迹分析113.2根轨迹校正123.2.1确定期望闭环零极点123.2.2设计控制器133.2 Simulink仿真184 频率特性法184.1 频率响应分析184.2 频率响应设计204.3 Simulink仿真24

8、5 PID控制分析256 总结26参考文献：26引言随着科学技术的迅速发展，新的控制方法不断出现，倒立摆系统作为检验新的控制理论及方法有效性的重要实验手段得到广泛研究。倒立摆控制系统是一个典型的非线性、强耦合、多变量和不稳定系统，作为控制系统的被控对象，许多抽象的控制概念都可以通过倒立摆直观地表现出来。倒立摆的控制问题就是使摆杆尽快地达到一个平衡位置，并且使之没有大的振荡和过大的角度和速度。当摆杆到达期望的位置后，系统能客服随机扰动而保持稳定的位置。通过对倒立摆的控制，用来检验新的控制方法是否有较强的处理非线性和不稳定性问题的能力。其控制方法在军工、航天、机器人和一般工业过程领域中都有着广泛的

9、用途，如机器人行走过程中的平衡控制、火箭发生中的垂直度控制和卫星飞行中的姿态控制等。倒立摆系统按摆杆数量的不同，可分为一级，二级，三级倒立摆等，多级摆的摆杆之间属于自由连接（即无电动机或其他驱动设备）。按照倒立摆的结构类型可以分为：悬挂式、直线、环形、平面倒立摆等。本设计是以直线一级倒立摆为被控对象来进行设计的。通过对直线一级倒立摆系统的研究，不仅可以轻松解决控制中的理论问题，还能将控制理论所涉及的三个基础学科：力学、数学和电学（含计算机）有机的结合起来，在倒立摆系统中进行综合应用。倒立摆系统的控制策略和杂技运动员顶杆平衡表演的技巧有异曲同工之处，极富趣味性，而且许多抽象的控制理论概念如系统稳

10、定性、可控性和系统抗干扰能力等等，都可以通过倒立摆系统实验直观的表现出来。学习自动控制理论的学生通过倒立摆系统实验来验证所学的控制理论和算法。1 数学建模1.1直线一级倒立摆数学模型概述直线一级倒立摆由直线运动模块和一级摆体组件组成，是最常见的倒立摆之一。系统的建模可分为两种：机理建模和实验建模。机理建模就是在了解研究对象的运动规律基础上，通过物理、化学等学科的知识和数学手段建立起系统内部变量、输入变量以及输出变量之间的数学关系。而实验建模是通过在研究对象上加上一系列的研究者事先确定的输入信号，激励研究对象并通过传感器检测其可观测的输出，应用数学手段建立起系统的输入输出关系。对于倒立摆系统，由

11、于其本身是自不稳定的系统，实验建模存在一定的困难。因此，本文采用机理模型对直线一级倒立摆进行建模分析。1.2直线一级倒立摆的物理模型若忽略空气阻力和各种摩擦力，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，其受力情况如图1所示。图1若将小车和摆杆分别进行受力分析，则可得到两者的受力分析图，如图2和图3所示。根据牛顿力学，建立起小车和摆杆的运动方程，进而得到小车各种传递函数。图2（小车受力分析）图3（摆杆受力分析） 表<一> 倒立摆数学模型符号说明符号含义数值单位M小车质量1.096kgm摆杆质量0.109kgb小车摩擦系数0.1N/m/secl摆杆转动轴心到质心长度0.25m

12、I摆杆惯量0.0034kg·m2F加在小车上的力Nx 小车位置m摆杆与垂直向上方向的夹角rad摆杆与垂直向下方向的夹角radN摆杆与小车在水平方向的相互作用力NP摆杆与小车在竖直方向的相互作用力N1）对于小车小车水平方向的合力 （1-1）摆杆水平方向的合力 （1-2）摆杆水平方向的运动方程 （1-3）2)对于摆杆摆杆力矩平衡方程 （1-4）（注：因为，所以等式前面有负号）摆杆垂直方向的合力 （1-5）摆杆垂直方向的运动方程 （1-6）水平方向的运动方程 （1-7）垂直方向的运动方程 （1-8）用u来代表被控对象的输入力F，线性化后，两个运动方程如下（其中 ）：（1-9） （1-10）

13、摆杆角度和小车位移的传递函数： （1-11）摆杆角度和小车加速之间的传递函数： （1-12）摆杆角度和小车所受外界作用力的传递函数： （1-13）其中 （1-14）1.3系统实际模型将表一中的实际参数代入，可得到系统的实际模型：摆杆角度对于小车位移的传递函数：（1-15）摆杆角度对于小车加速度的传递函数： （1-16）摆杆角度对于小车所受外界作用力的传递函数： （1-17）小车位移对于小车加速度的传递函数： （1-18）2 开环响应分析数学模型建立好之后，我们得到摆杆角度对于小车加速度的传递函数式（1-16）和小车位移对于小车加速度的传递函数式（1-18）。当输入为小车加速度时，利用Matla

14、b的Simulink仿真工具进行仿真，可得到原系统的开环传递阶跃响应曲线和脉冲响应曲线。仿真系统的结构如图4图4响应曲线如下： 图5 小车位置阶跃响应 图6 小车位置脉冲响应 图7 摆杆角度阶跃响应 图8 摆杆角度脉冲响应从以上4幅响应曲线可知，当输入为小车加速度时，摆杆角度和小车位置的阶跃响应和脉冲响应都是发散的，系统是不稳定的。下面对以小车加速度为输入，以摆杆角度为输出的系统，对开环传递函数设计校正装置，使系统稳定并具有符合条件的良好的性能指标。3 根轨迹法设计3.1原系统的根轨迹分析根据传递函数式（1-16） 利用Matlab得到原系统的根轨迹如图9。两个极点为p1=5.1136，p2=

15、-5.1136，无零点。Matlab编程如下：>> s=tf('s');>> G0=0.02725/(0.0102125*s2-0.26705);>> rlocus(G0)图9从根轨迹上可看到，有一条根轨迹起始于右半平面的极点，两条根轨迹沿着虚轴向无限远处延伸，即无论增益如何变化，系统都不稳定。我们必须增加控制器对其进行校正。3.2根轨迹校正设计控制器，使得校正后系统的性能指标满足最大超调量调节时间3.2.1确定期望闭环零极点由传递函数式（1-16）可知，原系统是二阶振荡系统，根据系统的性能指标要求，令=0.1，由超调量： （3-1）得到=0

16、.591155，取0.6由=可得，°又由调节时间：=0.5s（=±2%） （3-2）将=0.6代入式（3-2）得到=15特征根为s1,2= （3-3）将=0.6，=15代入式（3-3）得到期望主导极点s1,2 =-9±12j3.2.2设计控制器从图9根轨迹中可知，根轨迹并不通期望主导极点s1和s2，因此需要对系统进行超前校正，设控制器为： （3-4）根据对系统动态性能要求确定了一对期望的闭环共轭附属主导极点s1和s2，现取S1，如图10所示。引用串联校正装置后，由于sd在根轨迹上，所以应当满足相角条件，即 （3-5）图10根据正弦定理有 （3-6） （3-7） （

17、3-8）=67.58°根据最大法，=29.645° （3-9）代入式（3-6）及式（3-7）得=7.47875 (3-10)=30.08524 （3-11）校正后的系统的开环传递函数为：根据幅值条件|=1，可得到K=175.643则得到控制器为 将控制器装入原系统，我们可以得到校正后系统的根轨迹如图11：clear;num=0.02725; den=0.0102125 0 -0.26705; numlead=-7.47875; denlead=-30.08524; Z,P,K=tf2zp(num,den);Za=Z;numlead; Pa=P;denlead; num2,d

18、en2=zp2tf(Za,Pa,K);sys=tf(num2,den2);rlocus(sys)图11KK=175.643;sys2=zpk(Za,Pa,KK*K);sysc=sys2/(1+sys2);t=0:0.005:5;step(sysc,t)得到响应曲线，如图12图12从图12可以看到，系统稳定性较好，响应速度快，但超调量较大。因此对控制器进行进一步的改进。将增加的这一对零极点左移，以减少闭环零点和极点的影响，经过多次尝试，找到零点为-8和极点为-50，增益为500时，系统有较好的性能指标。响应曲线如图13，根轨迹如图14。图13图14由图14的响应曲线可看到，校正后的系统能在0.5

19、秒内稳定，具有很好的稳定性，并且超调量有大大的减小，平稳性增强。3.2 Simulink仿真建立仿真模型如下：图15仿真结果如下：图16由图16可看到，系统的超调量较小，调节时间短，性能指标较好，系统校正成功。4 频率特性法4.1 频率响应分析经过前面的模型建立，得到实际系统的开环传递函数为：其中输入为小车的加速度V (s)，输出为摆杆的角度(s)。题目要求：利用频率特性法设计控制器，使得校正后系统的性能指标满足：(1)系统的静态位置误差常数为10；(2)相位裕量为 50°；(3)增益裕量等于或大于10 分贝。利用 MATLAB 绘制系统的Bode 图（图17）和奈奎斯特图（图18）

20、。>> s=tf('s');>> G0=0.02725/(0.0102125*s2-0.26705);>> figure;margin(G0);>> grid on图17图18由图18可以看出，系统没有零点，但存在两个极点，其中一个极点位于右半平面。根据奈奎斯特稳定判据可知系统不稳定，需要设计控制器来校正系统。4.2 频率响应设计直线一级倒立摆的频率响应设计可以表示为如下问题：考虑一个单位负反馈系统，其开环传递函数为：设计控制器，使得系统的静态位置误差常数为10，相位裕量为50度，增裕量等于或大于10 分贝。根据要求，控制器设计如

21、下：1) 选择控制器，上面我们已经得到了系统的Bode 图，可以看出，在中频段，Bode图是以-20的斜率穿过零分贝轴，因此给系统增加一个超前校正就可以满足设计要求，设超前校正装置为： （4-1）则已校正系统具有开环传递函数G (s)G(s)令： （4-2）式（4-2）中2) 根据稳态误差要求计算增益K （4-3）所以于是： 3) 在MATLAB中画出的Bode图：图19由图19可以看出，系统的相角裕量为0°，根据设计要求，系统的相角裕量为50°，因此需要增加的相角为50°，增加超前校正装置会改变Bode图的幅值曲线，开环截止频率会增加，因此必须对开环截止频率增加

22、所造成的相位滞后增量进行补偿，实际需要增加的相角裕量为55°。4)计算超前校正网络参数：= （4-4） （4-5）在图19中找到的点，该点的频率就是校正后系统的截止频率，即，该频率就是超前校正网络最大超前角处对应的频率，也即是系统校正后的截止频率。5)计算超前校正网络的另一个参数T （4-6），由此得到的校正装置为：校正后的传递函数为：6)画出校正后系统的Bode图图20图21从图20和图21可知，校正后的系统相角裕量和幅值裕量符合设计要求，根据奈奎斯特判据可知校正后的系统稳定。现在分析系统的动态性能是否满足要求。Matlab编程如下：>> num=0.02725*985

23、.782 0.02725*985.782*8.9544;>> den1=0.0102125 0 -0.26705;>> den2=1 90.0901;>> den=conv(den1,den2);>> sys=tf(num,den);>> sys2=feedback(sys,1);>> t=0:0.01:20;>> step(sys2,t)>> axis(0 1 0 2);图22从图22可看到，系统的超调量较大，不理想，因此对其进行调整，经过反复试探和分析，得到较好的参数如下：图23从图21可看到，

24、此时系统的超调量很小，调节时间短，稳定性好，符合设计要求且性能指标良好。该控制器设计成功。4.3 Simulink仿真仿真结构图如下：图24仿真结果如下：图25由图25能看到校正后系统的稳定性，快速性和准确性都比较好，符合设计要求。5 PID控制分析经典控制理论的研究对象主要是单输入单输出的系统，控制器设计时一般需要有关被控对象的较精确模型。PID 控制器因其结构简单，容易调节，且不需要对系统建立精确的模型，在控制上应用较广。Simulink仿真结构图如下：图26经过反复试探和分析，得到当Kp=60,Ki=30,Kd=15时，系统的超调量较小，调节时间短，稳定性好。仿真结果如下：图276 总结1）两种校正方法的比较：直线一级倒立摆根轨迹控制实验中，闭环系统瞬态响应的基本特性与闭环极点的位置紧密相关，如果系