第十二章全等三角形证明题变式训练(2)2021-2022学年八年级数学人教版上册

第十二章全等三角形证明题变式训练2问题情境：已知，在等边△ABC中，∠BAC与∠ACB的角平分线交于点O，点M、N分别在直线AC，AB上，且∠MON=60°，猜想CM、MN、AN三者之间的数量关系．

方法感悟：小芳的思考过程是在CM上取一点，构造全等三角形，从而解决问题；

小丽的思考过程是在AB取一点，构造全等三角形，从而解决问题；

问题解决：（1）如图1，M、N分别在边AC，AB上时，探索CM、MN、AN三者之间的数量关系，并证明；

变式：（2）如图2，M在边AC上，点N在BA的延长线上时，请你在图2中补全图形，标出相应字母，探索CM、MN、AN三者之间的数量关系，并证明．

在四边形ABDC中，AD平分∠BAC，并且∠B+∠C＝180°.

(1)如图1，当∠C＝90°时，求证：BD＝CD；

变式一：(2)如图2，当∠C是钝角时，(1)中的结论是否仍然成立？请证明你的判断；

变式二：(3)如图3，在(2)的条件下，过点D作DE⊥AB于点E，若AC＝2，BE＝3，△ABD的面积为24，求DE的长.

如图1，在△ABC中，∠A=120°，∠C=20°，BD平分∠ABC，交AC于点D.

（1）求证：BD=CD.

变式一：（2）如图2，若∠BAC的角平分线AE交BC于点E，求证：AB+BE=AC.

变式二：（3）如图3，若∠BAC的外角平分线AE交CB的延长线于点E，则（2）中的结论是否成立？若成立，给出证明，若不成立，写出正确的结论.

已知：▵ABC中，过B点作BE⊥AD，．

(1)如图1，点D在BC的延长线上，连AD，作BE⊥AD于E，交AC于点F．求证：；变式一：(2)如图2，点D在线段BC上，连AD，过A作AE⊥AD，且，连BE交AC于F，连DE，问BD与CF有何数量关系，并加以证明；变式二：(3)如图3，点D在CB延长线上，且AE⊥AD，连接BE、AC的延长线交BE于点M，若，请直接写出DBBC的值．

在△ABC中，∠ACB=2∠B，如图1，当∠C=90°，AD为∠BAC的角平分线时，在AB上截取AE=AC，连接DE，易证AB=AC+CD．（1）如图2，当∠C≠90°，AD为∠BAC的角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明．变式：（2）如图3，当AD为△ABC的外角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明．

如图，△ABC中，CD⊥AB于点D，CD=BD，点E在CD上，DE=DA，连接BE.

(1)求证:BE=CA；

(2)延长BE交AC于点F，连接DF，求∠CFD的度数；

变式：(3)过点C作CM⊥CA，CM=CA，连接BM交CD于点N，若BD=12，AD=5，直接写出△NBC的面积____.

如图1，等腰直角三角形ABC中，O为斜边AC的中点，CD为∠ACB的平分线，过点B作BE⊥CD，垂足为D，交AC于点E，CD与BO交于点F．

（1）求证：△BOE≌△COF；变式：（2）将∠DCB沿CB方向移动至P处，角的一边分别交BE，BO于点Q，H，如图2所示，试探究线段BQ和PH的数量关系，以及它们所在直线的位置关系．

等边△ABC中，点H在边BC上，点K在边AC上，且满足AK＝HC，连接AH，BK交于点F．

（1）如图1，求∠AFB的度数；（2）如图2，连接FC，若∠BFC＝90°，点G为边AC上一点，且满足∠GFC＝30°，求证：AG⊥BG；变式：（3）如图3，在（2）条件下，在BF上取点D使得DF＝AF，连接CD交AH于点E，若△DEF面积为1，则△AHC的面积为__________．

如图，在△ABC中，∠ABC为锐角，点D为直线BC上一动点，以AD为直角边且在AD的右侧作等腰直角三角形ADE，∠DAE＝90°，AD＝AE．

（1）如果AB＝AC，∠BAC＝90°．①当点D在线段BC上时，如图1，线段CE，BD的位置关系为________，数量关系为________．变式一：②当点D在线段BC的延长线上时，如图2，①中的结论是否仍然成立，请说明理由．变式二：（2）如图3，如果AB≠AC，∠BAC≠90°，点D在线段BC上运动．探究：当∠ACB多少度时，CE⊥BC？请说明理由．

如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AC边的一点，F为AB边上一点，连接CF，交BE于点D且∠ACF＝∠CBE，CG平分∠ACB交BD于点G，

（1）求证：CF＝BG；变式一：（2）延长CG交AB于H，连接AG，过点C作CP//AG交BE的延长线于点P，求证：PB＝CP+CF；变式二：（3）在（2）问的条件下，当∠GAC＝2∠FCH时，若S△AEG＝33，BG＝6，求AC的长．

已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上一动点（点D不与点B，点C重合），以AD为边作等边三角形ADE，连接CE．

（1）如图1，当点D在边BC上时，①求证：△ABD≌△ACE；②直接判断结论BC＝DC+CE是否成立（不需证明）．变式：（2）如图2，当点D在边BC的延长线上时，其他条件不变，请写出BC，DC，CE之间存在的数量关系，并写出证明过程．

如图1，△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=22，∠ACB＝90°，点D是AB中点，在△ABC外取一点E，使DE＝AD，连接DE，AE，BE．（1）求证：AE⊥BE．变式一：（2）如图2，若点E在直线AB下方，且∠𝐴𝐵𝐸＝30°，求CE的长．变式二：（3）若AE：AB＝1：4，求△ACE的面积．

将两个全等的直角三角形ABC和DBE按图（1）方式摆放，其中∠ACB＝∠DEB＝90°，∠A＝∠D＝30°，点E落在AB上，DE所在直线交AC所在直线于点F．（1）求证：CF＝EF；变式一：（2）若将图（1）中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角a，且0°＜a＜60°，其他条件不变，如图（2）．请你直接写出AF＋EF与DE的大小关系：AF＋EF________DE．（填“＞”或“＝”或“＜”）变式二：（3）若将图（1）中△DBE的绕点B按顺时针方向旋转角B，且60°＜β＜180°，其他条件不变，如图（3）．请你写出此时AF、EF与DE之间的关系，并加以证明．

如图①，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为直角边且在AD的上方作等腰直角三角形ADF，连接CF．

​​​​​​​(1)若AB=AC，∠BAC=90°

①当点D在线段BC上时(与点B不重合)，试探究CF与BD的数量关系和位置关系，并说明理由．

变式一：②当点D在线段BC的延长线上时，①中的结论是否仍然成立，请在图②中画出相应图形并直接写出你的猜想．

变式二：(2)如图③，若AB≠AC，∠BAC≠90°，∠BCA=45°，点D在线段BC上运动，试探究CF与BC的位置关系，并说明理由．

(1)如图,已知在△ABC中,AD为中线,求证:AB+AC>2AD;

变式：(2)如图,在△ABC中,D为BC的中点,DE⊥DF分别交AB,AC于点E,F.求证:BE+CF>EF.

​​​​​​​

（1）问题发现：如图1，△ABC与△CDE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，则线段AE、BD的数量关系为_______，AE、BD所在直线的位置关系为________；

变式：（2）深入探究：在（1）的条件下，若点A，E，D在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，请判断∠ADB的度数及线段CM，AD，BD之间的数量关系，并说明理由．

在△ABC中，A