江苏省南京鼓楼区重点达标名校2024年中考猜题数学试卷含解析

江苏省南京鼓楼区重点达标名校2024年中考猜题数学试卷考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．若代数式有意义，则实数x的取值范围是（）A．x＞0 B．x≥0 C．x≠0 D．任意实数2．如图，在直角坐标系中，等腰直角△ABO的O点是坐标原点，A的坐标是（﹣4，0），直角顶点B在第二象限，等腰直角△BCD的C点在y轴上移动，我们发现直角顶点D点随之在一条直线上移动，这条直线的解析式是（）A．y=﹣2x+1 B．y=﹣x+2 C．y=﹣3x﹣2 D．y=﹣x+23．的平方根是()A．2 B． C．±2 D．±4．若关于x的一元二次方程(k－1)x2＋4x＋1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是()A．k<5 B．k<5，且k≠1 C．k≤5，且k≠1 D．k>55．如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=1．若点E是边CD的中点，连接AE，过点B作BF⊥AE交AE于点F，则BF的长为（）A． B． C． D．6．下列关于x的方程中一定没有实数根的是（）A． B． C． D．7．如图，有一张三角形纸片ABC，已知∠B＝∠C＝x°，按下列方案用剪刀沿着箭头方向剪开，可能得不到全等三角形纸片的是()A． B．C． D．8．如图，△ABC中，AB=AC，BC=12cm，点D在AC上，DC=4cm，将线段DC沿CB方向平移7cm得到线段EF，点E、F分别落在边AB、BC上，则△EBF的周长是（）cm．A．7 B．11 C．13 D．169．把8a3﹣8a2+2a进行因式分解，结果正确的是（）A．2a（4a2﹣4a+1） B．8a2（a﹣1） C．2a（2a﹣1）2 D．2a（2a+1）210．如图，一次函数y＝x﹣1的图象与反比例函数的图象在第一象限相交于点A，与x轴相交于点B，点C在y轴上，若AC＝BC，则点C的坐标为（）A．（0，1） B．（0，2） C． D．（0，3）二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．如图，反比例函数y＝（x＜0）的图象经过点A（﹣2，2），过点A作AB⊥y轴，垂足为B，在y轴的正半轴上取一点P（0，t），过点P作直线OA的垂线l，以直线l为对称轴，点B经轴对称变换得到的点B'在此反比例函数的图象上，则t的值是（）A．1+ B．4+ C．4 D．-1+12．一个布袋中装有1个蓝色球和2个红色球，这些球除颜色外其余都相同，随机摸出一个球后放回摇匀，再随机摸出一个球，则两次摸出的球都是红球的概率是_____．13．计算：（+）=_____．14．如图，在矩形ABCD中，AD=5，AB=4，E是BC上的一点，BE=3，DF⊥AE，垂足为F，则tan∠FDC=_____．15．一组“数值转换机”按下面的程序计算，如果输入的数是36，则输出的结果为106，要使输出的结果为127，则输入的最小正整数是__________．16．在△ABC中，∠C＝30°，∠A﹣∠B＝30°，则∠A＝_____．三、解答题（共8题，共72分）17．（8分）风电已成为我国继煤电、水电之后的第三大电源，风电机组主要由塔杆和叶片组成（如图①），图②是平面图．光明中学的数学兴趣小组针对风电塔杆进行了测量，甲同学站在平地上的A处测得塔杆顶端C的仰角是55°，乙同学站在岩石B处测得叶片的最高位置D的仰角是45°（D，C，H在同一直线上，G，A，H在同一条直线上），他们事先从相关部门了解到叶片的长度为15米（塔杆与叶片连接处的长度忽略不计），岩石高BG为4米，两处的水平距离AG为23米，BG⊥GH，CH⊥AH，求塔杆CH的高．（参考数据：tan55°≈1.4，tan35°≈0.7，sin55°≈0.8，sin35°≈0.6）18．（8分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，点的坐标为．（1）求二次函数的解析式；（2）若点是抛物线在第四象限上的一个动点，当四边形的面积最大时，求点的坐标，并求出四边形的最大面积；（3）若为抛物线对称轴上一动点，直接写出使为直角三角形的点的坐标．19．（8分）某中学九年级甲、乙两班商定举行一次远足活动，、两地相距10千米，甲班从地出发匀速步行到地，乙班从地出发匀速步行到地.两班同时出发，相向而行.设步行时间为小时，甲、乙两班离地的距离分别为千米、千米，、与的函数关系图象如图所示，根据图象解答下列问题：直接写出、与的函数关系式；求甲、乙两班学生出发后，几小时相遇？相遇时乙班离地多少千米？甲、乙两班相距4千米时所用时间是多少小时?20．（8分）如图，用红、蓝两种颜色随机地对A，B，C三个区域分别进行涂色，每个区域必须涂色并且只能涂一种颜色，请用列举法（画树状图或列表）求A，C两个区域所涂颜色不相同的概率．21．（8分）如图，AC是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，点B是⊙O上的一点，且∠BAC＝30°，∠APB＝60°．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为2，求弦AB及PA，PB的长．22．（10分）如图，有长为14m的篱笆，现一面利用墙(墙的最大可用长度a为10m)围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为xm，面积为Sm1．求S与x的函数关系式及x值的取值范围；要围成面积为45m1的花圃，AB的长是多少米？当AB的长是多少米时，围成的花圃的面积最大？23．（12分）如图，已知点A（﹣2，0），B（4，0），C（0，3），以D为顶点的抛物线y=ax2+bx+c过A，B，C三点．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）设抛物线的对称轴DE交线段BC于点E，P为第一象限内抛物线上一点，过点P作x轴的垂线，交线段BC于点F，若四边形DEFP为平行四边形，求点P的坐标．24．如图，在四边形ABCD中，点E是对角线BD上的一点，EA⊥AB，EC⊥BC，且EA=EC．求证：AD=CD．

参考答案一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1、C【解析】

根据分式和二次根式有意义的条件进行解答．【详解】解：依题意得：x2≥1且x≠1．解得x≠1．故选C．【点睛】考查了分式有意义的条件和二次根式有意义的条件．解题时，注意分母不等于零且被开方数是非负数．2、D【解析】

抓住两个特殊位置：当BC与x轴平行时，求出D的坐标；C与原点重合时，D在y轴上，求出此时D的坐标，设所求直线解析式为y=kx+b，将两位置D坐标代入得到关于k与b的方程组，求出方程组的解得到k与b的值，即可确定出所求直线解析式．【详解】当BC与x轴平行时，过B作BE⊥x轴，过D作DF⊥x轴，交BC于点G，如图1所示．∵等腰直角△ABO的O点是坐标原点，A的坐标是（﹣4，0），∴AO=4，∴BC=BE=AE=EO=GF=OA=1，OF=DG=BG=CG=BC=1，DF=DG+GF=3，∴D坐标为（﹣1，3）；当C与原点O重合时，D在y轴上，此时OD=BE=1，即D（0，1），设所求直线解析式为y=kx+b（k≠0），将两点坐标代入得：，解得：．则这条直线解析式为y=﹣x+1．故选D．【点睛】本题属于一次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定一次函数解析式，等腰直角三角形的性质，坐标与图形性质，熟练运用待定系数法是解答本题的关键．3、D【解析】

先化简，然后再根据平方根的定义求解即可．【详解】∵=2，2的平方根是±，∴的平方根是±．故选D．【点睛】本题考查了平方根的定义以及算术平方根，先把正确化简是解题的关键，本题比较容易出错．4、B【解析】试题解析：∵关于x的一元二次方程方程有两个不相等的实数根，∴，即，解得：k＜5且k≠1．故选B．5、B【解析】

根据S△ABE=S矩形ABCD=1=•AE•BF，先求出AE，再求出BF即可．【详解】如图，连接BE．∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD=2，BC=AD=1，∠D=90°，在Rt△ADE中，AE===，∵S△ABE=S矩形ABCD=1=•AE•BF，∴BF=．故选：B．【点睛】本题考查矩形的性质、勾股定理、三角形的面积公式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用面积法解决有关线段问题，属于中考常考题型．6、B【解析】

根据根的判别式的概念,求出△的正负即可解题.【详解】解:A.x2-x-1=0,△=1+4=50,∴原方程有两个不相等的实数根,B.,△=36-144=-1080,∴原方程没有实数根,C.,,△=10,∴原方程有两个不相等的实数根,D.,△=m2+80,∴原方程有两个不相等的实数根,故选B.【点睛】本题考查了根的判别式,属于简单题,熟悉根的判别式的概念是解题关键.7、C【解析】

根据全等三角形的判定定理进行判断．【详解】解：A、由全等三角形的判定定理SAS证得图中两个小三角形全等，故本选项不符合题意；B、由全等三角形的判定定理SAS证得图中两个小三角形全等，故本选项不符合题意；C、如图1，∵∠DEC＝∠B+∠BDE，∴x°+∠FEC＝x°+∠BDE，∴∠FEC＝∠BDE，所以其对应边应该是BE和CF，而已知给的是BD＝FC＝3，所以不能判定两个小三角形全等，故本选项符合题意；D、如图2，∵∠DEC＝∠B+∠BDE，∴x°+∠FEC＝x°+∠BDE，∴∠FEC＝∠BDE，∵BD＝EC＝2，∠B＝∠C，∴△BDE≌△CEF，所以能判定两个小三角形全等，故本选项不符合题意；由于本题选择可能得不到全等三角形纸片的图形，故选C．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，注意三角形边和角的对应关系是关键．8、C【解析】

直接利用平移的性质得出EF=DC=4cm，进而得出BE=EF=4cm，进而求出答案．【详解】∵将线段DC沿着CB的方向平移7cm得到线段EF，∴EF=DC=4cm，FC=7cm，∵AB=AC，BC=12cm，∴∠B=∠C，BF=5cm，∴∠B=∠BFE，∴BE=EF=4cm，∴△EBF的周长为：4+4+5=13（cm）．故选C．【点睛】此题主要考查了平移的性质，根据题意得出BE的长是解题关键．9、C【解析】

首先提取公因式2a，进而利用完全平方公式分解因式即可．【详解】解：8a3﹣8a2+2a=2a(4a2﹣4a+1)=2a(2a﹣1)2，故选C.【点睛】本题因式分解中提公因式法与公式法的综合运用.10、B【解析】

根据方程组求出点A坐标，设C（0，m），根据AC=BC，列出方程即可解决问题．【详解】由，解得或，

∴A（2，1），B（1，0），

设C（0，m），

∵BC=AC，

∴AC2=BC2，

即4+（m-1）2=1+m2，

∴m=2，

故答案为（0，2）．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点坐标问题、勾股定理、方程组等知识，解题的关键是会利用方程组确定两个函数的交点坐标，学会用方程的思想思考问题．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11、A【解析】

根据反比例函数图象上点的坐标特征由A点坐标为（-2，2）得到k=-4，即反比例函数解析式为y=-，且OB=AB=2，则可判断△OAB为等腰直角三角形，所以∠AOB=45°，再利用PQ⊥OA可得到∠OPQ=45°，然后轴对称的性质得PB=PB′，BB′⊥PQ，所以∠BPQ=∠B′PQ=45°，于是得到B′P⊥y轴，则点B的坐标可表示为（-，t），于是利用PB=PB′得t-2=|-|=，然后解方程可得到满足条件的t的值．【详解】如图，∵点A坐标为（-2，2），∴k=-2×2=-4，∴反比例函数解析式为y=-，∵OB=AB=2，∴△OAB为等腰直角三角形，∴∠AOB=45°，∵PQ⊥OA，∴∠OPQ=45°，∵点B和点B′关于直线l对称，∴PB=PB′，BB′⊥PQ，∴∠B′PQ=∠OPQ=45°，∠B′PB=90°，∴B′P⊥y轴，∴点B′的坐标为（-，t），∵PB=PB′，∴t-2=|-|=，整理得t2-2t-4=0，解得t1=，t2=1-（不符合题意，舍去），∴t的值为．故选A．【点睛】本题是反比例函数的综合题，解决本题要掌握反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质和轴对称的性质及会用求根公式法解一元二次方程．12、【解析】

首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的球都是红球的情况，再利用概率公式即可求出答案.【详解】画树状图得：∵共有9种等可能的结果，两次摸出的球都是红球的由4种情况，∴两次摸出的球都是红球的概率是，故答案为.【点睛】本题主要考查了求随机事件概率的方法，解本题的要点在于根据题意画出树状图，从而求出答案.13、1．【解析】

去括号后得到答案.【详解】原式＝×＋×＝2＋1＝1，故答案为1.【点睛】本题主要考查了去括号的概念，解本题的要点在于二次根式的运算.14、4【解析】

首先根据矩形的性质以及垂线的性质得到∠FDC＝∠ABE，进而得出tan∠FDC＝tan∠AEB＝ABBE【详解】∵DF⊥AE，垂足为F，∴∠AFD＝90°，∵∠ADF＋∠DAF＝90°，∠ADF＋∠CDF＝90°，∴∠DAF＝∠CDF，∵∠DAF＝∠AEB，∴∠FDC＝∠ABE，∴tan∠FDC＝tan∠AEB＝ABBE，∵在矩形ABCD中，AB＝4，E是BC上的一点，BE＝3，∴tan∠FDC＝43.故答案为【点睛】本题主要考查了锐角三角函数的关系以及矩形的性质，根据已知得出tan∠FDC＝tan∠AEB是解题关键.15、15【解析】

分析：设输出结果为y，观察图形我们可以得出x和y的关系式为：，将y的值代入即可求得x的值．详解：∵当y=127时，解得：x=43；当y=43时，解得：x=15；当y=15时,解得不符合条件．则输入的最小正整数是15.故答案为15.点睛：考查一元一次方程的应用，熟练掌握一元一次方程的应用是解题的关键.16、90°．【解析】

根据三角形内角和得到∠A+∠B+∠C＝180°，而∠C＝30°，则可计算出∠A+∠B+＝150°，由于∠A﹣∠B＝30°，把两式相加消去∠B即可求得∠A的度数．【详解】解：∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠C＝30°，∴∠A+∠B+＝150°，∵∠A﹣∠B＝30°，∴2∠A＝180°，∴∠A＝90°．故答案为：90°．【点睛】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°．主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．三、解答题（共8题，共72分）17、塔杆CH的高为42米【解析】

作BE⊥DH，知GH=BE、BG=EH=4，设AH=x，则BE=GH=23+x，由CH=AHtan∠CAH=tan55°•x知CE=CH-EH=tan55°•x-4，根据BE=DE可得关于x的方程，解之可得．【详解】解：如图，作BE⊥DH于点E，则GH=BE、BG=EH=4，设AH=x，则BE=GH=GA+AH=23+x，在Rt△ACH中，CH=AHtan∠CAH=tan55°•x，∴CE=CH﹣EH=tan55°•x﹣4，∵∠DBE=45°，∴BE=DE=CE+DC，即23+x=tan55°•x﹣4+15，解得：x≈30，∴CH=tan55°•x=1.4×30=42，答：塔杆CH的高为42米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．18、（1）；（2）P点坐标为，；（3）或或或．【解析】

（1）根据待定系数法把A、C两点坐标代入可求得二次函数的解析式；

（2）由抛物线解析式可求得B点坐标，由B、C坐标可求得直线BC解析式，可设出P点坐标，用P点坐标表示出四边形ABPC的面积，根据二次函数的性质可求得其面积的最大值及P点坐标；

（3）首先设出Q点的坐标，则可表示出QB2、QC2和BC2，然后分∠BQC=90°、∠CBQ=90°和∠BCQ=90°三种情况，求解即可.【详解】解：（1）∵A(-1,0)，在上，，解得，∴二次函数的解析式为；（2）在中，令可得，解得或，，且，∴经过、两点的直线为，设点的坐标为，如图，过点作轴，垂足为，与直线交于点，则，，∴当时，四边形的面积最大，此时P点坐标为，∴四边形的最大面积为；（3），∴对称轴为，∴可设点坐标为，，，，，，为直角三角形，∴有、和三种情况，①当时，则有，即，解得或，此时点坐标为或；②当时，则有，即，解得，此时点坐标为；③当时，则有，即，解得，此时点坐标为；综上可知点的坐标为或或或．【点睛】本题考查了待定系数法、三角形的面积、二次函数的性质、勾股定理、方程思想及分类讨论思想等知识，注意分类讨论思想的应用.19、（1）y1=4x，y2=-5x+1．（2）km．（3）h．【解析】

（1）由图象直接写出函数关系式；（2）若相遇，甲乙走的总路程之和等于两地的距离.【详解】(1)根据图可以得到甲2.5小时,走1千米,则每小时走4千米,则函数关系是：y1=4x，乙班从B地出发匀速步行到A地,2小时走了1千米,则每小时走5千米,则函数关系式是：y2=−5x+1.(2)由图象可知甲班速度为4km/h，乙班速度为5km/h，设甲、乙两班学生出发后，x小时相遇，则4x+5x=1，解得x=.当x=时,y2=−5×+1=，∴相遇时乙班离A地为km.(3)甲、乙两班首次相距4千米，即两班走的路程之和为6km，故4x+5x=6，解得x=h.∴甲、乙两班首次相距4千米时所用时间是h.20、.【解析】试题分析：先根据题意画出树状图或列表，由图表求得所有等可能的结果与A，C两个区域所涂颜色不相同的的情况，利用概率公式求出概率.试题解析：解：画树状图如答图：∵共有8种不同的涂色方法，其中A，C两个区域所涂颜色不相同的的情况有4种，∴P(A，C两个区域所涂颜色不相同)=.考点：1．画树状图或列表法；2．概率．21、（1）见解析；（2）2【解析】试题分析：（1）连接OB，证PB⊥OB．根据四边形的内角和为360°，结合已知条件可得∠OBP=90°得证；（2）连接OP，根据切线长定理得直角三角形，根据含30度角的直角三角形的性质即可求得结果．（1）连接OB．∵OA=OB，∴∠OBA=∠BAC=30°．∴∠AOB=80°-30°-30°=20°．∵PA切⊙O于点A，∴OA⊥PA，∴∠OAP=90°．∵四边形的内角和为360°，∴∠OBP=360°-90°-60°-20°=90°．∴OB⊥PB．又∵点B是⊙O上的一点，∴PB是⊙O的切线．（2）连接OP，∵PA、PB是⊙O的切线，∴PA=PB，∠OPA=∠OPB=，∠APB=30°．在Rt△OAP中，∠OAP=90°，∠OPA=30°，∴OP=2OA=2×2=1．∴PA=OP2-OA2=2∵PA=PB，∠APB=60°，∴PA=PB=AB=2．考点：此题考查了切线的判定、切线长定理、含30度角的直角三角形的性质点评：要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．22、（1）S=﹣3x1+14x，≤x<8；（1）5m；（3）46.67m1【解析】

（1）设花圃宽AB为xm，则长为（14-3x），利用长方形的面积公式，可求出S与x关系式，根据墙的最大长度求出x的取值范围；（1）根据（1）所求的关系式把S=2代入即可求出x，即AB；（3）根据二次函数的性质及x的取值范围求出即可.【详解】解：（1）根据题意，得S＝x（14﹣3x），即所求的函数解析式为：S＝﹣3x1+14x，又∵0＜14﹣3x≤10，∴；（1）根据题意，设花圃宽AB为xm，则长为（14-3x），∴﹣3x1+14