2024年广东省惠州市惠阳区中考数学一模试卷

第1页（共1页）2024年广东省惠州市惠阳区中考数学一模试卷一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）2024的相反数是（）A．2024 B．﹣2024 C． D．2．（3分）如图，是由四个大小相同的小正方体拼成的几何体，则这个几何体的左视图是（）A． B． C． D．3．（3分）2024年3月30日，中国散裂中子源二期工程在广东东莞启动建设，二期工程将在原装备基础上增设科研设备，全球建成的散裂中子源装备仅有4个，中国散裂中子源被誉为探索物质材料微观结构的“超级显微镜”，解决国家重大需求和产业发展中的关键科学问题提供科技利器．已知中子的半径约为0.0000000000000016m，将0.0000000000000016m用科学记数法表示为（）A．16×10﹣14 B．1.6×10﹣14 C．1.6×10﹣15 D．0.16×10﹣144．（3分）若分式有意义，则x的取值范围是（）A．x≠0 B．x≠﹣1 C．x≠1 D．x≥15．（3分）“杂交水稻之父”袁隆平培育的超级杂交稻在全世界推广种植．某种植户为了考察所种植的杂交水稻苗的长势，从稻田中随机抽取7株水稻苗，测得苗高（单位：cm），24，23，26，23（）A．24，25 B．23，23 C．23，24 D．24，246．（3分）在平面直角坐标系中，点P（﹣1，m2+1）位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限7．（3分）如图，直线l1∥l2，CD⊥AB于点D，∠1＝50°，则∠BCD的度数为（）A．50° B．45° C．40° D．30°8．（3分）如图，数轴上表示实数的点可能是（）A．点P B．点Q C．点R D．点S9．（3分）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，则最大正方形E的面积是（）A．8 B．10 C．13 D．1510．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x＝1；②方程：ax2+bx+c＝0（a≠0）必有一个根大于2且小于3；③若，那么y1＜y2；④11a+2c＞0；⑤对于任意实数m，都有m（am+b），其中正确结论的是（）A．②④ B．①②④ C．②④⑤ D．②③④二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．（3分）因式分解：9a2﹣9＝．12．（3分）计算：＝．13．（3分）一个多边形的内角和是720°，这个多边形的边数是．14．（3分）对一个实数x按如图所示的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个实数x”到：“判断结果是否大于190？”为一次操作．如果操作只进行一次就停止，则x的取值范围是．15．（3分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC是⊙O的直径，若∠DBC＝30°，则∠BAD的度数是°．16．（3分）如图，已知一次函数y＝k1x+b与反比例函数的图象交于第一象限内的点A和B（4，m），过点B作BQ⊥x轴于点Q．若△AOP的面积记为S1，△BOQ的面积记为S2，则S1S2（填“＞”、“＜”或“＝”）．三、解答题（一）（本大题共3小题，第17题8分，第18题6分，第19题7分，共21分）17．（8分）（1）解方程：x2﹣4x＝0；（2）先化简，再求值：，其中a＝﹣4．18．（6分）在植树节到来之际，为激发同学们爱护植物，保护生态环境的意识，两个年级平均每小时共植树35棵，求八年级平均每小时植树多少棵？19．（7分）如图，已知D为BC的中点，DE⊥AB，点E，F为垂足，∠BDE＝30°，求证：△ABC是等边三角形．四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）20．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．（1）请用直尺和圆规按下列步骤作图，保留作图痕迹：①作∠ACB的平分线，交斜边AB于点D；②过点D作AC的垂线，垂足为点E．（2）在（1）作出的图形中，若CB＝4，则DE＝．21．（9分）非物质文化遗产是中华民族古老生命记忆和活态的文化基因，惠州市的非物质文化遗产资源丰富，涵盖了多种形式和风格．某学校为了让学生深入了解非物质文化遗产，B龙门农民画，C惠州剪纸，E客家凉帽（竹编技艺）的相关传承人进校园宣讲，选择自己喜欢的项目（假设每名学生只能选择一项），并将投票结果绘制成如图两幅不完整的统计图：根据以上信息，解决下列问题：（1）参与此次抽样调查的学生共人，补全统计图1（要求在条形图上方注明人数）；（2）若七年级学生共有1200人，根据调查结果，试估计七年级喜欢“莫家拳”项目的学生人数；（3）若该学校决定邀请两位非遗传承人进校园宣讲，请用画树状图或列表的方法，求选中B龙门农民画和C惠州剪纸这两个项目的概率．22．（9分）综合与实践：根据以下素材，探索完成任务．问题：你了解黄金矩形吗？问题背景素材一矩形就是长方形，四个角都是90°，两组对边平行且相等素材二宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果素材三我们在学习二次根式时．常遇到这种分母含有无理式的式子，需要通过分式性质和平方差公式来进行化简．我们称之为“分母有理化”．例如：素材四黄金矩形是可以通过折纸折叠出来的操作步骤【第一步】在一张矩形纸片的一端，利用图2所示的方法折出一个正方形，然后把纸片展平．【第二步】如图3，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平．【第三步】折出内侧矩形的对角线AB，并把AB折到图4中所示的AD处．【第四步】展平纸片，按照所得的点D折出DE，矩形BCDE（图5）解决问题任务一化简：任务二设MN为x，请用含x的式子表示AB，并证明矩形BCDE是黄金矩形任务三如图5，若MN＝2，连接MC（提示：等面积法）五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分）23．（12分）如图，PB是⊙O的切线，切点为B，且PA＝PB．连接AO并延长交⊙O于点C，交直线PB于点D（1）证明：PA是⊙O的切线；（2）证明：DB2＝DC•DA；（3）若BD＝4，sin∠ADP＝，求线段OP的长．24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B两点，与y轴交于点C（0，﹣3）（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，当点P的横坐标为2时，D为线段AP上一点，请求出D点坐标；（3）如图2，点P在y轴的右侧，直线AP与y轴交于点M，连接PQ与y轴交于点H，请问，如果是，请求出这个定值，请说明理由．

2024年广东省惠州市惠阳区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）2024的相反数是（）A．2024 B．﹣2024 C． D．【解答】解：2024的相反数是﹣2024，故选：B．2．（3分）如图，是由四个大小相同的小正方体拼成的几何体，则这个几何体的左视图是（）A． B． C． D．【解答】解：从左边看第一层是两个小正方形，第二层左边一个小正方形，故选B．3．（3分）2024年3月30日，中国散裂中子源二期工程在广东东莞启动建设，二期工程将在原装备基础上增设科研设备，全球建成的散裂中子源装备仅有4个，中国散裂中子源被誉为探索物质材料微观结构的“超级显微镜”，解决国家重大需求和产业发展中的关键科学问题提供科技利器．已知中子的半径约为0.0000000000000016m，将0.0000000000000016m用科学记数法表示为（）A．16×10﹣14 B．1.6×10﹣14 C．1.6×10﹣15 D．0.16×10﹣14【解答】解：0.0000000000000016＝1.8×10﹣15，故选：C．4．（3分）若分式有意义，则x的取值范围是（）A．x≠0 B．x≠﹣1 C．x≠1 D．x≥1【解答】解：由题可知，x﹣1≠0，解得x≠5，故选：C．5．（3分）“杂交水稻之父”袁隆平培育的超级杂交稻在全世界推广种植．某种植户为了考察所种植的杂交水稻苗的长势，从稻田中随机抽取7株水稻苗，测得苗高（单位：cm），24，23，26，23（）A．24，25 B．23，23 C．23，24 D．24，24【解答】解：这组数据中，出现次数最多的是23，因此众数是23，将这组数据从小到大排列，处在中间位置的一个数是24，即：众数是23，中位数是24，故选：C．6．（3分）在平面直角坐标系中，点P（﹣1，m2+1）位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【解答】解：∵m2+1＞7，∴点P（﹣1，m2+6）在第二象限．故选：B．7．（3分）如图，直线l1∥l2，CD⊥AB于点D，∠1＝50°，则∠BCD的度数为（）A．50° B．45° C．40° D．30°【解答】解：∵l1∥l2，∴∠6＝∠ABC＝50°．∵CD⊥AB于点D，∴∠CDB＝90°．∴∠BCD+∠DBC＝90°，即∠BCD+50°＝90°．∴∠BCD＝40°．故选：C．8．（3分）如图，数轴上表示实数的点可能是（）A．点P B．点Q C．点R D．点S【解答】解：∵4＞3＞4，∴＞＞，∴2＞＞4．故选：C．9．（3分）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，则最大正方形E的面积是（）A．8 B．10 C．13 D．15【解答】解：设中间两个正方形的边长分别为x、y，最大正方形E的边长为zx2＝3+2＝8，y2＝2+3＝5，z3＝x2+y2＝13；即最大正方形E的面积为：z5＝13．故选：C．10．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x＝1；②方程：ax2+bx+c＝0（a≠0）必有一个根大于2且小于3；③若，那么y1＜y2；④11a+2c＞0；⑤对于任意实数m，都有m（am+b），其中正确结论的是（）A．②④ B．①②④ C．②④⑤ D．②③④【解答】解：根据图象可知：a＞0，c＜0，∵对称轴是直线x＝8，∴﹣＝1．∴b＜3，∴abc＞0．故①错误．方程ax2+bx+c＝8，即为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的交点，根据图象已知一个交点﹣4＜x1＜0，关于x＝2对称，∴另一个交点2＜x2＜5．故②正确．∵对称轴是直线x＝1，∴点（，y2）离对称轴更近，∴y1＞y2，故③错误．∵﹣＝1，∴b＝﹣6a，∴y＝ax2﹣2ax+c，根据图象，令x＝﹣7，y＝a+2a+c＝3a+c＞3，∴6a+2c＞3，∵a＞0，∴11a+2c＞8，故④正确．m（am+b）＝am2+bm＝am2﹣5am≥a﹣2a，am2﹣8am≥﹣a，即证：m2﹣2m+2≥0，m2﹣4m+1＝（m﹣1）3，∴m为任意实数，m2﹣2m+8≥0恒成立．故⑤正确．综上②④⑤正确．故选：C．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．（3分）因式分解：9a2﹣9＝9（a+1）（a﹣1）．【解答】解：原式＝9（a2﹣3）＝9（a+1）（a﹣3）．故答案为：9（a+1）（a﹣3）．12．（3分）计算：＝1．【解答】解：＝2﹣1＝3，故答案为：1．13．（3分）一个多边形的内角和是720°，这个多边形的边数是6．【解答】解：∵多边形的内角和公式为（n﹣2）•180°，∴（n﹣2）×180°＝720°，解得n＝5，∴这个多边形的边数是6．故答案为：6．14．（3分）对一个实数x按如图所示的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个实数x”到：“判断结果是否大于190？”为一次操作．如果操作只进行一次就停止，则x的取值范围是x＞64．【解答】解：第一次的结果为：3x﹣2，没有输出，则3x﹣2＞190，解得：x＞64．故x的取值范围是x＞64．故答案为：x＞64．15．（3分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC是⊙O的直径，若∠DBC＝30°，则∠BAD的度数是120°．【解答】解：∵BC是⊙O的直径，∴∠BDC＝90°，∵∠DBC＝30°，∴∠BCD＝90°﹣30°＝60°，∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠BAD+∠BCD＝180°，∴∠BAD＝180°﹣60°＝120°，故答案为：120．16．（3分）如图，已知一次函数y＝k1x+b与反比例函数的图象交于第一象限内的点A和B（4，m），过点B作BQ⊥x轴于点Q．若△AOP的面积记为S1，△BOQ的面积记为S2，则S1＝S2（填“＞”、“＜”或“＝”）．【解答】解：∵一次函数y＝k1x+b与反比例函数的图象交于第一象限内的点A，m），∴k4＝，∴m＝1，∴B（6，m），∵A，B（4，∴S1＝＝＝2，S2＝＝＝5，∴S1＝S2．故答案为：＝．三、解答题（一）（本大题共3小题，第17题8分，第18题6分，第19题7分，共21分）17．（8分）（1）解方程：x2﹣4x＝0；（2）先化简，再求值：，其中a＝﹣4．【解答】解：（1）x2﹣4x＝3，则x（x﹣4）＝0，∴x＝2或x﹣4＝0，∴x3＝0，x2＝8；（2）原式＝（+）•＝•＝a+1，当a＝﹣4时，原式＝﹣8+1＝﹣3．18．（6分）在植树节到来之际，为激发同学们爱护植物，保护生态环境的意识，两个年级平均每小时共植树35棵，求八年级平均每小时植树多少棵？【解答】解：设七年级平均每小时植树x棵，则八年级平均每小时植树（35﹣x）棵，根据题意得：＝，解得：x＝15，经检验，x＝15是所列方程的解，∴35﹣x＝20（棵）．答：七年级平均每小时植树15棵，八年级平均每小时植树20棵．19．（7分）如图，已知D为BC的中点，DE⊥AB，点E，F为垂足，∠BDE＝30°，求证：△ABC是等边三角形．【解答】证明：∵D是BC的中点，∴BD＝CD，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴△BED和△CFD都是直角三角形，在Rt△BED和Rt△CFD中，，∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），∴∠B＝∠C，∴AB＝AC（等角对等边）．∵∠BDE＝30°，DE⊥AB，∴∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形．四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）20．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．（1）请用直尺和圆规按下列步骤作图，保留作图痕迹：①作∠ACB的平分线，交斜边AB于点D；②过点D作AC的垂线，垂足为点E．（2）在（1）作出的图形中，若CB＝4，则DE＝．【解答】解：（1）如图所示；（2）解：∵DC是∠ACB的平分线，∴∠BCD＝∠ACD，∵DE⊥AC，BC⊥AC，∴DE∥BC，∴∠EDC＝∠BCD，∴∠ECD＝∠EDC，∴DE＝CE，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝，设DE＝CE＝x，则AE＝6﹣x，∴＝，解得：x＝，即DE＝，故答案为：．21．（9分）非物质文化遗产是中华民族古老生命记忆和活态的文化基因，惠州市的非物质文化遗产资源丰富，涵盖了多种形式和风格．某学校为了让学生深入了解非物质文化遗产，B龙门农民画，C惠州剪纸，E客家凉帽（竹编技艺）的相关传承人进校园宣讲，选择自己喜欢的项目（假设每名学生只能选择一项），并将投票结果绘制成如图两幅不完整的统计图：根据以上信息，解决下列问题：（1）参与此次抽样调查的学生共120人，补全统计图1（要求在条形图上方注明人数）；（2）若七年级学生共有1200人，根据调查结果，试估计七年级喜欢“莫家拳”项目的学生人数；（3）若该学校决定邀请两位非遗传承人进校园宣讲，请用画树状图或列表的方法，求选中B龙门农民画和C惠州剪纸这两个项目的概率．【解答】解：（1）抽取人数是：24÷20%＝120（人）．投票给C的人数是：120×30%＝36（人），投票给E的人数是：120﹣36﹣24﹣36﹣6＝18（人），补全统计图如下：故答案为：120；（2）D占抽取人数的：6÷120×100%＝6%．那么七年级学生共有1200人，按照D抽取率，所以喜欢“莫家拳”项目的人数大概是：1200×5%＝60（人）；（3）列表法有（A，B），C），D），E），C），D），E），D），E），D）共10种，所以选中（B，C）的概率是．22．（9分）综合与实践：根据以下素材，探索完成任务．问题：你了解黄金矩形吗？问题背景素材一矩形就是长方形，四个角都是90°，两组对边平行且相等素材二宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果素材三我们在学习二次根式时．常遇到这种分母含有无理式的式子，需要通过分式性质和平方差公式来进行化简．我们称之为“分母有理化”．例如：素材四黄金矩形是可以通过折纸折叠出来的可以操作步骤【第一步】在一张矩形纸片的一端，利用图2所示的方法折出一个正方形，然后把纸片展平．【第二步】如图3，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平．【第三步】折出内侧矩形的对角线AB，并把AB折到图4中所示的AD处．【第四步】展平纸片，按照所得的点D折出DE，矩形BCDE（图5）解决问题任务一化简：任务二设MN为x，请用含x的式子表示AB，并证明矩形BCDE是黄金矩形任务三如图5，若MN＝2，连接MC（提示：等面积法）【解答】解：任务一：；任务二：设MN为x，则BC＝MB＝xx，∴，证明：如图4，由折叠性质可以知道，AD＝AB，∴，∴，∴矩形BCDE是黄金矩形；任务三：S△MCE＝S△MBC+S△BCE，，∵MN＝2，∴∴，∴，∴点E到线段MC的距离是．故答案是：；；．五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分）23．（12分）如图，PB是⊙O的切线，切点为B，且PA＝PB．连接AO并延长交⊙O于点C，交直线PB于点D（1）证明：PA是⊙O的切线；（2）证明：DB2＝DC•DA；（3）若BD＝4，sin∠ADP＝，求线段OP的长．【解答】（1）证明：如图1，连接OB，∵PB是⊙O的切线，∴∠PBO＝90°，在△AOP和△BOP中，，∴△AOP≌△BOP（SSS），∴∠PAO＝∠PBO＝90°，∴OA⊥PA，又∵点A在⊙O上，∴PA是⊙O的切线；（2）证明：如图2，连接BA，∵PB是⊙O的切线，∴∠DBC＝∠DAB，又∵∠D＝∠D，∴△DBC∽△DAB，∴，∴DB2＝DC•DA；（3）解：在Rt△OBD中，sin∠ADP＝，OD＝2x，∴BD＝4x，∵BD＝4，∴x＝6，∴OB＝3x＝3，OD＝7x＝5，在Rt△PAD中，sin∠ADP＝＝