高等数学公式概念

目录

第一章函数与极限藻...................................................

第一节函数...............................................................

第二节数列的极限.................................................................

第三节函数的极限................................................................

第四节无穷小与无穷大.............................................................

第五节极限四则运算法则............................................................

第六节极限存在准则、两个重要极限..................................................

第七节无穷小的比较................................................................

第八节函数的连续性与间断点........................................................

第九节连续函数的运算与初等函数的连续性..........................................

第十节闭区间上连续函数的性质......................................................

第二章导数与微分......................................................

第一节导数的概念...................................................................

第二节函数的求导法则..............................................................

第三节初等函数的求导问题...........................................................

双曲函数与反双曲函数的导数..........................................................

第四节高阶导数....................................................................

第五节隐函数的导数、由参数方程所确定的函数的导数相关辩化率......................

第六节函数的微分...................................................................

第三章中值定理与导数的应用...........................................

第一节中值定理..................................................................

第二节洛必达法则..................................................................

第三节泰勒公式....................................................................

第四节函数单调性的判定法..........................................................

第五节函数的极值与最值............................................................

第六节曲线的凹凸与拐点............................................................

第七节曲率.........................................................................

第八节方程的近似解................................................................

第四章不定积分......................................................

第一节不定积分的概念及其性质..................................................

第二节不定积分的换元积分........................................................

第三节不定积分的分部积分法.......................................................

第四节几种特殊类型函数的积分......................................................

第五章定积分........................................................

第一节定积分概念与性质..........................................................

第二节微积分基本定理...........................................................

第三节定积分换元积分法与分部积分法..........................................

第四节广义积分..............................................................

第六章定积分的应用................................................

定积分的元素法..................................................................

功水压力和引力.................................................................

平均值..........................................................................

第七章空间解析几何与向量代数......................................

第一节空间直角坐标系...........................................................

第二节向量及其加减法向量与数的乘法...........................................

第三节向量的坐标..............................................................

第四节数量积向量积混合积....................................................

第五节曲面及其方程............................................................

第六节空间曲线及其方程........................................................

第七节平面及其方程.............................................................

第八节空间直线及其方程........................................................

第九节二次曲面................................................................

第八章多元函数微分法及其应用.....................................

第一节多元函数的基本概念....................................................

第二节偏导数.................................................................

第三节全微分.................................................................

第四节多元复合函数的求导法则................................................

第五节隐函数的求导法则......................................................

第六节微分法在几何上的应用...................................................

第七节方向导数与梯度.........................................................

第八节多元函数的极值及其求法..................................................

第九章重积分.....................................................

第一节二重积分的概念与性质................................................

第二节二重积分的计算..........................................................

第三节二重积分的应用..........................................................

第四节三重积分的概念及其计算法................................................

第五节利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分.....................................

第十章曲线积分与曲面积分.........................................

第一节对弧长的曲线积分......................................................

第二节对坐标的曲线积分......................................................

第三节格林公式及其应用......................................................

第四节对面积的曲面积分......................................................

第五节对坐标的曲面积分......................................................

第六节高斯公式通量与散度..................................................

第七节斯托克斯公式环流量与旋度...........................................

第十一章无穷级数...............................................

第一节常数项级数的概念和性质...............................................

第二节常数项级数的申敛法....................................................

第三节募级数.................................................................

第四节函数展开成幕级数......................................................

第五节函数的塞级数展开式的应用.............................................

第七节傅里叶级数.............................................................

第八节正弦级数与余弦级数....................................................

第九节周期为21的周期函数的傅里叶级数.......................................

第十二章微分方程................................................

第一节微分方程的基本概念...................................................

第二节可分离变量的微分方程..................................................

第三节齐次方程............................................................

第四节一阶线性微分方程....................................................

第五节全微分方程............................................................

第六节可降阶的高阶微分方程..................................................

第七节高阶线性微分方程......................................................

第八节二阶常系数齐次线性微分方程........................................

第九节二阶常系数非齐次线性微分方程.........................................

第十节欧拉方程..............................................................

第十一节微分方程的幕级数解法................................................

第十二节常系数线性微分方程组解法举例.......................................

第一章函数与极限

第一节函数

教学目的：本节主要是复习高中阶段学过的集合以及函数的概念、性质；介绍邻域、

分段函数、复合函数、初等函数的概念。

教学重点：分段函数、复合函数；

一、集合、常量与变量

（-）集合

1、集合：集合是具有某种特定性质的事物所组成的全体。通常用大写字母A、B、C……等来表

示，组成集合的各个事物称为该集合的元素。若事物a是集合M的一个元素，就记asM（读

a属于M）；若事物a不是集合M的一个元素，就记agM或aeM（读a不属于M）；集合

有时也简称为集。

注意：（1）对于一个给定的集合，要具有确定性的特征，即对于任何一个事物或元素，能够判断

它属于或不属于给定的集合，二者必居其一.

（2）对于一个给定的集合，其中的元素应是互异的，完全相同的元素，不论数量多少，

在一个集合里只算作一个元素，就是说，同一个元素在同一个集合里不能重复出现.

（3）若一集合只有有限个元素，就称为有限集；否则称为无限集

2.集合的表示法

表示集合的方法，常见的有列举法和描述法两种.

列举法：按任意顺序列出集合的所有元素，并用花括号{}括起来，这种方法称为列举法.

3.全体自然数集记为N,全体整数的集合记为Z,全体有理数的集合记为Q,全体实数的集合记为Ro

以后不特别说明的情况下考虑的集合均为数集。

4.集合间的基本关系：若集合A的元素都是集合B的元素，即若有xeA,必有xeB,就称A

为B的子集，记为Au或BA（读B包含A）。

显然：NuZuQuR.

若Au3,同时8uA,就称A、B相等，记为A=B。

5.不含任何元素的集称为空集，记为①，如：（#2+1=0,xeR}=①,{x:2、=一1}=①，空集是任

何集合的子集，即①uA。

（-）区间与邻域

1.区间

设a和b都是实数,且a<b,

数集{xlavxvb}称为开区间，记作（a,b）,即

（a,b）={xIa<x<b}.

a和b称为开区间（a,b）的端点，这里a任（a,b）,b仁（a,b）.

数集{xla称为闭区间，记作[a,b],即

[a,b]={xla<x<b}.

a和b称为闭区间[a,b]的端点，这里ae[a,b],be[a,b].

类似地可以说明：

[a,b)==|xIa<x<b},

(a,b]={xla<x<b},

[a,b#H(a,b]都称为半开区间.

以上这些区间都称为有限区间.数b-a称为这些区间的长度.从数轴上看，这些有限区间是

长度为有限的线段.闭区间[a,b]与开区间(a,b)在数轴上表示出来，分别如图1-7(a)与(b).此外

还有无限区间，引进记号+8(读作正无穷大)及-8(读作负无穷大)，则可类似地表示下面的

无限区间：

[a,+8)={xIa<x},

(-℃>,b)={xIx<b),

全体实数的集合也可记作(-8,+8),它也是无限区间.

2.邻域.

设3是任一正数，a为某一实数，把数集{xllx-al<3}称为点a的3邻域，记作

U(a,3),即

U(a,S)={xllx-aI}

点a称为这邻域的中心，6称为这邻域的半径.

由于a-bvxva+b相当于Ix-a1<6,因此

U(a,8)={xla-b<x<a+3},也就是开区间(a-3,a+6)

因为Ix-aI表示点x与点a间的距离，所以U(a,b)表示：与点a距离小于3的一切点x的

全体.

有时用到的邻域需要把邻域中心去掉.点a的3邻域去掉中心a后，称为点a的去心的5邻

A

域，记作U(a,3),即

A

U(a,3)={xIOvlx-aIv3}.

这里0<lx-al就表示xWa.

(三)常量与变量

在自然科学中，我们会遇到各种不同的量，然而在观察这些量时，发现有着非常不同的状态，有

的量在过程中不起变化，保持一定的数值，此量称为常量；又有些量有变化，可取各种不同的数

值，这种量称为变量。

注I：常量与变量是相对而言的，同一量在不同场合下，可能是常量，也可能是变量，如在一天

或在一年中观察某小孩的身高；从小范围和大范围而言，重力加速度可是常量和变量，然而，

一旦环境确定了，同一量不能既为常量又为变量，二者必居其一。

2：常量一般用a,b,c……等字母表示，变量用x,y,u,t……等字母表示，常量a为一定值，在数轴上

可用定点表示，变量x代表该量可能取的任一值，在数轴上可用动点表示，如：了€(4,。)表示工

可代表(凡刀中的任一个数。

二、函数的概念

定义：设X和y为两个变量,，。为一个给定的数集，如果对每一个按照一定的法则/变

量y总有确定的数值与之对应，就称y为x的函数，记为y=/(x).数集。称为该函数的定义域，

x叫做自变量，y叫做因变量。

当x取数值xoeD时，依法则f的对应值称为函数y=/(x)在x=时的函数值。所有函数值组

成的集合卬={y|y=/(x),xe。}称为函数丫=/(x)的值域。

关于函数定义的几点说明：

(1)我们这里所讲的函数是指单值函数，也就是说，对于每一个x值只能对应变量y的一个值.

(2)符号“f”的意义：

符号“f”表示自变量x与函数y的某种对应关系.例如y=f(x)=5x2+3x-l,它的对应关系T

是自变量的平方乘以5加上自变量的3倍减去1,我们不妨简化为y=f()=5()2+3()-1。如x=3

时，对应的函数值是

f(3)=5x32+3x3-l.

同样当x=a时;对应的函数值是

f(a)=5a2+3a-l.

表示函数对应法则的符号也常常用“g”、“F”等表示，这时函数就记作y=g(x)、

y=F(x)等.

(3)确定函数的两个要素——定义域和对应法则

函数概念反映着自变量和因变量之间的依赖关系.它涉及到定义域、对应法则和值域.很明

显，只要定义域和对应法则确定了，值域也就随之确定.因此，定义域和对应法则是确定函数的

两个要素，只要两个函数的定义域和对应法则都相同，那么，这两个函数就相同；如果定义域或

对应法则有•个不相同，那么这两个函数就不相同.

X

例如:函数f(x)=—与g(x)=l,因为f(x)的定义域为(-8,o)U(0,+8),而g(x)的定义域

x

为(-8,+8),所以f(X)与g(X)是不同的函数.

(4)函数定义域的求法

对于由实际问题得到的函数，其定义域应该由问题的具体条件来确定.如例1函数

中，自变量r是圆的半径，故此函数的定义域就是(0,+8).例2中，自变量Q表示销售的台数,

故此函数的定义域是全体自然数.

若函数由公式给出时，不考虑函数的实际意义，这时函数的定义域就是使式子有意义的

变量的一切实数值.

注1：函数通常还可用y=g(x),y=F(x),s="(f)等表示。

2：约定：函数的定义域就是自变量所能取的，使算式有意义的一切实数值的全体。

3、若对每一个xe。，只有唯一的一个y与之对应，就称函数y=/(x)为单值函数；若有不

止一个y与之对应，就称为多值函数。如：V+y2=i,x2-y2=1等。以后若不特别声明，

只讨论单值函数。

4、函数的表示法有三种：解析法、图象法、列表法。其中解析法较普遍，它是借助于数学式

子来表示对应法则，上例均为解析法，注意例3的法则是：当自变量X在(0J上取值，其函数

值为》2；当x取。时，当x在[一1,0)上取值时，其函数值为l—x。(这种函数称为

分段函数，在以后经常遇见，希望注意！)尽管有几个不同的算式，但它们合起来只表示一个函

数！

5、对。中任一固定的X,依照法则有一个数y与之对应，以x为横坐标，y为纵坐标在坐标平

面上就确定了一个点。当X取遍。中的每一数时，便得到•个点集

C={(x,y)\y=f(x),xeD],我们称之为函数y=/(x)的图形。换言之，当x在。中变动时,

点(x,y)的轨迹就是y=/(x)的图形。

三、函数的几种特性

1函数的有界性：设y=/(x)在。上有定义，若对VXWOJMAO,使得：就

称/(x)在。上有界，否则称为无界。

注：1、若对WxeD,3M,使得就称/(x)在。上有上(下)界。/(%)

在。上有界=/*)在。上同时有上界和下界。

2、/(x)在。上无界也可这样说：对VM80,总三%6。，使得|/(Xo)〉M。

2、函数的单调性：设函数/(x)在区间/上有定义，若对立|、x2el,当占YX2时总有：

(1)/(项)〈/(々)，就称/(x)在/上单调递增，特别当严格不等式/(XJY/(X2)成立时，就

称/(x)在/上严格单调递增。

(2)f(Xi)>f(x2),就称/(x)在/上单调递减，特别当严格不等式/(匹)8/(X2)成立时，就

称/(x)在/上严格单调递减。

注：1、此处的定义与书上有区别，希望注意！

2、这样的函数分别称为单调函数和严格单调函数。

3、调递增有时简称单增、递增或不减，其它也一样。

3、函数的奇偶性：设函数/(x)的定义域。为对称于原点的数集，即若xe。，有-xe。，

(1)若对Wxe。，有/(一x)=/(x)恒成立，就称/(x)为偶函数。

(2)若对WxeO,有/(r)=—/*)恒成立，就称/(x)为奇函数。

注：1、偶函数的图形是关于y轴对称的，奇函数的图形是关于原点对称的。

2、若/(x)是奇函数，且Oe。，则必有/(0)=0。

3、两偶函数和为偶函数；两奇函数和为奇函数；两偶函数的积为偶函数；两奇函数的枳也为

偶函数；一奇一偶的积为奇函数。

4、周期性：设函数/(x)的定义域为。，如果X/0,使得对Wxe。，有x±/e。，且

/(x+/)=/(x)恒成立，就称/(x)为周期函数，/称为/(x)的周期。

注1：若/为/(x)的周期，由定义知2/,3/,4/……也都是/(x)的周期，故周期函数有无穷多个

周期，通常说的周期是指最小正周期(基本周期)，然而最小正周期未必都存在(为什么？)

2：周期函数在一每个周期(“+%/,“+(k+1)/)为任意数，%为任意常数)上，有相同的形

状。

四、反函数

定义：设“X)的定义域为。，值域为W,因此，对WyeW,必玉e。，使得/(x)=y,这样

的x可能不止一个，若将y当作自变量，x当作因变量，按函数的概念，就得到-新函数x=e(y),

称之为函数y=/(x)的反函数，而/(x)叫做直接函数。

注1：反函数x=9(y)的定义域为W,值域为。：

2：由上讨论知，即使y=/(x)为单值函数，其反函数却未必是单值函数，以后对此问题还作

研究；

3：在习惯上往往用x表示自变量，y表示因变量，因此将x=0(y)中的x与y对换一下，

y--(x)的反函数就变成y=g(x)，事实上函数y=p(x)与x=0(y)是表示同一函数的，

因为，表示函数关系的字母"右没变，仅自变量与因变量的字母变了，这没什么关系。所以

说：若y=/(x)的反函数为x=e(y),那么y=夕(外也是y=/(x)的反函数，且后者较常

用；

4：反函数y=夕(幻的图形与直接函数y=/(x)的图形是对称于y=x

五、初等函数

(-)幕函数

形如y=x"(〃为常数)的函数叫做赛函数。

其定义域较为复杂，下作一些简单的讨论：

(-)当〃为非负整数时，定义域为(一8,+8);

(1)当〃为负整数时，定义域为(—8,0)。(0,+8);

(2)当〃为其它有理数时，要视情况而定。

(3)当//为无理数时，规定其定义域为(0,+8),其图形也很复杂，但不论〃取何值，图形

总过(1,1)点，当〃>0时，还过(0,0)点。

(-)指数函数与对数函数

1.指数函数：形如)，=a\a>0,aH1)的函数称为指数函数，其定义域为(-oo,+8),其图形总在x

轴上方，且过(0,1)点，

(1)当。>1时，y=优是单调增加的；

(2)当0<a<l时，y=a”是单调减少的；

以后我们经常遇到这样一个指数函数？=6、,6的意义以后讲，其图形大致如下图所示，特别地，

y=a"与y=a~x关于y轴对称。

2、对数函数：指数函数y=a”的反函数，记为y=log。为常数，a＞0,aA1）,称为对数函

数，其定义域为（0,+8）,由前面反函数的概念知：），="的图形和》=1（花“工的图形是关于

y=x对称的，从此，不难得y=logax的图形，

y=log,,x的图形总在y轴右方，且过（1,0）点

（1）当。＞1时，y=log“x单调递增，且在（0,1）为负，（1,+8）上为正；

（2）当0＜。＜1时，y=log“x单调递减，且在（0,1）为正，（1,+8）上为负；

特别当a取e时，函数记为y=lnx,称为自然对数函数。

（三）三角函数与反三角函数

三角函数

三角函数主要是：

正弦函数:y=sinxxe(-oo,+oo)

余弦函数:y=cosxxe(-8,+8)

兀

正切函数:y=tanxxnjr-\——n-0,±l,±2,....

2

余切函数:y-cotxx^njun=0,±l,±2,...

正弦函数和余弦函数均为周期为2%的周期函数，正切函数和余切函数均为周期为万的周期函数。

正弦函数、正切函数、余切函数都是奇函数，余弦函数为偶函数；另外还有两个：正割

y=secx=—-—和余割y=cscx=—-—，其图形在此不做讨论了。

cosxsinx

反三角函数：

反三角函数是三角函数的反函数，它们分别为：

反正弦函数：y=Arcsinxxe[-l,l]

反余弦函数：y=Arccosx[-1,1]

反正切函数：y=ArctanxXE(—8,+8)

反余切函数：y=ArccotxXG(—8,+8)

显然反三角函数都是多值函数，单我们可选取其一个单值分支，叫做主值，选法如下：

将＞=Arcsinx限制在［一］,］］上，得一单值函数，记为y=arcsinx,它就是所取主值函数,

［一生，生］叫做主值区间,显然<arcsinx<-,

2222

同理:将y=Arccosx限制在［0,万］上，=arccosx

将y=Arctanx限制在上，得^=arctanx

将y=Arccotx限制在［0,乃］上，得y=arccotx

从图中不难看出arcsinx和arctanx是单调递增的，arccosx和arccotx是单调递减的。

六复合函数和初等函数

1.定义：设y=/(“)，定义域为。〃="(x),定义域为。2,值域为%，且卬2<=。1，这样对

于WxeZ)2，由“=0(幻可算出函数值Me%u£>|,所以“e?,由y=/(“)又可算出其函数

值y,因此对于X/xe£>2,有确定的值y与之对应，从而得一个以x为自变量，y为因变量的函数,

我们称之为以y=/(“)为外函数，“=夕(幻为内函数复合成的复合函数，记为y=/(［(x)),其

中“为中间变量。

注1：并非任何两函数都可以复合的，

2：复合可推广到三个或更多的函数上去，

3：在函数复合中，未必都有y=/(〃)、"=*(x)的形式，一般为y=/(x)和y=g(x),这时

候就要注意哪个为外函数，哪个为内函数，从而复合后有y=/(x)和y=g(x)之分。

2、初等函数

我们把幕函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数统称为基本初等函数。由常数和基本

初等函数经过有限次四则运算和有限次复合后所得到的能用•个解析式子表示的函数，称为初等函

数。

七分段函数举例

第二节数列的极限

教学目的：使学生理解数列极限的定义及性质，并能用定义证明一些简单数列的极

限。

教学重点：数列极限的定义及性质。

一、数列的定义：

定义：数列是定义在自然数集上的函数，记为=/(〃)，n=1,2,3……，由于全体自然数可

以从小到大排成一列，因此数列的对应值也可以排成一列：x,,x2,…………，这就是最常见

的数列表现形式了，有时也简记为｛%｝或数列X,。数列中的每一数称为数列的项，第〃项Z称

为一般项或通项。

注：在数轴上，数列的每项都相应有点对应它。如果将X“依次在数轴上描出点的位置，限我们

能否发现点的位置的变化趋势呢？显然，是无限接近于0的；｛2〃｝是无增大的;

｛（-1）1｝的项是在1与-1两点跳动的，不接近于某一常数；|巴mj无限接近常数1。

对于数列来说，最重要的是研究其在变化过程中无限接近某一常数的那种渐趋稳定的状态，这

就是常说的数列的极限问题。

二、数列的极限

定义：若对\/£>0（不论£多么小），总三自然数N>0,使得当">N时都有用一4<£成立,

这是就称常数。是数列x„的极限，或称数列x„收敛于a,记为limx„=a,或x“-a

〃一>8

（“78）。如果数列没有极限，就说数列是发散的。

注1：£是衡量无“与。的接近程度的，除要求为正以外，无任何限制。然而，尽管£具有任意性,

但一经给出，就应视为不变。（另外，£具有任意性，那么三,2£,£2等也具有任意性，它们也可

2

代替£）

2：N是随£的变小而变大的，是£的函数，即N是依赖于£的。在解题中，N等于多少关

系不大，重要的是它的存在性，只要存在一个N,使得当〃>N时，有氏一同<£就行了,

而不必求最小的N。

3：有时找N比较困难，这时我们可把适当地变形、放大（千万不可缩小！），若放大后

小于£,那么必有,“一《<£。

收敛数列的有关性质：

定理1:（唯一性）数列X,,不能收敛于两个不同的极限。

定理2：（有界性）若数列收敛，那么它一定有界，即：对于数列X”,若三正数对一切

n,有kJWM。

注：本定理的逆定理不成立，即有界未必收敛。例如数列X”=(-1)的是有界的(|x“|Wl)，但数

列不收敛。

第三节函数的极限

教学目的：使学生理解函数极限的概念；理解函数左右极限的概念，以及函数极限

存在与左、右极限之间的关系。理解函数极限的性质。

教学重点：函数极限的概念。

一、复习数列极限的定义及性质

二、导入新课：

由上节知，数列是自变量取自然数时的函数，X“=/(〃)，因此，数列是函数的一种特殊

情况。对于函数，自变量的变化主要表现在两个方面：

一、自变量X任意接近于有限值X。，记为XTX。，相应的函数值/(X)的变化情况。

二、当自变量X的绝对值N无限增大，记X78,相应的函数值/(X)的变化情况。

三、讲授新课：

(-)自变量趋向有限值X。时函数的极限

与数列极限的意义相仿，自变量趋于有限值尤0时的函数极限可理解为：当X7X。时，/(x)TA

(A为某常数)，即当XTXo时，/*)与A无限地接近，或说|/(x)-A|可任意小，亦即对于

预先任意给定的正整数£(不论多么小)，当x与尤0充分接近时，可使得|/(幻-山小于£。用

数学的语言说，即

定义1：如果对\/£>0(不论它多么小)，总>0,使得对于适合不等式0<,一公卜6

的一切x所对应的函数值/(x)满足：|/(划一4卜£,就称常数A为函数/(x)当XTX。时

的极限，记为

lim/(x)=A,或/(x)—>A(当x7X。时)

〃一>8

注1：“x与人充分接近”在定义中表现为：皿>0,有O<|x-Xo|<6,即⑶。

显然b越小，x与与接近就越好，此6与数列极限中的N所起的作用是一样的，它也依

赖于£。一般地，£越小，b相应地也小一些。

2：定义中O<|x-Xo|表示XHX(),这说明当X->Xo时，/(X)有无限与/(%)在X。点(是

否有)的定义无关(可以无定义，即使有定义，与/(%0)值也无关)。

3：几何解释：对V£>0,作两条平行直线y=4+£,y=4—£。由定义，对此£与6>0,

当彳0-3<x</+b,且xH时，有</(x)<A+£。即函数y=/(x)的图形夹在直

线)>=A+£,y=A—£之间(/(X。)可能除外)。换言之：当xwuUo，b)时，/(X)€U(A,£)。

从图中也可见3不唯一！

(―)左、右极限

在函数极限的定义中，X是既从X。的左边(即从小于X。的方向)趋于今,也从X。的右边(即从

大于X。的方向)趋于与。但有时只能或需要X从X。的某一侧趋于X。的极限。如分段函数及在区

间的端点处等等。这样，就有必要引进单侧极限的定义：

定义2：对V£>0>3^>0,当X。-b<x<X。时，［当x(,<x<x()+6时］,有|/(x)-A|<£.

这时就称4为了(X)当XIX。时的左［右］极限，记为

lim/(x)=A或/(x-0)=A。

XTX。-0

［lim/(x)=4或/(%+0)=4］。

定理：limf(x)=A<=>limf(x)=limf(x)=A。

XTX°Xf0-0Xfo+0

(三)自变量趋向无穷大时函数的极限

定义3：设/(x)当凶>“(。>0)忖是有定义的，若对X/£>OjX(>a),当忖〉X时，有

\f(x)一A|<£，就称A为f(x)当x78时的极限，记为lim/(x)=A或/(x)TX

11XT8

(当X->8时)。

注1：设/(x)在［a,+8),((-8,短)上有定义，若对X/£>0JX>0,当W>X(x<—X)时，

有，(x)-A|<£，就称A为/(x)当x7+8(xT-oo)时的极限，记为Jim/(x)=A,

或/(x)7A(当x7+8)(lim/(x)=A，或/(x)7A(当x—>-8))。

X—>—oo

2：lim/(x)=A=limf(x)=limf(x)=A。

XT8XT+ooXT-oo

3：若lim/(x)=A,就称y=A为y=/(x)的图形的水平渐近线(若lim/(x)=A或

XT8X—>-K»

lim/(x)=A,有类似的渐近线)。

x—>-oo

(四)函数极限的性质

定理(保号性):设lim/(x)=A,

XT*。

(i)若A>0(A<0),则三6>0,当x€U(£,3)时，/(x)>0(/(x)<0)o

(ii)^/(x)>0(/(x)<0),必有ANO(AWO)。

第四节无穷小与无穷大

教学目的：1.使学生理解无穷小的概念及性质；

2.使学生理解无穷大的概念，无穷大与无穷小的关系；

3.掌握无穷小的比较方法.

(-)无穷小

若/(X)当X-»X。或X->+8时的极限为零，就称/(X)为当X->X。或X->+8时的无穷

小，即有

定义1：对义£>0,若mb>O(X>0),使得当O<|x-Xo|<b(W<XW4,有|/(x)|<£成立,

就称/(x)为当x->x()(x7+8)时的无穷小，记为lim/(x)=0(lim/(x)=0)»

x-»x0X-»+<*•

注1:除上两种之外，还有X—>-oo,X—>+8,x-»X。-0,x7X。+0的情形。

2：无穷小不是一个数，而是一个特殊的函数(极限为0),不要将其与非常小的数混淆，因为

任一常数不可能任意地小，除非是0函数，由此得：0是唯一可作为无穷小的常数。

定理：当自变量在同一变化过程XT%(或X78)中时：

(i)具有极限的函数等于其极限与一个无穷小之和，即：4为/(x)的极限=/(》)-A为无穷

小。

(ii)若一函数可表示为一常数与无穷小之和，那么该常数就是其极限。

定理：有限个无穷小的和仍为无穷小，即设lima=0』im夕=0nlim(a+£)=0。

定理：有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小，即设〃有界，Iima=0nlim〃a=0。

注1：〃与a都表示函数i，(x)与a(x),而不是常数。

2：“lim”下放没标自变量的变化过程，这说明对/及X78均成立，但须同一过程

推论1：常数与无穷小的乘积仍为无穷小，即若k为常数，lima=Onlim女a=0。

推论2：有限个无穷小的乘积仍为无穷小，设

lima,=lima,=.......=lima,,=0n\im{a](x2........an)=0«

二、无穷大

若当XT/或XT8时/(x)78,就称/(》)为当》一＞/或工78时的无穷大。

定义2：若对VM＞0,皿＞0(X＞0),使得当0＜卜一与卜5(国＞X)时,有依x)|＞M,就

称/(x)当x7x(xT8)时的无穷大，记作：lim/(x)=8(lim/(x)=8)。

0x—X—»8

注1:同理还有/(X)T—8,/(X)7+8时的定义。

2:无穷大也不是一个数，不要将其与非常大的数混淆。

3：若lim/(x)=8或lim/(x)=8,按通常意义将，/(x)的极限不存在。

定理：当自变量在同一变化过程中时，

(i)若/(x)为无穷大，则」一为无穷小。

“X)

(ii)若/(x)为无穷小，且/(x)HO,则」一为无穷大。

/(x)

第五节极限四则运算法则

教学目的：使学生掌握极限的四则运算法则，并会利用它们求极限；

教学重点：有理函数极限的计算；

极限四则运算法则

由极限定义来求极限是不可取的，也是不行的，因此需寻求一些方法来求极限。

定理L若lim/(x)=A/img(x)=8,则lim"(x)±g(x)]存在,且

lim[/(x)±g(x)]=A±B=limf(x)±limg(x)o

注：本定理可推广到有限个函数的情形。

定理2：若lim/(x)=A/img(x)=5,则lim/(x)・g(x)存在，且

lim/(x)g(x)=AB=lim/(1)•limg(x)。

推论1：\im[cf(x)]=clim/(x)(c为常数)。

推论2：lim"(x)]〃=[lim/(x)]〃(〃为正整数)。

定理3：设lim/(x)=A,limg(x)=8H0,!fli]lim^^=-=hm/(V)»

g(x)Bhmg(x)

注：以上定理对数列亦成立。

定理4：如果夕(x)2”(x),且limp(x)=a,lim〃(x)=匕，则a2b。

推论1：设/(x)=a()x"+%x"T+........+%_/+*为一多项式，当

，

lim/(x)=aoxo'+axx0"~'+......+an_ix0+an=/(x0)o

推论2：设尸(x),Q(x)均为多项式，且。(Xo)HO,则lim也=£豆2。

-Q(x)Q(x0)

注：若0（/）=0,则不能用推论2来求极限，需采用其它手段。

第六节极限存在准则、两个重要极限

教学目的：1使学生掌握极限存在的两个准则；并会利用它们求极限;

2使学生掌握利用两个重要极限求极限的方法；

教学重点：利用两个重要极限求极限

准则I：如果数列X”方,Z,满足下列条件:

⑴对V〃,yn<xn<Zn；

（ii）limy=limz〃=a

”一>oonM—>oo

那么,数列的极限存在，且

x”〃li一m>8xn=a.

准则「：如果函数y（x）,g（x）,力（光）满足下列条件:

(i)当xeU(x；/)(|x|>M)时，有g(x)</(x)W〃(x)。

(ii)当x—>Xy(x-1°°)时，有g(x)->4/z(x)—>A。

那么当X-%。7°°)时，/(X)的极限存在，且等于A。

cinY

第一个重要极限：lim也二二1

1。x

作为准则I'的应用，下面将证明第一个重要极限：lim照=1。

KTOX

准则n：单调有界数列必有极限

如果数列X“满足：X,<X,<……<X„<……，就称之为单调增加数列；若满足:

X,>X2>……>X„>……，就称之为单调减少数列；同理亦有严格单增或单减，以上通称为

单减数列和严格单减数列。

如果,使得：x„<M(n=1,2,……),就称数列x“为有上界；若辿,使得:

x„>M(n=l,2,……),就称｛X,｝有下界。

准则H'：单调上升，且有上界的数列必有极限。

准则II":单调下降，且有下界的数列必有极限。

注1：山前已知，有界数列未必有