贵州省长顺县民族2023年高三最后一模数学试题含解析

2023年高考数学模拟试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再

选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布N£,32）,从中随机取一件，其长度误差落在区间（3,6）

内的概率为（）

（附：若随机变量自服从正态分布NQ,O2）,则）=6826%,

P(|i-2a<[<日+2o)=95.44%.)

A.4.56%B.13.59%C.27.18%D.31.74%

2.匕2—2x-37（X+2）5的展开式中,X5项的系数为（)

A.-23B.17C.20D.63

若与三互为共3+.蒯复数'则》+，=（

3.)

A.0B.3C.-1D.4

4.己知定义在R上的奇函数满足：/（%+2e）=-/（工）（其中e=2.71828.・・），且在区间［e,2e］上是减函数,

令。=殍，人=竿，c=*,则A。），/S）,/（c）的大小关系（用不等号连接）为（）

A.f(b)>f(a)>f(c)B.f(b)>f(c)>f(a)

C./(«)>/(/?)>/(c)D.

5.给定下列四个命题:

①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面相互平行;

②若一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面相互垂直;

③垂直于同一直线的两条直线相互平行;

④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.

其中，为真命题的是（）

A.①和②B.②和③C.③和④D.②和④

(2n<5

6.已知数列M｝满足：a〃))若正整数k(ki5)使得2+a2+...+a2=

(£N*aaa...a成

aa…Q一1,畛6212k

12n-l

立，则《=()

A.16B.17C.18D.19

7.已知三棱柱ABC-Agq的所有棱长均相等，侧棱AA/平面ABC,过力丐作平面a与8Q平行，设平面a与

平面ACQ。的交线为/,记直线/与直线48,BC,C4所成锐角分别为a,p,Y,则这三个角的大小关系为()

A.a>y>pB.a=p>y

C.Y>P>aD.a>p=Y

8.已知双曲线C：±—[=l(a>0,b>0)的左、右焦点分别为£、F抛物线y2=2px(p〉0)与双曲线。有相

。2枚1

同的焦点.设P为抛物线与双曲线C的一个交点，且cos/P〈F,=；,则双曲线。的离心率为()

A.或#B.&或3C.2或&D.2或3

9.若直线2x+y+m=0与圆x2+2x+y2-2y-3=0相交所得弦长为2/，则〃?=()

A.1B.2C.J5D.3

10.已知函数/(X)满足/(I一x)=/(l+x),当"1时，/G)=X-1,则{r『(x+2)>l}=()

A.{x[x<-3或x〉()}B.{r|x<0或x>2}

C.{¥卜<-2或%>。}D.{x|x<2^x>4)

11.已知函数〃x)=2sin(3x-a(A>0,(o>0),将函数/(x)的图象向左平移g个单位长度，得到函数g(x)的图象,

若函数g(x)的图象的一条对称轴是%=-,则3的最小值为

6

1255

A-6B3C-3D6

12.设等比数列5}的前〃项和为S,则“a+a<2a，，是“S<O”的()

nn1322n-\

A.充分不必要B.必要不充分

C.充要D.既不充分也不必要

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知「工3公="，则1-2卜x+1）„展开式彳2的系数为

0

14.《易经》是中国传统文化中的精髓，如图是易经八卦（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根

线组成（“一,”表示一根阳线，”■■”表示一根阴线），从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有两根阳线，四根

阴线的概率为.

15.已知双曲线=1（。＞0,匕＞0）的两条渐近线方程为y=±9x,若顶点到渐近线的距离为1,则双曲线方

。2万23

程为.

16.某部门全部员工参加一项社会公益活动，按年龄分为4B,C三组，其人数之比为5:3:2,现用分层抽样的方

法从总体中抽取一个容量为20的样本，若。组中甲、乙二人均被抽到的概率是］，则该部门员工总人数为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）如图，在四棱锥P-A6CD中，四边形A8C。为正方形，平面A8C0,点M是棱尸。的中点，

AB=2,PD=t（t＞0）,

(1)若r=2,证明：平面。M4J_平面尸BC；

4

(2)若三棱锥C-DBM的体积为-,求二面角B-DM-C的余弦值.

18.(12分)如图，在正四棱柱ABC。—A产FIR中，AB=l,A4=3,过顶点A,Q的平面与棱8今，OR分

别交于M,N两点(不在棱的端点处).

(1)求证：四边形AMQN是平行四边形；

(2)求证：40与AN不垂直；

(3)若平面AMQN与棱BC所在直线交于点p,当四边形AMQN为菱形时，求PC长.

19.(12分)如图，在四棱锥P-ABCD中，Q4_L底面AD1AB,AB//DC,AD=DC=AP=2,

AB=1,点E为棱尸。的中点.

(1)证明：BELDC.

(2)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；

(3)若F为棱PC上一点，满足求二面角尸—AB-尸的余弦值.

20.（12分）已知函数/（》）=竺，g（x）=x-cosx-sinx.

X

（I）判断函数gG）在区间（0,3兀）上零点的个数，并证明；

（H）函数/G）在区间（°，3兀）上的极值点从小到大分别为七，证明：仆）+小）<0

21.（12分）已知函数/（x）=^—

aex

（1）当”=1时，求函数/（X）在（0,/（0））处的切线方程；

（2）若函数/G0没有零点，求实数4的取值范围.

22.（10分）已知函数/（x）=alnx-竺，曲线V=/G）在点G,/（D）处的峨方程为2x-y-2-e=0.

X

（1）求a,匕的值；

（2）证明函数/G）存在唯一的极大值点x,且/（x）<21n2-2.

00

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.B

【解析】

试题分析：由题意R-3V&<3）=68.26%，R-6V&〈6）=95.44%，尸（3<&V6）=1（95.44%-68.26%）=13.59%.

故选B.

考点：正态分布

2.B

【解析】

根据二项式展开式的通项公式，结合乘法分配律，求得心的系数.

【详解】

0+2）5的展开式的通项公式为丁=C，X5-r.2,•.则

r+15

①Q—2x—3）出（-3）,则（x+2）5出心，该项为：（-3）-Co-2o-xs=-3xs.

②Q-2x-3）出（-2%）,则（x+2）5出,该项为：（一2）•。•21•资=-20x5；

5

③（X2-2x-3）出X2,则（x+2）5出X3,该项为：1-O.22.X5=40x5.

综上所述：合并后的X5项的系数为17.

故选：B

【点睛】

本小题考查二项式定理及展开式系数的求解方法等基础知识，考查理解能力，计算能力，分类讨论和应用意识.

3.C

【解析】

计算—=l+2i,由共轨复数的概念解得x，y即可.

1-1

【详解】

♦.•二=1+2，，又由共辄复数概念得：x=l,y=-2,

1-z

■-x+y=-\,

雌：C

【点睛】

本题主要考查了复数的运算，共辗复数的概念.

4.A

【解析】

因为/（x+2e）="/'Cr）,所以/（x+4e）=/（x）,即周期为4,因为/（X）为奇函数，所以可作一个周期[-2e,2e]

示意图,如图/G）在（0,1）单调递增，因为52＜25；,5*2：,23＜32；,2：＜3上.0＜，＜。＜A＜1，因此

/（Z?）＞/G）＞/（C）,选A.

________4________

点睛：函数对称性代数表示

（1）函数/"）为奇函数=/（x）=-/（-x）,函数/（X）为偶函数=/（£）=/（-x）（定义域关于原点对称）；

(2)函数，(x)关于点(a,b)对称=/(x)+/(-x+2a)=2b,函数f(x)关于直线无=机对称o/W=f(-x+2m),

(3)函数周期为T,则/(x)=((x+T)

5.D

【解析】

利用线面平行和垂直，面面平行和垂直的性质和判定定理对四个命题分别分析进行选择.

【详解】

当两个平面相交时，一个平面内的两条直线也可以平行于另一个平面，故①错误；由平面与平面垂直的判定可知②正

确；空间中垂直于同一条直线的两条直线还可以相交或者异面，故③错误；若两个平面垂直，只有在一个平面内与它

们的交线垂直的直线才与另一个平面垂直，故④正确.综上，真命题是②④.

故选：D

【点睛】

本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，是中档题.

6.B

【解析】

计算。22+…+。2=。-a+71-5,故。2+。2+...+〃2=。+k-16-a+1,解得答案.

67n”+I6I2kk+1k+l

【详解】

当〃26时，a=aa...aa-1=G+1)«-1,即-a+1,且a=31.

/i+l12M-1nnnnn+\n6

故a2+42+...+〃2=(〃-a)+(a—ci)+...+(a-ci)+〃-5=a—ci+〃-5,

67n7687n+1nzi+16

。2+。2+…+。2=。+k-i6=a+1,故左=17.

I2k*+lk+l

故选：B.

【点睛】

本题考查了数列的相关计算，意在考查学生的计算能力和对于数列公式方法的综合应用.

7.B

【解析】

利用图形作出空间中两直线所成的角，然后利用余弦定理求解即可.

【详解】

如图，DC=CC,CE=AC设。为AC的中点，。为CE的中点，

1I111II1I111

由图可知逐百且与平行的平面a为平面Aqq,所以直线/即为直线AR,

由题易知，^DAB,NQCB的补角，NRAC分别为a,(3,丫，

设三棱柱的棱长为2,

在AqAB中，DB=2^f5,AB=2,AD「2p,

/nARQ*)+4<6)A6

cosZDAB=---------------------=cosa=；

J2x2x2/1010

在AOyC中，OB=&T,BC=2,OC=y]5,

\/5)+4-vrr)/j/5

cosNOCB=-------------........=cosP=_；

।2x2x/1010

在APAC中，CD=4,AC=2,AD=2J5,

1I1

cosNDAC==—,/.cosa=­,

12G55

•.•cosa=cosP<cosy,.".a=。〉y.

故选：B

【点睛】

本题主要考查了空间中两直线所成角的计算，考查了学生的作图，用图能力，体现了学生直观想象的核心素养.

8.D

【解析】

设|「勺=根，|P号=〃，根据cosNP//=g和抛物线性质得出|尸勺=搭机，再根据双曲线性质得出团=7a,

〃=5a,最后根据余弦定理列方程得出。、。间的关系，从而可得出离心率.

【详解】

过P分别向x轴和抛物线的准线作垂线，垂足分别为M、N,不妨设|Pq|=m,|PEJ=",

为双曲线上的点，则|P£|TP1|=2a,即加一一=2a,得m=7a,n=5af

।27

「IZ7Z7IG4ADZ7Z7-L,e—e-549。2+4。2—25。2

又££=2c,在APEE中，由余弦定理可得==———----------

11211272x7ax2c

整理得c2-5ac+6a2=0,即e2—5e+6=0，•/e>l,解得e=2或e=3.

故选:D.

【点睛】

本题考查了双曲线离心率的求解，涉及双曲线和抛物线的简单性质，考查运算求解能力，属于中档题.

9.A

【解析】

将圆的方程化简成标准方程，再根据垂径定理求解即可.

【详解】

圆x2+2x+y2-2y—3=0的标准方程(x+1”+(y—I”=5，圆心坐标为(一1,1),半径为邪，因为直线2x+y+m=0

与圆光2+2%+,2_2,_3=0相交所得弦长为2/,所以直线2工+、+机=0过圆心,得2*(-1)+1+机=0,即加=1.

A

【点睛】

本题考查了根据垂径定理求解直线中参数的方法，属于基础题.

10.c

【解析】

简单判断可知函数关于X=1对称，然后根据函数/(x)=X-3的单调性,X--

X结合对称性，可得结果.

X

1x>0

【详解】

由/(1-x)=/(l+x),

可知函数/(X)关于X=1对称

当时，f(x)=x--,

X

可知/Q)=x-3在11，+8)单调递增

X

X-1=\

则Jx=>x=2

x>0

又函数/(X)关于X=1对称，所以/(0)=1

且/(x)在(-00,1)单调递减，

所以x+2<0或x+2>2,故x<-2或x〉0

{r|/(x+2)>1}={1k<-2或%>。}

所以

故选：C

【点睛】

本题考查函数的对称性以及单调性求解不等式，抽象函数给出式子的意义，比如：/(1-x)=/(l+x),

y(i-x)+/(i+x)=o,考验分析能力，属中档题.

11.c

将函数“X)的图象向左平移g个单位长度，得到函数8。)=2如(3'+半-今的图象，因为函数g(x)的图象的一条

对称轴是x=W所以sin(-^-+——；)=±1,即-^-+=----=—+kn,keZ,所以3=；+2&,ZeZ,又(O>0,所以

663363323

3的最小值为:.故选C.

12.A

【解析】

首先根据等比数列分别求出满足4+4<2%S<0的基本量，根据基本量的范围即可确定答案.

2/?-1

【详解】

｛。｝为等比数列,

若4+4<23成立，有q。2-2<7+1)<0,

因为42-2。+120恒成立,

故可以推出q<0且,

若J-<°成立，

当q=i时，，有q<o,

aG-q2"-i)

1-qzn-\

当4Hl时，有」-----------<0,因为一二>0恒成立，所以有4<0,

i-q1一4

故可以推出％<0,qwR,

所以“a+a<2a”是“S,<0”的充分不必要条件.

1322/»-1

故选：A.

【点睛】

本题主要考查了等比数列基本量的求解，充分必要条件的集合关系，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.—8

【解析】

先根据定积分求出〃的值，再用二项展开式公式即可求解.

【详解】

因为£公=（；不］2I,

=—x24=4

4

0o

所以〃=4

(X+1)4的通项公式为T=CrX14-r-Xr=CrXr

4

当厂=2时，T=OX14-r=。2工2=6工2

344

当厂=3时，T=C3X3=4%3

44

1

故2(x+1)"展开式中X2的系数为4+(-2)x6=-8

X

故答案为：-8

【点睛】

此题考查定积分公式，二项展开式公式等知识点，属于简单题目.

3

14.14

【解析】

观察八卦中阴线和阳线的情况为3线全为阳线或全为阴线各一个，还有6个是1阴2阳和1阳2阴各3个。抽取的两

卦中共2阳4阴的所有可能情况是一卦全阴、另一卦2阳1阴，或两卦全是1阳2阴。

【详解】

八卦中阴线和阳线的情况为3线全为阳线的一个，全为阴线的一个，1阴2阳的3个，1阳2阴的3个。抽取的两卦中

共2阳4阴的所有可能情况是一卦全阴、另一卦2阳1阴，或两卦全是1阳2阴。

6_3

•••从8个卦中任取2卦，共有C；=28种可能,两卦中共2阳4阴的情况有C；+C；=6,所求概率为P

28-14

_,3

故答案为：737。

14

【点睛】

本题考查古典概型，解题关键是确定基本事件的个数。本题不能受八卦影响，我们关心的是八卦中阴线和阳线的条数,

这样才能正确地确定基本事件的个数。

X23y2

15.

~4

【解析】

由已知2=正，即0=石力，取双曲线顶点（。,0）及渐近线，=在4,则顶点到该渐近线，1*-3］，=0的距离为

a33

Q2%23V2

IL、、二三,由题可知4=2,所以6=一尸，则所求双曲线方程为h-3二1.

Q呵S27344

16.60

【解析】

根据样本容量及各组人数比，可求得c组中的人数；由c组中甲、乙二人均被抽到的概率是:可求得c组的总人数,

即可由各组人数比求得总人数.

【详解】

4B,C三组人数之比为5:3:2,现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为20的样本,

则A,B,。三组抽取人数分别10,6,4.

C2121

设。组有〃人，则。组中甲、乙二人均被抽到的概率式=〃（；_]）=YY>

...解得〃=12.

该部门员工总共有小（5+3+2）=60人.

故答案为：60.

【点睛】

本题考查了分层抽样的定义与简单应用，古典概型概率的简单应用，由各层人数求总人数的应用，属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2

17.（1）见解析（2）-

【解析】

⑴由已知可证得ADJ■平面POC,则有AD1PC,在△PDC中，由已知可得DM1PC,即可证得PC_L平面ADM,

进而证得结论.

（2）过M作MNIIPD交。C于N,由M为尸。的中点，结合已知有MN1平面ABCD.

则匕…=匕，、”产;S・削=：,可求得，=4.建立坐标系分别求得面的法向量日=（2,—2,1）,平面

C-DtiMM-DnCJZA/JnCJ

DMC的一个法向量为折=（L0,0）,利用公式即可求得结果.

【详解】

（1）证明：•.•PD_L平面ABC。，ADu平面ABC。，

...ADLPD，又四边形ABCD为正方形，

/.AD1DC.

又PD、且PDcDC=D,

：.ADJ_平面PDCAD1PC.

△PDC中，t=PD=DC=2,M为PC的中点，

：.DM1PC.

又A。、Z）Mu平面APM,AD[}DM=D,

.'.PC1平面ADM.

•；PCu平面BBC,.♦.平面DMA±平面PBC.

(2)解：过M作MN//PD交DC于N,如图

为PC的中点、，：.MN（?PD,:.MN=；f.

-22

又产。，平面ABC。，，MN，平面ABC。.

V=V=—S•MN=-X_X22X_=•1=4.

C-DBMM-DBC3ADBC3223

所以PD=4,又PD、DA,。。两两互相垂直，以。P、DA.。。为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标

系.£>（0,0,0）,B（2,2,1）,C（0,2,0）,加（0,1,2）

设平面DBM的法向量方=G,y,z）,则

n-DB=0（2x+2y=0

<即〈

DMDM^Q'[y+2z=0'

令z=l,则x=2,y=—2..,.方=（2,—2,1）.

•••平面DMC的一个法向量为m=（1,0,0）

【点睛】

本题考查面面垂直的证明方法，考查了空间线线、线面、面面位置关系，考查利用向量法求二面角的方法，难度一般.

18.（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）PC=2.

【解析】

（1）由平面48vA与平面DCqq没有交点，可得与N£不相交，又A"与NQ共面，所以AM〃N£,同

理可证4V//Mq,得证；（2）由四边形4MqN是平行四边形，且|MN|H|ACJ,则AMQN不可能是矩形，所以

40与AN不垂直；（3）先证心AABM三放ACRM,可得“为的中点，从而得出8是尸。的中点，可得尸C.

【详解】

（1）依题意4M,C,N都在平面力c上,

1I

因此AMq平面4C,NC上平面AC,

I11

又AMq平面ABBA,NC、c平面DCCD,

平面ABBA^与平面0cqR平行，即两个平面没有交点，

则4W与NQ不相交，又A"与Nq共面，

所以AM〃N£,同理可证AN//MC/

所以四边形AMQN是平行四边形；

(2)因为M,N两点不在棱的端点处，所以师2<|8q=|ACJ,

又四边形AMQN是平行四边形，

则4MqN不可能是矩形，所以A"与AN不垂直；

(3)如图，延长交CB的延长线于点/>,

若四边形AMQN为菱形，则AM,易证RLABMMRaCRM,

所以BM=BM,即M为8凡的中点，

因此BM=1CC,且BM//CC,所以8M是APCC的中位线，

2111

则8是PC的中点，所以PC=2BC=2.

【点睛】

本题考查了立体几何中的线线平行和垂直的判定问题，和线段长的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推

理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，属中档题.

19.(1)证明见解析(2)0(3)3M

310

【解析】

(1)根据题意以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，写出各个点的坐标，并表示出航，定，由空间向量数量积

运算即可证明BE_L£>C.

(2)先求得平面PBD的法向量，即可求得直线BE与平面法向量夹角的余弦值，即为直线BE与平面PBD所成角的正

弦值；

(3)由F点在棱尸。上，设。户=九。月，再由8户，结合由空间向量垂直的坐标关系求得入

的值.即可表示出乔.求得平面£阴口平面/山尸的法向量，由空间向量数量积的运算求得两个平面夹角的余弦值，再

根据二面角的平面角为锐角即可确定二面角尸-9-尸的余弦值.

【详解】

(1)证明：PA_L底面ABC。，ADLAB,

以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

3、

VAD=DC=AP=2,45=1,点E为棱尸。的中点.

/.B(1,0,0),C(2,2,0),£>(0,2,0),P(0,0,2),E(l,l,l),

.•.诙=(0,1,1),反=(2,0,0),

BEDC=Q,

:.BEtDC.

(2)丽=(-1,2,0),丽=(1,0,-2),

设平面PBD的法向量为m=(x,y,z).

BD-m=0一x+2y=0

，代入可得1

PB-m=0x-2z=0

令y=l解得x=2,z=l,即而=（2』』）,

设直线BE与平面PBD所成角为a,由直线与平面夹角可知

n-5E|2y/3

sina=cos<n,BE>-\

V6xV2~~

所以直线BE与平面PBD所成角的正弦值为O.

⑶•.•阮=(1,2,0),CP=(-2,-2,2),AC=(2,2,0),

由F点在棱PC上,设京=九/=(-2X,-2X,2九),(0<X<1),

故/=配+区=(1一2九,2—2九,2九)(0<X<1),

由BFJ_AC,得乔.恁=2(1—2九)+2(2-2九)=0,

.3

解得=—>

4

设平面阳4的法向量为n=（a,b,c）,

a=0

n-AB=Q

由’得1113

n-BF=Q~—a+—b+—c=0

I222

令c=l,贝1］日=(0,—3,1)

取平面ABP的法向量Z=（0,1,0）,

17-nl_33M

则二面角F-AB-P的平面角a满足cosa

I，•幅「而一10'

由图可知，二面角F—A8—P为锐二面角，

故二面角F-AB-P的余弦值为迎.

10

【点睛】

本题考查了空间向量的综合应用，由空间向量证明线线垂直，求直线与平面夹角及平面与平面形成的二面角大小，计

算量较大，属于中档题.

20.（I）函数g（x）在区间（0,3兀）上有两个零点.见解析（H）见解析

【解析】

（I）根据题意，g'（x）=cosx-xsinx—cosx=—xsinx,利用导函数研究函数的单调性，分类讨论gG）在区间

（0,3兀）的单调区间和极值，进而研究零点个数问题；

（H）求导，/,（x）=ACOSA-SinA,由于/G）在区间（0,3兀）上的极值点从小到大分别为x,x,求出

X212

/（\）+/（2）=+qA=cos、+cosX2,利用导数结合单调性和极值点，即可证明出/G）+/G）＜0,

12

【详解】

解：（I）•_-^（x）=x-cosx-sinx,

z（x）=cosx-xsinx-cosx=-xsinx,

当xe（0,兀）时，...sinx＞0,...g'（x）＜0,

g（x）在区间（0,兀）上单调递减，gG）＜g（0）=0,

•••gG）在区间（0,兀）上无零点；

当尤e（兀,2兀）时，；sinx＜0,g'rG）＞0

・•・g（x）在区间（兀,2兀）上单调递增，g（7t）=-兀＜0,g（27i）=27i〉0

•••g（X）在区间（兀，2兀）上唯一零点；

当xe（2兀，3兀）时，•.•sinx＞0,二8’（》）＜0,

，g（x）在区间（2匹3兀）上单调递减,g（2兀）=2兀＞0,g（3兀）=-3兀＜0；

•1-g（x）在区间（2兀,3%）上唯一零点；

综上可知，函麴G）在区间（0,3兀）上有两个零点

「sinx、xcosx-sinx

（II）・・•/尤=——,/.f\x）=----------------,

XX2

由（I）知/G）在（o,n］无极值点；

在伍,2兀］有极小值点，即为；在（2兀,3兀］有极大值点，即明，

由xcosx-sinx=0,gpx=tanx,n=l2...

finnnnf

•：x＞x9tanx＞tan（x+兀），

212I

•.•gG)<o,g3兀-KO,g（2兀）＞0,g目＜0,以及＞=tanx的单调性,

3吟5n

X€'J,Xe271,

12

5兀)•（o5兀］

•/X,X+兀G2K,,由函数＞=tanx在2兀,〒单调递增,

21I

得X>X+兀,

21

八\工(\sinxsinx

/.f\x)+f\X)-----k+----a-=COSX+COSX

12xx12

12

K5吟

由丁=以为工在2n单调递减，得COSX<COSG+7l)=-COSX,

\乙）211

即COSX+COSX＜0,故/（X）+/G）＜o.

2112

【点睛】

本题考查利用导数研究函数的单调性和极值，通过导数解决函数零点个数问题和证明不等式，考查转化思想和计算能

力.

21.（1）2x-y-2=0.（2）a＞—

e2

【解析】

（1）利用导数的几何意义求解即可；

⑵利用导数得出gG）==的单调性以及极值，从而得出g（x）的图象，将函数的零点问题转化为函数图象的交

点问题，由图，即可得出实数a的取值范围.

【详解】

(1)当4=1时，/G)=-~,/'(x)=i

exex

二切线斜率左=尸(0)=2,又切点(0,-2)

切线方程为y+2=2(x—0),即2x—y—2=0.

(2)/(x)=0<^>---=1<^>---=a,tdg(x)=^~,令g'(x)=Z_i=0得尤=2

aexexexex

g，(x)>0nx<2；g'(%)<0=>x>2

g(x)的情况如下表:

(-00,2)

X22，+oo

g'(x)—

+0

g(x)单调递增极大值单调递减

当x=2时，8(犬)取极大值8(2)=-1