考向47 古典概型（重点）-备战2022年高考数学一轮复习考点微专题（新高考地区专用）

考向47古典概型1．（2021·山东·高考真题）甲、乙、丙三位同窗打算利用假期外出游览，约定每人从泰山、孔府这两处景点中任选一处，那么甲、乙两位同窗恰好选取同一处景点的概率是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】应用古典概型的概率求法，求甲、乙两位同窗恰好选取同一处景点的概率即可.【详解】甲、乙两位同窗选取景点的种数为，其中甲、乙两位同窗恰好选取同一处景点的种数为2，∴甲、乙两位同窗恰好选取同一处景点的概率为．故选：D2．（2013·广东·高考真题（文））从一批苹果中，随机抽取50个，其重量（单位：克）的频数分布表如下：分组（重量）

频数（个）

5

10

20

15

(1)根据频数分布表计算苹果的重量在的频率；(2)用分层抽样的方法从重量在和的苹果中共抽取4个，其中重量在的有几个？(3)在（2）中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在和中各有1个的概率．【答案】(1)(2)1个(3)【详解】试题分析：（1）用苹果的重量在[90，95）的频数除以样本容量，即为所求．（2）根据重量在[80，85）的频数所占的比例，求得重量在[80，85）的苹果的个数．（3）用列举法求出所有的基本事件的个数，再求出满足条件的事件的个数，即可得到所求事件的概率．试题解析：（1）重量在的频率为：；（2）若采用分层抽样的方法从重量在和的苹果中共抽取4个，则重量在的个数为：；（3）设在中抽取的一个苹果为，在中抽取的三个苹果分别为，从抽出的个苹果中，任取个共有，，，，，种情况．其中符合“重量在和中各有一个”的情况共有3种;设“抽出的个苹果中，任取个，重量在和中各有一个”为事件，则事件的概率．考点：1、古典概型及其概率计算公式；2、分层抽样方法．【方法点晴】本题考查古典概型问题，用列举法计算可以列举出基本事件和满足条件的事件，应用列举法来解题是这一部分的最主要思想．本题还考查分层抽样的定义和方法，利用了总体中各层的个体数之比等于样本中对应各层的样本数之比，属于基础题．1.求古典概型的基本步骤：(1)算出所有基本事件的个数n.(2)求出事件A包含的所有基本事件数m.(3)代入公式，求出P(A)．2.解题技巧：列出全部基本事件，找到符合条件的基本事件，再利用古典概型公式即可得到答案.古典概型(1)古典概型的特征：①有限性：在一次试验中，可能出现的结果是有限的，即只有有限个不同的基本事件；,②等可能性：每个基本事件出现的可能性是相等的.一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征——有限性和等可能性.(2)古典概型的概率计算的基本步骤：①判断本次试验的结果是否是等可能的，设出所求的事件为A；②分别计算基本事件的总数n和所求的事件A所包含的基本事件个数m；③利用古典概型的概率公式P(A)＝eq\f(m,n)，求出事件A的概率.(3)频率的计算公式与古典概型的概率计算公式的异同名称不同点相同点频率计算公式频率计算中的m，n均随随机试验的变化而变化，但随着试验次数的增多，它们的比值逐渐趋近于概率值都计算了一个比值eq\f(m,n)古典概型的概率计算公式eq\f(m,n)是一个定值，对同一个随机事件而言，m，n都不会变化【知识拓展】1．（2017·湖南·长郡中学一模（理））小王同学有三支款式相同、颜色不同的圆珠笔，每支圆珠笔都有一个与之同颜色的笔帽，平时小王都将笔杆和笔帽套在一起，但偶尔也会将笔杆和笔帽随机套在一起，则小王将两支笔的笔杆和笔帽的颜色混搭的概率是（）A． B． C． D．2．（2021·江西景德镇·模拟预测（理））蒲丰是18世纪的法国博物学家，曾在1777年出版的著作中提出了“投针问题”：取一张画有若干条等矩平行线的白纸，随机地向纸上投掷长度小于平行线间距的短针，记录下针与线的相交情况，可用来估计圆周率.蒲丰发现当短针长度恰好为平行线间距一半时，针线相交的概率为.现用针长为平行线间距一半的短针投掷5000次，记录下短针与线相交1590次，则此次投针实验中得到的圆周率的近似值约为（）A．3.12 B．3.13 C．3.14 D．3.153．（2021·上海普陀·模拟预测）已知函数的定义域为，值域为，则函数在定义域上存在反函数的概率为__．4．（2021·上海·模拟预测）一个袋中装有9个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，…，9，随机依次摸出两个球（不放回），则两个球编号之和大于9的概率是___________（结果用分数表示）.1．（2021·江西景德镇·模拟预测（理））若某台电脑每秒生成一个数字1或2，则该电脑运行三秒后生成的数字之和能被3整除的概率为（）A． B． C． D．2．（2020·广东·大沥高中模拟预测）要将甲、乙、丙、丁4名同学分到A、B、C三个班级中，要求每个班级至少分到一人，则甲被分到A班级的概率为（）A． B． C． D．3．（2021·广东中山·模拟预测）为提高学生的身体素质，加强体育锻炼，高三（1）班A，B，C三位同学进行足球传球训练，约定：球在某同学脚下必须传出，传给另外两同学的概率均为，不考虑失球，球刚开始在A同学脚下，经过5次传球后，球回到A同学脚下的概率为（）A． B． C． D．4．（2021·全国·模拟预测）湖泊不仅是中国地理环境的重要组成部分，还蕴藏着丰富的自然资源.综合实践活动课上，小王要从青海湖､西湖､千岛湖､纳木错等10个湖泊中随机选取3个进行介绍，则青海湖与纳木错至少有一个被选中的概率为（）A． B． C． D．5．（2021·全国·模拟预测（理））北京卫视大型原创新锐语言竞技真人秀节目《我是演说家》火爆荧屏，在某期节目中，共有名女选手和名男选手参加比赛.已知备选演讲主题共有道，若每位选手从中有放回地随机选出一个主题进行演讲，则其中恰有一男一女抽到同一演讲主题的概率为（）A． B．C． D．6．（2021·全国·模拟预测（理））下图是2020年我国居民消费价格月度涨跌幅度图（来源于国家统计局网站），现从12个月中任选3个月，则其中恰有两个月月度环比为正且月度同比不低于的概率为（）A． B． C． D．7．（2021·云南五华·模拟预测（理））一个学习小组有7名同学，其中3名男生，4名女生.从这个小组中任意选出3名同学，则选出的同学中既有男生又有女生的概率为（）A． B． C． D．8．（2021·上海·模拟预测）在报名的8名男生和5名女生中，选取6人参加志愿者活动，若男生甲和女生乙不同时参加，则事件发生的概率为__________(结果用数值表示)．9．（2021·黑龙江·哈尔滨市第六中学校模拟预测（理））投掷红、蓝两颗均匀的骰子，设事件：蓝色骰子的点数为5或6；事件：两骰子的点数之和大于9，则在事件发生的条件下事件发生的概率______．10．（2021·全国·模拟预测）一只口袋内装有个白球，个黑球，若将球不放回地随机一个一个摸出来，则第次摸出的是白球的概率为________．11．（2021·云南大理·模拟预测（文））2021年初，疫情防控形势依然复杂严峻，防疫任务依然艰巨．为了引起广大市民足够重视，某市制作了一批宣传手册进行发放．手册内容包含“工作区域防护知识”“个人防护知识”“居家防护知识”“新型冠状病毒肺炎知识”“就医流程”等内容．为了解某市市民对手册的掌握情况，采取网上答题的形式，从本市岁的答题的人群中随机抽取了100人进行问卷调查，统计结果如下频率分布直方图所示：（1）求的值，并求这组数据的中位数（结果保留两位小数）；（2）现从年龄在的人中利用分层抽样抽取5人，再从这5人中随机抽取2人参加座谈，求这两人来自不同年龄段的概率．12．（2019·新疆·克拉玛依市教育研究所三模（文））随着春暖花开，疆内外来我市旅游的游客不断增多，为提高旅游行业服务质量和水平，市旅游局对10家旅行社负责人进行了相关培训，并在培训结束后组织了测试，现得到10人考试成绩分别如下（满分100分）：75846590889578859882（1）以成绩的十位为茎、个位为叶作出10人成绩的茎叶图，并计算平均成绩与成绩的中位数；（2）从本次成绩在85分以上（含85分）的学员中任选2人，求2人成绩都在90分以上（含90分）的概率.1．（2020·山东·高考真题）现有5位老师，若每人随机进入两间教室中的任意一间听课，则恰好全都进入同一间教室的概率是（）A． B． C． D．2．（2011·浙江·高考真题（文））从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球,则所取的3个球中至少有1个白球的概率是()A． B． C． D．3．（2016·全国·高考真题（文））小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是A． B． C． D．4．（2020·全国·高考真题（文））设O为正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3点，则取到的3点共线的概率为（）A． B．C． D．5．（2019·全国·高考真题（文））生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为A． B．C． D．6．（2009·重庆·高考真题（理））锅中煮有芝麻馅汤圆6个，花生馅汤圆5个，豆沙馅汤圆4个，这三种汤圆的外部特征完全相同．从中任意舀取4个汤圆，则每种汤圆都至少取到1个的概率为A． B． C． D．7．（2013·全国·高考真题（文））从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是A． B． C． D．8．（2016·江苏·高考真题）将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是________．9．（2015·江苏·高考真题）袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为__________．10．（2014·山东·高考真题（文））海关对同时从三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量（单位：件）如下表所示，工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测．地区ABC数量/件50150100（1）求这6件样品中来自A，B，C三个地区商品的数量；（2）若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．11．（2015·北京·高考真题（理）），两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：组：10，11，12，13，14，15，16组：12，13，15，16，17，14，假设所有病人的康复时间互相独立，从，两组随机各选1人，组选出的人记为甲，组选出的人记为乙．（Ⅰ）求甲的康复时间不少于14天的概率；（Ⅱ）如果，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；（Ⅲ）当为何值时，，两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明）12．（2010·山东·高考真题（文））一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4.（1）从袋中随机抽取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；（2）先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求的概率1．【答案】C【分析】设三支款式相同、颜色不同的圆珠笔分别为，，，与之相同颜色的笔帽分别为，，，利用古典概型的概率能求出小王将两支笔和笔帽的颜色混搭的概率．【详解】解：设三支款式相同、颜色不同的圆珠笔分别为，，，与之相同颜色的笔帽分别为，，，将笔和笔帽随机套在一起，基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，，，，，共有6个基本事件，小王将两支笔和笔帽的颜色混搭包含的基本事件有：，，，，，，，，，共有3个基本事件，小王将两支笔和笔帽的颜色混搭的概率是．故选：C2．【答案】C【分析】利用古典概型的概率求解.【详解】由题意得：，解得，故选：C3．【答案】【分析】计算出基本事件的总数，从，，，中选个再排列可得存在反函数的的基本事件的个数，由古典概率公式即可求解.【详解】函数在定义域上存在反函数，只需要满足自变量和函数值一一对应，因此从，，，中选三个出来对应值域中的三个实数，即可满足题意，故函数在定义域上存在反函数的概率为.故答案为：.4．【答案】【分析】根据古典概型的概率公式即可求出．【详解】从9个球摸出两个球，基本事件总数为，当两个球编号之和小于等于9时，此时包含的基本事件有，即有种，所以取出两个球编号之和大于9的概率是．故答案为：．1．【答案】C【分析】根据题意写出三秒后生成数字的可能组合，判断能被3整除的情况，由古典概型的概率求法求概率即可.【详解】由题设，三秒后生成的数字可能为、、、、、、、，其中能被3整除的数有、，∴电脑运行三秒后生成的数字之和能被3整除的概率为.故选：C2．【答案】B【分析】根据题意，先将四人分成三组，再分别分给三个班级即可求得总安排方法；若甲被安排到A班，则分甲单独一人安排到A班和甲与另外一人一起安排到A班两种情况讨论，即可确定甲被安排到A班的所有情况，即可求解.【详解】将甲、乙、丙、丁名同学分到三个班级中，要求每个班级至少分到一人，则将甲、乙、丙、丁名同学分成三组，人数分别为1，1，2；则共有种方法，分配给三个班级的所有方法有种；甲被分到A班，有两种情况：甲单独一人分到A班，则剩余两个班级分别为1人和2人，共有种；二，甲和另外一人分到A班，则剩余两个班级各1人，共有种；综上可知，甲被分到班的概率为.故选：B.3．【答案】B【分析】由题可知传球共有32种可能，其中开始在A同学脚下，经过5次传球后，球回到A同学脚下的有10种，即求.【详解】由题可知，开始在A同学脚下，5次传球共有32种可能，，其中开始在A同学脚下，经过5次传球后，球回到A同学脚下的有10种，∴球回到A同学脚下的概率为.故选：B.4．【答案】B【分析】首先利用组合数公式求出基本事件总数，再求出青海湖与纳木错只有1个被选中与两个都被选中的事件数，最后根据古典概型的概率公式计算可得；【详解】解：从10个湖泊中任选3个的选法有（种），青海湖与纳木错只有1个被选中的选法有（种），青海湖与纳木错都被选中的选法有（种）.故所求事件的概率.故选：B5．【答案】B【分析】列出基本事件，利用古典概型概率计算公式求解即可.【详解】设两到题目为A,B题，所以抽取情况共有：AAA,AAB,ABA,ABB,BAA,BAB,BBA,BBB,其中第1个，第2个分别是两个女教师抽取的题目，第3个表示男教师抽取的题目，一共有8种；其中满足恰有一男一女抽到同一题目的事件有：ABA,ABB,BAA,BAB，共4种；故所求事件的概率为故选：B6．【答案】B【分析】首先根据题意得到月度环比为正且月度同比不低于的月份有：1月，2月，7月，8月，再利用古典概型公式求解即可.【详解】由图知：月度环比为正且月度同比不低于的月份有：1月，2月，7月，8月，恰有两个月月度环比为正且月度同比不低于的概率，故选：7．【答案】A【分析】既有男生又有女生的情况分为两种：名男生名女生，名男生名女生，然后利用组合数以及古典概型的概率计算公式求解出结果.【详解】因为既有男生又有女生包含两种情况：名男生名女生，名男生名女生，当选出的同学为名男生名女生时，选法数为种；当选出的同学为名男生名女生时，选法数为种，又总的选法数为种，故所求概率为：，故选：A.8．【答案】【分析】根据组合知识计算总的取法，再由间接法求出男生甲和女生乙不同时参加的取法，根据古典概型求解即可.【详解】13人中任选6人参加有种，再除去甲乙2人同时参加的情况有种，由古典概型可知.故答案为：9．【答案】【分析】首先根据古典概型的概率计算公式，求得，再求，由即可得解.【详解】设红蓝两颗骰子的点数分别为，，基本事件用表示，共有种情况，事件包含基本事件，，，，，，共6种，则，事件和事件同时发生的基本事件为，，，，，共5种，则，故事件发生的条件下事件发生的概率．故答案为：．10．【答案】【分析】利用排列数求出基本事件的总数以及第个球是白球的排法数，利用古典概率公式即可求解.【详解】将个白球和个黑球都看作是不同的，并将球一一摸出依次排成一排，每一种不同的排法看作一个基本事件，那么基本事项的总数为，其中第个球是白球的排法数为，故所求概率为，故答案为：11．【答案】（1），中位数为38.33；（2）【分析】（1）根据频率分布直方图中所有矩形面积和为1，可求得a值，根据频率分布直方图中中位数的求法，代入数据，即可得答案.（2）根据题意可得在中抽取2人，在中抽取3人，根据古典概型概率求法，结合组合数的公式，即可得答案.（1）因为频率分布直方图中所有矩形面积和为1，所以，解得，因为，所以中位数位于之间，设中位数为x，则，解得所以这组数据的中位数为38.33（2）因为的频率之比为，则按照分层抽样，在中抽取2人，在中抽取3人，则从这5人中随机抽取2人参加座谈，且这两人来自不同年龄段的概率.12．【答案】（1）作图见解析，；（2）【分析】（1）由茎叶图的概念作出茎叶图，由中位数与平均数的定义求解中位数与平均数；（2）用列举法结合古典概型的概率公式求解即可（1）本次测试成绩的茎叶图如下：成绩的中位数等于，平均成绩为；（2）不妨记成绩在85分以上（含85分）的5人分别为A、B、C、D、E且其中C、D、E的成绩在90分以上（含90分），则从5人中任取2人的不同取法共有如下10种：{A，B}、{A，C}、{A，D}、{A，E}、{B，C}、{B，D}、{B，E}、{C，D}、{C，E}、{D，E}.其中两人成绩都在90分以上（含90分）的有{C，D}、{C，E}、{D，E}这3种.所以在85分以上（含85分）的学员中任选2人，成绩都在90分以上（含90分）的概率为.1．【答案】B【分析】利用古典概型概率公式，结合分步计数原理，计算结果.【详解】5位老师，每人随机进入两间教室中的任意一间听课，共有种方法，其中恰好全都进入同一间教室，共有2种方法，所以.故选：B2．【答案】D【详解】试题分析：从装有个红球，个白球的袋中任取个球，共有基本事件种，则全取红球的基本事件只有一种，所以所取个球中至少有个白球的概率为，故选D.考点：古典概型及其概率的计算.3．【答案】C【详解】试题分析：开机密码的可能有，，共15种可能，所以小敏输入一次密码能够成功开机的概率是，故选C．【考点】古典概型【解题反思】对古典概型必须明确两点：①对于每个随机试验来说，试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；②每个基本事件出现的可能性相等．只有在同时满足①、②的条件下，运用的古典概型计算公式（其中n是基本事件的总数，m是事件A包含的基本事件的个数）得出的结果才是正确的．4．【答案】A【分析】列出从5个点选3个点的所有情况，再列出3点共线的情况，用古典概型的概率计算公式运算即可.【详解】如图，从5个点中任取3个有共种不同取法，3点共线只有与共2种情况，由古典概型的概率计算公式知，取到3点共线的概率为.故选：A【点晴】本题主要考查古典概型的概率计算问题，采用列举法，考查学生数学运算能力，是一道容易题.5．【答案】B【分析】本题首先用列举法写出所有基本事件，从中确定符合条件的基本事件数，应用古典概率的计算公式求解．【详解】设其中做过测试的3只兔子为，剩余的2只为，则从这5只中任取3只的所有取法有，共10种．其中恰有2只做过测试的取法有共6种，所以恰有2只做过测试的概率为，选B．【点睛】本题主要考查古典概率的求解，题目较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．应用列举法写出所有基本事件过程中易于出现遗漏或重复，将兔子标注字母，利用“树图法”，可最大限度的避免出错．6．【答案】C【详解】因为总的滔法而所求事件的取法分为三类，即芝麻馅汤圆、花生馅汤圆．豆沙馅汤圆取得个数分别按1.1.2；1，2，1；2，1，1三类，故所求概率为．7．【答案】B【详解】解法一：由排列组合知识可知，所求概率；解法二：任取两个数可能出现的情况为（1,2）、（1,3）、（1,4）、（2,3）、（2,4）、（3,4）；符合条件的情况为（1,3）、（2,4），故.8．【答案】【详解】基本事件总数为36，点数之和小于10的基本事件共有30种，所以所求概率为【考点】古典概型【名师点睛】概率问题的考查，侧重于对古典概型和对立事件的概率的考查，属于简单题.江苏对古典概型概率的考查，注重事件本身的理解，淡化计数方法.因此先明确所求事件本身的含义，然后一般利用枚举法、树形图解决计数问题，而当正面问题比较复杂时，往往利用对立事件的概率公式进行求解.9．【答案】【详解】试题分析：根据题意，记白球为A，红球为B，黄球为，则一次取出2只球，基本事件为、、、、、共6种，其中2只球的颜色不同的是、、、、共5种；所以所求的概率是．考点：古典概型概率10．【答案】（1）1，3，2；（2）.【分析】（1）由分层抽样的性质运算即可得解；（2）利用列举法，结合古典概型概率的计算公式，即可得解.【详解】（1）由题意，样品中来自A地区商品的数量为，来自B地区商品的数量为，来自C地区商品的数量为；（2）设来自地区的样品编号为，来自地区的样品编号为,,，来自地区的样