高中数学不等式的性质教学案

61不等式的性质

教学目标

i.理解不等式的性质，掌握不等式各个性质的条件和结论之间的逻辑关系，并掌握它们的证明方

法以及功能、运用；

2.掌握两个实数比较大小的一般方法；

3.通过不等式性质证明的学习，提高学生逻辑推论的能力；

4.提高本节内容的学习，：培养学生条理思维的习惯和认真严谨的学习态度；

教学建议

1.教材分析

(1)知识结构

本节首先通过数形结合，给出了比较实数大小的方法，在这个基础上，给出了不等式的性质，一共

讲了五个定理和三个推论，并给出了严格的证明。

知识结构图

(2)重点、难点分析

在“不等式的性质”•节中，联系了实数和数轴的对应关系、比较实数大小的方法，复习了初中学

过的不等式的基本性质。

不等式的性质是穿越本章内容的•条主线，无论是算术平均数与儿何平均数的定理的证明及其应

用，不等式的证明和解一些简单的不等式，无不以不等式的性质作为基础。

本节的重点是比较两个实数的大小，不等式的五个定理和三个推论：难点是不等式的性质成立的条

件及其它的应用。

①比较实数的大小

教材运用数形结合的观点，从实数与数轴上的点一一对应出发，与初中学过的知识”在数轴上表

示的两个数，右边的数总比左边的数大”利用数轴可以比较数的大小。

指出比较两实数大小的方法是求差比较法:

比较两个实数a与6的大小，归结为判断它们的差a-。的符号，而这又必然归结到实数运算的符

号法则.

比较两个代数式的大小，实际上是比较它们的值的大小，而这又归结为判断它们的差的符号.

②理清不等式的儿个性质的关系

教材中的不等式共5个定理3个推论，是从证明过程安排顺序的.从这几个性质的分类来说，可以

分为三类：

（I）不等式的理论性质：«35<•（对称性）

（a>b、

1°7c（传递性）

（II）一个不等式的性质：«+c>b+c

当时，a>bOaeybei

当《《阿，a>bOae<be

a〉A>O=a'>。*(。，〃>i)

<1〉9>0=%>崛("GN,/?>1)

S>b

"+c”

{c〉d

a>b>0

=>ac)bd

{c>d>Q

2.教法建议

本节课的核心是培养学生的变形技能，训练学生的推理能力.为今后证明不等式、解不等式的学习

奠定技能上和理论上的基础.

授课方法可以采取讲授与问答相结合的方式,通过问答形式不断地给学生设置疑问（即：设疑）；

对教学难点，再由讲授形式解决疑问.（BP：解疑）.主要思路是：教师设疑一学生讨论一教师启发一

解疑.

教学过程可分为：发现定理、定理证明、定理应用，采用由形象思维到抽象思维的过渡，发现定理、

证明定理.采用类比联想，变形转化，应用定理或应用定理的证明思路；解决一些较简单的证明题.

第一课时

aA

教学目标

1.掌握实数的运算性质与大小顺序间关系；

2.掌握求差法比较两实数或代数式大小；

3.强调数形结合思想.

教学重点

比较两实数大小

教学难点

理解实数运算的符号法则

教学方法

启发式

教学过程

-、复习回顾

我们知道，实数与数轴上的点是一一对应的，在数轴上不同的两点中，右边的点表示的实数比左边

的点表示的实数大.例如，在右图中，点4表示实数G,点8表示实数土，点/在点8右边,那么Q>3.

我们再看右图，。表示我减去士所得的差是个大于0的数即正数.•般地：

若士，则。-A是正数；逆命题也正确.

类似地，若，则。-A是负数：若，.》，则,一».0.它们的逆命题都正确.

这就是说：（打出幻灯片1）

aOa-3>0

<i-AOtf-A-0

a<bO<i-A<0

由此可见，要比较两个实数的大小，只要考察它们的差就可以了，这也是我们这节课将要学习的主

要内容.

.、讲授新课

1.比较两实数大小的方法一求差比较法

比较两个实数二与上的大小，归结为判断它们的差。-A的符号，而这又必然归结到实数运算的

符号法则.

比较两个代数式的大小，实际上是比较它们的值的大小，而这乂归结为判断它们的差的符号.

接卜.来，我们通过具体的例题来熟悉求差比较法.

2.例题讲解

例1比较>与Q*-的的大小.

分析：此题属于两代数式比较大小，实际上是比较它们的值的大小，可以作差，然后展开，合并同

类项之后，判断差值正负，并根据实数运算的符号法则来得出两个代数式的大小.

解：Q++

■(a'-2«-19-2a-8)

--7-(0

.(a-AY3+2X，-4).

例2已知X-。，比较(—+D与/+/+1的大小.

分析：此题与例1基本类似，也属于两个代数式比较大小，但是其中的X有一定的限制，应该在对

差值正负判断时引起注意，对了限制条件的应用经常被学生所忽略.

解-(：+/

.1+2x**1-x*-I

-K*

由X=0得X31>0,从而

+D'7+—+1

请同学们想一想，在例2中，如果没有“.0这个条件，那么比较的结果如何？

(学生回答：若没有X"。这一条件，贝IJ-20,从而(/♦炉大于或等于+/+1)

为了使大家进•步掌握求差比较法，我们来进行下面的练习.

三、课堂练习

1.比较*必+力与（x*6’的大小.

2.如果*>0,比较（石-。‘与（石+D,大小.

3,已知。*°，比较（舒+屈+1乂信+D与（="++1）的大小

要求：学生板演练习，老师讲评，并强调学生注意加限制条件的题目.

课堂小结

通过本节学习，大家要明确实数运算的符号法则，掌握求差比较法来比较两实数或代数式的大小.

课后作业

习题6.11.2,3.

板书设计

§6.1.1不等式的性质

1.求差比较法例1学生

例2板演

第二课时

教学目标

1.理解同向不等式，异向不等式概念；

2.掌握并会证明定理1,2,3；

3.理解定理3的推论是同向不等式相加法则的依据，定理3是移项法则的依据:

4.初步理解证明不等式的逻辑推理方法.

教学重点：定理1,2,3的证明的证明思路和推导过程

教学难点：理解证明不等式的逻辑推理方法

教学方法：引导式

教学过程

一、复习回顾

上一节课,我们一起学习了比较两实数大小的方法，主要根据的是实数运算的符号法则,而这也是推

证不等式性质的主要依据,因此，我们来作一下回顾：

回咎।a>-A4>-0

a

。“QdfY。

这•节课，我们将利用比较实数的方法，来推证不等式的性质.

二、讲授新课

在证明不等式的性质之前,我们先明确下同向不等式与异向不等式的概念.

1.同向不等式：两个不等号方向相同的不等式，例如2A4+13?A2是同向不等

式.

异向不等式：两个不等号方向相反的不等式.例如：a"+3A2♦a'Yd-5是异向不等式

2.不等式的性质：

定理1：若,则&Y,若bYdjBtfYd

定理1说明，把不等式的左边和右边交换，所得不等式与原不等式异向.在证明时，既要证明充分性，

也要证明必要性.

证明：a>-b,

：.«-*>0

由正数的相反数是负数，得

-<0

b-aY。

说明：定理i的后半部分可引导学生仿照前半部分推证，注意向学生强调实数运算的符号法则的应用.

定理2：若且4>c,则aAc.

证明：瓦»Ac

.。—A>0.£>一。>0

根据两个正数的和仍是正数，得

a-c>0

二a>c说明：此定理证明的主:要依据是实数运算的符号法则及两正数之和仍是正数.

定理3：若4>5,则a+c>A+c

定理3说明，不等式的两边都加上同一个实数，所得不等式与原不等式同向.

证明..8+。-0+。)

・of>0

・・.a^c〉8+E

说明：⑴定理3的证明相当于比较a+c)与的大小，采用的是求差比较法；

(2)不等式中任何一项改变符号后，可以把它从一边移到另一边，理由是：根据定理3可得出：若

贝a+*+(-A)+(f)即

Ij>ca>c-b.

定理3推论：若dAA,且C则"eA"」

证明：•；6），，

a^c>b^c①

vc>d

②

由①、②得a+e>A+d

说明：(1)推论的证明连续两次运用定理3然后由定理2证出；

(2)这一推论可以推广到任意有限个同向不等式两边分别相加，即：两个或者更多个同向不等式

两边分别相加，所得不等式与原不等式同向；

(3)两个同向不等式的两边分别相减时，就不能作出一般的结论；

(4)定理3的逆命题也成立.(可让学生自证)

三、课堂练习

1.证明定理1后半部分；

2.证明定理3的逆定理.

说明：本节主要目的是掌握定理1,2,3的证明思路与推证过程，练习穿插在定理的证明过程中进行.

课堂小结

通过本节学习，要求大家熟悉定理1,2,3的证明思路，并掌握其推导过程，初步理解证明不等式

的逻辑推理方法.

课后作业

1,求证：若收»与在

2,证明：若"+&

板书设计

§6.1.2不等式的性质

1.同向不等式3.定理24.定理35.定理3

异向不等式证明证明推论

2.定理1证明说明说明证明

第三课时

教学目标

1.熟练掌握定理1,2,3的应用；

2.掌握并会证明定理4及其推论1,2；

3.掌握反证法证明定理5.

教学重点：定理4,5的证明.

教学难点：定理4的应用.

教学方法：引导式

教学过程：

一、复习回顾

上一节课，我们一起学习了不等式的三个性质，即定理1,2,3,并初步认识了证明不等式的逻辑

推理方法，首先，让我们来回顾•下三个定理的基本内容.

（学生回答）

好，我们这一节课将继续推论定理4、5及其推论，并进•步熟悉不等式性质的应用.

二、讲授新课

定理4：若"AA且cA°J#acA七

若aAA且cYOJMCKY&c

证明：ac-bc-（a-4）c

\a>-b

根据同号相乘得正，异号相乘得负，得

当,即

ac>-bcr,

ac-<be

说明：（1）证明过程中的关键步骤是根据“同号相乘得正，异号相乘得负”来完成的;

（2）定理4证明在一个不等式两端乘以同一个正数，不等号方向不变：乘以同一个负数，不等

号方向改变.

推论］.若。AAA0.且。A。JBocAArf

证明0

.".ac>-bc①

又

：.be>-bd②

由①、②可得RAM.

说明：（1）上述证明是两次运用定理4,再用定理2证出的；

（2）所有的字母都表示正数，如果仅有《>"就推不出kAM的结论.

<3）这推论可以推广到任意有限个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘,这就是说，

两个或者更多个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘，所得不等式与原不等式同向.

推论2：若aAAAOjBa'AlfijitAD

说明：（1）推论2是推论1的特殊情形；

（2）应强调学生注意〃GN且XA1的条件.

定理5：若aAAAOj（而A崛QeNHKAD

我们用反证法来证明定理5,因为反面有两种情形，即如Y班和口■近,所以不能仅仅

否定了无Y崛，就，，归谬”了事，而必须进行“穷举”.

说明：假定垢不大于非，这有两种情况：或者。Y逐，或者%■立

由推论2和定理1,当玄Y福'时，有,Y3；

当痴■第时，显然有a-A

这些都同已知条件。A.4。矛盾

所以班A军.

接下来，我们通过具体的例题来熟悉不等式性质的应用.

例2已知。Yd.求证：。一eAA-d.

证明：由-3A°曲cY^SM-CAD

'"a-c-(fr-rf)

■(a-A)*(rf-。)AO

工。一cAA-d

aAAAYA一.

例3已知ab

证明：•：。ASA0.

JL舟

两边同乘以正数ab,

说明：通过例3,例4的学习，使学生初步接触不等式的证明，为以后学习不等式的证明打下基础.

在应用定理4时，应注意题目条件，即在一个等式两端乘以同一个数时，其正负将影响结论.接下来，

我们通过练习来进一步熟悉不等式性质的应用.

三、课堂练习

课本R练习1,2,3.

课堂小结

通过木节学习，大家要掌握不等式性质的应用及反证法证明思路，为以后不等式的证明打下一定的

基础.

课后作业

课本习题6.14,5.

板书设计

§6.1.3不等式的性质

定理4推论1定理5例3学生

内容内容

证明推论2证明例4练习

不等式的几个性质

不等式的性质是后继学习的基础，熟练掌握并能灵活运用不等式的性质，是提高解题准确性和快捷

性的关键。这里介绍一些课本中没有直接列出而在解题中经常遇到的性质，以供参考。

1.乘方、开方性质

1）若“>5,则有：

①尸

3）若。<,</<3,则一石<x<-石或石〈X〈而。

2.取倒数性质

1）若a>A>0或则。b„

2）若0<，<工<3或。<z<A<0,则。

3.取绝对值的性质

2）若且①当”-0时，有卜仆；

3）当5《n时，有卜1《“。

4.有关分数的性质

若"且。“，则

1）真分数的性质：

b.A<-w

①a。+内：

②。O一加。

2）假分数的性质：

①b；

-<-―

②Ao-nt。

说明：1）是真分数的性质，可简述为：真分数越加越大，越减越小。2）是假分数的性质，可简述

为：假分数越加越小，越减越大。

以上性质都可由基本不等式或绝对值的定义，通过简单推导而得到，作为练习，其证明均留给读者。

对以上不等式，建议大家熟练掌握，这对加快解题速度有帮助。

定理4的推论1和2及定理5的证明参考

定理4的推论1：如果a>3>0,那么c>d>0,那么或

证法1.a>0

/.acybc

,,,c>d,b>0

，bcybd〉渗透综合法证题程序.

从而：ac〉bd<--------->

证法2.ac-bd=ac-be^bc-bd

=3-b)c+b(c-d)实数性质

又Ya>b>09c>d>0

，a-b>O,c-d>0,c>0,Z>>0--------(j赢亶

从而：(以-b)c+8(c-d)>0

・.・渗透比较法的证明方法.<------rsiSB

定理4的推论2：如果a>b>0,那么a*>bK(«eN,«>1)

证法i.aybyo

a-a>b-b>0,即/>o

/.a-a1>bb2>0,即>o

依次可得：a*〉N

证法2.

,/aK>bK=(a-2>)(a*-】+ax-2b+，嚎2+…+白产+产)-<—

又a>5>0

/.a-8>0,，T>0,af>0/3也>o…，的-2>o,/i>o

(a-b)(a^+a^3b+ax-3b2H--Ft72>»_2+2>»-1)>0-----G凝

定理5：如果&＞小＞0,那么标＞四(MGN,n＞l)

证法1.(反证法)

假设指〈超或标=物.作出与结论相反假设

当扬＜蛎，可得a＜儿

当指=正，可得”上

均于以＞6＞0矛盾.

：.%＞纸.——ug假设，肯定豌〉

证法2.令p=流,q=n.

则q*=ba

a-b=px-qx

-

=(p-q)(pL】+p«2q+p«-3q2+・・・+9.gL2+qL】)

/F=*+*"：，产+尸——土亘)

,/a>2)>0,p>0,q>Q.pLi+pL2q+...+p/-2+q”i>o

...1——

*+pfq+…+pq*-»+/、--J

也就是：p>q.

即：扬>探.

巧用不等式性质速求物理量极值

极值问题是物理应用中常见问题之一，解决这类问题的方法有几种，如二次函数配方法、：次方程

判别法、三角函数法、儿何作图法，对于同•问题采取方法不同，其效果往往并一样。如果•类问题，

涉及到两个变量和为定值，求相应量极值问题，即定和求积觅极值。就可用不等式性质求极值，收到事

半功倍的效果。

《（也尸

假设有变量工、；，且X>0、>>°，则一定有2

4

如果*+（定值），则当*时，*7有极大值为4

图2例：如图i,粗细均匀的玻璃管长厘米，开口向上竖直放置时，上端齐管口

有一段A—25厘米的水银柱封闭着27・空气柱，大气压强为门.75厘米汞柱，现使

空气柱温度逐渐升高，问欲使管内水银全部溢出，温度至少升到多高？

图1

解：设管内空气柱温度升高到T（开），管内尚有水银柱工厘米，管的横截面积为S,则有

5+•)«-•>&_5**)«-*>X

T

将数据代入，整理得:

（75+x）（100-x）

25

如果再变为有关工的二次函数求极值，解答就较为复杂，由于+力-175为常数,

所以当05-乃-（100+卮时，即当才.125厘米时，T有极大值为==306.25（开）。

例2：如图2所示电路中，已知电源电动势63r内阻R-0.5Q,定值电阻K.小，

4，号是总阻值为5Q的滑动变阻器，闭合电键K,调节变阻触点，求通过电源的最小电流？

解：士-i、4、号与电源组成的电路实际上是双臂环路，

通过电源电流最小时，实际对应总电阻最大，设AP段阻值为X,那么:

&4+/+&10

由于（2+可+制+可T0（定值）

所以当2+L8-*时，即L3Q时，/仃最大值，4・■2.50,因此通过电源电流

J-----=---------———2.1

j25+0.5⑷

以上分析可看出，利用不等式性质求极值不失为一种好方法，我们不妨试•试。

中学数学授课的九种开头方式

常方平

教学方法俗话说：“万事开头难”。想上好一堂数学课，有一个好的开头是很关键

的。11年来，我一直努力地探索和试验着数学授课的开头，现总结九种中学数学授课的

开头方法，与同行商榷。

1.发现法

它是根据中学生好奇的心理特点，一上课就给学生提供一定的材料，让学生充分发

现和解决问题的一种方法。如，学习“空间两个平面的位置关系”时，可先让学生认真

观察教室的墙壁、天花板、桌面、地面等之间的关系，积极发现了空间两个平面的两种

位置关系。学生心理上有了满意感，使后面学习有饱满的精神。

2.研究法

它是根据中学生爱争论的心理特点，一上课就给学生一定的问题，让他们充分讨论

的一种方法。如，学习“指数函数的性质”时，先用小黑板把函数）・^利/・。，为“

的图象挂出，让学生前后左右充分讨论这两种函数所具有的性质，使后面推广研究指数

函数尸/（a>°3♦6的性质及应用，进展十分顺利。

3.反馈法

它是根据信息论的反馈原理，--上课就给学生提出一些问题，根据学生的反馈效果,

给予肯定或纠正后引入新课的一种方法。如，学习“同角三角函数的基本关系式的应用”

时，先向学生提问同角三角函数的八个基本关系式以及各个关系式的变形式，知道学生

熟练记忆同角三角函数的关系式后，学习它在求值、化简、三角恒等式证明的应用顺其

自然。

4.趣引法

它是根据中学生爱听故事的心理特点，一上课就以有趣故事开头的一种方法。如，

学习“球冠”时:开头给学生讲这样一个故事：唐僧一行四人上西天取经，行至一个前

不着村后不靠店的大山中，渴饿万分，让猪八戒去化缘，老猪在一个山沟里发现一大球

型西瓜端起正要去吃，一妖怪一刀将西瓜刮去一部分，吓得它把手中的西瓜往头一扣，

腾云逃回。孙悟空、沙僧看着猪八戒头上的西瓜，笑着说：“好一个球帽子“。球帽子

就是球冠。接着叙述球冠，学生很容易接受。

5.类推法

它是利用学生已有的某种知识，一上课就由这种知识类似地推出另一种知识的方法。

如，学习“孤度制”时，先让学生回忆角度制中角的化分单位的方法，再引入孤度制，

学生十分容易理解.

6.实例法

它是根据中学生对周围事物易作直觉思维的特点，一上课就举出学生熟知的生活实

例的一种方法。如，学习“二面角”时，先把一本书打开，让学生看到书两部分所成的

角，对二面角有一个感性认识，使后面研究二面角很方便。

7.强调法

它是根据中学生对有意义的东西有兴趣的特点，一上课就叙述本课时的重要意义的

一种方法。如，学习“复数”时，先强调：有一种新数，十八世纪以后，它就在数学、

力学和电学中得到了应用，现在已成为科学技术中普遍使用的•种工具。它就是复数。

然后由数的概念的推广引入复数，学生听得聚精会神。

8.设疑法

它是根据中学生爱追根求源的心理特点，一上课就给学生创设些疑问的•种方法。

如，学习“球的体积”时，先给学生提出：我们能不能利用前面柱、锥体的体积公式推

出球的体积公式呢？将•个底面半径和高都等于球半径的圆柱，挖去一个以圆柱的上底

面为底面、下底面圆心为顶点的圆锥，剩余的体积与半球的体积会相等吗？学生带着这

样的疑问，使球的体积公式的推导十分顺利。

9.直接法

它是一上课就把要解决的问题提出来的一种方法。如，学习“三垂线定理”时，先

把定理的内容板书在黑板上，让学生分清定理的条件与结论后，证明过程十分容易进展。

以上中学数学授课的九种开头方法的运用，•般是新概念学习课用发现法、研究法、

趣引法、实例法、类推法，新定理学习课用设疑法、直接法，习题课及复习课用强调法、

反馈法等。但根据学生的临课情况，可灵活变更授课的开头方法，象习题课及复习课有

时也可用发现法、研究法、趣引法等。新概念学习课有时也可用强调法、反馈法等。

以上中学数学授课的九种方法，通过数年的试验，效果良好。如战前动员的力量，

一席话能使千军万马群情振奋，所向披靡。学生在适当的授课开头作用下，学习积极性

高，精神饱满，活动踊跃，听练主动。但