第二章 一元二次函数、方程和不等式 尖子生培优卷 - 2021-2022学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第二章一元二次函数、方程和不等式尖子生培优卷一、单选题。本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合题意。1．设实数满足，则的最小值为（）A．0 B．2 C． D．2．是不同时为0的实数，则的最大值为（）A． B． C． D．3．已知函数，若存在两相异实数使，且，则的最小值为（）A． B． C． D．4．已知关于x的不等式，下列结论正确的是（）A．当时，不等式的解集为B．当时，不等式的解集可以为的形式C．不等式的解集恰好为，那么D．不等式的解集恰好为，那么5．已知，不等式在上恒成立，则（）A． B． C． D．6．设，则的最小值是（）A．7 B．6 C．5 D．47．设，，则三个数（）A．都小于4 B．至少有一个不大于4C．都大于4 D．至少有一个不小于48．设正实数满足，不等式恒成立，则的最大值为（）A． B． C． D．二、多选题。本大题共4小题，每小题5分，共20分，每小题有两项或以上符合题意。9．设正实数x，y满足，则（）A．的最大值是 B．的最小值是9C．的最小值为 D．的最小值为210．若，，则下列结论中一定正确的是（）A． B．C． D．若，则的最小值为11．下列关于基本不等式的说法正确的是（）A．若，则的最大值为B．函数的最小值为2C．已知，，，则的最小值为D．若正数数x，y满足，则的最小值是312．下列结论中，正确的结论有．A．如果，那么取得最大值时的值为B．如果，，，那么的最小值为6C．函数的最小值为2D．如果，，且，那么的最小值为2三、填空题。本大题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知实数，，满足，则的最大值是________．14．若不等式对任意的恒成立，则的最大值为_____．15．已知正实数a，b满足，则的最小值为___________.16．已知，，当最小时，恒成立，则的取值集合是___________.四、解答题。本大题共6小题，共70分，解答过程必修有必要的文字说明，公式和解题过程。17．（1）若，求的最小值；（2）若恒成立，求的取值范围.18．已知函数（）．（1）若不等式的解集为，求的取值范围；（2）当时，解不等式；（3）若不等式的解集为，若，求的取值范围．19．（1），比较与的大小；（2）已知，求代数式的最小值及取最小值时的值.20．已知函数满足对任意的实数都有成立，且当都有成立.（1）若求的表达式；（2）设，若函数图像上的点都位于直线的上方，求实数的取值范围.21．已知函数，，.（1）若函数在上有零点，求的取值范围；（2）若对任意的，总存在，使得，求的取值范围.（3）设，记为函数在上的最大值，求的最小值.22．党的十九大报告指出，建设生态文明是中华民族永续发展的千年大计.而清洁能源的广泛使用将为生态文明建设提供更有力的支撑.沼气作为取之不尽、用之不竭的生物清洁能源，在保护绿水青山方面具有独特功效.通过办沼气带来的农村“厕所革命”，对改善农村人居环境等方面，起到立竿见影的效果.为了积极响应国家推行的“厕所革命”，某农户准备建造一个深为2米，容积为32立方米的长方体沼气池，如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，沼气池盖子的造价为3000元，问怎样设计沼气池能使总造价最低，最低总造价是多少?参考答案1．C【解析】解：设，则，，，，，，设，，，即，解得或（舍去），的最小值是，故选：．2．A【解析】因为a，b均为正实数，则，当且仅当，且取等，即取等号，即则的最大值为，故选：A．3．B【解析】由题意知：当有，∵知：是两个不等的实根.∴，而，∵，即，∴，令，则，∴当时，的最小值为.故选：B4．A【解析】对于A，由得，又b＜1，所以．所以不等式a≤x2－3x＋4≤b的解集为，故A正确；对于B，在同一平面直角坐标系中作出函数y＝x2－3x＋4＝(x－2)2＋1的图象及直线y＝a和y＝b，如图所示．由图知，当a＝2时，不等式的解集为的形式，故B错误；对于CD，由的解集为，知a≤ymin，即a≤1，因此当x＝a，x＝b时函数值都是b．由当x＝b时函数值是b，得b2－3b＋4＝b，解得b＝或b＝4．当b＝时，由a2－3a＋4＝b＝，解得a＝或a＝，不满足a≤1，不符合题意，故CD错误．故选：A.5．D【解析】解：∵，且，∴，∴，∴，∵上述不等式恒成立，∴，即（否则取，则左边，矛盾），此时不等式转化为，∴，解得，∴，故选：D．6．C【解析】由题意知且则（1）若则，当且仅当，即，时取等号。（2）若则当且仅当，即，时取等号。时取等号，综上的最小值为.故选：7．D【解析】假设三个数且且，相加得：，由基本不等式得：；；；相加得：，与假设矛盾；所以假设不成立，三个数、、至少有一个不小于4．故选．8．A【解析】设，则所以当且仅当即时取等号所以的最小值是，则的最大值为.故选A9．BC【解析】对于A，，，当且仅当即，时等号成立，故A错误；对于B，，当且仅当即时等号成立，故B正确；对于C，由A可得，又，，当且仅当，时等号成立，故C正确；对于D，，所以，当且仅当，时等号成立，故D错误；故选：BC.10．ACD【解析】对于A，由，，，所以，所以，成立；对于B，当时，，所以B不正确；对于C，由，，可得，所以，所以，等号不成立，所以；对于D,由，得，所以.当且仅当，即时，取得最小值4，故选：ACD.11．AC【解析】因为，所以，，当且仅当即时，等号成立，故A正确；函数，当且仅当，即时，等号成立，故B错误；因为，，，所以，当且仅当，即时，等号成立，故C正确；由可得，，当且仅当，即时等号成立，故D错误.故选：AC12．AB【解析】解：对于A.如果，那么，当时取得最大值，故正确；对于B.如果，，则整理得，所以或（舍去），当且仅当时取得最小值，故正确；对于C.函数，当且仅当此时无解，不能取得最小值2，故错误；对于D.如果，，且，那么当且仅当即时取得最小值，故错误.故选：AB13．【解析】解：先消去，再将分子分母同除以，可得原式，设，可得原式，由对勾函数的单调性可得在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增，所以或，所以原式，故答案为：.14．【解析】1、当时，题设不等式恒成立，只需恒成立，时，由一次函数的性质易知：不可能恒成立；时，不成立；∴不合要求.2、当时，由题设有或在上恒成立，当时，在上不可能恒成立，不合要求；当时，在上、以零点为界两侧单调性相反，且零点相同，∴，即，∴，当且仅当，时等号成立.综上，的最大值为.故答案为：.15．【解析】由题设，，则，又，∴，当且仅当时等号成立，∴，当且仅当时等号成立.∴的最小值为.故答案为：.16．或【解析】可化为当且仅当时，等号成立，此时，，即.因为，所以即或.故答案为：或.17．（1）最小值是；（2）.【解析】（1）由题意可得，则，当且仅当，即时等号成立.故的最小值是.由题意可得恒成立，令，得，则，当且仅当，即时，等号成立.由（1）可知，的最小值是，故的取值范围是.18．（1）；（2）；（3）.【解析】（1）①时，，不合题意，舍去；②时，.综上：.（2）即，所以，①时，解集为：；②时，，因为，所以解集为：；③时，，因为，所以解集为：.（3）因为不等式的解集为，且，即对任意的，不等式恒成立，即恒成立，因为，所以，设，所以，当且仅当时取“=”.所以的最大值为：，所以.19．（1）；（2）的最小值20，【解析】（1），，，当且仅当，即时，等号成立.所以.（2）由（1）知，，当且仅当时取等号，显然要使成立，需满足，解得综上可知，当，代数式取得最小值20.20．（1）；（2）.【解析】（1）因为满足对任意的实数都有成立，且当都有成立所以且故，又因为，所以，解得因为满足对任意的实数都有成立，即对任意的实数都有成立，所以，即，解得，所以，所以.（2）由题意得在上恒成立，即在上恒成立，当时2>0恒成立，当时，原式等价于在上恒成立，令，当且仅当时取得等号，所以，所以.21．（1）；（2）；（3）.【解析】解：（1）因为函数的图象的对称轴是直线，所以在上为减函数.又在上存在零点，所以，解得故的取值范围为（2）若对任意的，总存在，使得，则函数在上的函数值的取值集合是函数在上的函数值的取值集合的子集.函数图象的对称轴是直线，所以在上的函数值的取值集合为①当时，，不符合题意，舍去.②当时，在上的值域，只需，解得③当时，在上的值域为，只需，无解.综上，的取值范围为（3）当或时，在上单调递增，则；当时，，解