2024年湖北省高三数学4月调研模拟联考试卷附答案解析

2024年湖北省高三数学4月调研模拟联考试卷试卷满分150分，考试时间120分钟2024.04一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知，，若，则实数a的取值范围是（

）A．B．C． D．2．已知点，和向量，若，则实数的值为A． B． C． D．3．若1，a，3成等差数列，1，b，4成等比数列，则的值为（

）A． B． C．1 D．4．双曲线的两条渐近线的夹角的大小等于（

）A． B． C． D．5．已知是奇函数，当x≥0时，（其中e为自然对数的底数），则（

）A．3 B． C．8 D．6．在△中，角，，所对的边分别为，，，则“”是“”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件7．球类运动对学生的身心发展非常重要现某高中为提高学生的身体素质，特开设了“乒乓球”，“排球”，“羽毛球”，“篮球”，“足球”五门选修课程，要求该校每位学生每学年至多选门，高一到高三三学年必须将五门选修课程选完，每门课程限选修一学年，一学年只上学期选择一次，则每位学生的不同的选修方式有（

）A．种 B．种 C．种 D．种8．在三棱锥中，平面平面，和都是边长为的等边三角形，若为三棱锥外接球上的动点，则点到平面距离的最大值为（

）A．B．C． D．二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9．在复数范围内关于的实系数一元二次方程的两根为，其中，则（

）A． B． C． D．10．已知，则下列结论正确的有（）A．的最大值为 B．的最小值为C．的最小值为3 D．11．已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，过点的直线与抛物线交于，两点，点位于点右方，若，则下列结论一定正确的有（

）A． B．C． D．直线的斜率为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．设函数对任意的均满足，则13．已知，之间的一组数据：若与满足回归方程，则此曲线必过点．14．若当时，无限趋近于一个确定的值，则称这个确定的值为二元函数在点处对x的偏导数，记为，即若当时，无限趋近于一个确定的值，则称这个确定的值为二元函数在点处对y的偏导数，记为，即已知二元函数，则的最小值为.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．已知三棱柱中，，，，

(1)求证：平面平面；(2)若，且P是AC的中点，求平面和平面的夹角的大小.16．襄阳市某中学一研究性学习小组为了了解襄阳市民每年旅游消费支出费用单位：千元，寒假期间对游览某签约景区的名襄阳市游客进行随机问卷调查，并把数据整理成如下表所示的频数分布表：组别支出费用频数(1)从样本中随机抽取两位市民的旅游支出数据，求两人旅游支出均不低于元的概率(2)若襄阳市民的旅游支出费用近似服从正态分布，近似为样本平均数同一组中的数据用该组区间的中间值代表，近似为样本标准差，并已求得，利用所得正态分布模型解决以下问题：（i）假定襄阳市常住人口为万人，试估计襄阳市有多少市民每年旅游费用支出在元以上（ii）若在襄阳市随机抽取位市民，设其中旅游费用在元以上的人数为，求随机变量的分布列和均值．附：若∽，则，，．17．已知函数．(1)讨论的单调区间(2)若函数，，证明：．18．如图，四边形为坐标原点是矩形，且，，点，点，分别是，的等分点，直线和直线的交点为(1)试证明点在同一个椭圆C上，求出该椭圆C的方程；(2)已知点P是圆上任意一点，过点P作椭圆C的两条切线，切点分别是A，B，求面积的取值范围.注：椭圆上任意一点处的切线方程是：19．在如图三角形数阵中，第n行有n个数，表示第i行第j个数，例如，表示第4行第3个数.该数阵中每一行的第一个数从上到下构成以m为公差的等差数列，从第三行起每一行的数从左到右构成以m为公比的等比数列其中已知，，(1)求m及(2)记除以3的余数为，，的前n项为，求1．D【分析】根据一元二次不等式求出集合A，进而根据集合的包含关系即可求解.【详解】解：因为，且，若，则故选：D.2．B【分析】先求出，再利用共线向量的坐标表示求实数的值.【详解】由题得，因为，所以.故选：B【点睛】本题主要考查向量的坐标运算和向量共线的坐标表示，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.3．D【解析】利用等差中项与等比中项的性质求出，从而可得答案.【详解】因为1，a，3成等差数列，1，b，4成等比数，所以，所以的值为，故选：D.4．B【分析】求得双曲线的两条渐近线方程，得到斜率和倾斜角，再求出渐近线夹角的大小.【详解】双曲线的两条渐近线的方程为，由直线的斜率为，可得倾斜角为，的斜率为，可得倾斜角为，所以两条渐近线的夹角的大小为，故选：B.5．D【分析】根据奇函数的性质即可求解.【详解】由是奇函数得，又时，，所以.故选：D6．C【分析】由正弦定理分别检验问题的充分性和必要性，可得答案.【详解】解：充分性：在△中，由，可得,所以,故充分性成立；必要性：在△中，由及正弦定理，可得，可得,,故，必要性成立；故可得：在△中，角，，所对的边分别为，，，则“”是“”的充分必要条件，故选C.【点睛】本题主要考查充分条件、必要条件的判断，相对不难，注意正弦定理的灵活运用.7．A【分析】根据题意，分种情况讨论：五门选修课放在年选完，五门选修课放在年选完，由加法原理计算可得答案．【详解】根据题意，分种情况讨论：五门选修课放在年选完，先将五门课程分为组，再在三年中选出年来学习，有种安排方法，五门选修课放在年选完，先将五门课程分为组，再安排在三年中选完，有种安排方法，则有种安排方法．故选：A．8．D【分析】设中点为，的外心为，的外心为，过点作平面的垂线，过点作平面的垂线，两条垂线的交点，则点即为三棱锥外接球的球心，求出三棱锥外接球的半径，假设球心到平面的距离得答案．【详解】解：设中点为，的外心为，的外心为，过点作平面的垂线，过点作平面的垂线，两条垂线的交点，则点即为三棱锥外接球的球心，因为和都是边长为的正三角形，可得，因为平面平面，，平面，平面平面，所以平面，又平面，所以，又，所以四边形是边长为1的正方形，所以外接球半径，所以到平面的距离，即点到平面距离的最大值为.故选：D.9．BD【分析】根据实系数一元二次方程中韦达定理可求出判断B，再由韦达定理判断A，根据复数的乘法及共轭复数判断C，再由复数除法判断D.【详解】因为且实系数一元二次方程的两根为，所以，可得，故B正确；又，所以，故A错误；由，所以，故C错误；，故D正确.故选：BD10．BD【分析】对于ABC根据题意利用基本不等式分析判断；对于D，整理可得，构建函数，，利用导数判断函数单调性，结合单调性分析即可判断.【详解】因为，对于A，因为，当且仅当时，等号成立，但，可得，则，可得，可知不为的最大值，故A错误；对于B，因为，当且仅当，即，时，等号成立，所以的最小值为，故B正确；对于C，因为，则，即，则，当且仅当，即，时，等号成立，这与题干不符，故3不为的最小值，故C错误；对于D，由题意可知：，，则，构建函数，，则，在内恒成立，可知在内单调递减，则，所以，故D正确；故选：BD.11．ABC【分析】设直线的方程为，不妨设，联立抛物线方程，得到两根之和，两根之积，表达出，，再由正弦定理得到，得到，代入两根之和，两根之积，列出方程，求出，进而求出，根据可判断根据可判断根据可判断根据对称性判断．【详解】解：由题意得，，，当直线的斜率为时，与抛物线只有个交点，不合要求，故设直线的方程为，不妨设，联立，可得，易得，设，，则，，则，，则，，由正弦定理得，，因为，，所以，，即．又由焦半径公式可知，则，即，即，解得，则，，解得，，故，当时，同理可得到，故A正确．，故B正确，故C正确当时，，则，即，此时．由对称性可得，当时，，故直线的斜率为，故D错误．故选：ABC.【点睛】方法点睛：在处理有关焦点弦，以及焦半径问题时长度问题时有以下几种方法；（1）常规处理手段，求交点坐标然后用距离公式，含参的问题不适合；（2）韦达定理结合弦长公式，这是此类问题处理的通法；（3）抛物线定义结合焦点弦公式.12．1【分析】由两角和的正弦公式先进行化简，再利用条件可得为偶函数，可求得的值，代入求解即可.【详解】因为，又因为，所以函数为偶函数，即，，，所以.故答案为：13．【分析】令，只需要求和即可得答案．【详解】解：令，则，，则必经过点．故答案为：.14．【分析】根据偏导数的定义，分别求出对x偏导数和对y偏导数，再求出两个偏导数和的最小值.【详解】依题意，所以，，则，所以的最小值是.故答案为：15．(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据题意结合面面垂直的判定定理即可得证；（2）建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量即可求解.【详解】（1）在三棱柱中，四边形是平行四边形，而，则平行四边形是菱形，连接，如图，则有，因，，，平面，于是得平面，而平面，则，由，得，，AC，平面，从而得平面，又平面ABC，所以平面平面

（2）在平面内过C作，由知平面平面ABC，平面平面，平面，则平面ABC，以C为原点，以射线CA，CB，Cz分别为x，y轴，z轴正半轴建立空间直角坐标系，如图，

因，，，则，，，，则有，，设平面的一个法向量，则有，解得：.令得，而平面的一个法向量，依题意，，设平面和平面的夹角的夹角是，则，，所以平面和平面的夹角是16．(1)(2)（i）11.375万；（ii）分布列见解析，【分析】（1）根据题意可得旅游支出不低于元的有人，结合古典概型概率公式即可求解；（2）

（i）

根据题意可得，，结合正态曲线的对称性即可求解；（ii）根据题意可得所有可能取值为结合二项分布求概率和均值即可求解．【详解】（1）样本中总共人，其中旅游支出不低于元的有人，所以从中随机抽取两位市民的旅游支出数据，两人旅游支出均不低于元的概率为；（2）（i）计算，所以，，服从正态分布，，万，估计襄阳市有万市民每年旅游费用支出在元以上；（ii）由（i）知，，则，的所有可能取值为，，，；所以随机变量的分布列为：均值为17．(1)答案见解析；(2)证明见解析.【分析】（1）求出，对的取值分类讨论，即可得的单调性；（2）借助（1）中结论得，转化所证不等式，结合同角三角函数关系即可证明不等式．【详解】（1）由题知，函数的定义域为，，当时，有，当或时，，当时，，所以，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；当时，有，，所以在上单调递增；当时，有，当或时，，当时，，所以，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．（2）由（1）知：当时，在上单调递增，所以，当时，，即．因为，所以，所以．18．(1)证明见解析；(2)【分析】设，求出和的方程，联立可求证在同一个椭圆上，并求得椭圆方程为；求出直线AB的方程，分和两种情况讨论，求出面积的表达式，换元，构造函数，利用导数即可求解.【详解】（1）设，又，，则直线，直线，点的坐标是方程的解，可得，化简得，所以在同一个椭圆上，该椭圆方程为（2）设，，，如图所示：则，切线PA方程为：，切线PB方程为：，两直线都经过点P，所以得：，，从而直线AB的方程是：，当时，由得，则，，当时，由，消y得：，由韦达定理，得：，，，，点P到直线AB的距离，其中令，则令，则，在上单调递增，综上所述，面积的取值范围是【点睛】关键点点睛：在第（2）中求出时，要用换元法及利用导数求函数的取值范围.19