线性代数与概率论（第五版） 课件 3.2 线性方程组解的判别

第二节线性方程组解的判别1本节主要学习目标：[知识目标]熟练掌握线性方程组的解的判别定理。[能力目标]能利用解的判别定理确定线性方程组解的情况及求出方程组的一般解。例12

解：

第1行的-2倍加到第3行上去

例13第2行的-2倍加到第3行上去

例14又未知量的个数n也为3,有秩

对于全体未知量x1,x2,x3,其系数行列式

根据§1.4克莱姆法则,此线性方程组有唯一解.例15对所得阶梯形矩阵继续作初等行变换,化为简化阶梯形矩阵,有

第3行乘以-1

第3行的-1倍加到第1行上去第3行的-3倍加到第2行上去

例16第2行加到第1行上去

所以此线性方程组的唯一解为

例27解线性方程组

例28

对于未知量x1,x2,其系数行列式

但未知量的个数n为3,有秩

例29任给未知量x3的一个值,根据§1.4克莱姆法则,得到未知量x1,x2的唯一解,它们构成此线性方程组的一组解这说明此线性方程组有无穷多解,且有3-2=1个自由未知量对所得阶梯形矩阵继续作初等行变换,化为简化阶梯形矩阵,有

例210第2行的2倍加到第1行上去

第2行乘以-1

例211所得简化阶梯形矩阵代表线性方程组

选择未知量x3为自由未知量,未知量x1,x2为非自由未知量,非自由未知量x1,x2用自由未知量x3表示,其表达式为

例212

自由未知量x3取任意常数c,所以此线性方程组无穷多解的一般表达式为例313

解：

第1行的-3倍加到第2行上去第1行的-2倍加到第3行上去

例314第2行的-1倍加到第3行上去

例315所得阶梯形矩阵第3行代表第3个线性方程式0=-2得到矛盾的结果,这是线性方程组中一些线性方程式相互矛盾的反映,说明未知量的任何一组取值都不能同时满足所有线性方程式,所以此线性方程组无解.线性方程组的判别理论16定理3.1

例417

(2)判别线性方程组解的情况,若有解,则求解例418

第1行的-1倍分别加到第2行与第3行上去

例419第2行的-2倍加到第3行上去

例420

对所得阶梯形矩阵继续作初等行变换,化为简化阶梯形矩阵,有

例421第2行加到第1行上去

得到线性方程组

例422选择未知量x3,x4为自由未知量,未知量x1,x2为非自由未知量,非自由未知量x1,x2用自由未知量x3,x4表示,其表达式为

自由未知量x3取任意常数c1,自由未知量x4取任意常数c2,所以此线性方程组无穷多解的一般表达式为

例423在例4中,也可以选择未知量x1,x4为自由未知量,相应的无穷多解的一般表达式为

注意:对于线性方程组有无穷多解的情况,由于自由未知量的选择不是唯一的,因而无穷多解的一般表达式也不是唯一的例524

讨论当常数λ为何值时,它有唯一解、有无穷多解或无解.解:

例525

当常数λ≠0且常数λ≠1时,有秩

所以此线性方程组有唯一解例526当常数λ=0时,有秩

所以此线性方程组有无穷多解例527当常数λ=1时,有秩

所以此线性方程组无解.例628

解:

例629第1行的-1倍加到第3行上去

第2行的-1倍加到第3行上去

容易看出,系数矩阵A的秩r(A)=2例630

得到关系式λ-4=0,所以常数λ=431考虑由n个线性方程式构成的n元线性方程组AX=B,其中系数矩阵A显然是n阶方阵注意到方阵经初等行变换后,其行列式是否等于零是不会改变的如果