中考数学专题复习《平行四边形题型方法》测试卷附带答案

第第页题型方法6：二倍线段的处理要证明线段具备2倍关系时：1.找到短段线的2倍长，证明其2倍长等于长线段。找段线的2倍长的方法有：直接延长2倍，利用中位线、直角三角形斜边中线、30°角对的直角边。2.取长线段的一半，证明其一半等于短线段。找长线段的一半的方法有：直接取中点，利用中位线、直角三角形斜边中线、30°角对的直角边。注：当题目条件出现2倍线段时，用这个方法把条件转化为线段相等。例:已知△ABC中,AB=AC,E是AB边上的中点,延长AB至点D,使得BD=AB,求证:2CE=CD.解:方法1:【解析】要证2CE=CD，不能利用性质定理直接得到。那么我们去找短线段CE的2倍，想办法证明它的2倍和长线段CD相等就可以了。找2倍最直接的方法就是倍长，我们发现CE又是中线，所以可以倍长中线去作辅助线。【解答】证明:延长CE至F,使得EF=CE,连接BF,∵E是AB边上的中点,∴AE=BE,又∵EF=CE,∠AEC=∠BEF,∴△AEC≌△BEF,∴BF=AC,∠A=∠EBF,又∵AB=AC,BD=AB,∴BF=BD,∠ACB=∠ABC,又∵∠CBD=∠A+∠ACB,∠CBF=∠EBF+∠ABC,∴∠CBD=∠CBF,又∵BC=BC,∴△CBF≌△CBD,∴CD=CF=2CE.方法2:【解析】方法1倍长CE到F，连接的是BF，那么也可以连接AF去解题。【解答】证明:延长CE至F,使得EF=CE,连接AF,∵E是AB边上的中点,∴AE=BE,又∵EF=CE,∠AEF=∠BEC,∴△AEF≌△BEC,∴AF=BC,∠CBE=∠EAF,又∵AB=AC,BD=AB,∴AC=BD,∠ACB=∠ABC,又∵∠CBD=∠CAB+∠ACB,∠CAF=∠CAB+∠EAF,∴∠CBD=∠CAF,∴△CBD≌△CAF,∴CD=CF=2CE.方法3:【解析】通过倍长CE找到其2倍，使问题得以证明。那么我们能不能利用中位线找到它的2倍呢?题目中，E是中点，所以，如果C也是某线段中点，那么，CE就是中位线了，对应的边就是CE的2倍了。所以，可以想到，倍长AC到F点，再连接BF，这样BF就是CE的2倍。接下来只需要证明BF等于CD即可。【解答】证明:延长AC至F,使得CF=AC,连接BF,∵E是AB边上的中点,∴AE=BE,又∵CF=AC,∴CE是中位线,BF=2CE,又∵AB=AC,BD=AB,∴CF=BD,∠ACB=∠ABC,∴∠CBD=∠BCF,∴△CBD≌△BCF,∴CD=BF=2CE.方法4:【解析】倍长AC找到CE的2倍，那么倍长BC是否也可以呢?所以，可以想到，倍长BC到F点，再连接AF，这样AF就是CE的2倍。接下来只需要证明AF等于CD即可。【解答】证明:延长BC至F,使得CF=BC,连接AF,∵E是AB边上的中点,∴AE=BE,又∵CF=BC,∴CE是中位线,AF=2CE,又∵AB=AC,BD=AB,∴AC=BD,∠ACB=∠ABC,∴∠CBD=∠ACF,∴△CBD≌△FCA,∴CD=AF=2CE.方法5:【解析】通过找CE的2倍的方式已经试过了，当然，有兴趣的同时可以再想想有没有其他找2倍的方法。接下来，我们思考找长线段CD的一半，那么找CD一半的最直接的方式就是取中点了。可以取CD中点为F，连接BF，接下来只需要证明CF或DF和CE相等就可以了。【解答】证明:取CD的中点为F,连接BF,∴CF=DF,又∵BD=AB,∴BF是中位线,∴AC=2BF,∠A=∠CBD,又∵AB=AC,E为AB中点,∴AE=BF,AC=BD,∴△AEC≌△BFD,∴CE=DF,∴CD=2CE.方法6:【解析】继续想办法找CD的一半，我们看到B是AD的中点，所以想到利用中位线找到CD的一半，可以取AC中点为F，连接BF，那么，BF是中位线，等于CD的一半，那么，接下来只需要证明BF和CE相等就可以了。【解答】证明:取AC的中点为F,连接BF,又∵BD=AB,∴BF是中位线,∴CD=2BF,又∵AB=AC,E为AB中点,∴CE、BF分别是等腰三角形腰上的中线，∴CE=BF,∴CD=2CE.【变式1】已知:在△ABC中,AD为中线,且.∠BAD=90°,∠DAC=45°,求证：AB=2AD.【变式2】如图，已知在等腰直角三角形ABC中，AB=AC,∠BAC=90°,BD平分∠ABC,CE⊥BD交BD的延长线于点E，求证：BD=2CE.【变式3】如图，在△ABC中,BD是AC边上的中线,BD⊥BC于点B,∠ABD=30°,,求证:AB=2BC.题型方法7：不规则图形辅助线在一边四边形的边角计算中，我们需要将一般四边形化为特殊的图形才能进行解题。那么，在作辅助线时就有两种思路。一种是向内分割。意思是在四边形内部作辅助线，通过辅助线，把四边形分割成几个部分，每一个部分是三角形或者特殊的四边形，如平行四边形，菱形，矩形，正方形。一般是在内部作垂线、平行线，把四边形分割为几部分。另一种是向外补形。意思是在图形外部作辅助线，把图形补成一个特殊的图形，比如，特殊的三角形，平行四边形，菱形，矩形，正方形。一般是延长一组对边相交于一点，这样会补成一个三角形，也有通过作垂线，把四边形补成矩形或者正方形的。例:如图,在四边形ABCD中,∠A=∠BCD=90∘方法1：向外补形。【解析】观察到∠A=90°,∠ADC=60°,这样把DC、AB延长交于一点E,就相当于把四边形补成了一个直角三角形，而且还是一个特殊的直角三角形，方便我们进行各项计算。解:延长DC、AB交于一点E,∵∠A=90°,∠ADC=60°,∴∠E=30°,∵AD=10,∴AE=10又∵∠BCD=90°,∴∠BCE=90°,又∵∠E=30∴BE=4∴AB=AE−BE=6方法2：向内分割。【解析】观察到∠ADC=60°，所以，可以过C点作AD的垂线，这样可以构造出直角.△CDE,剩下四边形ABCE继续进行分割，过B点过CE的垂线BF，这样就分割出一个矩形ABFE，一个直角△BCF，这样就把这个四边形分割成了三个特殊的几何特性了，接下来就是计算了。解:过C点作CE⊥AD于E点,作BF⊥CE于F点,则△CDE,△BCF是含有60°角的直角三角形,四边形ABFE是矩形,在Rt△BCF中,BC=2则CF=又∵四边形ABFE是矩形,∴AE=BF=3,∴DE=AD-AE=7,在Rt△CDE中,DE=7,则CE=7∴AB=EF=CE−CF=6方法3：向内分割。【解析】观察到∠ADC=60°,∠BCD=90°,所以,可以过B点作AD的平行线交CD于E点,这样∠BEC=∠ADC=60°,这样,△BCE就是一个特殊的直角三角形了。然后再将四边形ABED继续分割。过E点作AD的垂线EF。这样就把四边形ABCD分割成两个特殊的直角三角形及一个矩形了，这样就方便我们计算了。解:过B点作BE//AD交CD于E点,作EF⊥AD于F点,∵BE//AD,∴∠BEC=∠ADC=60°,在Rt△BCE中,BC=23,∵四边形ABFE是矩形,∴AF=BE=4,∴DF=AD-AF=6,在Rt△DEF中,DF=6,∴AB=EF=6注：此题还有其他分割和补形的方法，大家可以自己去尝试一下，