(1.18)-2.4.1 积拓扑拓扑学

积拓扑拓扑学积拓扑的定义若X和Y是两个拓扑空间，则有一个在笛卡儿积X×Y上定义拓扑的标准方法．下面我们就来研究这个拓扑及它的一些性质.

定义2.4.1

设X和Y是两个拓扑空间，X×Y上的积拓扑(producttopology)

是以族B为基的拓扑，其中B是所有形如U×V的集合的族，U和V分别是X和Y的开子集.下面证明

B

是一个基:由于X×Y本身就是一个基元素,B满足基的第一条.由于任意两个基元素U1×V1与U2×V2

的交是

(U1×V1)∩(U2×V2)=(U1∩U2)×(V1∩V2)，而U1∩U2和V1∩V2分别是X和Y的开集，所以上述集合是一个基元素，第二条也满足.积拓扑的定义图2.4.1值得注意的是∶族B不是X×Y的一个拓扑.例如，图2.4.1中两个矩形的并就不是两个集合的积，因而不属于B，但它是X×Y中的开集.用类似的方法可以定义有限个拓扑空间X1,X2,...,Xn

的积拓扑X1

×X2×...×Xn.定义2.4.2

设

X1,X2,...,Xn

为拓扑空间，X1

×X2×...×Xn上的积拓扑(producttopology)

是以族B为基的拓扑，其中B是所有形如U1

×U2×...×Un的集合的族，其中Ui

是Xi的开子集,

i=1,2,...,n.积拓扑的性质我们每次引进一个新概念，总是试图弄清它与前面引入的概念之间的关联.我们现在要问，当X和Y的拓扑是由它们的基给出时，关于积拓扑能说些什么呢?

定理2.4.3

若B是X的拓扑的一个基，C是Y的拓扑的一个基，则族D={B×C

|B∈

B并且C∈

}是X×Y的拓扑的一个基.证明:

给定X×Y的一个开集W以及W的一个点

(x,y).根据积拓扑的定义，存在一个基元素U×V，使得(x,y)∈U×V⊂W.因为B和C分别是X和Y的基，所以可以在

B中选取一个元素B，使得x∈B⊂U，也可以在C中选取一个元素C，使得y∈C⊂V.于是(x,y)∈B×C⊂W.从而族D符合引理2.2.3的条件，因此D

是X×Y的一个基.

证毕.积拓扑的性质例2.4.4

由于实数集R

上的标准拓扑是由所有开区间生成的，R2

上的所有矩形区域(a,b)×(c,d)构成R2

的一个基，这个基生成的拓扑与R2

上所有圆域生成的拓扑一致.有时也需要用子基来表示积拓扑.为此,我们先定义某些叫做投射的函数.设U是X的一个开子集，那么集合π1－1(U)=

U×Y，它是X×Y中的开集.同样地，若V是Y的一个开集，则π2－1(V)

=X×V也是X×Y中的开集.这两个集合的交是U×V，参见图2.4.2定义2.4.5

设π1∶X×Y→X定义为π1(x,y)

=x.π2∶X×Y→Y定义为π2(x,y)=y.映射π1和π2

分别称为X×Y到它的第一因子和第二个因子上的投射(projection).图2.4.2积拓扑的性质定理2.4.6族

S={π1－1(U)

|U是

X

中的开集}U{π2－1(V)|

V是Y中的开集}是X×Y的积拓扑的一个子基.证明：用T表示X×Y的积拓扑，设

T'是由S生成的拓扑，因为S的每一个元素都属于T，所以S的元素的有限交的任意并也属于T.因此，'⊂T.另一方面，拓扑T的任意基元U×V是S中元素的有限交，这是因为

U×V=π1－1(U)∩π2－1(V).所以U×V