(3.8)-第八章 微分方程建模

1第八章微分方程建模1.微分方程简介2.物理原理建模3.人口模型4.传染病模型6.差分方程模型5.平衡点理论及建模7.微分方程的数值解2第一节微分方程简介3求解微分方程有三种方法：1）求精确解；2）求数值解（近似解）；3）定性理论方法。动态特性

描述对象特征随时间（空间）的演变过程求解方法变量的变化率或导数及变量之间的等式关系式叫微分方程模型微分方程4建立微分方程模型的三种方法

1、微元法——变化量相等

将所讨论的变量的变化过程，分割成许多微小单元，寻找某一个小区间的动态平衡，从而得到一个近似关系，进而建立出其数学模型。（1）在空间解析几何上，可用微元法求曲线的弧长、平面图形的面积、旋转曲面的体积、旋转体体积；（2）代数方面求近似值及流体（3）物理上求变力做功、压力、静心距与重心等问题如：半球形容器,水从它的底部小孔流出，容器里水面的高度h随时间t的变化规律。

52、根据数学物理规律建模利用数学、力学、物理、化学等学科中的定理或经过实验检验的规律等来建立微分方程模型。如：动力学中，跳伞运动员的安全问题。原理：牛顿运动定律以及阻力和速度的关系。63、模拟近似法在生物、经济等学科的实际问题中，许多现象的规律性不很清楚，即使有所了解也是极其复杂的，建模时在不同的假设下去模拟实际的现象，建立能近似反映问题的微分方程，然后从数学上求解或分析所建方程及其解的性质，再去同实际情况对比，检验此模型能否刻画、模拟某些实际现象。（例如人口、传染病模型）

7第二节物理原理建模8一、红绿灯问题为使正行驶在交叉路口或离交叉路口太近而无法停下的车辆通过路口，红绿灯转换中间还要亮起一段时间的黄灯，黄灯应亮多长时间才最为合理。1.1符号定义法定的行车速度a

交叉路口的宽度

b

典型的车身长度

w

汽车重量μ摩擦系数

x

汽车行驶的距离

T驾驶员的反应时间

y黄灯状态的时间91.2模型的建立与求解由牛顿第二定律可得：

即：有初始条件：对（1）式从0到t进行一次积分，并代入初始条件可得：对（2）式从0到t进行一次积分，并代入初始条件可得：（1）（2）10在式②中令，即可得刹车所用时间为：将③代入得刹车距离为：综上可得黄灯状态的时间为：即：（3）11二、弹簧振动问题

设质量为m的质点固定在弹簧上沿水平轴在有阻力的介质中振动，平衡位置是x=0，由胡克定律可知，质点受弹力-bx，又因其所受阻力与质点运动速度成正比，故阻力为,且设质点受到外力f(t)，综上，由牛顿第二定律可得：可将弹簧振动问题分成以下三种特殊的振动模型：1、简谐振动；2、衰减振动；3、受迫振动121、简谐振动（无外力且无阻力作用)2、衰减振动（无外力但有阻力作用)3、受迫振动（受外力且受阻力作用，设外力为

)案例分析：放射性废料的处理美国原子能委员会以往处理浓缩的放射性废料的方法，一直是把它们装入密封的圆桶里，然后扔到水深为90多米的海底。生态学家和科学家们表示担心，怕圆桶下沉到海底时与海底碰撞而发生破裂，从而造成核污染。原子能委员会分辩说这是不可能的。为此工程师们进行了碰撞实验。发现当圆桶下沉速度超过12.2m/s与海底相撞时，圆桶就可能发生碰裂。这样为避免圆桶碰裂，需要计算一下圆桶沉到海底时速度是多少?已知圆桶质量239.46kg，体积0.2058

m3，海水密度ρ=1035.71kg/m3，若圆桶速度小于12.2m/s就说明这种方法是安全可靠的，否则就要禁止使用这种方法来处理放射性废料。假设水的阻力与速度大小成正比例，其正比例常数k=0.6。现要求建立合理的数学模型，解决如下实际问题（1）判断这种处理废料的方法是否合理?（2）一般情况下，v大，k也大；v小，k也小。当v很大时，常用kv来代替k，那么这时速度与时间关系如何?并求出当速度不超过12.2m/s，圆桶的运动时间t和位移s应不超过多少?(k的值仍设为0.6)1.问题一的模型以海平面上的一点为坐标原点，垂直向下为坐标轴的正向建立坐标系。首先要找出圆桶的运动规律，由于圆桶在运动过程中受到本身的重力以及水的浮力H和水的阻力f的作用，所以根据牛顿运动定律得到圆筒受到的合力F满足（1）又因为，，以及可得到圆桶的位移和速度分别满足下面的微分方程

（2）（3）根据方程（2），加上初始条件，求得位移函数为（4）由方程（4），加上初始条件，求得速度函数为

（4）由，求得圆筒到达水深90m的海底需要时间再把它带入方程（4），求出圆桶到达海底的速度为显然此圆桶的速度已超过，S,可以得出这种处理废料的方法不合理。因此，美国原子能委员会已经禁止用这种方法来处理放射性废料。计算的matlab程序如下：clc,clearsymsmVrhogks(t)v(t)%定义符号常数和符变量ds=diff(s);%定义s的一阶导数，为了初值条件赋值s=dsolve(m*diff(s,2)-m*g+rho*g*V+k*diff(s),s(0)==0,ds(0)==0);

%使用dsolve解出s的关系式s=subs(s,{m,V,rho,g,k},{239.46,0.2058,1035.71,9.8,0.6});%常数赋值s=simplify(s);%化简s=vpa(s,6)%显示小数形式的位移函数v=dsolve(m*diff(v)-m*g+rho*g*V+k*v,v(0)==0);

%使用dsolve解出v的关系式v=subs(v,{m,V,rho,g,k},{239.46,0.2058,1035.71,9.8,0.6});

%常数赋值v=simplify(v);%化简v=vpa(v,6)%显示小数形式的速度函数y=s-90;tt=solve(y);tt=double(tt)%求到达海底90米处的时间vv=subs(v,tt);vv=double(vv)%求到底海底90米处的速度结果如下：

问题二的模型由题设条件，圆桶受到的阻力应改为，类似问题一的模型，可得到圆桶的速度应满足如下的微分方程

（5）根据方程（6.34），加上初始条件，求出圆桶的速度，，利用位移，这时若速度要小于

那么经计算可得圆桶的运动时间就不能超过T=13.0025s

计算得位移不能超过84.8439m。通过这个模型，也可以得到原来处理核废料的方法是不合理的。计算的matlab程序如下：clc,clearsymsmVrhogkv(t)%定义符号变量v=dsolve(m*diff(v)-m*g+rho*g*V+k*v^2,v(0)==0);%用dsolve函数求出v的函数式v=subs(v,{m,V,rho,g,k},{239.46,0.2058,1035.71,9.8,0.6});%代入数值v=simplify(v);v=vpa(v,6)%显示小数形式的速度函数T=solve(v-12.2);T=double(T)%求时间的临界值Ts=int(v,0,T)%求位移的临界值计算结果如下：结果分析：由于在实际中K与V的关系很难确定，所以上面的模型有它的局限性，而且对不同的介质，比如在水中与在空气中K与V的关系也不同。如果假设K为常数的话，那么水中的这个K就比在空气中对应的V要大一些。在一般情况下，K应是V的函数，即K=K（V），至于是什么样的函数，这个问题至今还没有解决。22第三节人口模型23背景与问题

世界人口增长情况年

1625183019301960197419871999人口（亿）5102030405060中国人口增长概况年

19081933195319641982199019952000人口（亿）3.04.76.07.210.311.312.013.0

研究人口变化规律

建立人口数学模型

做出较准确的预报控制人口过快增长2417世纪末，英国神父Malthus发现，在人口自然增长的过程中（忽略迁入率和迁出率），人口出生率与死亡率几乎都可以看做常数，因而两者之差也几乎是常数。这就是说，人口增长率与当时的人口数量成正比，比例常数g被称为人口自然增长率（它可以通过人口统计数据得到）。一、Malthus模型（人口增长率是常数）1.1模型假设(1)假设在社会稳定的前提下，生育和死亡率都比较稳定；(2)假设只考虑本国内部的迁移，而忽略国际之间的迁移；(3)忽略突发灾难性疾病、战争等对人口的影响；(4)假设国家对人口方面的政策基本稳定；251.2符号定义x(t)

时刻t的人口数量g

人口自然增长率1.3模型的建立与求解在Δt时间内，人口增长的数量为：令

可得：解得通解为：261.4模型结果分析比较历年的人口统计资料，可发现人口增长的实际情况与Malthus模型的预报结果基本相符。世界人口大约每35年增长一倍，检查1700年至1961年的260年中世界人口的实际数量，发现两者几乎完全一致。按照该模型计算，人口数量每34.6年增长一倍，两者几乎也完全相同。此模型用于短期人口估算有较好的近似程度，但是当t→∞时，有x(t)→∞,可见它不能用于对人口的长期预报，导致这个后果的主要原因是在Malthus模型中做了如下假设：人口自然增长率g仅与人口出生率和死亡率有关。且为常数。这一假设使得模型简化，但也隐含了人口无限增长的缺陷，显然用该模型来做长期的人口预测会是不合理的，因此需要对此进行改进。27人口增长到一定数量后，人口增长将受到资源、环境的等因素的阻滞作用，从而导致人口自然增长率下降，并且这种阻滞作用会随着人口数量的增加而变大，即人口自然增长率g是人口数量x(t)的减函数，从而可建立Logistic模型。二、Logistic模型（人口自然增长率下降）2.1模型假设(1)假设只考虑本国内部的迁移，而忽略国际之间的迁移；(2)忽略突发灾难性疾病、战争等对人口的影响；(3)假设国家对人口方面的政策基本稳定。282.2符号定义2.3模型的建立与求解

x(t)

时刻t的人口数量g(x)

人口自然增长率,为x(t)的减函数

人口的固有增长率

自然资源和环境条件年容纳的最大容量根据假设条件可知，当

时，，故有：又故可得：解得：29Logistic模型说明当人口数量太大时，种群间会发生生存竞争，并导致增长率降低。竞争的强弱既和当前的种群数量x有关，又和环境的最大容纳量有关。302.4模型结果分析(1)、(2)、当

时，(3)、当

与

相比很大时，与

相比可以忽略不计，从而Logistic模型就变成Malthus模型；当与相比不是很大时，与相比就不可以忽略，其作用是使人口的增长速度减缓下来。无论开始时人口处于什么状态，随着时间的推移，人口总数最终将趋于其环境的最大容纳量。人口数量超过环境容纳量时，人口数量将减少；人口数量小于环境容纳量时，人口数量将增加。当

时，31

2.3中最后求得的阻滞增长模型方程是荷兰生物数学家Verhulst19世纪中叶提出的。它不仅能够大体上描述人口及许多物种数量（如森林中的树木、鱼塘中的鱼群等）的变化规律，而且在社会经济邻域也有广泛的应用，例如耐用消费品的售量就可以用它来描述。此模型还适用于生物种群繁衍，生物生长，信息传播，新技术推广，传染病扩散，商品销售，放射现象等。基于这个模型能够描述一些事物的符合逻辑的客观规律，人们常称它为logistic模型。2.5前景与应用建模与求解过程上述两个模型的时间均是连续的，但在实际生活中，研究对象有时候用离散化的时间更方便，因此，将微分方程化为式中：即为

；N表示环境最大容纳量。结合一段时间的人口数据，可用最小二乘法拟合出r、N的数值。用差分形式表示有

式中，表示第k+1年的人口数量；表示第k年的人口数量。2.6差分形式的阻滞增长模型t

,x

N,x=N是稳定平衡点(与r大小无关)将上式化简得令b=1+，=，则可将上式化简为一阶(非线性)差分方程2.6差分形式的阻滞增长模型34三、分龄人口模型(分析年龄对人口数目的影响，能精确地对大范围人口模型进行描述）

指数增长模型和阻滞增长模型都是针对人口总数和总的增长率，不涉及年龄结构。事实上，在人口预测中人口按年龄的分布状况是十分重要的，因为不同年龄人的生育率和死亡率有着很大的差别，两个国家或地区目前人口一样，如果一个国家或地区年轻人的比例明显高于另一个国家或地区，那么二者人口的发展状况将大不一样。在考虑年龄结构的人口模型中，除了时间变量外，年龄是另外一个变量。353.1模型的建立与求解

t时刻小于r岁的人口总数

研究地区t时刻的人口总数

人口年龄密度t时刻单位时间内年龄为r的死亡人数

死亡率函数

令

故

有

令36

t时刻小于r岁的人口总数

研究地区t时刻的人总数

人口年龄密度

t时刻单位时间内年龄为r的死亡人数

死亡率函数

t时刻单位时间内出生的婴儿总数

变换得

若已知

有

又

故37：平均一个r岁妇女单位时间生育婴

儿数：t时刻年龄为r岁的妇女人数与年龄为r岁总人数的比值

：人口年龄密度

：t时刻每个妇女平

均生育胎儿

：生育模式与t无关

：t时刻单位时间内出生的婴儿总数

令

有

故38考虑一些不确定因素引起的人口扰动以及不同地区之间人口特性的差异

是第

个地区的人口密度函数，

分别表示第个地区的相对死亡率函数、人口出生率函数和相对扰动密度函数。是第个地区向第个地区的移民率。案例分析：美国人口的预报模型年1790180018101801830184018501860人口3.95.37.29.612.917.123.231.4年18701880189019001910192019301940人口38.650.262.976.092.0106.5123.2131.7年195019601970198019902000

人口150.7179.3204.0226.5251.4281.4

认识人口数量的变化规律，建立人口模型，做出较准确的预报，是有效控制人口增长的前提。利用表1给出的近两个世纪的美国人口统计数据（以百万为单位），建立人口预测模型，最后用它预报2010年美国的人口。

表1美国人口统计数据使用malthlus模型预测美国人口变化求解的matlab代码如下：clc,cleart=[1790:10:2000]';a=textread('data4.txt’);%把原始数据保存在纯文本文件data4.txt中x=a([2:2:6],:)';%提出人口数据x=nonzeros(x);%去0y=log(x);%令y=lnxp=polyfit(t,y,1)%拟合lnx=a*t+bg=p(1)%p（1）代表g：人口自然增长率x0=exp(p(2))%因为e^（a*t）*e^b=x,而x=x0*e^g*t,所以x0=e^bY=polyval(p,t);%y=polyval(p,t)为返回对应自变量t在给定系数P的多项式的值。此时值为lnxX=exp(Y);%还原成预测的xplot(t,X,'*-',t,x,'+-')title('malthus预测美国人口变化')xlabel('年份')ylabel('人口（百万）')结果如下所示：结果分析由拟合的曲线可以知道malthus模型适用于短期内的人口预测，并且模型是指数性的，与实际情况不符2.参数估计

使用logistic模型预测美国口变化

求解的matlab代码如下：clc,cleara=textread('data4.txt’);%把原始数据保存在纯文本文件data4.txt中，读取data4里保存的数据，6*8矩阵x=a([2:2:6],:)’;

%提出人口数据，提取2,4,6行（人口）数据,并且转置x=nonzeros(x);%去掉后面的零，并变成列向量t=[1790:10:2000]’;t0=t(1);x0=x(1);%取1970年的人口和年份作为初始数据fun=@(cs,td)cs(1)./(1+(cs(1)/x0-1)*exp(-cs(2)*(td-t0)));%cs(1)=xm,cs(2)=rcs=lsqcurvefit(fun,rand(2,1),t(2:end),x(2:end),zeros(2,1))%非线性最小二乘估计得出cs

xhat=fun(cs,[t;2010])%预测已知年代和2010年的人口t1=[t;2010];plot(t1,xhat,'*-',t,x,'+-’)title('logistic预测美国人口变化’)xlabel('时间t’)ylabel('人口（百万）')3.结果显示4.结果分析最后求得xm=342.4395，r=0.0274,2010年人口的预测值为282.6788百万人拟合的曲线也与理论的logistic曲线向吻合模型建立：把Logistic方程表示为

利用向后差分，得到差分方程,其中步长，下面拟合其中的参数和。

求解的matlab代码如下：clc,cleara=textread('data4.txt’);%把原始数据保存在纯文本文件data4.txt中x=a([2:2:6],:)';x=nonzeros(x);%提取人口数据，去零t=[1790:10:2000]';%时间数据a=[ones(21,1),-x(2:end)];%构造a矩阵作差分方程右端b=diff(x)./x(2:end)/10;%表示差分方程左端cs=a\b;%其实就是a*cs=b，得出cs两个值r=cs(1),xm=r/cs(2)%cs(1)代表差分方程右端系数r；cs（2）代表差分方程右端s，因为s=r/xm,所以xm=r/s结果显示结果分析r=0.0247，Xm=373.5135上述方法与logistic模型拟合的参数相比，由于拟合方法不同，所得出的参数也不相同49第四节传染病模型50传染病模型背景与问题基本方法·传染病具有极大危害（如艾滋病、SARS等）·描述传染病的传播过程·分析受感染人数的变化规律·预报传染病高潮到来的时刻·预防传染病蔓延的手段不是从医学角度分析各种传染病的特殊机理，而是按照传播过程的一般规律建立数学模型。51一、指数增长模型1.1模型假设1.2符号定义i(t)时刻t已经感染人数每个病人每天有效接触（足以使人致病）人数1.3模型的建立与求解(1)、每个病人每天有效接触（足以使人致病）人数为；(2)、一个人得病后，久治不愈，并在传染期内不会死亡。t到t+Δt时刻病人的增加人数为：设t=0时，有个病人，可得：其解为：随着t的增加，病人人数会按指数函数无限增长，之显然不符合实际情况，故其只适用于传染病传播初期52二、SI模型(区分病人和健康人，病人不会再被感染）2.1模型假设(1)每个病人每天有效接触人数为,且使接触的健康人致病。(2)一个人得病后，久治不愈，并在传染期内不会死亡；(3)在疾病传播期间内所考察地区的总人数不变。2.2符号定义2.3模型的建立与求解i(t)时刻t已经感染人数占总人数比例S(t)时刻t未被感染人数占总人数比例每个病人每天有效接触（足以使人致病）人数N该考察地区总人数t到t+Δt时刻病人的增加人数为：53用分离变量法得其解：令

可得：ii010t1/2tmt=tm时，di/dt最大tm传染病高潮到来时刻54三、SIS模型（病人可治愈成为健康人，健康人可再次被感染）3.1模型假设

在SI模型的基础上，增加假设每天可治愈病人μ人3.2符号定义i(t)时刻t已经感染人数占总人数比例S(t)时刻t未被感染人数占总人数比例每个病人每天有效接触（足以使人致病）人数N该考察地区总人数1/μ平均传染期3.3模型的建立与求解t到t+Δt时刻病人的增加人数为：55令可将上式化为：

~一个感染期内每个病人的有效接触人数，称为接触数。将上式改写为idi/dt0>10ti>11-1/

i0t

1i056由左式可以看出接触数=1是一个阈值

时i(t)最终趋于零，也就说疾病的传播被完全控制了如果，的增减性取决于

是否大于

。这时它将有一个非零的极限值，而不可能将疾病完全控制住。57四、SIR模型(人患病痊愈后有长期免疫力)4.1模型假设假设患过传染病而完全痊愈的任何人都具有长期免疫力，不考虑反复受传染的情形，且传染病潜伏期可忽略不计，即一个人患病后立即成为传染者。4.2符号定义

2）病人的日接触率，日移除率γ,记

=/γ1）总人数仍为N，病人、健康人和移除者的比例分别为，因此有4.3模型的建立与求解t到t+Δt时刻病人的增加人数为：58t到t+Δt时刻健康人的人数变化为：通过上式无法求出s(t)和i(t)的解析解，我们先做数值计算，设利用MATLAB软件编程可得：故可得：（通常约为0）59t012345678i(t)0.02000.03900.07320.12850.20330.27950.33120.34440.3247s(t)0.98000.95250.90190.81690.69270.54380.39950.28390.2027t91015202530354045i(t)0.28630.24180.07870.02230.00610.00170.00050.00010s(t)0.14930.11450.05430.04340.04080.04010.03990.03990.0398表1s(t),i(t)的数值计算结果图1s(t),i(t)图形图2i-s图形60消去dt相轨线

的定义域11si0D可得相轨线在数值计算和图形观察的基础上，利用相轨线进行讨论

为阈值61相轨线i(s)及其分析s(t)单调减

相轨线的方向P1:s0>

i(t)先升后降至0传染病蔓延P2:s0<

i(t)单调降至0传染病不蔓延满足62预防传染病蔓延的手段传染病不蔓延的条件——s0<1/

提高阈值1/

降低

(=

/

)

,

(日接触率)卫生水平

(日治愈率)

医疗水平

降低s0

由提高r0知可以群体免疫

的估计忽略可得五、SEIR模型(人被感染传染病后要经历病毒潜伏期)假设患过传染病而完全痊愈的任何人都具有长期免疫力，不考虑反复受传染的情形．并设传染病的潜伏期不可忽略不计，即一个人患了病之后需要经过一段时间后才能成为传染者。在所考虑时期内人口总数保持固定水平N不变，即不考虑出生及其他原因引起的死亡，以及迁出、迁入等情况．记t时刻已经感染人数(病人)占总人数的比例为i(t)(第一类人)；t时刻未被感染人数(健康人)占总人数的比例为s(t)(第二类人)；t时刻第三类人数(潜伏者)为e(t)；t时刻第四类人数(移除者)占总人数的比例为r(t)；因此有

ω1表示疾病的潜伏周期，即潜伏者经过时间ω1后后可能转化为病人；ω2表示治愈者在经过周期ω2后丧失免疫力，进而转化为易感者；λ表示个体与疾病的有效接触率；α1表示个体从潜伏状态转化为发病状态的比例；α2表示染病者转化为治愈者的比例；b表示个体的直接免疫率；u表示个体从潜伏状态转化为免疫状态的比例．5.1模型假设5.2符号定义5.3模型的建立传染病SEIR模型的传播机理为：当易感者与染病者接触并被传染后即成为染病者，染病者恢复后就进入移除者群体．当移除者不具有永久免疫力时，经过一段时间后又会成为易感者．有些疾病在潜伏期也具有传染力，而且将接触率推广到一般形式的接触率，具有一般形式的接触率模型是对具体模型的一种抽象，对于有些传染病在流行期间，易感者一旦被感染上病毒，在未发病之前(即潜伏期)就对外具有传染性．根据上述描述的传染病传播机理，建立的SEIR微分方程模型如下66第五节平衡点理论及建模67对于某些实际问题，建模的主要目的不是得到每个瞬间的动态，而是更关注于系统在某种假设下稳定状态的特征，特别是当时间趋于无穷时，系统的趋势，此时，可利用稳定性理论，直接研究系统平衡状态的稳定性。一、一阶微分方程的平衡点及稳定性1.1平衡点设一阶微分自治方程:解方程

得实根

，称其为原微分方程的平衡点1.2判断平衡点是否稳定1.2.1间接法若存在邻域，使得x(t)从这个领域中的某个x(0)出发，使得，则称平衡点是稳定的。681.2.2直接法若，则对于原微分方程是稳定的；若，则对于原微分方程是不稳定的。二、二阶微分方程的平衡点及稳定性2.1平衡点对于二阶自治微分方程:令:解得实根,,称其为原微分方程的平衡点，记作692.2判断平衡点是否稳定2.2.1间接法若存在某个邻域，使得

从这个领域中的某一点使得则称点

是稳定的；否则，则不是稳定的。2.2.2直接法2.2.2.1当为线性常系数方程

对线性常系数方程其系数矩阵70令若，则平衡点是稳定的；若，则平衡点是不稳定的。当为一般的非线性线性方程

利用泰勒公式，得到原方程的近似线性方程其系数矩阵再判断p，q的正负性，结论同上71三、二阶衡点及稳定性可再生资源的管理模型——以捕鱼模型为例资源分为可再生资源（林业、渔业等）和非可再生资源（矿业等）。再生资源应适度开发——在持续稳产前提下实现最大产量或最佳效益。背景723.1基本捕鱼模型x(t)

t时刻渔场的鱼量

h(x)

单位时间的捕捞量f(x)

自然情况下，单位时

E

单位时间的捕捞率

间鱼量的增长量

r

固有增长率

N

环境允许的最大鱼量

F(x)单位时间内鱼量的变化

3.1.1符号定义3.1.2模型建立及求解自然情况下，鱼量的增长满足Logistic模型规律，故可得：又有：由于并不需要求解鱼量的动态变化过程，而只希望知道稳定的鱼量和保持稳定鱼量的条件，并进一步确定最大可持续产量，所以我们可以利用微分方程的平衡点及稳定性理论求解此类问题。73单位时间内鱼量的变化＝单位时间内自然情况下鱼量的增长量－单位时间内捕捞量，故：根据一阶微分方程的平衡点及稳定性理论，令：得到两个平衡点：易求得：故可知：当，是稳定的，不稳定；

当，是稳定的，不稳定。结论：当捕捞适度（E<r)时，鱼群总量最后将稳定在；当过度捕捞(E>r)时，鱼群总量最后将趋近于0，即鱼群将灭亡。743.2鱼量稳定且捕捞量最大的模型求解以渔场鱼量为横坐标，自然情况下的增长量或捕捞量为纵坐标，将和做在同一个坐标轴上，如右图所示y=rxhPx0hmx0*=N/2P*y=E*xy0y=h(x)=ExxNy=f(x)保证鱼量稳定:找交点;捕捞量最大：找最大纵坐标值的交点。分析：鱼量稳定且捕捞适度，故有E<r，又y=f(x)在原点的切线斜率为r，故两条线一定会有交点，交点表示自然情况下的增长量和捕捞量相等，交点的横坐标为鱼量的稳定值，纵坐标为此时的捕捞量。平衡点：最大捕捞量：捕捞率：75

P

鱼的单价

T

单位时间的收入

c

单位捕捞率的成本

S

单位时间的支出

R

单位时间的利润

E

单位捕捞率h(x)

单位时间的捕捞量

3.1.2符号定义3.1.3模型建立及求解在平衡点稳定的情况下，有鱼量，故可得：利润最大时，捕捞强度为：3.3计划捕捞时利润最大模型76分析：与求捕捞量最大的模型相比，在最大利润的情况下，捕捞强度和产量都有所减少，而稳定的鱼量有所增加。将代入得到稳定鱼量将稳定鱼量代入自然产量公式可得：77当时，，故在盲目捕捞下，经营者会加大捕捞强度；当时，，故经营者会减小捕捞强度。将

代入可得盲目捕捞下渔场稳定鱼量，由成本和价格比决定.3.4捕捞过度时模型求解令可以得其解：临界捕捞强度S(E)T(E)0rEpNEEsS(E)，T(E)或求解的matlab代码如下：clc,clearsymsrNExpc%r:固有增长率N:环境允许的最大鱼量E:捕捞强度

x:平衡状态鱼量p:鱼的单价c:单位捕捞率的成本R=p*N*E*(1-E/r)-c*E;%单位时间的利润公式，已知平衡状态鱼量x=N*（1-E/r）ER=simplify(solve(diff(R,E),E))

%diff函数表示R对E的导数公式，然后求解出利润最大时捕捞强度ErxR=simplify(subs(N*(1-E/r),{E},{ER}))%求解出最大捕捞强度时平衡状态鱼量hR=simplify(subs(r*x*(1-x/N),{x},{xR}))%代入捕捞量公式求出hREs=simplify(solve(R,E));%求出过度捕捞时的捕捞强度Es=Es(2)%取非零的捕捞强度xs=simplify(subs(N*(1-E/r),{E},{Es}))%求解出过度捕捞时稳定鱼量

结果显示80第六节差分方程模型81一、差分方程简介1.1差分定义对函数，规定t只取非负整数。记为变量y在t点的取值。一阶差分：二阶差分：n阶差分：1.2差分方程对含有未知函数的差分的函数方程，称其为差分方程如：或满足差分方程的序列称为该方程的解82

n阶常系数线性差分方程：2.1对于一阶线性常系数差分方程平衡点求解：由解得