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文档简介

拓扑的基拓扑学拓扑基的定义从前面拓扑的定义，我们知道拓扑是一个包含空集，全集，关于任意并和有限交封闭的集族。拓扑所满足的这些运算使得拓扑的结构可能相当复杂，因此，如果能从拓扑中找出某种意义下的代表元，使得拓扑可以完全由代表元通过集合的运算来生成，就可以很大程度的简化我们的讨论。为此，我们引入拓扑基的概念。拓扑的基定义2.1.1

若X是一个集合，X

的某个拓扑的一个基(basis)是X的一个子集族B(其成员称为基元素(basiselement))，满足条件∶如果

B满足以上两个条件，我们定义由B生成的拓扑T(topologygeratedby

B)

如下∶如果对于每一个x∈U,存在一个基元素B∈

B，使得x∈B⊂U,那么X的子集U称为X的开集(即是T的一个元素).显然,任意基元素B∈

B都是B

生成拓扑T的一个开集.BBB拓扑的基现在取T中元素的加标族Uα，α

∈J,我们证明证明∶只用验证T满足拓扑的定义.

若U为空集，它显然属于T

.同样，因为对于每一个x∈X，存在包含x的某一个基元素B且B⊂X，所以X在

T中.对于x∈U，存在一个指标α

∈J，使得x∈Uα.因为Uα∈

T，所以存在一个基元B

∈

B使得x∈B⊂Uα

⊂U，根据定义可得U∈

T.T

下面我们来验证由

B生成的族是一个拓扑∶T

B拓扑的基接下来我们证明

T关于有限交封闭.首先，任意选取

T的两个元素U1和U2，证明U1∩U2属于

T.任取x∈

U1∩U2,由于U1和U2在T中,存在基元B1

∈

B使得x∈B1

⊂U1，存在B2∈B使得x∈B2

⊂U2

.再由x∈

B1∩B2及拓扑基定义的第二条性质，存在基元B

∈

B,使得

x∈B

⊂B1∩B2

⊂U1∩U2由定义，U1∩U2属于

T.下面，我们归纳证明

T中有限个元素的交U1

∩U2∩···∩Un在

T中.当n=1时显然成立.假设对n－1

时结论成立，我们证明对n也成立.因为U1

∩U2∩···∩Un=

(U1

∩U2∩···∩Un－1)∩Un由假设U1

∩U2∩···∩Un－1属于

T,再由上面关于两个集合交的结论可得

(U1

∩U2∩···∩Un-1)∩Un也属于

T.

证毕.例2.2.1设B为平面上所有圆形域（圆周的内部）所组成的族，则B满足基的定义中的两个条件、第二个条件如图2.2.1所示.在由B生成的拓扑中，平面的一个子集U是开集，是指对于U中任意x，都有含于U中的某一个圆域.拓扑的基图2.2.1例2.2.2设B'为平面上所有矩形域（矩形的内部）的族，其中矩形的边平行于两个坐标轴，则B'满足基的定义中的两个条件.第二个条件如图2.2.2所示.这个条件是显然满足的，这是由于任何两个基元素的交，其本身就是一个基元素(或者是空集).图2.2.2拓扑的基例2.2.3设X是任意的一个集合.X的所有单点子集的族是X上离散拓扑的一个基.证明：

首先，所有单点子集构成的族满足拓扑基定义的两个

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