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文档简介
湖北省武汉市新洲三中2024年高考仿真卷数学试题考生请注意:1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内,不得在试卷上作任何标记。2.第一部分选择题每小题选出答案后,需将答案写在试卷指定的括号内,第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.2019年10月17日是我国第6个“扶贫日”,某医院开展扶贫日“送医下乡”医疗义诊活动,现有五名医生被分配到四所不同的乡镇医院中,医生甲被指定分配到医院,医生乙只能分配到医院或医院,医生丙不能分配到医生甲、乙所在的医院,其他两名医生分配到哪所医院都可以,若每所医院至少分配一名医生,则不同的分配方案共有()A.18种 B.20种 C.22种 D.24种2.已知函数(其中为自然对数的底数)有两个零点,则实数的取值范围是()A. B.C. D.3.已知为等差数列,若,,则()A.1 B.2 C.3 D.64.下边程序框图的算法源于我国古代的中国剩余定理.把运算“正整数除以正整数所得的余数是”记为“”,例如.执行该程序框图,则输出的等于()A.16 B.17 C.18 D.195.高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号,用其名字命名的“高斯函数”为:设,用表示不超过的最大整数,则称为高斯函数,例如:,,已知函数(),则函数的值域为()A. B. C. D.6.过双曲线的右焦点F作双曲线C的一条弦AB,且,若以AB为直径的圆经过双曲线C的左顶点,则双曲线C的离心率为()A. B. C.2 D.7.函数(其中是自然对数的底数)的大致图像为()A. B. C. D.8.《周易》历来被人们视作儒家群经之首,它表现了古代中华民族对万事万物的深刻而又朴素的认识,是中华人文文化的基础,它反映出中国古代的二进制计数的思想方法.我们用近代术语解释为:把阳爻“-”当作数字“1”,把阴爻“--”当作数字“0”,则八卦所代表的数表示如下:卦名符号表示的二进制数表示的十进制数坤0000震0011坎0102兑0113依此类推,则六十四卦中的“屯”卦,符号“”表示的十进制数是()A.18 B.17 C.16 D.159.若函数的图象经过点,则函数图象的一条对称轴的方程可以为()A. B. C. D.10.已知随机变量满足,,.若,则()A., B.,C., D.,11.由实数组成的等比数列{an}的前n项和为Sn,则“a1>0”是“S9>S8”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件12.双曲线的渐近线方程是()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.(5分)函数的定义域是____________.14.已知实数、满足,且可行域表示的区域为三角形,则实数的取值范围为______,若目标函数的最小值为-1,则实数等于______.15.若,则__________.16.若椭圆:的一个焦点坐标为,则的长轴长为_______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知数列是等差数列,前项和为,且,.(1)求.(2)设,求数列的前项和.18.(12分)在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数).以为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为(),将曲线向左平移2个单位长度得到曲线.(1)求曲线的普通方程和极坐标方程;(2)设直线与曲线交于两点,求的取值范围.19.(12分)已知函数.(1)若,证明:当时,;(2)若在只有一个零点,求的值.20.(12分)如图,椭圆的长轴长为,点、、为椭圆上的三个点,为椭圆的右端点,过中心,且,.(1)求椭圆的标准方程;(2)设、是椭圆上位于直线同侧的两个动点(异于、),且满足,试讨论直线与直线斜率之间的关系,并求证直线的斜率为定值.21.(12分)某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间[20,25),需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:最高气温[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)天数216362574以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.(1)求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率;(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元),当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时,写出Y的所有可能值,并估计Y大于零的概率.22.(10分)设函数.(1)若,时,在上单调递减,求的取值范围;(2)若,,,求证:当时,.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】
分两类:一类是医院A只分配1人,另一类是医院A分配2人,分别计算出两类的分配种数,再由加法原理即可得到答案.【详解】根据医院A的情况分两类:第一类:若医院A只分配1人,则乙必在医院B,当医院B只有1人,则共有种不同分配方案,当医院B有2人,则共有种不同分配方案,所以当医院A只分配1人时,共有种不同分配方案;第二类:若医院A分配2人,当乙在医院A时,共有种不同分配方案,当乙不在A医院,在B医院时,共有种不同分配方案,所以当医院A分配2人时,共有种不同分配方案;共有20种不同分配方案.故选:B【点睛】本题考查排列与组合的综合应用,在做此类题时,要做到分类不重不漏,考查学生分类讨论的思想,是一道中档题.2、B【解析】
求出导函数,确定函数的单调性,确定函数的最值,根据零点存在定理可确定参数范围.【详解】,当时,,单调递增,当时,,单调递减,∴在上只有一个极大值也是最大值,显然时,,时,,因此要使函数有两个零点,则,∴.故选:B.【点睛】本题考查函数的零点,考查用导数研究函数的最值,根据零点存在定理确定参数范围.3、B【解析】
利用等差数列的通项公式列出方程组,求出首项和公差,由此能求出.【详解】∵{an}为等差数列,,∴,解得=﹣10,d=3,∴=+4d=﹣10+11=1.故选:B.【点睛】本题考查等差数列通项公式求法,考查等差数列的性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.4、B【解析】
由已知中的程序框图可知,该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值,模拟程序的运行过程,代入四个选项进行验证即可.【详解】解:由程序框图可知,输出的数应为被3除余2,被5除余2的且大于10的最小整数.若输出,则不符合题意,排除;若输出,则,符合题意.故选:B.【点睛】本题考查了程序框图.当循环的次数不多,或有规律时,常采用循环模拟或代入选项验证的方法进行解答.5、B【解析】
利用换元法化简解析式为二次函数的形式,根据二次函数的性质求得的取值范围,由此求得的值域.【详解】因为(),所以,令(),则(),函数的对称轴方程为,所以,,所以,所以的值域为.故选:B【点睛】本小题考查函数的定义域与值域等基础知识,考查学生分析问题,解决问题的能力,运算求解能力,转化与化归思想,换元思想,分类讨论和应用意识.6、C【解析】
由得F是弦AB的中点.进而得AB垂直于x轴,得,再结合关系求解即可【详解】因为,所以F是弦AB的中点.且AB垂直于x轴.因为以AB为直径的圆经过双曲线C的左顶点,所以,即,则,故.故选:C【点睛】本题是对双曲线的渐近线以及离心率的综合考查,是考查基本知识,属于基础题.7、D【解析】由题意得,函数点定义域为且,所以定义域关于原点对称,且,所以函数为奇函数,图象关于原点对称,故选D.8、B【解析】
由题意可知“屯”卦符号“”表示二进制数字010001,将其转化为十进制数即可.【详解】由题意类推,可知六十四卦中的“屯”卦符号“”表示二进制数字010001,转化为十进制数的计算为1×20+1×24=1.故选:B.【点睛】本题主要考查数制是转化,新定义知识的应用等,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.9、B【解析】
由点求得的值,化简解析式,根据三角函数对称轴的求法,求得的对称轴,由此确定正确选项.【详解】由题可知.所以令,得令,得故选:B【点睛】本小题主要考查根据三角函数图象上点的坐标求参数,考查三角恒等变换,考查三角函数对称轴的求法,属于中档题.10、B【解析】
根据二项分布的性质可得:,再根据和二次函数的性质求解.【详解】因为随机变量满足,,.所以服从二项分布,由二项分布的性质可得:,因为,所以,由二次函数的性质可得:,在上单调递减,所以.故选:B【点睛】本题主要考查二项分布的性质及二次函数的性质的应用,还考查了理解辨析的能力,属于中档题.11、C【解析】
根据等比数列的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可.【详解】解:若{an}是等比数列,则,
若,则,即成立,
若成立,则,即,
故“”是“”的充要条件,
故选:C.【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,利用等比数列的通项公式是解决本题的关键.12、C【解析】
根据双曲线的标准方程即可得出该双曲线的渐近线方程.【详解】由题意可知,双曲线的渐近线方程是.故选:C.【点睛】本题考查双曲线的渐近线方程的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意双曲线的简单性质的合理运用.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】
要使函数有意义,则,即,解得,故函数的定义域是.14、【解析】
作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,结合目标函数的最小值,利用数形结合即可得到结论.【详解】作出可行域如图,则要为三角形需满足在直线下方,即,;目标函数可视为,则为斜率为1的直线纵截距的相反数,该直线截距最大在过点时,此时,直线:,与:的交点为,该点也在直线:上,故,故答案为:;.【点睛】本题主要考查线性规划的应用,利用目标函数的几何意义,结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法,属于基础题.15、【解析】
因为,由二倍角公式得到,故得到.故答案为.16、【解析】
由焦点坐标得从而可求出,继而得到椭圆的方程,即可求出长轴长.【详解】解:因为一个焦点坐标为,则,即,解得或由表示的是椭圆,则,所以,则椭圆方程为所以.故答案为:.【点睛】本题考查了椭圆的标准方程,考查了椭圆的几何意义.本题的易错点是忽略,从而未对的两个值进行取舍.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)(2)【解析】
(1)由数列是等差数列,所以,解得,又由,解得,即可求得数列的通项公式;(2)由(1)得,利用乘公比错位相减,即可求解数列的前n项和.【详解】(1)由题意,数列是等差数列,所以,又,,由,得,所以,解得,所以数列的通项公式为.(2)由(1)得,,,两式相减得,,即.【点睛】本题主要考查等差的通项公式、以及“错位相减法”求和的应用,此类题目是数列问题中的常见题型,解答中确定通项公式是基础,准确计算求和是关键,易错点是在“错位”之后求和时,弄错等比数列的项数,能较好的考查考生的数形结合思想、逻辑思维能力及基本计算能力等.18、(1)的极坐标方程为,普通方程为;(2)【解析】
(1)根据三角函数恒等变换可得,,可得曲线的普通方程,再运用图像的平移得依题意得曲线的普通方程为,利用极坐标与平面直角坐标互化的公式可得方程;(2)法一:将代入曲线的极坐标方程得,运用韦达定理可得,根据,可求得的范围;法二:设直线的参数方程为(为参数,为直线的倾斜角),代入曲线的普通方程得,运用韦达定理可得,根据,可求得的范围;【详解】(1),,即曲线的普通方程为,依题意得曲线的普通方程为,令,得曲线的极坐标方程为;(2)法一:将代入曲线的极坐标方程得,则,,,异号,,,;法二:设直线的参数方程为(为参数,为直线的倾斜角),代入曲线的普通方程得,则,,,异号,,.【点睛】本题考查参数方程与普通方程,极坐标方程与平面直角坐标方程之间的转化,求解几何量的取值范围,关键在于明确极坐标系中极径和极角的几何含义,直线的参数方程,参数的几何意义,属于中档题.19、(1)见解析;(2)【解析】
分析:(1)先构造函数,再求导函数,根据导函数不大于零得函数单调递减,最后根据单调性证得不等式;(2)研究零点,等价研究的零点,先求导数:,这里产生两个讨论点,一个是a与零,一个是x与2,当时,,没有零点;当时,先减后增,从而确定只有一个零点的必要条件,再利用零点存在定理确定条件的充分性,即得a的值.详解:(1)当时,等价于.设函数,则.当时,,所以在单调递减.而,故当时,,即.(2)设函数.在只有一个零点当且仅当在只有一个零点.(i)当时,,没有零点;(ii)当时,.当时,;当时,.所以在单调递减,在单调递增.故是在的最小值.①若,即,在没有零点;②若,即,在只有一个零点;③若,即,由于,所以在有一个零点,由(1)知,当时,,所以.故在有一个零点,因此在有两个零点.综上,在只有一个零点时,.点睛:利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解.(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题,从而构建不等式求解.20、(1);(2)详见解析.【解析】试题分析:(1)利用题中条件先得出的值,然后利用条件,结合椭圆的对称性得到点的坐标,然后将点的坐标代入椭圆方程求出的值,从而确定椭圆的方程;(2)将条件得到直线与的斜率直线的关系(互为相反数),然后设直线的方程为,将此直线的方程与椭圆方程联立,求出点的坐标,注意到直线与的斜率之间的关系得到点的坐标,最后再用斜率公式证明直线的斜率为定值.(1),,又是等腰三角形,所以,把点代入椭圆方程,求得,所以椭圆方程为;(2)由题易得直线、斜率均存在,又,所以,设直线代入椭圆方程,化简得,其一解为,另一解为,可求,用代入得,,为定值.考点:1.椭圆的方程;2.直线与椭圆的位置关系;3.两点间连线的斜率21、(1).(2).【解析】
(1)由前三年六月份各天的最高气温数据,求出最高气温位于区间[20,25)和最高气温低于20的天数,由此能求出六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率.(2)当温度大于等于25℃时,需求量为500,求出Y=900元;当温度在[20,25)℃时,需求量为300,求出Y=300元;当温度低于20℃时,需求量为200,求出Y=﹣100元,从而当温度大于等于20时,Y>0,由此能估计估计Y大于零的概率.【详解】解:(1)由前三年六月份各天的最高气温数据,得到最高气温位于区间[20,25)和最高气温低于20的
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