广东省广州市六中、二中、广雅、省实、执信五校2022-2023学年高一下学期期末联考数学试题含解析

2022学年下学期高一期末五校联考试卷(数学)命题学校：广州市第六中学一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑.1.复数(是虚数单位)在复平面内对应的点在()A第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知平面向量与为单位向量，它们的夹角为，则()A. B. C. D.3.已知函数，则方程的解的个数是()A.0 B.1 C.2 D.34.函数最小正周期是A B. C. D.5.下列不等式恒成立的是()A. B.C. D.6.已知，是两条不重合的直线，，，是三个不重合的平面，则下列命题正确的是()A.若，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，则7.北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果.在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度(轨道高度是指卫星到地球表面的距离)为h.将地球看作是一个球心为O，半径为r的球，其上点A的纬度是指与赤道平面所成角的度数.如果地球表面上某一观测点与该卫星在同一条子午线(经线)所在的平面，且在该观测点能直接观测到该卫星.若该观测点的纬度值为，观测该卫星的仰角为，则下列关系一定成立的是()A. B.C. D.8.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的边长为2，M是BB1的中点，点P在正方体内部或表面上，且MP平面AB1D1，则动点P的轨迹所形成的区域面积是()A. B. C. D.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑.9.已知某地区某周7天每天的最高气温分别为23，25，13，10，13，12，19(单位℃)．则()A.该组数据的平均数为 B.该组数据的中位数为13C.该组数据的第70百分位数为16 D.该组数据的极差为1510.把函数的图像向左平移个单位长度，再把横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)得到函数的图像，下列关于函数的说法正确的是()A.最小正周期为 B.在区间上的最大值为C.图像的一个对称中心为 D.图像的一条对称轴为直线11.在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则下列结论正确的有()A.B.的取值范围为C.的取值范围为D.的取值范围为12.如图是一个正方体的侧面展开图，是顶点，是所在棱的中点，则在这个正方体中，下列结论正确的是()A.与异面B.平面C.平面平面D.与平面所成角的正弦值是三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答题卡的相应位置上.13已知树人中学高一年级总共有学生n人，其中男生550人，按男生、女生进行分层，并按比例分配抽取名学生参加湿地保护知识竞赛，已知参赛学生中男生比女生多10人，则______.14.在直角三角形ABC中，已知，，，以AC为旋转轴将旋转一周，AB、BC边形成的面所围成的旋转体是一个圆锥，则经过该圆锥任意两条母线的截面三角形的面积的最大值为______.15.已知正四棱台的上、下底面边长分别是1和2，所有顶点都在球O的球面上，若球O的表面积为，则此正四棱台的侧棱长为__________．16.如图是正八边形ABCDEFGH，其中O是该正八边形的中心，P是正八边形ABCDEFGH八条边上的动点.若，则该八边形的面积为______，的取值范围为______.四、解答题：本大题共6小题，第17题10分，18、19、20、21、22题各12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效17.已知函数，.(1)求函数的最小正周期和单调递减区间；(2)求函数在上的最小值及相应自变量的值.18.5月11日是世界防治肥胖日.我国超过一半的成年人属于超重或肥胖，6～17岁的儿童青少年肥胖率接近20%，肥胖已成为严重危害我国居民健康的公共卫生问题.目前，国际上常用身体质量指数(BodyMassIndex，缩写BMI)来衡量人体胖瘦程度以及是否健康.我国成人的BMI数值标准为：BMI<18.5为偏瘦；18.5≤BMI<24为正常；24≤BMI<28为偏胖；BMI≥28为肥胖.为了解某公司员工的身体肥胖情况，研究人员从公司员工体检数据中，采用比例分配的分层随机抽样方法抽取了60名男员工、40名女员工的身高和体重数据，通过计算得到男女员工的BMI值并将女员工的BMI值绘制成如图所示的频率分布直方图：(1)求图中a的值，并估计样本中女员工BMI值的70%分位数；(2)已知样本中男员工BMI值的平均数为22，试估计该公司员工BMI值的平均数.19.在中，角所对的边分别是，且满足(1)求角；(2)如图，若外接圆半径为，为的中点，且，求的周长.20.近年来，我国在航天领域取得了巨大成就，得益于我国先进的运载火箭技术.据了解，在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式计算火箭的最大速度v(单位：m/s).其中(单位m/s)是喷流相对速度，m(单位：kg)是火箭(除推进剂外)的质量，M(单位：kg)是推进剂与火箭质量的总和，称为“总质比”，已知A型火箭的喷流相对速度为2000m/s.参考数据：.(1)当总质比为230时，利用给出的参考数据求A型火箭的最大速度；(2)经过材料更新和技术改进后，A型火箭的喷流相对速度提高到了原来的1.5倍，总质比变为原来的，若要使火箭的最大速度增加500m/s，记此时在材料更新和技术改进前的总质比为T，求不小于T的最小整数？21.如图，已知四棱锥的底面ABCD为梯形，，，，，，直线PA与底面ABCD所成角为.(1)若E为PD上一点且，证明：平面；(2)求二面角的余弦值.22.设a为正数，函数满足且(1)若f(1)=1，求f(x)；(2)设，若对任意实数t，总存在x1、x2∈[t-1，t+1]，使得f(x1)-f(x2)≥g(x3)-g(x4)对所有x3,x4∈都成立，求a的取值范围.

2022学年下学期高一期末五校联考试卷(数学)命题学校：广州市第六中学一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑.1.复数(是虚数单位)在复平面内对应的点在()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】【分析】根据复数除法运算可求得，根据对应点的坐标可得结果.【详解】，对应的点为，位于第三象限.故选：C.2.已知平面向量与为单位向量，它们的夹角为，则()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由向量数量积定义可得，根据向量数量积的运算律可由求得结果.【详解】，.故选：D.3.已知函数，则方程的解的个数是()A.0 B.1 C.2 D.3【答案】C【解析】【分析】令，则方程的解的个数即函数与函数的图象的交点的个数．作出函数与函数的图象，即可得到两个函数图象的交点的个数．【详解】解：令，得，则方程解的个数即函数与函数的图象的交点的个数．作出函数与函数的图象，可知两个函数图象的交点的个数为2，故方程的解的个数为2个．故选：C4.函数的最小正周期是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先由诱导公式及两角的正弦公式将原式展开，再用二倍角公式及半角公式降幂，结合辅助角公式化为一个角的三角函数，用周期公式求出周期;【详解】.∴.故选C.【点睛】本题主要考查了三角恒等变换、诱导公式、周期公式、辅助角公式等知识，熟练运用这些公式是解题的关键，属于基础题.5.下列不等式恒成立的是()A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用特殊值判断A、C，利用重要不等式判断B，作差可判断D；【详解】解：对于A：若、时，故A错误；对于B：因为，所以，所以，即，当且仅当时取等号，故B错误；对于C：若、时，，故C错误；对于D：因为，所以，即，当且仅当时取等号，故D正确；故选：D6.已知，是两条不重合的直线，，，是三个不重合的平面，则下列命题正确的是()A.若，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，则【答案】D【解析】【分析】对ABC，举反例判断即可；对D根据线面平行与线面垂直的性质判定即可【详解】对A，若，，则或，故A错误；对B，若，，则或，故B错误；对C，长方体同一顶点所在的三个平面满足，，，故C错误；对D，若，则平行于内的一条直线，又，故，故成立，故D正确；故选：D7.北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果.在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度(轨道高度是指卫星到地球表面的距离)为h.将地球看作是一个球心为O，半径为r的球，其上点A的纬度是指与赤道平面所成角的度数.如果地球表面上某一观测点与该卫星在同一条子午线(经线)所在的平面，且在该观测点能直接观测到该卫星.若该观测点的纬度值为，观测该卫星的仰角为，则下列关系一定成立的是()A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意，画出示意图，在三角形OAB中利用正弦定理即求解.【详解】解：如图所示，，由正弦定理可得，即，化简得，故选：A.8.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的边长为2，M是BB1的中点，点P在正方体内部或表面上，且MP平面AB1D1，则动点P的轨迹所形成的区域面积是()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】过点作平面的平行平面，再求解多边形的面积即可.【详解】根据题意，过点作出平面的平行平面，如下所示：因为////，////，////，又，平面，平面，故平面//平面.则点的轨迹图形如上图阴影部分所示.显然，该六边形是正六边形，边长为.故该六边形面积为6个全等的边长为的三角形的面积和.即.故选：C【点睛】本题考查面面平行的判定，以及正方体的截面问题，属综合中档题.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑.9.已知某地区某周7天每天的最高气温分别为23，25，13，10，13，12，19(单位℃)．则()A.该组数据的平均数为 B.该组数据的中位数为13C.该组数据的第70百分位数为16 D.该组数据的极差为15【答案】ABD【解析】【分析】根据平均数、中位数、百分位数和极差的定义判断即可．【详解】将23，25，13，10，13，12，19从小到大排列为10，12，13，13，19，23，25，对于A，该组数据的中位数为，故A正确；对于B，该组数据的中位数为13，故B正确；对于C，由，则该组数据的第70百分位数为从小到大排列的第5个数，是19，故C错误；对于D，该组数据的极差为，故D正确．故选：ABD．10.把函数的图像向左平移个单位长度，再把横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)得到函数的图像，下列关于函数的说法正确的是()A.最小正周期为 B.在区间上的最大值为C.图像的一个对称中心为 D.图像的一条对称轴为直线【答案】AD【解析】【分析】根据伸缩平移变换可得函数的解析式，进而判断各选项中图像性质.【详解】的图像向左平移个单位长度得函数，再把横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)得到函数，其最小正周期为，A选项正确；由，得，则当，即时，取最大值为，B选项错误；令，，得，，所以函数的对称中心为，，所以不成立，C选项错误；令，，解得，，所以函数的对称轴为，，当时，，D选项正确；故选：AD.11.在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则下列结论正确的有()A.B.的取值范围为C.的取值范围为D.的取值范围为【答案】AC【解析】【分析】由余弦定理可得，再由正弦定理将边化角，由两角和的正弦公式可得，即可判断A，再根据三角形为锐角三角形，即可求出角的范围，从而判断B，再根据三角函数的性质判断C、D；【详解】解：因为，又由余弦定理，即，所以，所以，即，由正弦定理可得，又，，即，，，，为锐角，，即，故选项A正确；，，，故选项B错误；，故选项C正确；，又，，令，则，由对勾函数性质可知，在上单调递增，又，，，故选项D错误．故选：AC．12.如图是一个正方体的侧面展开图，是顶点，是所在棱的中点，则在这个正方体中，下列结论正确的是()A.与异面B.平面C.平面平面D.与平面所成的角的正弦值是【答案】ABD【解析】【分析】由展开图还原得到正方体，根据异面直线定义可知A正确；利用平行四边形证得，由线面平行判定可知B正确；假设两平面垂直，可知平面，由线面平行性质得，可知假设错误，即C错误；由线面角定义可知所求角为，由长度关系可求得D正确.【详解】由展开图还原正方体如下图所示，其中分别为中点，对于A，平面，平面，，与为异面直线，A正确；对于B，连接，分别为中点，，，又，，，，四边形为平行四边形，，又平面，平面，平面，B正确；对于C，假设平面平面成立，平面，平面，平面，平面，平面平面，，显然不成立，假设错误，平面与平面不垂直，C错误；对于D，连接，直线与平面所成角即为直线与平面所成角，平面，即为直线与平面所成角，设正方体棱长为，，，即直线与平面所成角的正弦值为，D正确.故选：ABD.【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何中的线线、线面与面面关系有关命题的判断，解题关键是能够根据展开图准确还原正方体，从而确定平面图中的点的具体位置，结合平行与垂直关系相关判定与性质定理得到结果.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答题卡的相应位置上.13.已知树人中学高一年级总共有学生n人，其中男生550人，按男生、女生进行分层，并按比例分配抽取名学生参加湿地保护知识竞赛，已知参赛学生中男生比女生多10人，则______.【答案】1000【解析】【分析】根据分层抽样相关知识直接计算即可.【详解】总共有学生n人，其中男生550人，则女生有人；抽取名学生，则男生有人，女生有人，因为参赛学生中男生比女生多10人，所以，解得.故答案为：100014.在直角三角形ABC中，已知，，，以AC为旋转轴将旋转一周，AB、BC边形成的面所围成的旋转体是一个圆锥，则经过该圆锥任意两条母线的截面三角形的面积的最大值为______.【答案】8【解析】【分析】设两条母线为AB、AD，则截面面积为，由为定值可知当最大时，截面面积最大，结合图形求出的范围即可求解．【详解】如图，圆锥任意两条母线为AB和AD，则截面为等腰三角形ABD，∴截面面积为：，由图可知，当截面为圆锥轴截面时，∠BAD最大，最大为120°，∴，∴sin∠BAD最大值为1，∵为定值，故当sin∠BAD最大时截面面积最大，故截面面积最大为．故答案：815.已知正四棱台的上、下底面边长分别是1和2，所有顶点都在球O的球面上，若球O的表面积为，则此正四棱台的侧棱长为__________．【答案】【解析】【分析】根据题意可得球O的半径，结合外接球的性质可得外接球心O在底面的中心，再根据几何关系求解侧棱长即可【详解】设上下底面互相平行的两对角线分别为，则由球O的表面积为可得球O的半径，又正四棱台的上、下底面边长分别是1和2，故，所以球O的球心正好在中点.故.所以正，故，所以正，故此正四棱台的侧棱长故答案为：16.如图是正八边形ABCDEFGH，其中O是该正八边形的中心，P是正八边形ABCDEFGH八条边上的动点.若，则该八边形的面积为______，的取值范围为______.【答案】①.②.【解析】【分析】根据正八边形的面积为，根据三角形的面积公式求出的面积即可；根据，求出，则要求的范围，只要求出的范围即可.【详解】在正八边形中，，所以正八边形的面积为；因为，所以，又，所以，所以，因为，又为定值，所以的取值范围，即取值范围，设，所以，当取最小值时，即取最小值，又表示向量在向量上的投影，故取最小值时，点不可能在路径上(在此路径上为锐角)，所以点在路径上，延长与，延长线交于点，则为等腰直角三角形，且，所以，所以当点在上时，向量在向量上的投影最小，即最小，即，所以，所以.又因为取最大值时，即取最大值，又表示向量在向量上的投影，故取最大值时，点不可能在路径上(在此路径上为钝角)，所以点在路径上，延长与，延长线交于点，则三角形为等腰直角三角形，且，所以，即所以当点在上时，向量在向量上的投影最大，即最大，即，所以所以.故答案为：；.四、解答题：本大题共6小题，第17题10分，18、19、20、21、22题各12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效17.已知函数，.(1)求函数的最小正周期和单调递减区间；(2)求函数在上的最小值及相应自变量的值.【答案】(1)函数的最小正周期，单调递减区间为，.(2)最小值为，相应的.【解析】【分析】(1)化简，根据余弦函数的最小正周期公式和单调递减区间可得结果；(2)根据余弦函数的图象可求出结果.【小问1详解】，函数的最小正周期.由，，得，，所以单调递减区间为，.【小问2详解】当时，，所以当，即时，取得最小值.18.5月11日是世界防治肥胖日.我国超过一半的成年人属于超重或肥胖，6～17岁的儿童青少年肥胖率接近20%，肥胖已成为严重危害我国居民健康的公共卫生问题.目前，国际上常用身体质量指数(BodyMassIndex，缩写BMI)来衡量人体胖瘦程度以及是否健康.我国成人的BMI数值标准为：BMI<18.5为偏瘦；18.5≤BMI<24为正常；24≤BMI<28为偏胖；BMI≥28为肥胖.为了解某公司员工的身体肥胖情况，研究人员从公司员工体检数据中，采用比例分配的分层随机抽样方法抽取了60名男员工、40名女员工的身高和体重数据，通过计算得到男女员工的BMI值并将女员工的BMI值绘制成如图所示的频率分布直方图：(1)求图中a的值，并估计样本中女员工BMI值的70%分位数；(2)已知样本中男员工BMI值的平均数为22，试估计该公司员工BMI值的平均数.【答案】(1)，样本中女员工BMI值的70%分位数为，(2)【解析】【分析】(1)根据频率分布直方图的矩形面积之和为1可求出a的值，再根据百分位数的定义求解70%分位数；(2)先根据频率分布直方图计算女员工的平均BMI值，再求解该公司员式BMI值的平均数即可.【小问1详解】由题意得，解得，因为，，所以分位数在，设分位数为，则，解得，所以样本中女员工BMI值的70%分位数为，【小问2详解】由题意得，样本中女员工BMI值的平均数为，所以估计该公司员工BMI值的平均数为19.在中，角所对的边分别是，且满足(1)求角；(2)如图，若外接圆半径为，为的中点，且，求的周长.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)利用正弦定理边化角和两角和差正弦公式可化简已知等式求得，由此可得；(2)利用正弦定理可求得，由余弦定理可得；方法一：根据，利用余弦定理可得，根据可求得，进而得到三角形周长；方法二：根据，由向量数量积定义和运算律可左右平方求得，根据可求得，进而得到三角形周长.【小问1详解】由正弦定理得：，又，，即，又，，，又，.【小问2详解】由正弦定理得：，解得：，即，为边上的中点，，由余弦定理得：，即…①；方法一：在中，，在中，；，，即，整理得：…②，由①②得：，，解得：，的周长为.方法二：由向量加法得：，，即…②，由①②得：，，解得：，的周长为.20.近年来，我国在航天领域取得了巨大成就，得益于我国先进的运载火箭技术.据了解，在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式计算火箭的最大速度v(单位：m/s).其中(单位m/s)是喷流相对速度，m(单位：kg)是火箭(除推进剂外)的质量，M(单位：kg)是推进剂与火箭质量的总和，称为“总质比”，已知A型火箭的喷流相对速度为2000m/s.参考数据：.(1)当总质比为230时，利用给出的参考数据求A型火箭的最大速度；(2)经过材料更新和技术改进后，A型火箭的喷流相对速度提高到了原来的1.5倍，总质比变为原来的，若要使火箭的最大速度增加500m/s，记此时在材料更新和技术改进前的总质比为T，求不小于T的最小整数？【答案】(1)(2)45【解析】【分析】(1)运用代入法直接求解即可；(2)根据题意列出不等式，结合对数的运算性质和已知题中所给的参考数据进行求解即可.【小问1详解】当总质比为230时，，即A型火箭的最大速度为.【小问2详解】A型火箭的喷流相对速度提