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文档简介
湖南省株洲市震阳中学2022-2023学年高一数学文下学期摸底试题含解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1.函数f(x)=x2﹣4x+4的零点是()A.(0,2) B.(2,0) C.2 D.4参考答案:C【考点】函数的零点.【分析】由函数零点的定义列出方程x2﹣4x+4=0,求出方程的根是函数的零点.【解答】解:由f(x)=x2﹣4x+4=0得,x=2,所以函数f(x)=x2﹣4x+4的零点是2,故选C.2.为了得到函数,的图象,只需把函数,的图象(
)A.向右平移个单位长度
B.向左平移个单位长度C.向右平移个单位长度
D.向左平移个单位长度参考答案:B只需把向左平移个单位长度故选
3.在△ABC中,分别是,的中点,且,若恒成立,则的最小值为(
)A
B1
C
D参考答案:C4.已知函数,那么的表达式是
(
)、
、
、
、参考答案:A5.函数,那么的奇偶性是(
)A.奇函数
B.既不是奇函数也不是偶函数C.偶函数
D.既是奇函数也是偶函数参考答案:略6.已知log7[log3(log2x)]=0,那么x等于(
)
(A)
(B)
(C)
(D)参考答案:C7.在底面是正方形的四棱锥P﹣ABCD中,已知PD⊥底面ABCD,且PD=CD,E为PC的中点,则异面直线PA与DE所成的角是()A.90° B.60° C.45° D.30°参考答案:B【考点】异面直线及其所成的角.【分析】由条件看出DA,DC,DP三直线两两垂直,从而可分别以这三直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,并设DA=1,这样便可求出A,P,D,E的坐标,从而求出向量的坐标,进而求出cos的值,从而求出异面直线PA,DE所成的角.【解答】解:如图,根据条件,分别以DA,DC,DP所在直线为x,y,z轴,建立如图所示空间直角坐标系,并设DA=1,则:DC=DP=1;A(1,0,0),P(0,0,1),D(0,0,0),C(0,1,0),E();∴;∴,;∴;∴的夹角为120°;∴异面直线PA与DE所成的角是60°.故选B.8.下列函数中表示相同函数的是(
)A.与
B.与
C.与
D.与参考答案:C略9.已知数列{an}的通项公式,若对恒成立,则正整数k的值为(
)A.5
B.6
C.7
D.8参考答案:A,当时,;当时,,由题意知,是{an}的前n项乘积的最大值,所以k=5.10.函数在上递减,那么在上(
).A.递增且有最大值
B.递减且无最小值
C.递增且无最大值
D.递减且有最小值参考答案:A令,是的递减区间,即,是的递增区间,即递增且无最大值.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.1已知不共线的三个向量,,满足,则=
.参考答案:112.甲船在岛的正南处,,甲船以每小时的速度向正北方向航行,同时乙船自出发以每小时的速度向北偏东的方向驶去,甲、乙两船相距最近的距离是_____.参考答案:【分析】根据条件画出示意图,在三角形中利用余弦定理求解相距的距离,利用二次函数对称轴及可求解出最值.【详解】假设经过小时两船相距最近,甲、乙分别行至,,如图所示,可知,,,.当小时时甲、乙两船相距最近,最近距离为.【点睛】本题考查解三角形的实际应用,难度较易.关键是通过题意将示意图画出来,然后将待求量用未知数表示,最后利用函数思想求最值.13.原点到直线的距离等于
参考答案:14.已知锐角ABC中,tanB=2,tanC=3,则角A=_
参考答案:15.已知是定义在上的偶函数,并且,当时,,则_________________.参考答案:2.516.lg+lg的值是.参考答案:1【考点】对数的运算性质.【分析】直接利用对数的运算性质求解即可.【解答】解:==1.故答案为:1.【点评】本题考查对数的运算性质,基本知识的考查.17.如图2,将锐角A为60°,边长为a的菱形ABCD沿BD折成二面角,使A与C之间的距离为,则二面角A-BD-C的平面角的大小为________。参考答案:60°略三、解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18.已知:,,,.(1)求的值;(2)求的值.参考答案:解:(1),(2)又又
19.已知,,若是的必要不充分条件,求实数的取值范围.参考答案:20.(13分)已知函数y=x+有如下性质:如果常数t>0,那么该函数在上是减函数,在上是增函数.(1)已知f(x)=,x∈[﹣1,1],利用上述性质,求函数f(x)的单调区间和值域;(2)对于(1)中的函数f(x)和函数g(x)=﹣x﹣2a,若对任意x1∈[﹣1,1],总存在x2∈[0,1],使得g(x2)=f(x1)成立,求实数a的值.参考答案:【考点】函数单调性的判断与证明;函数的值.【专题】函数思想;综合法;函数的性质及应用.【分析】(1)根据条件,先变形f(x)=,可令x+2=u,1≤u≤3,而函数u=x+2为增函数,从而根据复合函数的单调性及已知的性质便可得出f(x)的减区间为[﹣1,0],增区间为[0,1],进一步便可得出f(x)的值域为[﹣2,﹣1];(2)根据题意便知f(x)的值域为g(x)的子集,而容易求出g(x)的值域为[﹣1﹣2a,﹣2a],从而得出,这样即可得出实数a的值.【解答】解:(1)y==x+2+﹣6;设u=x+2,x∈[﹣1,1],1≤u≤3,u=x+2为增函数;则y=u+﹣6,u∈[1,3];由已知性质得,①当1≤u≤2,即﹣1≤x≤0时,f(x)单调递减;∴f(x)的减区间为[﹣1,0];②当2≤u≤3,即0≤x≤1时,f(x)单调递增;∴f(x)的增区间为[0,1];由f(﹣1)=﹣1,f(0)=﹣2,f(1)=;得f(x)的值域为[﹣2,﹣1];(2)g(x)=﹣x﹣2a为减函数,x∈[0,1];故g(x)∈[﹣1﹣2a,﹣2a];由题意,f(x)的值域是g(x)的值域的子集;∴;∴;即实数a的值为.【点评】考查分离常数法的运用,复合函数的单调性及单调区间的求法,一次函数的单调性,根据函数单调性求函数的值域,以及子集的概念.21.(12分)已知点P(2,0)及圆C:x2+y2﹣6x+4y+4=0.(1)若直线l过点P且与圆心C的距离为1,求直线l的方程;(2)设过点P的直线ll与圆C交于M、N两点,当|MN|=4时,求以线段MN为直径的圆Q的方程;(3)设直线ax﹣y+1=0与圆C交于A,B两点,是否存在实数a,使得过点P(2,0)的直线l2垂直平分弦AB?若存在,求出实数a的值;若不存在,请说明理由.参考答案:考点: 直线与圆的位置关系.专题: 计算题;直线与圆.分析: (1)分两种情况:当直线l的斜率存在时,设出直线l的斜率为k,由P的坐标和设出的k写出直线l的方程,利用点到直线的距离公式表示出P到直线l的距离d,让d等于1列出关于k的方程,求出方程的解即可得到k的值,利用求出的k和P写出直线l的方程即可;当直线l的斜率不存在时,得到在线l的方程,经过验证符合题意;(2)由利用两点间的距离公式求出圆心C到P的距离,再根据弦长|MN|的一半及半径,利用勾股定理求出弦心距d,发现|CP|与d相等,所以得到P为MN的中点,所以以MN为直径的圆的圆心坐标即为P的坐标,半径为|MN|的一半,根据圆心和半径写出圆的方程即可;(3)把已知直线的方程代入到圆的方程中消去y得到关于x的一元二次方程,因为直线与圆有两个交点,所以得到△>0,列出关于a的不等式,求出不等式的解集即可得到a的取值范围,利用反证法证明:假设符合条件的a存在,由直线l2垂直平分弦AB得到圆心必在直线l2上,根据P与C的坐标即可求出l2的斜率,然后根据两直线垂直时斜率的乘积为﹣1,即可求出直线ax﹣y+1=0的斜率,进而求出a的值,经过判断求出a的值不在求出的范围中,所以假设错误,故这样的a不存在.解答: (1)设直线l的斜率为k(k存在)则方程为y﹣0=k(x﹣2).又圆C的圆心为(3,﹣2),半径r=3,由=1,解得k=﹣.所以直线方程为y=﹣(x﹣2),即3x+4y﹣6=0;当l的斜率不存在时,l的方程为x=2,经验证x=2也满足条件;(2)由于|CP|=,而弦心距d=,所以d=|CP|=,所以P为MN的中点,所以所求圆的圆心坐标为(2,0),半径为|MN|=2,故以MN为直径的圆Q的方程为(x﹣2)2+y2=4;(3)把直线ax﹣y+1=0即y=ax+1.代入圆C的方程,消去y,整理得(a2+1)x2+6(a﹣1)x+9=0.由于直线ax﹣y+1=0交圆C于A,B两点,故△=36(a﹣1)2﹣36(a2+1)>0,即﹣2a>0,解得a<0.则实数a的取值范围是(﹣∞,0).设符合条件的实数a存在,由于l2垂直平分弦AB,故圆心C(3,﹣2)必在l2上.所以l2的斜率kPC=﹣2,而,所以a=.由
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