高考数学一轮复习 第十一章 计数原理、概率、随机变量及其分布列 课时达标检测（五十五）古典概型与几何概型 理-人教版高三数学试题

课时达标检测（五十五）古典概型与几何概型[小题对点练——点点落实]对点练(一)古典概型1．已知袋子中装有大小相同的6个小球，其中有2个红球、4个白球．现从中随机摸出3个小球，则至少有2个白球的概率为()A.eq\f(3,4) B.eq\f(3,5)C.eq\f(4,5) D.eq\f(7,10)解析：选C所求问题有两种情况：1红2白或3白，则所求概率P＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(2,4)＋C\o\al(3,4),C\o\al(3,6))＝eq\f(4,5).2．(2018·陕西模拟)现有2名女教师和1名男教师参加说题比赛，共有2道备选题目，若每位选手从中有放回地随机选出一道题进行说课，其中恰有一男一女抽到同一道题的概率为()A.eq\f(1,3) B.eq\f(2,3)C.eq\f(1,2) D.eq\f(3,4)解析：选C记两道题分别为A，B，所有抽取的情况为AAA，AAB，ABA，ABB，BAA，BAB，BBA，BBB(其中第1个，第2个分别表示两个女教师抽取的题目，第3个表示男教师抽取的题目)，共有8种；其中满足恰有一男一女抽到同一道题目的情况为ABA，ABB，BAA，BAB，共4种．故所求事件的概率为eq\f(1,2).故选C.3．在实验室进行的一项物理实验中，要先后实施6个程序A，B，C，D，E，F，则程序A在第一或最后一步，且程序B和C相邻的概率为()A.eq\f(1,5) B.eq\f(1,15)C.eq\f(4,15) D.eq\f(2,15)解析：选D程序A在第一或最后一步，且程序B和C相邻的概率为P＝eq\f(A\o\al(1,2)A\o\al(2,2)A\o\al(4,4),A\o\al(6,6))＝eq\f(2,15).4．已知集合M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，2，3，4))，N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a，b|a∈M，b∈M))，A是集合N中任意一点，O为坐标原点，则直线OA与y＝x2＋1有交点的概率是()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4) D.eq\f(1,8)解析：选C易知过点(0,0)与y＝x2＋1相切的直线为y＝2x(斜率小于0的无需考虑)，集合N中共有16个元素，其中使直线OA的斜率不小于2的有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,4)，共4个，故所求的概率为eq\f(4,16)＝eq\f(1,4).5．(2018·重庆适应性测试)从2,3,4,5,6这5个数字中任取3个，则所取3个数之和为偶数的概率为________．解析：依题意，从2,3,4,5,6这5个数字中任取3个，共有10种不同的取法，其中所取3个数之和为偶数的取法共有1＋3＝4种(包含两种情形：一种情形是所取的3个数均为偶数，有1种取法；另一种情形是所取的3个数中2个是奇数，另一个是偶数，有3种取法)，因此所求的概率为eq\f(4,10)＝eq\f(2,5).答案：eq\f(2,5)6．(2016·江苏高考)将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是________．解析：将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次，所有等可能的结果有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，…，(6,6)，共36种情况．设事件A＝“出现向上的点数之和小于10”，其对立事件eq\x\to(A)＝“出现向上的点数之和大于或等于10”，eq\x\to(A)包含的可能结果有(4,6)，(5,5)，(5,6)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共6种情况．所以由古典概型的概率公式，得P(eq\x\to(A))＝eq\f(6,36)＝eq\f(1,6)，所以P(A)＝1－eq\f(1,6)＝eq\f(5,6).答案：eq\f(5,6)对点练(二)几何概型1．(2018·武汉调研)在区间[0,1]上随机取一个数x，则事件“log0.5(4x－3)≥0”发生的概率为()A.eq\f(3,4) B.eq\f(2,3)C.eq\f(1,3) D.eq\f(1,4)解析：选D由log0.5(4x－3)≥0，得0＜4x－3≤1，解得eq\f(3,4)＜x≤1，所以所求概率P＝eq\f(1－\f(3,4),1－0)＝eq\f(1,4).2．设不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2y＋2≥0，,x≤4，,y≥－2))表示的平面区域为D.在区域D内随机取一个点，则此点到直线y＋2＝0的距离大于2的概率是()A.eq\f(4,13) B.eq\f(5,13)C.eq\f(8,25) D.eq\f(9,25)解析：选D如图，各点的坐标为B(－2,0)，C(4,0)，D(－6，－2)，E(4，－2)，F(4，3)，所以DE＝10，EF＝5，BC＝6，CF＝3.不等式对应的区域为三角形DEF，当点在线段BC上时，此点到直线y＋2＝0的距离等于2，所以要使此点到直线y＋2＝0的距离大于2，则此点应在三角形BCF中．根据几何概型可知所求概率P＝eq\f(S△BCF,S△DEF)＝eq\f(\f(1,2)×6×3,\f(1,2)×10×5)＝eq\f(9,25)，故选D.3．已知正棱锥S­ABC的底面边长为4，高为3，在正棱锥内任取一点P，使得VP­ABC＜eq\f(1,2)VS­ABC的概率是()A.eq\f(3,4) B.eq\f(7,8)C.eq\f(1,2) D.eq\f(1,4)解析：选B由题意知，当点P在三棱锥的中截面以下时，满足VP­ABC＜eq\f(1,2)VS­ABC，故使得VP­ABC＜eq\f(1,2)VS­ABC的概率：P＝eq\f(大三棱锥的体积－小三棱锥的体积,大三棱锥的体积)＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3＝eq\f(7,8).4.如图，长方形的四个顶点为O(0,0)，A(4,0)，B(4,2)，C(0,2)，曲线y＝eq\r(x)经过点B.小军同学在学做电子线路板时有一电子元件随机落入长方形OABC中，则该电子元件落在图中阴影区域的概率是()A.eq\f(5,12) B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3) D.eq\f(3,4)解析：选C由题意可知S阴＝eq\i\in(0,4,)eq\r(x)dx＝eq\f(2,3)xeq\f(3,2)eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1())eq\o\al(4,0)＝eq\f(16,3)，S长方形＝4×2＝8，则所求概率P＝eq\f(S阴,S长方形)＝eq\f(\f(16,3),8)＝eq\f(2,3).5．已知椭圆eq\f(x2,4)＋y2＝1的焦点为F1，F2，在长轴A1A2上任取一点M，过M作垂直于A1A2的直线交椭圆于点P，则使得PF1→·PF2→<0的概率为________．解析：设P(x，y)，则PF1→·PF2→<0即为(－eq\r(3)－x，－y)·(eq\r(3)－x，－y)<0，即为x2－3＋y2<0，即为x2－3＋1－eq\f(x2,4)<0，解得－eq\f(2\r(6),3)<x<eq\f(2\r(6),3)，故所求的概率为eq\f(\f(4\r(6),3),4)＝eq\f(\r(6),3).答案：eq\f(\r(6),3)6.如图，正四棱锥S­ABCD的顶点都在球面上，球心O在平面ABCD上，在球O内任取一点，则这点取自正四棱锥内的概率为________．解析：设球的半径为R，则所求的概率为P＝eq\f(V锥,V球)＝eq\f(\f(1,3)×\f(1,2)×2R×2R·R,\f(4,3)πR3)＝eq\f(1,2π).答案：eq\f(1,2π)对点练(三)概率与统计的综合问题1．如图是样本容量为200的频率分布直方图．根据样本的频率分布直方图估计数据落在[2,10)内的概率约为________．解析：由题图可得(0.02＋0.08)×4＝0.4.答案：0.42．如图所示的茎叶图记录了甲、乙两个学习小组各4名同学在某次考试中的数学成绩，乙组记录中有一个数字模糊，无法确认，在图中用m表示，假设数字具有随机性，则乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率为________.解析：由eq\f(1,4)(87＋89＋91＋93)＝eq\f(1,4)(85＋90＋91＋90＋m)，得m＝4，即m＝4时，甲、乙两个小组的平均成绩相等．设“乙组平均成绩超过甲组平均成绩”为事件A，m的取值有0,1,2，…，9，共10种可能，其中，当m＝5,6，…，9时，乙组平均成绩超过甲组平均成绩，故所求概率为eq\f(5,10)＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)3．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：单位x(元)88.28.48.68.89销量y(件)908483807568由表中数据求得线性回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝－20x＋eq\o(a,\s\up6(^)).若在这些样本点中任取一点，则它在回归直线左下方的概率为________．解析：由表中数据求出样本平均数eq\o(x,\s\up6(－))＝8.5，eq\o(y,\s\up6(－))＝80，代入线性回归方程，得eq\o(a,\s\up6(^))＝250，所以线性回归直线方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝－20x＋250.经验证，样本点在回归直线左下方的有(8.2,84)，(9,68)两个，由古典概型的概率公式，得P＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)[大题综合练——迁移贯通]1.某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动．参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数．设两次记录的数分别为x，y.奖励规则如下：①若xy≤3，则奖励玩具一个；②若xy≥8，则奖励水杯一个；③其余情况奖励饮料一瓶．假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀．小亮准备参加此项活动．(1)求小亮获得玩具的概率；(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由．解：用数对(x，y)表示儿童参加活动先后记录的数，则基本事件空间Ω与点集S＝{(x，y)|x∈N，y∈N,1≤x≤4,1≤y≤4}一一对应．因为S中元素的个数是4×4＝16，所以基本事件总数n＝16.(1)记“xy≤3”为事件A，则事件A包含的基本事件数共5个，即(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(3,1)．所以P(A)＝eq\f(5,16)，即小亮获得玩具的概率为eq\f(5,16).(2)记“xy≥8”为事件B，“3＜xy＜8”为事件C.则事件B包含的基本事件数共6个，即(2,4)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(4,4)．所以P(B)＝eq\f(6,16)＝eq\f(3,8).事件C包含的基本事件数共5个，即(1,4)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(4,1)．所以P(C)＝eq\f(5,16).因为eq\f(3,8)＞eq\f(5,16)，所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率．2．如图所示，从参加环保知识竞赛的学生中抽出40名，将其成绩(均为整数)整理后画出的频率分布直方图如下，观察图形，回答下列问题．(1)80～90这一组的频数、频率分别是多少？(2)估计这次环保知识竞赛成绩的平均数、众数、中位数．(不要求写过程)(3)从成绩是80分以上(包括80分)的学生中选2人，求他们在同一分数段的概率．解：(1)根据题意，50～60这一组的频率为0.015×10＝0.15，60～70这一组的频率为0.025×10＝0.25,70～80这一组的频率为0.035×10＝0.35,90～100这一组的频率为0.005×10＝0.05，则80～90这一组的频率为eq\f(1,2)×[1－(0.15＋0.25＋0.35＋0.05)]＝0.1，其频数为40×0.1＝4.(2)这次竞赛成绩的平均数为45×0.1＋55×0.15＋65×0.25＋75×0.35＋85×0.1＋95×0.05＝68.5；70～80这一组的频率最大，人数最多，则众数为75；70分左右两侧的频率为0.5，则中位数为70.(3)记“选出的2人在同一分数段”为事件E,80～90之间有40×0.1＝4人，设为a，b，c，d；90～100之间有40×0.05＝2人，设为A，B.从这6人中选出2人，有(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，A)，(a，B)，(b，c)，(b，d)，(b，A)，(b，B)，(c，d)，(c，A)，(c，B)，(d，A)，(d，B)，(A，B)，共15个基本事件，其中事件E包括(a，b)，(a，c)，(a，d)，(b，c)，(b，d)，(c，d)，(A，B)，共7个基本事件，则P(E)＝eq\f(