九下远程接收数学教案

第二十六二次函数二次函数（1）教学目标：（1）能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围．（2）注重学生参与，联系实际，丰富学生的感性认识，培养学生的良好的学习习惯．教学重难点：能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围．教学过程：一、试一试1．正方体的六个面全是正方形，设正方体的棱长为x，表面积为y，显然根据正方体表面积公式，它们之间的具体关系可以表示为y=6x2……①不难看出，对于x的每一个值，y都有一个对应值，即y是x的函数．我们再来看下面的问题：2．多边形的对角线数d与边数n有什么关系？教师启发，学生思考如果多边形有n条边，那么它有______个顶点

[n]从一个顶点出发，连接与这点不相邻的各顶点，可作______条对角线

[n−3]因为象线段MN和NM那样，连接相同两顶点的对角线是同一条对角线，所以多边形对角线的总数为________

[n(n−3)]即对角线数d与边数n之间的关系为d=n(n−3)=n2−n……②二、提出问题某商店将每件进价为8元的某种商品按每件10元出售，一天可销出约100件．该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润，经过市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加10件．将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大？在这个问题中，可提出如下问题供学生思考并回答：1．商品的利润与售价、进价以及销售量之间有什么关系？

[利润=(售价－进价)×销售量]2．如果不降低售价，该商品每件利润是多少元？一天总的利润是多少元？

[10−8=2(元)，(10−8)×100=200(元)]3．若每件商品降价x元，则每件商品的利润是多少元？一天可销售约多少件商品？

[(10−8−x)；(100+100x)]4．x的值是否可以任意取？如果不能任意取，请求出它的范围．

[x的值不能任意取，其范围是0≤x≤2]5．若设该商品每天的利润为y元，求y与x的函数关系式．

[y=(10−8−x)(100+100x)(0≤x≤2)]将函数关系式y=(10−8−x)(100+100x)(0≤x≤2)化为：

y=−100x2+100x+200

(0≤x≤2)……③三、观察、概括1．教师引导学生观察函数关系式①、②、③，提出以下问题让学生思考回答；(1)函数关系式①、②、③的自变量各有几个？

[各有1个](2)多项式6x2，n2−n，−100x2+100x+200分别是几次多项式？

[分别是二次多项式](3)函数关系式①、②、③有什么共同特点？

[都是用自变量的二次多项式来表示的]教师归纳二次函数定义2．二次函数定义：形如y=ax2+bx+c

(a、b、、c是常数，a≠0)的函数叫做x的二次函数，a叫做二次函数的系数，b叫做一次项的系数，c叫作常数项．四、课堂练习(口答)下列函数中，哪些是二次函数？(1)y=5x＋1

(2)y=4x2－1

(3)y=2x3－3x2

(4)y=5x4－3x＋1五、小结1．请叙述二次函数的定义．2．许多实际问题可以转化为二次函数来解决，请你联系生活实际，编一道二次函数应用题，并写出函数关系式．二次函数（2）教学目标：1．使学生会用描点法画出y=ax2的图象，理解抛物线的有关概念．2．使学生经历、探索二次函数y=ax2图象性质的过程，培养学生观察、思考、归纳的良好思维习惯．教学重难点：重点：使学生理解抛物线的有关概念，会用描点法画出二次函数y=ax2的图象．难点：用描点法画出二次函数y=ax2的图象，同时探索二次函数性质．教学过程：一、提出问题1．同学们可以回想一下，一次函数的性质是如何研究的？

(先画出一次函数的图象，然后观察、分析、归纳得到一次函数的性质)2．我们能否类比研究一次函数性质方法来研究二次函数的性质呢？如果可以，应先研究什么？

(可以用研究一次函数性质的方法来研究二次函数的性质，应先研究二次函数的图象)3．一次函数的图象是什么？二次函数的图象是什么？二、范例我们先来画最简单的二次函数y=x2的图象例1、画二次函数y=x2的图象．解：(1)列表：在x的取值范围内列出函数对应值表：(2)在直角坐标系中描点：用表里各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点(3)连线：用光滑的曲线顺次连结各点，得到函数y=x2的图象，如图所示．提问：观察这个函数的图象，它有什么特点？让学生观察，思考、讨论、交流，归结为：它有一条对称轴，且对称轴和图象有一个交点．它的形状类似投篮球或掷铅球时球在空中所经过的路线，只是这条曲线开口向上．抛物线概念：像这样的曲线通常叫做抛物线．实际上二次函数的图象都是抛物线，它们的开口或者向上或者向下．顶点概念：抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点．三、做一做1．在同一直角坐标系中，画出函数y=x2与y=2x2的图象，观察并比较两个图象，你发现有什么共同点？又有什么区别？它们与y=x2的图象相比，有什么共同点与不同点？2．在同一直角坐标系中，画出函数y=−x2，y=−x2，y=−2x2的图象，观察并比较这些抛物线，你能发现什么？3．将所画的几个函数的图象作比较，你又能发现什么？对于1，在学生画函数图象的同时，教师要指导中下水平的学生，讲评时，要引导学生讨论选几个点比较合适以及如何选点．两个函数图象的共同点以及它们的区别，可分组讨论．交流，让学生发表不同的意见，达成共识，两个函数的图象都是抛物线，都关于y轴对称，顶点坐标都是(0，0)，开口都向上；区别在于函数y=2x2的图象开口小，函数y=x2的图象开口大．

对于2，教师要继续巡视，指导学生画函数图象，几个函数的图象的特点，教师可引导学生类比1得出．对于3，教师可引导学生从1的共同点和2的发现中得到结论：这几个函数的图象都是抛物线，都关于y轴对称，它的顶点坐标都是(0，0)．四、归纳、概括函数y=x2、y=x2、y=2x2、y=−x2、y=−x2和y=−2x2都是函数y=ax2的特例，由这些函数的图象的共同特点，可猜想：函数y=ax2的图象是一条________，它关于______对称，它的顶点坐标是______．[抛物线，y轴，(0，0)]如果要更细致地研究函数y=ax2图象的特点和性质，应如何分类？为什么？让学生观察y=x2、y=x2、y=2x2的图象，填空：当a>0时，抛物线y=ax2开口______，______是抛物线上位置最低的点，a越大，抛物线的开口越______．[向上，顶点，小]类似地，由y=−x2、y=−x2和y=−2x2的图象，也可以总结出类似的特点．二次函数（3）教学目标：1．使学生能利用描点法正确作出函数y=ax2＋b的图象．2．让学生经历二次函数y=ax2＋bx＋c性质探究的过程，理解二次函数y=ax2＋b的性质及它与函数y=ax2的关系．教学重难点：教学重点：会用描点法画出二次函数y=ax2＋b的图象，理解二次函数y=ax2＋b的性质，理解函数y=ax2＋b与函数y=ax2的相互关系．教学难点：正确理解二次函数y=ax2＋b的性质，理解抛物线y=ax2＋b与抛物线y=ax2的关系．教学过程：一、提出问题1．二次函数y＝x2的图象是____，它的开口向_____，顶点坐标是_____；对称轴是______，函数y＝x2在x＝______时，取最______值，其最______值是______．[抛物线，上，(0，0)，y轴，0，小，小，0]2．二次函数y＝x2+1的图象与二次函数y＝x2的图象开口方向、对称轴和顶点坐标是否相同？二、分析问题，解决问题问题1：对于前面提出的第2个问题，你将采取什么方法加以研究？(画出函数y=x2和函数y=x2+1的图象，并加以比较)问题2：你能在同一直角坐标系中，画出函数y=x2与y=x2＋1的图象吗？1．先让学生回顾二次函数画图的三个步骤，按照画图步骤画出函数y＝2x2的图象．2．教师说明为什么两个函数自变量x可以取同一数值，为什么不必单独列出函数y=x2＋1的对应值表，并让学生画出函数y=x2＋1的图象．3．教师写出解题过程，同学生所画图象进行比较．解：(1)列表：(2)描点：用表里各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点．(3)连线：用光滑曲线顺次连接各点，得到函数y＝x2和y＝x2＋1的图象．问题3：当自变量x取同一数值时，这两个函数的函数值之间有什么关系？反映在图象上，相应的两个点之间的位置又有什么关系？教师引导学生观察上表，当x依次取−3，−2，−1，0，1，2，3时，两个函数的函数值之间有什么关系，由此让学生归纳得到，当自变量x取同一数值时，函数y＝x2+1的函数值都比函数y＝x2的函数值大1．教师引导学生观察函数y＝x2+1和y＝x2的图象，先研究点(−1，1)和点(−1，2)、点(0，0)和点(0，1)、点(1，1)和点(1，2)位置关系，让学生归纳得到：反映在图象上，函数y＝x2＋1的图象上的点都是由函数y＝x2的图象上的相应点向上移动了一个单位．问题4：函数y＝x2＋1和y＝x2的图象有什么联系？由问题3的探索，可以得到结论：函数y＝x2+1的图象可以看成是将函数y＝x2的图象向上平移一个单位得到的．问题5：现在你能回答前面提出的第2个问题了吗？让学生观察两个函数图象，说出函数y＝x2+1与y＝x2的图象开口方向、对称轴相同，但顶点坐标不同，函数y＝x2的图象的顶点坐标是(0，0)，而函数y＝x2+1的图象的顶点坐标是(0，1)．三、做一做问题6：先在同一直角坐标系中画出函数y＝x2−1与函数y＝x2的图象，再作比较，说说它们有什么联系和区别？你能说出函数y＝x2−1的图象的开口方向，对称轴和顶点坐标吗？1．在学生画函数图象的同时，教师巡视指导；2．让学生发表意见，归纳为：函数y＝x2−1与函数y＝x2的图象的开口方向、对称轴相同，但顶点坐标不同．函数y＝x2−1的图象可以看成是将函数y＝x2的图象向下平移一个单位得到的．3．让学生口答，函数y＝x2−1的图象的开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标是(0，−1)；问题7：在同一直角坐标系中．函数y＝−x2＋2图象与函数y＝−x2的图象有什么关系？要求学生能够画出函数y＝−x2与函数y＝−x2＋2的草图，由草图观察得出结论：函数y＝−x2＋2的图象与函数y＝−x2的图象的开口方向、对称轴相同，但顶点坐标不同，函数y＝−x2＋2的图象可以看成将函数y＝−x2的图象向上平移两个单位得到的．问题8：你能说出函数y＝−x2＋2的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？[函数y＝−x2＋2的图象的开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标是(0，2)]四、小结在同一直角坐标系中，函数y＝ax2＋k的图象与函数y＝ax2的图象具有什么关系？二次函数（4）教学目标：1．使学生能利用描点法画出二次函数y=a(x−h)2的图象．2．让学生经历二次函数y=a(x−h)2性质探究的过程，理解函数y=a(x−h)2的性质，理解二次函数y=a(x−h)2的图象与二次函数y＝ax2的图象的关系．教学重难点：重点：会用描点法画出二次函数y=a(x−h)2的图象，理解二次函数y=a(x−h)2的图象与二次函数y=ax2的图象的关系．难点：理解二次函数y=a(x−h)2的性质，理解二次函数y=a(x−h)2的图象与二次函数y=ax2的图象的相互关系．教学过程：一、提出问题1．在同一直角坐标系内，画出二次函数y=−x2，y=−x2−1的图象，并回答：(1)两条抛物线的位置关系．(2)分别说出它们的对称轴、开口方向和顶点坐标．(3)说出它们所具有的公共性质．

2．二次函数y=−(x−1)2的图象与二次函数y=−x2的图象的开口方向、对称轴以及顶点坐标相同吗？这两个函数的图象之间有什么关系？二、分析问题，解决问题问题1：你将用什么方法来研究上面提出的问题？[画出二次函数y=−(x−1)2和二次函数y=−x2的图象，并加以观察]问题2：你能在同一直角坐标系中，画出二次函数y=−x2与y=−(x−1)2的图象吗？教学要点1．让学生完成下表填空．2．让学生在直角坐标系中画出图来．问题3：现在你能回答前面提出的问题吗？教学要点①教师引导学生观察画出的两个函数图象．根据所画出的图象，完成以下填空：②让学生分组讨论，交流合作，各组选派代表发表意见，达成共识：函数y=−(x−1)2与y=−x2的图象、开口方向相同、对称轴和顶点坐标不同；函数y=−(x−1)2的图象可以看作是函数y=−x2的图象向右平移1个单位得到的，它的对称轴是直线x＝1，顶点坐标是(1，0)．三、做一做问题4：你能在同一直角坐标系中画出函数y＝−(x+1)2与函数y＝−x2的图象，并比较它们的联系和区别吗？教学要点①在学生画函数图象的同时，教师巡视、指导；②请两位同学上台板演，教师讲评；③让学生发表不同的意见，归结为：函数y=−(x+1)2与函数y=−x2的图象开口方向相同，但顶点坐标和对称轴不同；函数y=−(x+1)2的图象可以看作是将函数y=−x2的图象向左平移1个单位得到的．它的对称轴是直线x=−1，顶点坐标是(−1，0)．问题5：在同一直角坐标系中，函数y=(x+2)2图象与函数y=x2的图象有何关系？[函数y=(x+2)2的图象可以看作是将函数y=x2的图象向左平移2个单位得到的．]问题6：你能说出函数y=(x+2)2图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？[函数y=(x+2)2的图象开口向上，对称轴是直线x=−2，顶点坐标是(−2，0)．]四、小结：1．在同一直角坐标系中，函数y=a(x−h)2的图象与函数y=ax2的图象有什么联系和区别？2．谈谈本节课的收获和体会．二次函数（5）教学目标：1．使学生理解函数y=a(x−h)2+k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系．2．会确定函数y=a(x−h)2+k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．3．让学生经历函数y=a(x−h)2+k性质的探索过程，理解函数y=a(x−h)2+k的性质．教学重难点：重点：确定函数y=a(x−h)2+k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，理解函数y=a(x−h)2+k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系，理解函数y=a(x−h)2+k的性质．难点：正确理解函数y=a(x−h)2+k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系．教学过程：一、提出问题1．函数y=−x2−1的图象与函数y=−x2的图象有什么关系？(函数y=−x2−1的图象可以看成是将函数y=−x2的图象向下平移一个单位得到的)2．函数y=−(x+1)2的图象与函数y=−x2的图象有什么关系？(函数y=−(x+1)2的图象可以看成是将函数y=−x2的图象向左平移1个单位得到的)3．函数y=−(x+1)2−1图象与函数y=−(x+1)2图象有什么关系？二、试一试你能填写下表吗？问题2：从上表中，你能分别找到函数y=−(x+1)2−1与函数y=−(x+1)2、y=−x2图象的关系吗？教师可组织学生分组讨论，互相交流，让各组代表发言，达成共识；函数y=−(x+1)2−1的图象可以看成是将函数y=−(x+1)2的图象向下平移1个单位得到的，也可以看成是将函数y=−x2的图象向左平移1个单位再向下平移1个单位得到的．三、做一做问题3：在上图中，你能再画出函数y=−(x+1)2−2的图象，并将它与函数y=−(x+1)2的图象作比较吗？教学要点1．在学生画函数图象时，教师巡视指导；2．对“比较”两字做出解释，然后让学生进行比较．问题5：你能说出函数y=−(x−1)2+2的图象与函数y=−x2的图象的关系，由此进一步说出这个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？[函数y=−(x−1)2+2的图象可以看成是将函数y=−x2的图象向右平移一个单位再向上平移2个单位得到的，其开口向下，对称轴为直线x=1，顶点坐标是(1，2)]四、小结1．通过本节课的学习，你学到了哪些知识？还存在什么困惑？2．谈谈你的学习体会．二次函数（6）教学目标：1．使学生掌握用描点法画出函数y=ax2+bx+c的图象．2．使学生掌握用图象或通过配方确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．3．让学生经历探索二次函数y=ax2+bx+c的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标以及性质的过程．重点难点：重点：用描点法画出二次函数y=ax2+bx+c的图象，通过配方确定抛物线的对称轴、顶点坐标．难点：理解二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的性质以及它的对称轴、顶点坐标分别是x=−、(−，)．教学过程：一、提出问题1．你能说出函数y=(x−6)2+3图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？[函数y=(x−6)2+3图象的开口向上，对称轴为直线x＝6，顶点坐标是(6，3)．]2．函数y=(x−6)2+3图象与函数y=x2的图象有什么关系？[函数y=(x−6)2+3的图象可以看成是将函数y=x2的图象向右平移6个单位再向上平移3个单位得到的]4．不画出图象，你能直接说出函数y=x2−6x+21的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？[因为y=x2−6x+21=(x−6)2+3，所以这个函数的图象开口向上，对称轴为直线x＝6，顶点坐标为(6，3)]5．你能画出函数y=x2−6x+21的图象吗？二、解决问题由以上第4个问题的解决，我们已经知道函数y=x2−6x+21的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．根据这些特点，可以采用描点法作图的方法作出函数y=x2−6x+21的图象．解：(1)列表：在x的取值范围内列出函数对应值表；

(2)描点：用表格里各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点．(3)连线：用光滑的曲线顺次连接各点，得到函数y=x2−6x+21的图象．说明：列表时，应根据对称轴是x＝6，以6为中心，对称地选取自变量的值，求出相应的函数值，相应的函数值是相等的．三、做一做1．请你按照上面的方法，画出函数y=x2−4x+10的图象．教学要点(1)在学生画函数图象的同时，教师巡视、指导；(2)叫一位或两位同学板演，学生自纠，教师点评．2．通过配方变形，说出函数y=x2−4x+10的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，这个函数有最大值还是最小值？这个值是多少？教学要点(1)在学生做题时，教师巡视、指导；(2)让学生总结配方的方法；(3)让学生思考函数的最大值或最小值与函数图象的开口方向有什么关系？这个值与函数图象的顶点坐标有什么关系？以上讲的，都是给出一个具体的二次函数，来研究它的图象与性质．那么，对于任意一个二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，如何确定它的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标？你能把结果写出来吗？

教师组织学生分组讨论，各组选派代表发言，全班交流，达成共识；y=ax2+bx+c=a(x2+x)+c=a[x2+x+()2−()2]+c=a[x2+x+()2]+c−=a(x+)2+当a＞0时，开口向上，当a＜0时，开口向下；对称轴是x=−，顶点坐标是(−，)四、小结：通过本节课的学习，你学到了什么知识？有何体会？用函数观点看一元二次方程教学目标知识与技能1．总结出二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，表述何时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根．2．会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解．过程与方法经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系．情感态度价值观通过观察二次函数图象与x轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况，进一步体会数形结合思想．教学重点和难点重点：方程与函数之间的联系，会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解．难点：二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系．教学过程设计（一）问题的提出与解决问题

如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系h＝20t−5t2．考虑以下问题（1）球的飞行高度能否达到15m？如能，需要多少飞行时间？（2）球的飞行高度能否达到20m？如能，需要多少飞行时间？（3）球的飞行高度能否达到20.5m？为什么？（4）球从飞出到落地要用多少时间？分析：由于球的飞行高度h与飞行时间t的关系是二次函数h=20t−5t2．所以可以将问题中h的值代入函数解析式，得到关于t的一元二次方程，如果方程有合乎实际的解，则说明球的飞行高度可以达到问题中h的值；否则，说明球的飞行高度不能达到问题中h的值．解：（1）解方程15＝20t−5t2．

t2−4t+3=0．

t1＝1，t2＝3．当球飞行1s和3s时，它的高度为15m．（2）解方程20＝20t−5t2．

t2−4t+4＝0．

t1＝t2＝2．当球飞行2s时，它的高度为20m．（3）解方程20.5＝20t−5t2．

t2−4t+4.1＝0．因为(－4)2－4×4.1<0．所以方程无解．球的飞行高度达不到20.5m．（4）解方程

0＝20t−5t2．

t2−4t＝0．

t1＝0，t2＝4．当球飞行0s和4s时，它的高度为0m，即0s时球从地面飞出．4s时球落回地面．画出二次函数h=20t−5t2的图象，观察图象，体会以上问题的答案．从上面可以看出．二次函数与一元二次方程关系密切．由学生小组讨论，总结出二次函数与一元二次方程的解有什么关系？例如：已知二次函数y＝−x2+4x的值为3，求自变量x的值．可以解一元二次方程−x2+4x＝3(即x2−4x+3＝0)．反过来，解方程x2−4x+3＝0又可以看作已知二次函数y＝x2−4x+3的值为0，求自变量x的值．一般地，我们可以利用二次函数y＝ax2+bx+c深入讨论一元二次方程ax2+bx+c＝0．（二）问题的讨论二次函数(1)y＝x2+x−2；(2)y＝x2−6x+9；(3)y＝x2−x+1的图象如下图所示．（1）以上二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？（2）当x取公共点的横坐标时，函数的值是多少？由此，你能得出相应的一元二次方程的根吗？先画出以上二次函数的图象，由图象学生展开讨论，在老师的引导下回答以上的问题．可以看出：（1）抛物线y＝x2+x−2与x轴有两个公共点，它们的横坐标是−2，1；当x取公共点的横坐标时，函数的值是0．由此得出方程x2+x−2=0的根是−2，1．（2）抛物线y＝x2−6x+9与x轴有一个公共点，这点的横坐标是3．当x＝3时，函数的值是0．由此得出方程x2−6x+9=0有两个相等的实数根3．（3）抛物线y＝x2−x+1与x轴没有公共点，由此可知，方程x2−x+1=0没有实数根．总结：一般地，如果二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴相交，那么交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根．（三）归纳一般地，从二次函数y＝ax2+bx+c的图象可知，（1）如果抛物线y＝ax2+bx+c与x轴有公共点，公共点的横坐标是x0，那么当x＝x0时，函数的值是0，因此x＝x0就是方程ax2+bx+c＝0的一个根．（2）二次函数的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点．这对应着一元二次方程根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实数根．由上面的结论，我们可以利用二次函数的图象求一元二次方程的根．由于作图或观察可能存在误差，由图象求得的根，一般是近似的．（四）小结总结本节的知识点．实际问题与二次函数教学目标：1．知识与技能：经历数学建模的基本过程．2．方法与技能：会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值．3．情感、态度与价值观：体会二次函数是一类最优化问题的重要数学模型，感受数学的应用价值．教学重点和难点：重点：二次函数在最优化问题中的应用．难点：例1是从现实问题中建立二次函数模型，学生较难理解．教学设计：一、创设情境、提出问题给你长8m的铝合金条，设问：①你能用它制成一矩形窗框吗？②怎样设计，窗框的透光面积最大？③如何验证？二、观察分析，研究问题探究一：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？（1）题目中有几种调整价格的方法？（2）题目涉及到哪些变量？哪一个量是自变量？哪些量随之发生了变化？分析：调整价格包括涨价和降价两种情况先来看涨价的情况：⑴设每件涨价x元，则每星期售出商品的利润y也随之变化，我们先来确定y与x的函数关系式．涨价x元时则每星期少卖

件，实际卖出

件,销售额为

元，买进商品需付

元因此，所得利润为元.

[10x，300−10x，(60+x)(300−10x)，40(300−10x)，(60+x)(300−10x)−40(300−10x)]即：y=−10x2+100x+6000

(0≤x≤30)x=−=5时，y最大值=−10×52+100×5+6000=6250所以，当定价为65元时，利润最大，最大利润为6250元.可以看出，这个函数的图象是一条抛物线的一部分，这条抛物线的顶点是函数图象的最高点，也就是说当x取顶点坐标的横坐标时，这个函数有最大值，由公式可以求出顶点的横坐标．小结：解这类问题一般的步骤：（1）列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围；（2）在自变量的取值范围内，运用公式法或通过配方求出二次函数的最大值或最小值．探究二：(1)最内磁道的周长为2πrmm，因此，它上面的存储单元个数超不过(2)由于磁盘上各磁道之间的宽度必须不小于0.3mm，磁盘的外圆周不是磁道，各磁道则分布在内径为r外径为45的圆环区域，所以这张磁盘最多有条磁道(3)当各磁道的存储单元数目与最内磁道相同时，磁盘每面存储量=每条磁道的存储单元数×磁道数设磁盘每面存储量为y，则y=×即y=(45r−r2)

(0<r<45)不难看出r=时，磁盘的存储量最大探究三：图中是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2m，水面宽4m，水面下降1m时，水面宽度增加了多少？我们知道，二次函数的图象是抛物线，建立适当直角坐标系就可以求出这条抛物线表示的二次函数；我们以抛物线顶点为原点，抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系，如图∴可设这条抛物线所表示的二次函数的解析式为y=ax2当拱桥离水面2m时，水面宽4m即抛物线过点(2，−2)∴−2=a×22，∴a=−0.5∴这条抛物线所表示的二次函数为y=−0.5x2当水面下降1m时，水面的纵坐标为y=−3，这时有−3=−0.5x2，x=±这时水面宽度为2m，所以当水面下降1m时，水面宽度增加了(2−4)m．另外，这个问题还可以有不同的建立直角坐标系的方法，直角坐标系的建立主要是考虑计算简便，同学们可以再按下面两种方法建立直角坐标系来解此题，体会一下．

三、例练应用，解决问题设问：用长为8m的铝合金条制成如图形状的矩形窗框，问窗框的宽和高各是多少米时，窗户的透光面积最大？最大面积是多少？引导学生分析，板书解题过程．变式：现在用长为8米的铝合金条制成如图所示的窗框（把矩形的窗框改为上部分是由4个全等扇形组成的半圆，下部分是矩形），那么如何设计使窗框的透光面积最大？（结果精确到0.01米）四、知识整理，形成系统1．这节课学习了用什么知识解决哪类问题？2．解决问题的一般步骤是什么？应注意哪些问题？3．学到了哪些思考问题的方法？第二十七章相似形图形的相似（一）一、教学目标1．理解并掌握两个图形相似的概念．2．知道相似多边形的主要特征，即：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．3．会根据相似多边形的特征识别两个多边形是否相似，并会运用其性质进行相关的计算．二、重点、难点1．重点：相似图形的概念；相似多边形的主要特征与识别．2．难点：相似图形的概念；运用相似多边形的特征进行相关的计算．3．难点的突破方法(1)对于相似图形的概念，可用大量的实例引入，但要注意教材中“把形状相同的图形说成是相似图形”，只是对相似图形概念的一个描述，不是定义；还要强调：①相似形一定要形状相同，与它的位置、颜色、大小无关（其大小可能一样，也有可能不一样，当形状与大小都一样时，两个图形就是全等形，所以全等形是一种特殊的相似形）；②相似形不仅仅指平面图形，也包括立体图形的情况，如飞机和飞机模型也是相似形；③两个图形相似，其中一个图形可以看作有另一个图形放大或缩小得到的，而把一个图形的部分拉长或加宽得到的图形和原图形不是相似图形．(2)判别两个多边形是否相似，要看这两个多边形的对应角是否相等，且对应边的比是否也相等，这两个条件缺一不可；可以以矩形、菱形为例说明：仅有对应角相等，或仅有对应边的比相等的两个多边形不一定相似．(3)由相似多边形的特征可知，如果已知两个多边形相似，就等于知道它们的对应角相等，对应边的比相等（对应边成比例），在计算时要能灵活运用．(4)相似比是一个很重要的概念，它实质是把一个图形放大或缩小的倍数（即相似多边形的对应边的长放大或缩小的倍数）．三、课堂引入1．（1）请同学们看黑板正上方的五星红旗，五星红旗上的大五角星与小五角星他们的形状、大小有什么关系？再如下图的两个画面：一辆汽车和它的车模，两张大小不同的地图，它们的形状、大小有什么关系．（还可以再举几个例子）

（2）所有这些都给我们以形状相同的图形的印象．（3）相似图形概念：把形状相同的图形说成是相似图形．（强调：见前面）（4）让学生再举几个相似图形的例子．两个图形相似，其中一个图形可以看作另一个图形放大或缩小仪得到的；放映电影时，投在屏幕上的画面就是胶片上图形的放大；实际的建筑物和它的模型是相似的；用复印机把一个图形放大或缩小后得到的图形，也都与原来的图形相似．下面就是一些两两相似的几何图形的例子：四、例题讲解例、如图，下面右边的四个图形中，与左边的图形相似的是（

）分析：因为图A是把图拉长了，而图D是把图压扁了，因此它们与左图都不相似；图B是正六边形，与左图的正五边形的边数不同，故图B与左图也不相似；而图C是将左图绕正五边形的中心旋转180º后，再按一定比例缩小得到的，因此图C与左图相似，故此题应选C．五、相似多边形1．如图的左边格点图中有一个四边形，请在右边的格点图中画出一个与该四边形相似的图形．2．问题：对于图中两个相似的四边形，它们的对应角，对应边的比是否相等．同时，我们思考：

3．【结论】（1）相似多边形的特征：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．反之，如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，那么这两个多边形相似．（2）相似比：相似多边形对应边的比称为相似比．六、例题讲解例1、下列说法正确的是（

）A．所有的平行四边形都相似

B．所有的矩形都相似C．所有的菱形都相似

D．所有的正方形都相似分析：A中平行四边形各角不一定对应相等，因此所有的平行四边形不一定都相似，故A错；B中矩形虽然各角都相等，但是各对应边的比不一定相等，因此所有的矩形不一定都相似，故B错；C中菱形虽然各对应边的比相等，但是各角不一定对应相等，因此所有的菱形不一定都相似，故C也错；D中任两个正方形的各角都相等，且各边都对应成比例，因此所有的正方形都相似，故D说法正确，因此此题应选D．例3、已知四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似，且A1B1:B1C1:C1D1:D1A1=7:8:11:14，若四边形ABCD的周长为40，求四边形ABCD的各边的长．分析：因为两个四边形相似，因此可根据相似多边形的对应边的比相等来解题．解：∵四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似，∴

AB:BC:CD:DA=A1B1:B1C1:C1D1:D1A1．∵

A1B1:B1C1:C1D1:D1A1=7:8:11:14，∴

AB:BC:CD:DA=7:8:11:14．设AB=7m，则BC=8m，CD=11m，DA=14m．∵

四边形ABCD的周长为40，∴

7m+8m+11m+14m=40．∴

m=1．∴

AB=7，则BC=8，CD=11，DA=14．七、小结1．图形相似的的概念2．多边形相似的特征与识别相似三角形的判定（一）一、教学目标1．经历两个三角形相似的探索过程，体验分析归纳得出数学结论的过程，进一步发展学生的探究、交流能力．2．掌握两个三角形相似的判定条件（三个角对应相等，三条边的比对应相等，则两个三角形相似）——相似三角形的定义，和三角形相似的预备定理（平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似）．3．会运用“两个三角形相似的判定条件”和“三角形相似的预备定理”解决简单的问题．二、重点、难点1．重点：相似三角形的定义与三角形相似的判定．2．难点：三角形相似的应用．3．难点的突破方法（1）要注意强调相似三角形定义的符号表示方法（判定与性质两方面），应注意两个相似三角形中，三边对应成比例，每个比的前项是同一个三角形的三条边，而比的后项分别是另一个三角形的三条对应边，它们的位置不能写错；（2）要注意相似三角形与全等三角形的区别和联系，弄清两者之间的关系．全等三角形是特殊的相似三角形，其特殊之处在于全等三角形的相似比为1．两者在定义、记法、性质上比；（3）要求在用符号表示相似三角形时，对应顶点的字母要写在对应的位置上，这样就会很快地找到相似三角形的对应角和对应边；（4）相似比是带有顺序性和对应性的（这一点也可以在上一节课中提出）：如△ABC∽△A′B′C′的相似比，那么△A′B′C′∽△ABC的相似比就是，它们的关系是互为倒数．这一点在教学中科结合相似比“放大或缩小”的含义来让学生理解；（5）“平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”定理也可以简单称为“三角形相似的预备定理”．这个定理揭示了有三角形一边的平行线，必构成相似三角形，因此在三角形相似的解题中，常作平行线构造三角形与已知三角形相似．三、课堂引入1．复习引入（1）相似多边形的主要特征是什么？（2）在相似多边形中，最简单的就是相似三角形．在△ABC与△A′B′C′中，如果∠A=∠A′,∠B=∠B′,∠C=∠C′,

且．我们就说△ABC与△A′B′C′相似，记作△ABC∽△A′B′C′，k就是它们的相似比．反之如果△ABC∽△A′B′C′，则有∠A=∠A′,∠B=∠B′,∠C=∠C′,且．（3）问题：如果k=1，这两个三角形有怎样的关系？[两个三角形全等]2．思考，并引导学生探索与证明．引导学生根据三角形相似的定义来证明，不难得出ΔADE和ΔABC这两个三角形的对应角相等，对应边成比例，相似比是．改变D点在AB上的位置，继续观察图形，容易进一步猜想ΔADE和ΔABC仍有相似关系．3．【归纳】三角形相似的预备定理

平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．四、例题讲解例1（补充）如图△ABC∽△DCA，AD∥BC，∠B=∠DCA．（1）写出对应边的比例式；（2）写出所有相等的角；（3）若AB=10，BC=12，CA=6．求AD、DC的长．分析：可类比全等三角形对应边、对应角的关系来寻找相似三角形中的对应元素．对于（3）可由相似三角形对应边的比相等求出AD与DC的长．解：略

[AD=3，DC=5]例2（补充）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=EC，DB=1cm，AE=4cm，BC=5cm，求DE的长．

分析：由DE∥BC，可得△ADE∽△ABC，再由相似三角形的性质，有，又由AD=EC可求出AD的长，再根据求出DE的长．解：略

[]．相似三角形的判定（二）一、教学目标1．初步掌握“三组对应边的比相等的两个三角形相似”的判定方法，以及“两组对应边的比相等且它们的夹角相等的两个三角形相似”的判定方法．2．经历两个三角形相似的探索过程，体验用类比、实验操作、分析归纳得出数学结论的过程；通过画图、度量等操作，培养学生获得数学猜想的经验，激发学生探索知识的兴趣，体验数学活动充满着探索性和创造性．3．能够运用三角形相似的条件解决简单的问题．二、重点、难点1．重点：掌握两种判定方法，会运用两种判定方法判定两个三角形相似．2．难点：（1）三角形相似的条件归纳、证明；（2）会准确的运用两个三角形相似的条件来判定三角形是否相似．3．难点的突破方法（1）关于三角形相似的判定方法1“三组对应边的比相等的两个三角形相似”，教科书虽然给出了证明，但不要求学生自己证明，通过教师引导、讲解证明，使学生了解证明的方法，并复习前面所学过的有关知识，加深对判定方法的理解．（2）判定方法1的探究是让学生通过作图展开的，我们在教学过程中，要通过从作图方法的迁移过程，让学生进一步感受，由特殊的全等三角形到一般相似三角形，以及类比认识新事物的方法．（3）讲判定方法1时，要扣住“对应”二字，一般最短边与最短边，最长边与最长边是对应边．（4）判定方法2一定要注意区别“夹角相等”的条件，如果对应相等的角不是两条边的夹角，这两个三角形不一定相似．（5）要让学生明确，两个判定方法说明：只要分别具备边或角的两个独立条件——“两边对应成比例，夹角相等”或“三边对应成比例”就能证明两个三角形相似．三、课堂引入1．复习提问：(1)两个三角形全等有哪些判定方法？(2)我们学习过哪些判定三角形相似的方法？(3)全等三角形与相似三角形有怎样的关系？(4)如图，如果要判定△ABC与△A’B’C’相似，是不是一定需要一一验证所有的对应角和对应边的关系？2．（1）提出问题：首先，由三角形全等的SSS判定方法，我们会想如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么能否判定这两个三角形相似呢？（2）带领学生画图探究；（3）【归纳】三角形相似的判定方法1：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似．3．（1）提出问题：怎样证明这个命题是正确的呢？（2）教师带领学生探求证明方法．4．用上面同样的方法进一步探究三角形相似的条件：（1）提出问题：由三角形全等的SAS判定方法，我们也会想如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，那么能否判定这两个三角形相似呢？（2）让学生画图，自主展开探究活动．（3）【归纳】三角形相似的判定方法2：两个三角形的两组对应边的比相等，且它们的夹角相等，那么这两个三角形相似．（4）思考引导学生对比三角形全等的判定来思考这个问题，在三角形全等的判定中我们知道“两边一夹角”可以判定两个三角形全等，但“两边一对角”就不能判定，类似地我们便可以猜想，上面这个问题中这两个三角形不一定相似，如图四、例题讲解例1：求证直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原直角三角形相似．分析：∵∠B=∠B，∠CDB=∠ACB∴△ABC与△CBD相似同理：△ABC与△ACD相似∴△ABC、△CBD和△ACD都相似．例2（补充）已知：如图，在四边形ABCD中，∠B=∠ACD，AB=6，BC=4，AC=5，CD=，求AD的长．分析：由已知一对对应角相等及四条边长，猜想应用“两组对应边的比相等且它们的夹角相等”来证明．计算得出，结合∠B=∠ACD，证明△ABC与△DCA相似，再利用相似三角形的定义得出关于AD的比例式，从而求出AD的长．解：略

[AD=]．相似三角形的判定（三）一、教学目标1．经历两个三角形相似的探索过程，进一步发展学生的探究、交流能力．2．掌握“两角对应相等，两个三角形相似”的判定方法．3．能够运用三角形相似的条件解决简单的问题．二、重点、难点1．重点：三角形相似的判定方法3——“两角对应相等，两个三角形相似”．2．难点：三角形相似的判定方法3的运用．3．难点的突破方法（1）在两个三角形中，只要满足两个对应角相等，那么这两个三角形相似，这是三角形相似中最常用的一个判定方法．（2）公共角、对顶角、同角的余角（或补角）、同弧上的圆周角都是相等的，是判别两个三角形相似的重要依据．（3）如果两个三角形是直角三角形，则只要再找到一对锐角相等即可说明这两个三角形相似．三、课堂引入1．复习提问：（1）我们已学习过哪些判定三角形相似的方法？（2）如图，△ABC中，点D在AB上，如果AC2=AD•AB，那么△ACD与△ABC相似吗？说说你的理由．（3）如（2）题图，△ABC中，点D在AB上，如果∠ACD=∠B，那么△ACD与△ABC相似吗？——引出课题．（4）教材P48的探究3．2．归纳：三角形相似的判定方法3：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．四、例题讲解例1（教材P48例2）．分析：要证PA•PB=PC•PD，需要证，则需要证明这四条线段所在的两个三角形相似．由于所给的条件是圆中的两条相交弦，故需要先作辅助线构造三角形，然后利用圆的性质“同弧上的圆周角相等”得到两组角对应相等，再由三角形相似的判定方法3，可得两三角形相似．证明：略（见教材P48例2）．例2（补充）已知：如图，矩形ABCD中，E为BC上一点，DF⊥AE于F，若AB=4，AD=5，AE=6，求DF的长．分析：要求的是线段DF的长，观察图形，我们发现AB、AD、AE和DF这四条线段分别在△ABE和△AFD中，因此只要证明这两个三角形相似，再由相似三角形的性质可以得到这四条线段对应成比例，从而求得DF的长．由于这两个三角形都是直角三角形，故有一对直角相等，再找出另一对角对应相等，即可用“两角对应相等，两个三角形相似”的判定方法来证明这两个三角形相似．解：略（DF=）．相似三角形的应用举例一、教学目标1．进一步巩固相似三角形的知识．2．能够运用三角形相似的知识，解决不能直接测量物体的长度和高度（如测量金字塔高度问题、测量河宽问题、盲区问题）等的一些实际问题．3．通过把实际问题转化成有关相似三角形的数学模型，进一步了解数学建模的思想，培养分析问题、解决问题的能力．二、重点、难点1．重点：运用三角形相似的知识计算不能直接测量物体的长度和高度．2．难点：灵活运用三角形相似的知识解决实际问题（如何把实际问题抽象为数学问题）．3．难点的突破方法（1）本节主要探索的是应用相似三角形的判定、性质等知识去解决某些简单的实际问题（计算不能直接测量物体的长度和高度及盲区问题），学生已经学过了相似三角形的概念、判定方法及性质，在此基础上通过本课的学习将对前面所学知识进行全面应用．初三学生在思维上已具备了初步的应用数学的意识，在心理特点上则更依赖于直观形象的认识．（2）在实际生活中，面对不能直接测量出长度和宽度的物体及盲区问题，我们可以应用相似三角形的知识来测量，只要将实际问题转化为数学问题，建立相似三角形模型，再利用线段成比例来求解．在教学中，要通过这些知识的教学，帮助学生从实际生活中发现数学问题、运用所学知识解决实际问题。另外，还可以根据学生实情，选择一些实际问题，引导学生加以解决，提高他们应用知识解决问题的能力．三、课堂引入问：世界现存规模最大的金字塔位于哪个国家，叫什么金字塔？胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔，被喻为“世界古代七大奇观之一”．塔的４个斜面正对东南西北四个方向，塔基呈正方形，每边长约230多米．据考证，为建成大金字塔，共动用了10万人花了20年时间．原高146.59米，但由于经过几千年的风吹雨打，顶端被风化吹蚀，所以高度有所降低．在古希腊，有一位伟大的科学家叫泰勒斯．一天，希腊国王阿马西斯对他说：“听说你什么都知道，那就请你测量一下埃及金字塔的高度吧！”，这在当时条件下是个大难题，因为是很难爬到塔顶的．你知道泰勒斯是怎样测量大金字塔的高度的吗？四、例题讲解例1（教材P49例3——测量金字塔高度问题）分析：根据太阳光的光线是互相平行的特点，可知在同一时刻的阳光下，竖直的两个物体的影子互相平行，从而构造相似三角形，再利用相似三角形的判定和性质，根据已知条件，求出金字塔的高度．解：略（见教材P49）问：你还可以用什么方法来测量金字塔的高度？（如用身高等）解法二：用镜面反射（如图，点A是个小镜子，根据光的反射定律：由入射角等于反射角构造相似三角形）．（解法略）例2（教材P50例4——测量河宽问题）分析：设河宽PQ长为xm，由于此种测量方法构造了三角形中的平行截线，故可得到相似三角形，因此有，即．再解x的方程可求出河宽．解：略（见教材P50）问：你还可以用什么方法来测量河的宽度？解法二：如图构造相似三角形（解法略）．五、课堂练习1．在同一时刻物体的高度与它的影长成正比例．在某一时刻，有人测得一高为1.8米的竹竿的影长为3米，某一高楼的影长为60米，那么高楼的高度是多少米？2．小明要测量一座古塔的高度，从距他2米的一小块积水处C看到塔顶的倒影，已知小明的眼部离地面的高度DE是1.5米，塔底中心B到积水处C的距离是40米；求塔高?相似三角形的周长与面积一、教学目标1．理解并初步掌握相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方．2．能用三角形的性质解决简单的问题．二、重点、难点1．重点：相似三角形的性质与运用．2．难点：相似三角形性质的灵活运用，及对“相似三角形面积的比等于相似比的平方”性质的理解，特别是对它的反向应用的理解，即对“由面积比求相似比”的理解．3．难点的突破方法（1）相似三角形的性质：①对应角相等，对应边成比例；②相似三角形周长的比等于相似比；③面积的比等于相似比的平方．（还可以补充④相似三角形对应高的比等于相似比）（2）应用相似三角形的性质，其前提条件是两个三角形相似，不满足前提条件，不能应用相应的性质．（3）在应用性质2“相似三角形面积的比等于相似比的平方”时，要注意有相似比求面积必要平方，这一点学生容易掌握，但反过来，由面积比求相似必要开方，学生往往掌握不好，教学时可增加一些这方面的练习．三、课堂引入1．复习提问：已知：∆ABC与∆A’B’C’相似，由相似的定义，有哪些结论？(从对应边上看；从对应角上看)问：两个三角形相似，除了对应边成比例、对应角相等之外，我们还可以得到哪些结论？2．思考：（1）如果两个三角形相似，它们的周长之间有什么关系？（2）如果两个三角形相似，它们的面积之间有什么关系？（3）两个相似多边形的周长和面积分别有什么关系？（1）推导见教材P52．结论——相似三角形的性质：性质1

相似三角形周长的比等于相似比．即：如果△ABC∽△A′B′C′，且相似比为k，那么．相似多边形的周长比等于相似比．推导见教材P53；性质2

相似三角形面积的比等于相似比的平方．即：如果△ABC∽△A′B′C′，且相似比为k，那么．相似多边形的性质1：相似多边形周长的比等于相似比．相似多边形的性质2：相似多边形面积的比等于相似比的平方．四、例题讲解例1（补充）已知：△ABC∽△A′B′C′，它们的周长分别是60cm和72cm，且AB＝15cm，B′C′＝24cm，求BC、AC、A′B′、A′C′的长．分析：根据相似三角形周长的比等于相似比可以求出BC等边的长．解：略（此题学生可以让自己完成）．[BC=20，AC=25，A′B′=18，A′C′=30]例2（教材P53例6）分析：根据已知可以得到，又有夹角∠D=∠A，由相似三角形的判定方法2可以得到这两个三角形相似，且相似比为，故△DEF的周长和面积可求出．解：略（见教材P54）五、课堂练习1．教材P54．1．2．填空：（1）如果两个相似三角形对应边的比为3∶5，那么它们的相似比为________，周长的比为_____，面积的比为_____．（2）如果两个相似三角形面积的比为3∶5，那么它们的相似比为________，周长的比为________．（3）连结三角形两边中点的线段把三角形截成的一个小三角形与原三角形的周长比等于______，面积比等于_______．（4）两个相似三角形对应的中线长分别是6cm和18cm，若较大三角形的周长是42cm，面积是12cm2，则较小三角形的周长为________cm，面积为_______cm2．3．如图，在正方形网格上有△A1B1C1和△A2B2C2，这两个三角形相似吗？如果相似，求出△A1B1C1和△A2B2C2的面积比．位似(1)一、教学目标1．了解位似图形及其有关概念，了解位似与相似的联系和区别，掌握位似图形的性质．2．掌握位似图形的画法，能够利用作位似图形的方法将一个图形放大或缩小．二、重点、难点1．重点：位似图形的有关概念、性质与作图．2．难点：利用位似将一个图形放大或缩小．3．难点的突破方法（1）掌握位似图形概念，需注意：①位似是一种具有位置关系的相似，所以两个图形是位似图形，必定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形；②两个位似图形的位似中心只有一个；③两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一侧；④位似比就是相似比．利用位似图形的定义可判断两个图形是否位似．（2）位似图形首先是相似图形，所以它具有相似图形的一切性质．位似图形是一种特殊的相似图形，它又具有特殊的性质，位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离等于位似比（相似比）．（3）两个位似图形的主要特征是：每对位似对应点与位似中心共线；不经过位似中心的对应线段平行．（4）利用位似，可以将一个图形放大或缩小，其步骤见下面例题．作图时要注意：①首先确定位似中心，位似中心的位置可随意选择；②确定原图形的关键点，如四边形有四个关键点，即它的四个顶点；③确定位似比，根据位似比的取值，可以判断是将一个图形放大还是缩小；④符合要求的图形不惟一，因为所作的图形与所确定的位似中心的位置有关，并且同一个位似中心的两侧各有一个符合要求的图形．三、课堂引入1．观察：在日常生活中，我们经常见到下面所给的这样一类相似的图形，它们有什么特征？这样的放大或缩小，没有改变图形的形状，经过放大或缩小的图形与原图形是相似的图27.3-2每幅图中的两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．2．利用位似可以将一个图形放大或缩小问：已知：如图，多边形ABCD，把它放大为原来的2倍，即新图与原图的相似比为2．应该怎样做？你能说出画相似图形的一种方法吗？我们可以在四边形外任取一点O，如图，分别在直线OA、OB、OC、OD上取点A’、B’、C’、D’，使得OA’=2OA，OB’=2OB，OC’=2OC，OD’=2OD，顺次连接点A’、B’、C’、D’，所得四边形A’B’C’D’就是所要求的图形．四、例题讲解例1、如图，指出下列各图中的两个图形是否是位似图形，如果是位似图形，请指出其位似中心．分析：位似图形是特殊位置上的相似图形，因此判断两个图形是否为位似图形，首先要看这两个图形是否相似，再看对应点的连线是否都经过同一点，这两个方面缺一不可．解：图(1)、(2)和(4)三个图形中的两个图形都是位似图形，位似中心分别是图(1)中的点A，图(2)中的点P和图(4)中的点O．图(3)中的点O不是对应点连线的交点，故图(3)不是位似图形，图（5）也不是位似图形例2、把图1中的四边形ABCD缩小到原来的．分析：把原图形缩小到原来的，也就是使新图形上各顶点到位似中心的距离与原图形各对应顶点到位似中心的距离之比为1∶2．作法一：①在四边形ABCD外任取一点O；②过点O分别作射线OA，OB，OC，OD；③分别在射线OA，OB，OC，OD上取点A′、B′、C′、D′s，使得；④顺次连接A′B′、B′C′、C′D′、D′A′，得到所要画的四边形A′B′C′D′，如图2．问：此题目还可以如何画出图形？作法二：①在四边形ABCD外任取一点O；②过点O分别作射线OA，OB，OC，OD；③分别在射线OA，OB，OC，OD的反向延长线上取点A′、B′、C′、D′，使得；④顺次连接A′B′、B′C′、C′D′、D′A′，得到所要画的四边形A′B′C′D′，如图3．作法三：（1）在四边形ABCD内任取一点O；（2）过点O分别作射线OA，OB，OC，OD；（3）分别在射线OA，OB，OC，OD上取点A′、B′、C′、D′，使得；（4）顺次连接A′B′、B′C′、C′D′、D′A′，得到所要画的四边形A′B′C′D′，如图4．（当点O在四边形ABCD的一条边上或在四边形ABCD的一个顶点上时，作法略——可以让学生自己完成）教学反思位似(2)一、教学目标1．巩固位似图形及其有关概念．2．会用图形的坐标的变化来表示图形的位似变换，掌握把一个图形按一定大小比例放大或缩小后，点的坐标变化的规律．3．了解四种变换(平移、轴对称、旋转和位似)的异同，并能在复杂图形中找出这些变换．二、重点、难点1．重点：用图形的坐标的变化来表示图形的位似变换．2．难点：把一个图形按一定大小比例放大或缩小后，点的坐标变化的规律．3．难点的突破方法（1）相似与轴对称、平移、旋转一样，也是图形之间的一个基本变换，因此一些特殊的相似（如位似）也可以用图形坐标的变化来表示．（2）带领学生共同探究出位似变换中对应点的坐标的变化规律：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k．（3）在平面直角坐标系中，用图形的坐标的变化来表示图形的位似变换的关键是要确定位似图形各个顶点的坐标，而不同方法得到的图形坐标是不同的．如：已知：△ABC三个顶点坐标分别为A(1，3)，B(2，0)，C(6，2)，以点O为位似中心，相似比为2，将△ABC放大，根据前面（2）总结的变化规律，点A的对应点A′的坐标为（1×2，3×2），即A′（2，6），或点A的对应点A′′的坐标为（1×(−2)，3×(−2)），即A′′（−2，−6）．类似地，可以确定其他顶点的坐标．（4）本节课的最后要给学生总结（或让学生自己总结）平移、轴对称、旋转和位似四种变换的异同：图形经过平移、旋转或轴对称的变换后，虽然对应位置改变了，但大小和形状没有改变，即两个图形是全等的；而图形放大或缩小（位似变换）之后是相似的．并让学生练习在所给的图案中，找出平移、轴对称、旋转和位似这些变换．三、课堂引入1．如图，△ABC三个顶点坐标分别为A(2，3)，B(2，1)，C(6，2)，①将△ABC向左平移三个单位得到△A1B1C1，写出A1、B1、C1三点的坐标；②写出△ABC关于x轴对称的△A2B2C2三个顶点A2、B2、C2的坐标；③将△ABC绕点O旋转180°得到△A3B3C3，写出A3、B3、C3三点的坐标．2．在前面几册教科书中，我们学习了在平面直角坐标系中，如何用坐标表示某些平移、轴对称、旋转（中心对称）等变换，相似也是一种图形的变换，一些特殊的相似(如位似)也可以用图形坐标的变化来表示．3．探究：①如图，在平面直角坐标系中，有两点A(6，3)，B(6，0)．以原点O为位似中心，相似比为，把线段AB缩小．观察对应点之间坐标的变化，你有什么发现？②如图，△ABC三个顶点坐标分别为A(2，3)，B(2，1)，C(6，2)，以点O为位似中心，相似比为2，将△ABC放大，观察对应顶点坐标的变化，你有什么发现？[①A’(2，1)，B’(2，0)；A’’(−2，−1)，B’’(−2，1)；②A’(−4，−6)，B’(−4，−2)，C’(−12，−4)]【归纳】位似变换中对应点的坐标的变化规律：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k．四、例题讲解例1、分析：略（见教材P63的例题分析）解：略（见教材P63的例题解答）问：你还可以得到其他图形吗？请你自己试一试！解法二：点A的对应点A′′的坐标为（−6×，6×），即A′′（3，−3）．类似地，可以确定其他顶点的坐标．（具体解法与作图略）例2、在右图所示的图案中，你能找出平移、轴对称、旋转和位似这些变换吗？分析：观察的角度不同，答案就不同．如：它可以看作是一排鱼顺时针旋转45°角，连续旋转八次得到的旋转图形；它还可以看作位似中心是图形的正中心，相似比是4∶3∶2∶1的位似图形，……．解：答案不惟一，略．教学反思第二十八章锐角三角函数锐角三角函数——正弦一、教学目标1.通过探究使学生知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与用计算器求锐角三角函数值和根据三角函数值求锐角斜边的比值都固定（即正弦值不变）这一事实．2.能根据正弦概念正确进行计算3.经历当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固定值这一事实，发展学生的形象思维，培养学生由特殊到一般的演绎推理能力．二、教学重点、难点重点：理解认识正弦（sinA）概念，通过探究使学生知道当锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固定值这一事实．难点：引导学生比较、分析并得出：对任意锐角，它的对边与斜边的比值是固定值的事实．三、教学过程（一）复习引入操场里有一个旗杆，老师让小明去测量旗杆高度．（演示学校操场上的国旗图片）小明站在离旗杆底部10米远处，目测旗杆的顶部，视线与水平线的夹角为34º，并已知目高为1米．然后他很快就算出旗杆的高度了．你想知道小明怎样算出的吗？师：通过前面的学习我们知道，利用相似三角形的方法可以测算出旗杆的大致高度；实际上我们还可以象小明那样通过测量一些角的度数和一些线段的长度，来测算出旗杆的高度．这就是我们本章即将探讨和学习的利用锐角三角函数来测算物体长度或高度的方法．下面我们大家一起来学习锐角三角函数中的第一种：锐角的正弦（二）实践探索为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行灌溉．现测得斜坡与水平面所成角的度数是30º，为使出水口的高度为35m，那么需要准备多长的水管？分析：问题转化为，在Rt△ABC中，∠C=90º，∠A=30º，BC=35m，求AB根据“再直角三角形中，30o角所对的边等于斜边的一半”，即==可得AB=2BC=70m，即需要准备70m长的水管结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于30o，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于如图，任意画一个Rt△ABC，使∠C=90º，∠A=45º，计算∠A的对边与斜边的比，能得到什么结论？分析：在Rt△ABC

中，∠C=90º，由于∠A=45º，所以Rt△ABC是等腰直角三角形，由勾股定理得AB2=AC2+BC2=2BC2，AB=BC故===结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于45º，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于一般地，当∠A取其他一定度数的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？如图：Rt△ABC与Rt△A’B’C’，∠C=∠C’=90º，∠A=∠A’=α，那么与有什么关系？分析：由于∠C=∠C’=90º，∠A=∠A’=α，所以Rt△ABC与Rt△A’B’C’相似，=，即=结论：在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比也是一个固定值．认识正弦如图，在Rt△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别记为a、b、c．师：在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦．记作sinA．板书：sinA＝=(举例说明：若a=1，c=3，则sinA=)注意：1、sinA不是sin与A的乘积，而是一个整体；2、正弦的三种表示方式：sinA、sin56º、sin∠DEF；3、sinA是线段之间的一个比值；sinA没有单位．提问：∠B的正弦怎么表示？要求一个锐角的正弦值，我们需要知道直角三角形中的哪些边？（三）教学互动例、如图，在RtΔABC中，∠C=90º，求sinA和sinB的值.分析：可利用勾股定理分别求出两个三角形中未知的那一边长，再根据正弦的定义求解.解答按课本.锐角三角函数——余弦和正切一、教学目标1.使学生知道当直角三角形的锐角固定时，它的邻边与斜边、对边与邻边的比值也都固定这一事实．2.逐步培养学生观察、比较、分析、概括的思维能力．二、教学重点、难点重点：理解余弦、正切的概念难点：熟练运用锐角三角函数的概念进行有关计算三、教学过程（一）复习引入1.口述正弦的定义2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90º，CD⊥AB于点D．已知AC=，BC=2，那么sin∠ACD＝（

）A．

B．

C．

D．（二）实践探索一般地，当∠A取其他一定度数的锐角时，它的邻边与斜边的比是否也是