极限与导数的概念

极限是微积分的基石一、实例引入：例：战国时代哲学家庄周所著的《庄子·天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”也就是说一根长为一尺的木棒，每天截去一半，这样的过程可以无限制地进行下去。〔1〕求第天剩余的木棒长度(尺)，并分析变化趋势；〔2〕求前天截下的木棒的总长度(尺)，并分析变化趋势。观察以上两个数列都具有这样的特点：当项数无限增大时，数列的项无限趋近于某个常数A〔即无限趋近于0〕。无限趋近于常数A，意指“可以任意地靠近A，希望它有多近就有多近，只要充分大，就能到达我们所希望的那么近。”即“动点到A的距离可以任意小。二、新课讲授1、数列极限的定义：一般地，如果当项数无限增大时，无穷数列的项无限趋近于某个常数A〔即无限趋近于0〕，那么就说数列的极限是A，记作注：①上式读作“当趋向于无穷大时，的极限等于A”。“∞”表示“趋向于无穷大”，即无限增大的意思。有时也记作当∞时，A②引例中的两个数列的极限可分别表示为_____________________，____________________③思考：是否所有的无穷数列都有极限？例1：判断以下数列是否有极限，假设有，写出极限；假设没有，说明理由〔1〕1，，，…，，…；〔2〕，，，…，，…；〔3〕－2，－2，－2，…，－2，…；〔4〕－0.1，0.01，－0.001，…，，…；〔5〕－1,1，－1，…，，…；注：几个重要极限：〔1〕〔2〕〔C是常数〕〔3〕无穷等比数列〔〕的极限是0，即：2、当时函数的极限Oyx〔1〕画出函数的图像，观察当自变量取正值且无限增大时，函数值的变化情况：函数值无限趋近于0，这时就说，当趋向于正无穷大时，函数Oyx的极限是0，记作：一般地，当自变量取正值且无限增大时，如果函数的值无限趋近于一个常数A，就说当趋向于正无穷大时，函数的极限是A，记作：也可以记作，当时，〔2〕从图中还可以看出，当自变量取负值而无限增大时，函数的值无限趋近于0，这时就说，当趋向于负无穷大时，函数的极限是0，记作：一般地，当自变量取负值而无限增大时，如果函数的值无限趋近于一个常数A，就说当趋向于负无穷大时，函数的极限是A，记作：也可以记作，当时，〔3〕从上面的讨论可以知道，当自变量的绝对值无限增大时，函数的值都无限趋近于0，这时就说，当趋向于无穷大时，函数的极限是0，记作一般地，当自变量的绝对值无限增大时，如果函数的值无限趋近于一个常数A，就说当趋向于无穷大时，函数的极限是A，记作：也可以记作，当时，特例：对于函数〔是常数〕，当自变量的绝对值无限增大时，函数的值保持不变，所以当趋向于无穷大时，函数的极限就是，即例2：判断以下函数的极限：〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕三、练习与作业1、判断以下数列是否有极限，假设有，写出极限〔1〕1，，，…，，…；〔2〕7，7，7，…，7，…；〔3〕；〔4〕2，4，6，8，…，2n，…；〔5〕0.1，0.01，0.001，…，，…；〔6〕0，…，，…；〔7〕…，，…；〔8〕…，，…；〔9〕－2,0，－2，…，,…，2、判断以下函数的极限：〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕〔5〕〔6〕〔7〕〔8〕一、引入：一些简单函数可从变化趋势找出它们的极限，如.假设求极限的函数比拟复杂，就要分析函数是由哪些简单函数经过怎样的运算结合而成的，函数的极限与这些简单函数的极限有什么关系，这样就能把复杂函数的极限计算转化为简单函数的极限的计算.对于函数极限有如下的运算法那么：如果，那么也就是说，如果两个函数都有极限，那么这两个函数的和、差、积、商组成的函数极限，分别等于这两个函数的极限的和、差、积、商〔作为除数的函数的极限不能为0〕.说明：当C是常数，n是正整数时，这些法那么对于的情况仍然适用.三典例剖析例1求 例2求 例3求分析：当时，分母的极限是0，不能直接运用上面的极限运用法那么.注意函数在定义域内，可以将分子、分母约去公因式后变成，由此即可求出函数的极限.例4求分析：当时，分子、分母都没有极限，不能直接运用上面的商的极限运算法那么.如果分子、分母都除以，所得到的分子、分母都有极限，就可以用商的极限运用法那么计算。总结：例5求分析：同例4一样，不能直接用法那么求极限.如果分子、分母都除以，就可以运用法那么计算了。三、练习〔利用函数的极限法那么求以下函数极限〕〔1〕；〔2〕〔3〕；〔4〕〔5〕〔6〕〔7〕〔8〕一、复习引入：函数极限的运算法那么：如果那么＿＿＿＿＿＿＿，＿＿＿＿〔B〕二、新授课：数列极限的运算法那么与函数极限的运算法那么类似：如果那么推广：上面法那么可以推广到有限多个数列的情况。例如，假设，，有极限，那么：特别地，如果C是常数，那么二.例题：例1.，求例2.求以下极限：〔1〕；〔2〕例3.求以下有限：〔1〕〔2〕分析：〔1〕〔2〕当无限增大时，分式的分子、分母都无限增大，分子、分母都没有极限，上面的极限运算法那么不能直接运用。例4.求以下极限：〔1〕〔2〕说明：1.数列极限的运算法那么成立的前提的条件是：数列的极限都是存在，在进行极限运算时，要特别注意这一点。当无限增大时，分式的分子、分母都无限增大，分子、分母都没有极限，上面的极限运算法那么不能直接运用。2.有限个数列的和〔积〕的极限等于这些数列的极限的和〔积〕。3.两个〔或几个〕函数〔或数列〕的极限至少有一个不存在，但它们的和、差、积、商的极限不一定不存在。小结：在数列的极限都是存在的前提下，才能运用数列极限的运算法那么进行计算；数列极限的运算法那么是对有限的数列是成立的。练习与作业：1.，求以下极限〔1〕；〔2〕3.求以下极限〔1〕；〔2〕；〔3〕；〔4〕。4.求以下极限:(1).(2).(3).〔4〕〔5〕〔6〕.求无穷等比数列各项的和1、等比数列的前n项和公式是_________________________________________________2、设AB是长为1的一条线段，等分AB得到分点A1，再等分线段A1B得到分点A2，如此无限继续下去，线段AA1，A1A2，…，An－1An，…的长度构成数列①可以看到，随着分点的增多，点An越来越接近点B，由此可以猜测，当n无穷大时，AA1+A1A2+…+An－1An的极限是________.下面来验证猜测的正确性，并加以推广1、无穷等比数列各项的和：公比的绝对值小于1的无穷等比数列前n项的和当n无限增大时的极限，叫做这个无穷等比数列各项的和.设无穷等比数列的公比的绝对值小于1，那么其各项的和S为例1、求无穷等比数列0.3，0.03，0.003，…各项的和.例2、将无限循环小数化为分数.练习1、求以下无穷等比数列各项的和：〔1〕〔2〕2、化循环小数为分数：〔1〕 〔2〕〔3〕3、如图，等边三角形ABC的面积等于1，连结这个三角形各边的中点得到一个小三角形，又连结这个小三角形各边的中点得到一个更小的三角形，如此无限继续下去，求所有这些三角形的面积的和.4、如图，三角形的一条底边是a,这条边上的高是h〔1〕过高的5等分点分别作底边的平行线，并作出相应的4个矩形，求这些矩形面积的和〔2〕把高n等分，同样作出n－1个矩形，求这些矩形面积的和；〔3〕求证：当n无限增大时，这些矩形面积的和的极限等于三角形的面积ah/21.瞬时速度问题1：一个小球自由下落，它在下落3秒时的速度是多少？一般地，设物体的运动规律是s＝s〔t〕，那么物体在t到〔t＋〕这段时间内的平均速度为.如果无限趋近于0时，无限趋近于某个常数a，就说当趋向于0时，的极限为a，这时a就是物体在时刻t的瞬时速度.2.切线的斜率问题2：P〔1,1〕是曲线上的一点，Q是曲线上点P附近的一个点，当点Q沿曲线逐渐向点P趋近时割线PQ的斜率的变化情况.一般地，函数的图象是曲线C，P〔〕，Q〔〕是曲线C上的两点，当点Q沿曲线逐渐向点P接近时，割线PQ绕着点P转动.当点Q沿着曲线无限接近点P，即趋向于0时，如果割线PQ无限趋近于一个极限位置PT，那么直线PT叫做曲线在点P处的切线.此时，割线PQ的斜率无限趋近于切线PT的斜率k，也就是说，当趋向于0时，割线PQ的斜率的极限为k.3.边际本钱问题3：设本钱为C，产量为q，本钱与产量的函数关系式为，一般地，设C是本钱，q是产量，本钱与产量的函数关系式为C＝C〔q〕，当产量为时，产量变化对本钱的影响可用增量比刻划.如果无限趋近于0时，无限趋近于常数A，经济学上称A为边际本钱.它说明当产量为时，增加单位产量需付出本钱A〔这是实际付出本钱的一个近似值〕.瞬时速度是平均速度当趋近于0时的极限；切线是割线的极限位置，切线的斜率是割线斜率当趋近于0时的极限；边际本钱是平均本钱当趋近于0时的极限.我们讨论了瞬时速度、切线的斜率和边际本钱。虽然它们的实际意义不同，但从函数角度来看，却是相同的，都是研究函数的增量与自变量的增量的比的极限。由此我们引出下面导数的概念。1.设函数在处附近有定义，当自变量在处有增量时，那么函数相应地有增量，如果时，与的比〔也叫函数的平均变化率〕有极限即无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数在处的导数，记作，即注：1.函数应在点的附近有定义，否那么导数不存在。2.在定义导数的极限式中，趋近于0可正、可负、但不为0，而可能为0。3.是函数对自变量在范围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线上点〔〕及点〕的割线斜率。4.导数是函数在点的处瞬时变化率，它反映的函数在点处变化的快慢程度，它的几何意义是曲线上点〔〕处的切线的斜率。因此，如果在点可导，那么曲线在点〔〕处的切线方程为。5.导数是一个局部概念，它只与函数在及其附近的函数值有关，与无关。6.在定义式中，设，那么，当趋近于0时，趋近于，因此，导数的定义式可写成。7.假设极限不存在，那么称函数在点处不可导。8.假设在可导，那么曲线在点〔〕有切线存在。反之不然，假设曲线在点〔〕有切线，函数在不一定可导，并且，假设函数在不可导，曲线在点〔〕也可能有切线。一般地，，其中为常数。特别地，。如果函数在开区间内的每点处都有导数，此时对于每一个，都对应着一个确定的导数，从而构成了一个新的函数。称这个函数为函数在开区间内的导函数，简称导数，也可记作，即＝＝函数在处的导数就是函数在开区间上导数在处的函数值，即＝。所以函数在处的导数也记作。注：1.如果函数在开区间内每一点都有导数，那么称函数在开区间内可导。2.导数与导函数都称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是求导函数；求一个函数在给定点的导数，就是求导函数值。它们之间的关系是函数在点处的导数就是导函数在点的函数值。3.求导函数时，只需将求导数式中的换成就可，即＝4.由导数的定义可知，求函数的导数的极限方法是：〔1〕.求函数的改变量。〔2〕.求平均变化率。〔3〕.取极限，得导数＝。例1.求在＝－3处的导数。例2.函数〔1〕求。〔2〕求函数在＝2处的导数。补充两个内容:〔1〕洛必达法那么;〔2〕阿基米德法1用洛必达法那么求以下极限(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)解(1)(2)(3)(4)(5)(6)(注当x0时(7)(8)因为而所以(9)因为而所以极限是微积分的基石战国时代哲学家庄周所著的《庄子·天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”〔1〕求第天剩余的木棒长度(尺)，并分析变化趋势；〔2〕求前天截下的木棒的总长度(尺)，并分析变化趋势。一般地，如果当项数无限增大时，无穷数列的项无限趋近于某个常数A〔即无限趋近于0〕，那么就说数列的极限是A，记作注：①上式读作“当趋向于无穷大时，的极限等于A”。“∞”表示“趋向于无穷大”，即无限增大的意思。有时也记作当∞时，A②引例中的两个数列的极限可分别表示为_____________________，____________________例1：判断以下数列是否有极限，假设有，写出极限；假设没有，说明理由〔1〕1，，，…，，…；〔2〕，，，…，，…；〔3〕－2，－2，－2，…，－2，…；〔4〕－0.1，0.01，－0.001，…，，…；〔5〕－1,1，－1，…，，…；注：几个重要极限：〔1〕〔2〕〔C是常数〕〔3〕无穷等比数列〔〕的极限是0，即：一般地，当自变量取正值且无限增大时，如果函数的值无限趋近于一个常数A，就说当趋向于正无穷大时，函数的极限是A，记作：,也可以记作，当时，例2：判断以下函数的极限：〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕练习1、判断以下数列是否有极限，假设有，写出极限〔1〕1，，，…，，…；〔2〕7，7，7，…，7，…；〔3〕；〔4〕2，4，6，8，…，2n，…；〔5〕0.1，0.01，0.001，…，，…；〔6〕0，…，，…；〔7〕…，，…；〔8〕…，，…；〔9〕－2,0，－2，…，,…，2、判断以下函数的极限：〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕〔5〕〔6〕〔7〕〔8〕对于函数极限有如下的运算法那么：如果，那么说明：当C是常数，n是正整数时，这些法那么对于的情况仍然适用.例1求 例2求 例3求例4求总结：例5求练习〔利用函数的极限法那么求以下函数极限〕〔1〕；〔2〕〔3〕；〔4〕〔5〕〔6〕〔7〕〔8〕数列极限的运算法那么与函数极限的运算法那么类似：如果那么推广：上面法那么可以推广到有限多个数列的情况。例如，假设，，有极限，那么：特别地，如果C是常数，那么例1.，求例2.求以下极限：〔1〕；〔2〕例3.求以下有限：〔1〕〔2〕分析：〔1〕〔2〕当无限增大时，分式的分子、分母都无限增大，分子、分母都没有极限，上面的极限运算法那么不能直接运用。例4.求以下极限：〔1〕〔2〕练习1.，求以下极限〔1〕；〔2〕2.求以下极限〔1〕；〔2〕； 〔3〕；〔4〕。3.求以下极限:(1).(2).(3).〔4〕〔5〕〔6〕.求无穷等比数列各项的和1、等比数列的前n项和公式是_________________________________________________2、设AB是长为1的一条线段，等分AB得到分点A1，再等分线段A1B得到分点A2，如此无限继续下去，线段AA1，A1A2，…，An－1An，…的长度构成数列①可以看到，随着分点的增多，点An越来越接近点B，由此可以猜测，当n无穷大时，AA1+A1A2+…+An－1An的极限是________.下面来验证猜测的正确性，并加以推广1、等比数列的前n项和公式是_________________________________________________2、设AB是长为1的一条线段，等分AB得到分点A1，再等分线段A1B得到分点A2，如此无限继续下去，线段AA1，A1A2，…，An－1An，…的长度构成数列①可以看到，随着分点的增多，点An越来越接近点B，由此可以猜测，当n无穷大时，AA1+A1A2+…+An