高等数学极限练习题及答案

高等数学极限练习题及答案

f?x??x2

x3?l

?x?l与函数g?x??x?l相同.

错误•・•当两个函数的定义域和函数关系相同时，则这

两个函数是相同的。・•・

f?x??x2

x3?l

?x?l与g?x??函数关系相同，但定义域不同，所以f?x?

与g?x?

x?l

是不同的函数。

2、如果f?x??M,则f?x?为无穷大.错误根据无穷

大的定义，此题是错误的。、如果数列有界，则极限存在.

错误如：数列xn???l?是有界数列，但极限不存在

n

4、n??

liman?a,liman?a.

n??

n

n

n??

错误如：数列an???l?,lim

x??

?L但limn不存在。

n??

5、如果limf?x??A,则f?x??A??.正确根据函数、

极限值、无穷小量的关系，此题是正确的。、如果？〜？，

则？?？？0???.

?

?1,是？

??????.,.lim?lim?l???O,即？??是？的高阶无穷小量。

????

2

7、当x?0时，l?cosx与x是同阶无穷小.

2

xx??2sin2sin?

l?cosxl???l??lim?lim2??正确

Vlimx?0x?0x?04?x?2x2x2

???2?

正确•「lim

11

?limx?limsin?O.

x?0xx?0x?0x

1

错误Vlimsin不存在，，不可利用两个函数乘积求极

限的法则计算。

x?Ox

8、limxsin

?1?

9、lim?l???e.

x?0

?x?

?1?

错误・・Tiin?l???e

x??

?x?

x

10、点x?0是函数y?的无穷间断点.

x

xx?xx

lim??l错误lim?,lim?lim?l

x?0?0xx?0?0xx?0?0xx?0?0x

x

・•.点x?0是函数y?的第一类间断点.

x

1

11、函数f?x??必在闭区间?a,b?内取得最大值、最小

值.

x

1

X

X

错误•・•根据连续函数在闭区间上的性质，f?X??

・•・函数f?x??

1

在x?0处不连续X

1

在闭区间?a,b?内不一定取得最大值、最小值x

二、填空题：

1、设y?f?x?的定义域是?0,1?,则

??f?l?sinx?的定义域是fex的定义域是；

f?lgx?的定义域是.答案：V0?e?lV0?l?sinx?l

V0?lgx?l

2x

???

xx??k,?x????Z)

2??

?x?2?2?x?0

?

x?0的定义域是2、函数f?x???O.

?x2?30?x?4?

3、设f?x??sinx2,??x??x2?l,则f???x???.

2

??

x

n??n

xxsinsin

x?lim?x?xVlimnsin?lim

n??n??xnn??l

nnx??l?l?x

??x?

5、设f?x???cos,limf?x??.?l?x?l,则limf?x??

x?l?0x??l?02?

x?l??x?l

VIimf?x??lim?2,1imf?x??lim?x?l??O

4、limnsin

x??l?O

x??l?O

x?l?O

x?l?O

?l?cosxl?x?0

6、设f?x???x2,如果f?x?在x?0处连续,则a?.

2?x?0?a

l?cosxll?cosxl

x?O?lim??f?O??a??Vlim,如果在处连续，则

fx22x?0x?022xx

7、设xO是初等函数f?x?定义区间内的点，则

;初等函数f?x?在定义区间内连续，・•・limf?x??f?xO?

x?xOx?xO

8、函数y?Vlim

x?l

1

x?12

2

当x?时为无穷大，当x?时为无穷小.

1

x?l??,lim

x??

1

9、若lim

x???

x

x?12

?0

1

).

2

?x?l?ax?b?O,则a?,b?.

11?

xx2?x?2

n、f?x??2的连续区间是.

x?4x?3ax?2sinx

?2,则a?12、若lim.

x??x

aax?2sinxsinx??lim?lim?a?2?a?0??a?0?2??limx??x??x

??xx??

1

?2

13、lim

sinx

?is,limxn

x??x??x

1

x

x?0

1

?,x

kx

lim?l?x?

?l?k

,lim?l???.?

x??x??

sinl

x?l

k

Vlim

sinxl1

?lim?sinx?Olimxsin?lim

x??x??xx??xxx??l

x

lim?l?x??lim?l??

x?0

x?0

1x1

??x

1??1??

?e?llim?l???lim?x??ek

x??x??x??x??

x???

kx

14、x??

limsin?iclarcont,m

n??

x?

三、选择填空：

1、如果limxn?a,则数列xn是

a.单调递增数列b.有界数列c.发散数列

3

2、函数f?x??logax?

x2?l是

a.奇函数b.偶函数c.非奇非偶函数•・•

f??x??loga??x?2

?1?

?logla

??

x?x2

?1

??logax?x2?l??f?x?

3、当x?0时，ex

?1是x的

a.高阶无穷小b.低阶无穷小c.等价无穷小

4、如果函数f?x?在xO点的某个邻域内恒有f?x?M,

则函数f?x?在该邻域内条件下趋于？?.a.x?lb.x?l?0

c.x?l?0

6、设函数f?x??sinx

x

,则limx?0f?x??

a.1b.—1c.不存在Vsinx

xlim

?lim

?sinxsinx?0?0xx?0?0x??xlim?0?0x

??1

limsinxsinxOx?xlim?0?0x

?1x?0?根据极限存在定理知：limx?0

f?x?不存在。

7、如果函数f?x?当x?xO时极限存在,则函数f?x?

在xO点a.有定义?b.无定义c.不一定有定义

丁f?x当x?xO时极限存在与否与函数在该点有无定义

没有关系。、数列1,1,

12,2,13,3,…，1

n

，n,…当n??时为a.无穷大?b.无穷小c?.发散

但不是无穷大

9、函数fx?在xO点有极限是函数f?x在xO点连续的

a.充分条件b.必要条件c.充分必要条件10、点

x?0是函数arctan

1

x

的a.连续点b.第一类间断点c.第二类间断点

Vlxlim?0?0

arctan

x???l?xlim?0?0arctanx?2

根据左右极限存在的点为第一类间断点。11、点x?0

是函数sin

1

x

的a.连续点b.第一类间断点c.第二类间断点四、

计算下列极限:

nn

1、lim???l?n??3n

n

解

limn???l?n??3n?limn??nl3?n)?3

4

c)

2、lim

tan3x

x?0sin2x

tanx33x31i?lim?解x?0

sinx2x?02x2

3、lim??x?

x???

9

?lim

x???

x???

lim

x?x?x??

?

x??x??

x??x?x??x?x??x??

?lim

x???

?2

x??x?l???

??1

??21im

4、lim

n??

x???

n

2

?n?l?n2?n

?

解

Iimn2?n?l?n2

n??

n

?n??lim

n??

2

?n?l?n2?n

2

n

2

?n?l?n2?n

2

n?n?l?n?n

12?

2n?l?lim?lim?l

n??

Illn2?n?l?n2?nn??

??2??nnn

x3?x2

5、lim

x?O?Ox?sinx

x3?x2x

?xlim?lim?limx?O?Ox?sinxx?O?Ox?sinxx

?0?0

xsin

x?

x?l

2

x?0

?xl

?sinxl?

x

x2?

6、lim

x?0

xsinx?x?O

x2?

?1

5

?lim

x?0

1x2

?

第二章导数与微分

典型例题分析

客观题

例1设f在点xO可导,a,b为常数，则lim

f?f

?x

ab

?x?0

?

f?

Aabf?Bf?Cf?D

答案C解

f?flim??x?O?x

[f?f]?[f?f]

?lim??x?O?x

f?ff?f

?blim?alim

?x?O?x?Ob?xa?x

?f?

例2设f在x?a的某个邻域内有定义,则f在x?a处

可导的一个充分条件是

l????f?f

limh?f?a???f?存在lim存在

h?Oh???hh????

lim

f?f

2h

h?0

存在lim

f?f

h

存在

h?0

答案D

解题思路

对于答案，不妨设

lh

??x,当h???时，?x?0,则有

?

l?f?f???

limh?f?a???f??lim存在，这只表明f在x?a处

h????x?Oh??x???

右导数存在,它并不是可导的充分条件,故不对.

?

对于答案与，因所给极限式子中不含点a处的函数值

f,因此与导数概念不相符和.例如，若取

?1,x?a

f??

0,x?a?

则与两个极限均存在，其值为零，但从

而f在

x?a

x?a处不连续，因而不可导，这就说明与成立并不能

保证f?存在，从而

与也不对.

记?x??h,则？x?0与h?0是等价的，于是

lim

f?f

h

h?0

??lim

f?f

h

h?0

?lim

f?f

?h

h?0

?x

所以条件D是f?存在的一个充分必要条件.

例3设f?0,则f在点x?0可导的充要条件为

?x?0

?lim

f?f

?f?

lim

Ihlh

2

h?0

f存在lim

Ihlh

h?0

f存在

h

lim

h?0

2

f存在lim

h?0

?f?f?存在

答案B解题思路当h?0时,

l?coshh

h?0

2

lim

f

h

2

h?0

?lim

2

f?f

h

2

?

1

.所以如果f?存在,则必有

?lim

f?f

l?cosh

h?0

?lim

l?coshh

2

h?0

若记u?l?cosh,当h?0时,u?0,所以

f?ff?flim?lim?f?h?0h?01?coshu于是

?

lim

f

h

2

h?0

?

12

f?

Ih

2

这就是说由f?存在能推出lim

h?0

f存在.

?

hO,而不是u?0,因此但是由于当h?0时，恒有

u?l?cos?

lf?f

f???limlini2f存在只能推出存在，而不能推出f?

h?0hx?0x存在.

?

当h?0时，l?e??h?o,于是

h

lim

f

h

h

h?0

?lim

f)?f

h

h?0

??lim

f)?f

?h?o

h?0

由于当h?0时，？h?o既能取正值，又能取负值，所以极

限

lim

f)?f

?h?o

h?0

存在与lim

f?f

h

h?0

?f?存在是互相等价的.因而

极限lim

lh

h?0

h

f存在与f?存在互相等价.

当h?0时，用洛比塔法则可以证明lim

lim

f

h

2

h?0

，所以h

f?fh?sinh

?lim?lim?hh?Oh?Oh?sinhh

h?0

3

h?sinh

?

1

由于h?0,于是由极限lim

f?f

h?sinh

h?0

?lim

h?sinhh

3

h?0

?h存在未必推出

h?sinh

f在点x?0可导一定有存在,但存在不一定f在点x?0

可导.

h?0

lim

f?f

也存在，因而f?未必存在.

例函数f?|x?x|有个不可导点013

答案C

解题思路当函数中出现绝对值号时,不可导的点就有

可能出现在函数的零点，因为函数零点是分段函数的分界点.

因此需要分别考察函数在点x0?0,xl?l,x2??l考察导数的存

在性.

解将f写成分段函数:

23

???2

?x,?x?2)x,?x?2)x,?x?2)x,

2

22

2

x??l,?l?x?O,O?x?l,l?x.

在xO?O附近,f写成分段函数:

22

?x,x?0?23

f?|x?x|??

22

??x,x?0

容易得到

f?f22

?f??lim?lim?2

??

x?0x?0x

f?f22

f???lim?lim??2

??

x?0x?0x

由于f???f??,所以f?不存在.

在xl?l附近,f写成分段函数：

2

?x,x?l?23

f?|x?x|??

2

??x,x?l

f?f2

?f??lim?limx??4

??

x?lx?lx?l

f?f2

f???lim?limx??4

??

x?lx?lx?l

由于f???f??,所以f?不存在.

在x2??l附近,f写成分段函数:

2

?x,x??l?23

f?|x?x|??

2

??x,x??l

f?f

?

x??l

x?Ox?l

由于f???f???O,所以f?存在.

x??l

?

?

f???lim

x?l

f?f

??lim

x??l

?

x?0

?limx?O

综合上述分析,f有两个不可导的点.

例设f具有一阶连续导数,F?f?,则f?0是

F在x?0处可导的

必要但非充分条件充分但非必要条件

充分且必要条件既非充分也非必要条件答案C

分析从F在x?0的导数定义着手.将

F?f??f?f?|sinx|解

F?Ff?ff|sinx|?f|sinO|

?lim?limF???lim

x?0x?0x?0x?0x?0x?0

?f??f

f?ff|sinx|?f|sinO|F?F

?lim?limF???lim

???

x?0x?0x?0x?0x?0x?0

?f??f

于是推知F???F??的充分必要条件是f?0.

?

?

?

例设函数f?3x?x|x|,则使f

32

存在的最IWJ阶数

n?.

013

答案C

解题思路应先去掉f中的绝对值,将f改写为分段函

数

?2x3

f?3x?x|x|??3

?4x

3

2

x?0x?0x?0x?0

?2x3

解由f?3x?x|x|??3

?4x

3

2

?6x2

得f???2

?12x

x?Ox?O

?12x

且f????

?24x

又

x?0

?

?12

f?????x?0?24

x?0x?0x?0

f?f

x?0

?lim

x?0

2x?0

?

3

x?0

?0,

f???lim

f?f

?

x?0

x?0

?lim

x?0

4x?0

?

3

x?0

2

?0

所以f?存在.

f????lim

f??f?

?

x?0

x?0

?

?lim

x?0

6x?0

?

x?012x

?

?0?0

?0

f????lim

f??f?

x?0

2

?lim

x?0

x?0

x?0

所以f??存在.

f?????!im

f???f??

?

x?0

x?0

?

?lim

x?0

12x?0

?

x?0

?

?12

x?0

即f?????f????.因而使f

x?0

f?????!im

f???f??

?24

x?0

存在的最高阶数是2.

x?0

?lim

24x?0

例f?cos|x|?x2|x|存在的最高阶导数的阶数等于

AOBICD答案C

2

解题思路注意cos|x|?cosx,所以只需考察x|x|在点

x?0的情况.

例8设??0,f在区间内有定义，若当x?时，恒有

f?x,则x?0必是f的

间断点，连续而不可导的点，，可导的点，且

2

f'?0可导的点，且f'?0

答案C

解由题目条件易知f?0,因为

所以由夹逼定理

f?f

X

|?|

fxfx

|?|

X

2

x

I

2

lim|

x?0

f?f

x

x?0

x?0

x

X

|?0

于是f??0.

?l?e?x?,x?0,则f?为例设f??x?O,x?0.?1

01?1

2

答案

解题思路因f为分段函数，故它在分段点处的导数

应按导数的定义，又由于是未定式,可用洛必达法则求极限.

2

00

型

第一章函数与极限

习题1-1

1.求下列函数的自然定义域：y?

ll?x

2

?;

?l?x2?0

解：依题意有？，则函数定义域D??x|x??2且x??l?

x?2?0?

2x?l

arccos

?2x?l

?1?

解：依题意有?3,则函数定义域D??.

?2

?x?x?6?0

y?ln；

解：依题意有?x2?3x?2?0,则函数定义域

D??x|l?x?2?.

1

y?2

x?x

3

*

解:依题意有x3?x?0,则函数定义域D??x!???x???

且x?0,?1?.

1?

,x?l,?sin

y??x?l

?2,x?l;?

解：依题意有定义域D??x!???x????.y?arctan解:

依题意有?

lx?

?x?0?3?x?0

，则函数定义域D??x|x?3且x?0?.

2.已知f定义域为［0,1］,求f,f,f,f?f的定义

域.

解：因为f定义域为［0,1］,所以当0?x2?l时，得函

数f的定义域为H;当0?sinx?l时，得函数f定义域

为［2kJi,JI］；当0?x?a?l时,得函数f定义域为［?a,?a?l］；

当？

?0?x?a?l?0?x?a?l

12

时，得函数f?f定义域为：若a?

12

12

,x??a,l?a?；

若a?,x?；若a?

12

,x??.

3

.设f?

l?l?2?x??

，其中a?0,求函数值f,f.

,则l?a?ll??21?a?l?

??0,a>l,

?.???,0解：因为f?

f?

1?

l?2?x?

l??a?l

1???2?2

4a?a?2a

,f?

|x|?l,?1?

4.设f??O|x|?l,

??l|x|?l.?

g?2,求f)与g),并做出函数图形.

x

X

?12?lx?0?l??

解：f)??02x?l,即f)??Ox?O,

??1x?O?x

???1?1

?21

?0

g)??2

??1?2

9•9♦9J^•

|x|?l,即g)??l

?1

|x|?l?

?2

|x|?l

|x|?l|x|?l|x|?l

,函数图形略.

5.设f??

?l?x,?1,

x?0,x?0,

试证：f[f]??

?2?x,?1,

?1,

x??l,x??l.

,得证.

证明：f[f]??

?

?l?f,f?0

1,f?0

,即f[f]??

?2?x,x??l,x??l

6.下列各组函数中，f与g是否是同一函数？为什么？

f?ln

x,g??ln

?3

?;

不是，因为定义域和对应法则都不相同.f?g?是.

f?2,g?sec2x?tan2x；不是，因为对应法则不

同.f?21gx,g?lgx2；不是，因为定义域不同.

7.确定下列函数在给定区间内的单调性：y?3x?lnx,

x?；

解：当x?时，函数yl?3x单调递增，y2?lnx也是单

调递增，则y?yl?y2在内也是递增的.

y?解:

y2?

lyl

?

,x?.l?x?x?lly???l?

l?xl?xx?l

1

?x

,当X?时，函数yl?x?l单调递增，则

?xl?x

x?l

是单调递减的，故原函数y?是单调递减的.

8.判定下列函数的奇偶性.y?lg?lg

所以y?lg?O?f,所以y?0是偶函

数.y?x2?2cosx?sinx?l；

解:因为f?x2?2cosx?sinx?Lf?f且f??f,所以

y?x?2cosx?sinx?l既非奇函数，又非偶函数.

2

x

?x

y?

a?a

2

a

?x

解：因为f?

?f,所以函数y?22

9.设f是定义在［?1,1］上的任意函数，证明：

?a

x

a?a

x?x

是偶函数.

f?f是偶函数，f?f是奇函数；f可表示成偶函数与

奇函数之和的形式.证明：令g?f?f,h?f?f,则

所以f?f是偶函数，g?f?f?g,h?f?f??h,

f?f是奇函数.

任意函数f?数，

f?f

2

f?f

2

?

f?f

2

,由可知

f?f

2

是偶函

是奇函数，所以命题得证.

10.证明：函数在区间I上有界的充分与必要条件是:

函数在I上既有上界又有下界.证明：若函数f在区间I上

有界，则存在正数M,使得x?L都有

f?M成立，显然?即证得函数f在区间I上既

有上界又有下界

设函数f在区间I上既有上界M2,又有下界Ml,即

有

f?Ml且f?M2,取M?max{Ml,M2},则有f?M

,即函数f在区间I上有

界.

11.下列函数是否是周期函数？对于周期函数指出其

周期：y?|sinx|；

周期函数，周期为n.y?l?sinJix；周期函数，周

期为2.y?xtanx；不是周期函数.y?cos2x.

周期函数，周期为互.

12.求下列函数的反函数：y?

3

XX

3?1

yy?l

解：依题意，3x?

f

?1

，则x?log3

yy?l

,所以反函数为

?log3

,x??x?lax?by?；

cx?d

b?dycy?a

x

解：依题意，x?y?lgx?解：依题意，x?

，则反函数f?l?

b?dxcx?a

?;

?y

12

，所以反函数f?l?

12

,x?R

y?3cos2x,??

?x?

JI?

9・・9•

arccos

y3

arccos

x

,x?[0,3]

解:依题意，x?

2

，所以反函数f?l?

2

13.在下列各题中，求由所给函数构成的复合函数,

并求这函数分别对应于给定自变量值xl和x2的函数值：

y?eu,u?x2+1,xl?0,x2?2；

y?u2?l,u?ev?l,v?x?l,xl?l,x2??l.解:y?f?ex

2

?1

,f?e,f?e

5

y?f?2?l,f?e4?2e2?2,f?l.

14.在一圆柱形容器内倒进某种溶液，该容器的底半

径为r,高为H.当倒进溶液后液面的高度为h时，溶液的

体积为V.试把h表示为V的函数，并指出其定义区间.

解：依题意有V?nr2h,则h?

VJir

2

,V?[0,JirH].

2

15.某城市的行政管理部门，在保证居民正常用水需

要的前提下，为了节约用水，制定了如下收费方法：每户居

民每月用水量不超过4.5吨时，水费按0.64元/吨计算.超

过部分每吨以5倍价格收费.试建立每月用水费用与用水数

量之间的函数关系.并计算用水量分别为3.5吨、4.5吨、

5.5吨的用水费用.

解：依题意有f??

?0.64x,

?4.5?0.64??3.2,

0?x?4.5x?4.5

,所以

f?2.24元，f?2.88元,f?6.08元

习题1-2

1.设an?

,n?l

222

求|al?|,|al0?|,|al00?|的值；

333

2

求N,使当n?N时，不等式|an?|?10?4

3

23|??23|?|

2n?l

成立；

求N,使当n?N时，不等式|an?解：|al?|al00

2

34312220121?|?|?|?33013903

23|?10,

?4

成立.

2131?23|?

193,

l?l

3

?

2

I?

1

|alO?

要使|an?

?9997?

?9??1110,??

即

1

?4

310

23|?10

?4

1

，则只要n?

99979

取仁

故当n>1110时，不等式|an?

23!??

成立.

2

要使Ian?

成立，n?

1?3?9?

取N??那么当n?N时,|an?|???,3?9??

?1?3??

成立.

2.根据数列极限的定义证明：

lim

In!

n??

?0

；lim

ln!?O|=

ln!?ln

n

n??

?1.

?1?

解:???0,要使|

??

，只要取N???,所以，对任意??0,

???

存在N???,当n?N时，总有|?0|??,则lim?0.

n??n!n!???

???0,要

使I

N??l?ll

n

?1!?

?

22n

2

??

即n?

n

，只要

取

，所以，对任意的＞0,

存在N??,当n?N,

总有11??,

则

lin??

n

?.1

n??

3.若limxn?a,证明lim|xn|?|a].并举例说明：如

果数列？|xn|?有极限，但数列？xn?

n??