华师网院《线性代数》练习测试题库及答案

华中师范大学网络教育学院《线性代数》练习测试题库及答案一.选择题1、（B）A.B.C.2、n阶行列式（B）A.B.C.3、＝（B）A.B.C.4、是n阶方阵，m,l是非负整数，以下说法不正确的是（C）.A.B.C.5、A、B分别为、矩阵,ACB有意义的条件是（C）A.C为矩阵；B.C为矩阵；C.C为矩阵6、下面不一定为方阵的是（C）A.对称矩阵.B.可逆矩阵.C.线性方程组的系数矩阵.7、的伴随矩阵是（A）A.B.C.8、分块矩阵（其中A、B为可逆矩阵）的逆矩阵是（A）A.B.C.9、线性方程组有唯一解的条件是（A）A.B..C.10、线性方程组有唯一解的条件是（A）A.B..C.11、（B）B.C.12、设A为正交矩阵，下面结论中错误的是（C）A.AT也为正交矩阵.B.A-1也为正交矩阵.C.总有13、二次型的矩阵为（C）A、B、C、14、设是实二次型的秩，是二次型的正惯性指数，是二次型的负惯性指数，是二次型的符号差，那么（B）A.；B.；C.；15、下面二次型中正定的是（B）A.B.C.16、设，为n阶方阵，满足等式，则必有（）(A)或;(B)；（C）或;(D)。17、和均为阶矩阵，且，则必有（）(A)；(B)；（C）.(D)。18、设为矩阵，齐次方程组仅有零解的充要条件是（）(A)的列向量线性无关；(B)的列向量线性相关；（C）的行向量线性无关；(D)的行向量线性相关.19、阶矩阵为奇异矩阵的充要条件是（）(A)的秩小于；(B)；(C)的特征值都等于零；(D)的特征值都不等于零；二、判断题1、若行列式主对角线上的元素全为0，则此行列式为0.（）2、A与B都是3×2矩阵，则A与B的乘积也是3×2矩阵。（）3、A是3×2矩阵，B是2×3矩阵，则A与B，B与A都可以相乘。（）4、A是矩阵，B是矩阵，则AB是矩阵。(）5、设A、B是同阶方阵，则（）6、设A、B是同阶方阵，则由，可得到（）7、设A、B是同阶可逆方阵，则（）8、设，则.（）9、设，，则.（）10、行阶梯形矩阵中非零行的个数就是它的秩.（）11、设n阶矩阵A满足，则秩A=n.（）12、如果向量组线性相关，那么其中每一个向量都是其余向量的线性组合.（）13、如果A是正定矩阵，那么也是正定矩阵.（）14、二次型正定.（）15、特征多项式相同的矩阵相似.（）三、填空题1、按定义，5阶行列式有120项，其中带负号的有60项.2、5.3、10.4、行列式=-18.5、行列式-113.6、行列式=0.7、的必要充分条件是8、设如果A=B，则x=3y=-29、设则A+B=10、设，则A+B=11、设则-A=12、设，且，则X=13、设，则14、则AB=.15、设，，则-3A，16、设，，则，17、则AB=BA=18、设，，则，8。19、设是3阶矩阵，且，则16.20、1..21、设，D是可逆矩阵的条件是22、设则B=23、表示对矩阵所作的初等变换是将A的第1列的倍加到第2列.24、则秩2.25、线性方程组有唯一解的充要条件为.26、线性方程组的解为.27、线性方程组的系数矩阵为，此方程组有解的必要充分条件为.28、则秩2.29、方阵A的不同特征值对应的特征向量线性无关.30、设二次型经过可逆线性变换化为二次型，那么矩阵B=.31、若4阶矩阵的行列式，是A的伴随矩阵，则=。32、为阶矩阵，且，则。33、已知方程组无解，则34、二次型是正定的，则的取值范围是四、计算题1、计算n阶行列式答案：2、计算答案：解3、计算n阶行列式.答案：解按第1列展开得4、按定义求的值。答案：5、按定义求的值。答案：6、求n阶行列式答案：7、求答案：D=3608、行列式的余子式答案：，9、计算行列式答案：将行列式按第1列展开原行列式10、计算行列式答案：将此行列式第2行加到第3行，就变成一个范德蒙行列式。原行列式11、计算行列式答案：这不是一个范德蒙行列式，但如果将首行与末行对换，第二行与倒数第2行对换，…，就得到范德蒙行列式，当n为偶数时，对换交数为，当n为奇数时，对换次数为次，综合有：原行列式12、计算行列式答案：按5，6列展开得：13、是否可逆？若可逆，求答案；因为，所以A可逆。14、求矩阵的逆矩阵.答案：15、矩阵是否可逆？若可逆，求它的逆。可将A写成其中，,所以A可逆。经计算所以16、用公式法解方程组答案；17、解方程组答案:18、解线性方程组答案:对线性方程组的增广矩阵作行的初等变换方程组无解。19、解线性方程组答案：对线性方程组的增广矩阵作行的初等变换对应的线性方程组为解得，其中k为任意常数,解或表示为，其中k为任意常数。20、知求解X，Y，使得AX=B，YA=B答案：21、按矩阵秩的定义求的秩。答案：A有二阶子式，但所有三阶子式全部为零，所以秩A=2。22、根据克兰姆法则求解线性方程组答案：，再根据克兰姆法则求得＝3，＝-4，＝-1，＝123、为何值时齐次线性方程组有非零解答案：方程组有非零解，必有系数行列式，所以，这时或24、解线性方程组答案：只有唯一的零解。25、设1）求Ax=0的基础解系；2）求的一个特解，并写出解集；答案：1）秩的基础解系2）由得的一个特解的解集为26、求矩阵.答案：的根为，，解得对应于的特征向量是，所以是对应于的全部特征向量.解得对应于的特征向量是，所以是对应于的全部特征向量.27、求矩阵的全部特征值和特征向量。答案：全部特征值为-2，1（二重），对应于-2的全部特征向量为对应于1的全部特征向量为不全为零.）28、求矩阵的全部特征值和特征向量.答案：的根为，解得两个线性无关的特征向量，因此对应于的全部特征向量为.（不全为0）29、设求 答案：则30、设实二次型，（1）写出该二次型的矩阵；（2用正交变换化二次型为标准形，并写出变换的矩阵和标准形。答案：解（1）该二次型的矩阵为（2）A的特征值解线性方程组，得基础解系它们两两正交，再将它们单位化为，令则原二次型经过正交变换化为标准形31、计算行列式32、计算阶行列式33、设，求一个正交矩阵使得为对角矩阵。34、已知方程组与方程组有公共解。求的值。35、设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知，，是它的三个解向量，且，求该方程组的通解。五、证明题1、证明答案：按行列式将1，3行展开得2、求证答案：把第2行乘，第3行乘，……，第n+1行乘全部加到第1行，再按第1行展开，可证。3、设是n阶方阵，证明答案：4、证明：如果向量组（A）可由向量组（B）线性表示，那么（A）的秩不超过（B）的秩.答案：证明向量组（A）的最大无关组可由向量组（A）线性表示；由已知，向量组（A）可由向量组（B）线性表示；又向量组（B）可由向量组（B）的最大无关组线性表示，由传递性，向量组（A）的最大无关组可由向量组（B）的最大无关组线性表示，所以（A）的秩不超过（B）的秩.5、设向量组线性无关，可由线性表出，试证明由表出的组合式是唯一的。答案：证明设又设则由于线性无关，故，即由表出的组合式是唯一的。6、设A为n阶方阵，且，试证：秩A+秩（A—E）=n。答案；证明：由定理14秩（Ａ）＋秩（Ａ－Ｅ）＝秩Ａ＋秩（Ｅ－Ａ）≥秩（Ａ＋Ｅ－Ａ）＝秩Ｅ＝ｎ由问题２结论。由Ａ（Ａ－Ｅ）＝０，有秩Ａ＋秩（Ａ－Ｅ）≤ｎ综合有秩Ａ＋秩（Ａ－Ｅ）＝ｎ7、设线性无关，证明也线性无关。答案；证明：设即因线性无关，故所以8、若向量组线性相关，向量组线性无关。证明：(1)能有线性表出；(2)不能由线性表出。9、设是阶矩方阵，是阶单位矩阵，可逆，且。证明（1）；（2）。华中师范大学网络教育学院《线性代数》练习测试题库参考答案一.选择题1、B；2、B；3、B；4、C；5、C；6、C；7、A；8、A；9、A；10、A；11、B；12、C；13、C；14、B；15、B。16、C17、D18、A19、A二、判断题1、；2、；3、；4、；5、；6、；7、；8、；9、；10、；11、；12、；13、；14、；15、。三、填空题1、120，60；2、5；3、10；4、-18；5、-113；6、0；7、；8、3，-2；9、；10、；11、；12、；13、，；14、；15、，；16、，；17、；18、，8；19、16；20、1，，；21、；22、；23、将A的第1列的倍加到第2列；24、2；25、；26、；27、，；28、2；29、线性无关；30、。31、-125;32、；33、-1；34、。四、计算题1、2、解3、解按第1列展开得4、5、6、7、D=3608、，9、将行列式按第1列展开原行列式10、将此行列式第2行加到第3行，就变成一个范德蒙行列式。原行列式11、这不是一个范德蒙行列式，但如果将首行与末行对换，第二行与倒数第2行对换，…，就得到范德蒙行列式，当n为偶数时，对换交数为，当n为奇数时，对换次数为次，综合有：原行列式12、按5，6列展开得：13、因为，所以A可逆。14、15、可将A写成其中，,所以A可逆。经计算所以16、17、18、对线性方程组的增广矩阵作行的初等变换方程组无解。19、对线性方程组的增广矩阵作行的初等变换对应的线性方程组为解得，其中k为任意常数,解或表示为，其中k为任意常数。20、21、A有二阶子式，但所有三阶子式全部为零，所以秩A=2。22、，再根据克兰姆法则求得＝3，＝-4，＝-1，＝123、方程组有非零解，必有系数行列式，所以，这时或24、只有唯一的零解。25、1）秩的基础解系2）由得的一个特解的解集为26、的根为，，解得对应于的特征向量是，所以是对应于的全部特征向量.解得对应于的特征向量是，所以是对应于的全部特征向量.27、全部特征值为-2，1（二重），对应于-2的全部特征向量为对应于1的全部特征向量为不全为零.）28、的根为，解得两个线性无关的特征向量，因此对应于的全部特征向量为.（不全为0）29、则30、解（1）该二次型的矩阵为（2）A的特征值解线性方程组，得基础解系它们两两正交，再将它们单位化为，令则原二次型经过正交变换化为标准形31、解：第一行减第二行，第三行减第四行得：第二列减第一列，第四列减第三列得：按第一行展开得按第三列展开得。32、解：把各列加到第一列，然后提取第一列的公因子，再通过行列式的变换化为上三角形行列式33、解：（1）由得的特征值为，，。（2）的特征向量为，的特征向量为，的特征向量为。（3）因为特征值不相等，则正交。（4）将单位化得，，（5）取（6）34、解：该非齐次线性方程组对应的齐次方程组为因，则齐次线性方程组的基础解系有1个非零解构成，即任何一个非零解都是它的基础解系。另一方面，记向量，则直接计算得，就是它的一个基础解系。根据非齐次线性方程组解的结构知，原方程组的通解为，。35、解：将=1\*GB3①与=2\*GB3②联立得非齐次线性方程组:=3\*GB3③若此非齐次线性方程组有解,则=1\*GB3①与=2\*GB3②有公共解,且=3\*GB3③的解即为所求全部公共解.对=3\*GB3③的增广矩阵作初等行变换得:.1°当时，有，方程组=3\*GB3③有解,即=