人教A版高中数学第一册(必修1)第三章-函数的概念与性质7：章末检测卷(三)

高中数学人教A版（新教材）必修第一册PAGEPAGE1章末检测卷(三)(时间：120分钟满分：150分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.下列所示的图形中，可以作为函数y＝f(x)的图象是()『解析』作直线x＝a与曲线相交，由函数的概念可知，定义域中任意一个自变量对应唯一的函数值，∴y是x的函数，那么直线x＝a移动中始终与曲线只有一个交点，于是可排除A，B，C，只有D符合，故选D.『答案』D2.函数f(x)＝eq\r(1＋x)＋eq\f(1,x)的定义域是()A.『－1，＋∞) B.(－∞，0)∪(0，＋∞)C.『－1，0)∪(0，＋∞) D.R『解析』eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＋x≥0，,x≠0，))解得－1≤x<0或x>0，区间表示为『－1，0)∪(0，＋∞)，故选C.『答案』C3.下列函数中，与函数y＝x(x≥0)有相同图象的一个是()A.y＝eq\r(x2) B.y＝(eq\r(x))2C.y＝eq\r(3,x3) D.y＝eq\r(\f(x2,x))『解析』y＝eq\r(x2)＝|x|，x∈R；y＝(eq\r(x))2＝x，x≥0；y＝eq\r(3,x3)＝x，x∈R；y＝eq\r(\f(x2,x))＝eq\r(x)，x>0，所以选B.『答案』B4.幂函数的图象过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(1,4)))，则它的单调递增区间是()A.(0，＋∞) B.『0，＋∞)C.(－∞，0) D.(－∞，＋∞)『解析』设幂函数y＝xα，则2α＝eq\f(1,4)，解得α＝－2，所以y＝x－2，故函数y＝x－2的单调递增区间是(－∞，0).『答案』C5.下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的函数是()A.y＝x B.y＝|x|＋1C.y＝－x2＋1 D.y＝－eq\f(1,x)『解析』A：y＝x是奇函数，故不符合题意；B：y＝|x|＋1是偶函数，在(0，＋∞)上单调递增，故正确；C：y＝－x2＋1是偶函数，在区间(0，＋∞)上单调递减，不合题意，D：y＝－eq\f(1,x)是奇函数，不合题意.故『答案』为B.『答案』B6.已知f(x)是一次函数，且f『f(x)』＝x＋2，则f(x)＝()A.x＋1 B.2x－1C.－x＋1 D.x＋1或－x－1『解析』设f(x)＝kx＋b(k≠0)，则f『f(x)』＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋kb＋b＝x＋2，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k2＝1，,kb＋b＝2，))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝1，,b＝1，))故选A.『答案』A7.已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x2－ax－7（x≤1），,\f(a,x)（x>1）))是R上的增函数，则a的取值范围是()A.『－4，0) B.(－∞，－2』C.『－4，－2』 D.(－∞，0)『解析』∵f(x)在R上为增函数，∴需满足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)≥1，,a<0，,－1－a－7≤a，))即－4≤a≤－2，故选C.『答案』C8.已知函数f(x)是定义域为R的偶函数，且对任意x1，x2∈(－∞，0』，当x1≠x2时总有eq\f(f（x1）－f（x2）,x1－x2)>0，则满足f(1－2x)－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))>0的x的范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(2,3))) B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(2,3)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(2,3))) D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(2,3)))『解析』由题意，f(x)在(－∞，0』上是增函数，又f(x)是定义域为R的偶函数，故f(x)在『0，＋∞)上是减函数.由f(1－2x)－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))>0可得f(1－2x)>feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))，即f(|1－2x|)>feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))，所以|1－2x|<eq\f(1,3)，解得eq\f(1,3)<x<eq\f(2,3).『答案』A二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的不得分)9.已知奇函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数，且在区间『a，b』(a<b<0)上的值域为『－3，4』，则在区间『－b，－a』上()A.有最大值4 B.有最小值－4C.有最大值3 D.有最小值－3『解析』法一根据题意作出y＝f(x)的简图，由图知，故选BC.法二当x∈『－b，－a』时，－x∈『a，b』，由题意得f(b)≤f(－x)≤f(a)，即－3≤－f(x)≤4，∴－4≤f(x)≤3，即在区间『－b，－a』上f(x)min＝－4，f(x)max＝3，故选BC.『答案』BC10.已知函数f(x)＝－x2＋2x＋1的定义域为(－2，3)，则函数f(|x|)的单调递增区间是()A.(－∞，－1) B.(－3，－1)C.(0，1) D.(1，3)『解析』因为函数f(x)＝－x2＋2x＋1的定义域为(－2，3)，对称轴为直线x＝1，开口向下，所以函数f(|x|)满足－2<|x|<3，所以－3<x<3.又f(|x|)＝－x2＋2|x|＋1＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x2＋2x＋1，0≤x<3，,－x2－2x＋1，－3<x<0，))且y＝－x2－2x＋1图象的对称轴为直线x＝－1，所以由二次函数的图象与性质可知，函数f(|x|)的单调递增区间是(－3，－1)和(0，1).故选BC.『答案』BC11.某位同学在学习函数的性质时提出了如下两个命题：已知函数y＝f(x)的定义域为D，x1，x2∈D.①若当f(x1)＋f(x2)＝0时，都有x1＋x2＝0，则函数y＝f(x)是D上的奇函数；②若当f(x1)<f(x2)时，都有x1<x2，则函数y＝f(x)是D上的增函数.则下列说法正确的有()A.①是真命题 B.①是假命题C.②是真命题 D.②是假命题『解析』对于命题①，由于函数的定义域是否关于原点对称不明确，因此不符合奇函数的定义，错误；对于命题②，由于x1，x2是否具有任意性不明确，不符合单调性的定义.所以两个都是假命题，故选BD.『答案』BD12.已知函数f(x)＝(m2－m－1)xm2＋m－3是幂函数，对任意x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，满足eq\f(f（x1）－f（x2）,x1－x2)>0.若a，b∈R，且f(a)＋f(b)的值为负值，则下列结论可能成立的有()A.a＋b>0，ab<0 B.a＋b<0，ab>0C.a＋b<0，ab<0 D.以上都可能『解析』由函数f(x)为幂函数可知m2－m－1＝1，解得m＝－1或m＝2.当m＝－1时，f(x)＝eq\f(1,x3)；当m＝2时，f(x)＝x3.由题意知函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，因此f(x)＝x3，在R上单调递增，且满足f(－x)＝－f(x).结合f(－x)＝－f(x)以及f(a)＋f(b)<0可知f(a)<－f(b)＝f(－b)，所以a<－b，即b<－a，所以a＋b<0.当a＝0时，b<0，ab＝0；当a>0时，b<0，ab<0；当a<0时，ab>0(b<0)或ab<0(0<b<－a)，故BC都有可能成立.故选BC.『答案』BC三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.把『答案』填在题中的横线上)13.若f(x)＝(x＋a)(x－4)为偶函数，则实数a＝________.『解析』由f(x)是偶函数，所以f(x)＝f(－x)，即(x＋a)(x－4)＝(－x＋a)(－x－4)，解得a＝4.『答案』414.若函数f(x)＝x2－xeq\s\up6(\f(1,2))，则满足f(x)<0的x的取值范围为________.『解析』设函数y1＝x2，函数y2＝xeq\s\up6(\f(1,2))，则f(x)<0,即y1<y2.在同一平面直角坐标系中作出函数y1与y2的图象，如图所示，则由数形结合得x∈(0，1).『答案』(0，1)15.图中折线是某电信局规定打长途电话所需要付的电话费y(元)与通话时间t(min)之间的函数关系的图象，根据图象判断：通话5min，需付电话费________元；如果t≥3，那么电话费y(元)与通话时间t(min)之间的函数关系式是________(第一空2分，第二空3分).『解析』由题图知，通话5min，需付电话费6元.当t≥3时，设y＝kx＋b(k≠0)，则有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3.6＝3k＋b，,6＝5k＋b，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝1.2，,b＝0，))∴t≥3时，y＝1.2t.『答案』6y＝1.2t(t≥3)16.若函数f(x)同时满足：①对于定义域上的任意x，恒有f(x)＋f(－x)＝0；②对于定义域上的任意x1，x2，当x1≠x2时，恒有eq\f(f（x1）－f（x2）,x1－x2)<0，则称函数f(x)为“理想函数”.给出下列四个函数中：①f(x)＝eq\f(1,x)；②f(x)＝x2；③f(x)＝|x|；④f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x2，x≥0，,x2，x<0.))能被称为“理想函数”的有________(填相应的序号).『解析』①中，函数f(x)＝eq\f(1,x)为定义域上的奇函数，但不是定义域上的减函数，所以不正确；②中，函数f(x)＝x2为定义域上的偶函数，所以不正确；③中，函数f(x)＝|x|的定义域为R，在定义域内不单调，所以不正确；④中，函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x2（x≥0），,x2（x<0）))的图象如图所示，显然此函数为奇函数，且在定义域上为减函数，所以为“理想函数”，综上，『答案』为④.『答案』④四、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－2x.(1)求出函数f(x)在R上的『解析』式；(2)画出函数f(x)的图象.解(1)①由于函数f(x)是定义域为R的奇函数，则f(0)＝0；②当x<0时，－x>0，因为f(x)是奇函数，所以f(x)＝－f(－x)＝－『(－x)2－2(－x)』＝－x2－2x.综上，f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－2x，x>0，,0，x＝0，,－x2－2x，x<0.))(2)图象如图所示.18.(本小题满分12分)已知f(x)在R上是单调递减的一次函数，且f(f(x))＝9x－2.(1)求f(x)；(2)求函数y＝f(x)＋x2－x在x∈『－1，a』上的最大值.解(1)由题意可设f(x)＝kx＋b(k<0)，由于f(f(x))＝9x－2，则k2x＋kb＋b＝9x－2，故eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k2＝9，,kb＋b＝－2，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－3，,b＝1，))故f(x)＝－3x＋1.(2)由(1)知，函数y＝－3x＋1＋x2－x＝x2－4x＋1＝(x－2)2－3，故函数y＝x2－4x＋1的图象开口向上，对称轴为x＝2，当－1<a≤5时，y的最大值是f(－1)＝6，当a>5时，y的最大值是f(a)＝a2－4a＋1，综上，ymax＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(6（－1<a≤5），,a2－4a＋1（a>5）.))19.(本小题满分12分)设函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b为实数)，F(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（x），x>0，,－f（x），x<0，))(1)若f(－1)＝0且对任意实数x均有f(x)≥0成立，求F(x)的表达式；(2)在(1)的条件下，当x∈『－2，2』时，g(x)＝f(x)－kx是单调函数，求实数k的取值范围.解(1)由已知可知：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（－1）＝a－b＋1＝0，,a>0，,b2－4a≤0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝2，))则F(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋2x＋1，x>0，,－x2－2x－1，x<0.))(2)由(1)可知f(x)＝x2＋2x＋1，则g(x)＝x2＋2x＋1－kx＝x2＋(2－k)x＋1，则g(x)的对称轴为x＝eq\f(k－2,2).由于g(x)在『－2，2』上是单调函数，故eq\f(k－2,2)≤－2或eq\f(k－2,2)≥2，即k≤－2或k≥6.即实数k的取值范围是(－∞，－2』∪『6，＋∞).20.(本小题满分12分)设函数f(x)＝eq\f(ax2＋1,bx＋c)是奇函数(a，b都是正整数)，且f(1)＝2，f(2)<3.(1)求a，b，c的值；(2)当x<0时，f(x)的单调性如何？用单调性定义证明你的结论.解(1)由f(x)＝eq\f(ax2＋1,bx＋c)是奇函数，得f(－x)＝－f(x)对定义域内x恒成立，则eq\f(a（－x）2＋1,b（－x）＋c)＝－eq\f(ax2＋1,bx＋c)⇒－bx＋c＝－(bx＋c)对定义域内x恒成立，即c＝0.f(1)＝eq\f(a＋1,b)＝2，f(2)＝eq\f(4a＋1,2b)<3，又a，b是整数，得b＝a＝1.(2)由(1)知f(x)＝eq\f(x2＋1,x)＝x＋eq\f(1,x)，当x<0时，f(x)在(－∞，－1』上单调递增，在『－1，0)上单调递减，下面用定义证明.设x1<x2≤－1，则f(x1)－f(x2)＝x1＋eq\f(1,x1)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,x2)))＝x1－x2＋eq\f(x2－x1,x1x2)＝(x1－x2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,x1x2)))，因为x1<x2≤－1，x1－x2<0，1－eq\f(1,x1x2)>0.f(x1)－f(x2)<0，故f(x)在(－∞，－1』上单调递增.同理可证f(x)在『－1，0)上单调递减.21.(本小题满分12分)已知矩形ABCD中，AB＝4，AD＝1，点O为段线AB的中点，动点P沿矩形ABCD的边从B逆时针运动到A.当点P运动过的路程为x时，记点P的运动轨迹与线段OP，OB围成的图形面积为f(x).(1)求f(x)的『解析』式；(2)若f(x)＝2，求x的值.解(1)当x∈『0，1』时，f(x)＝eq\f(1,2)·OB·x＝x；当x∈(1，5』时，f(x)＝eq\f(（2＋x－1）×1,2)＝eq\f(1,2)(x＋1)；当x∈(5，6』时，f(x)＝4×1－eq\f(1,2)×2×(6－x)＝x－2.所以f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\c