第6章 图形的相似（基础、典型、易错、压轴）分类专项训练（原卷版）

第6章图形的相似（基础、典型、易错、压轴）分类专项训练【基础】一、单选题1．（2022·江苏南京·九年级期末）已知是线段的黄金分割点，且，，则长约为（）A．0.618 B．6.18 C．3.82 D．0.3822．（2022·江苏·射阳外国语学校九年级阶段练习）下列四组线段中，不成比例的是（

）A．，，， B．，，，C．，，， D．，，，3．（2022·江苏·江阴市周庄中学九年级阶段练习）两三角形的相似比是，则其面积之比是（）A． B． C． D．4．（2022·江苏·阳山中学九年级阶段练习）如图，在△ABC中，，若AD∶DB=3∶2，AE=6cm，则AC的长为（

）A．6cm B．5cm C．4cm D．10cm5．（2022·江苏·江阴市青阳初级中学九年级阶段练习）如图，已知，那么下列结论正确的是（

）A． B． C． D．6．（2022·江苏苏州·九年级期中）如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（）A．∠ABP=∠C B．∠APB=∠ABCC． D．二、填空题7．（2022·江苏南京·九年级期末）若，则的值为_____．8．（2022·江苏·靖江市靖城中学九年级阶段练习）在比例尺为1:1000000的地图上,量得甲、乙两地的距离是2.6cm,则甲、乙两地的实际距离为_______千米.9．（2022·江苏·靖江外国语学校九年级阶段练习）已知点是的黄金分割点（），，则_____．（结果保留根号）10．（2022·江苏·射阳外国语学校九年级阶段练习）两个数与的比例中项是___________．11．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，在中，，点D是的中点，过点D作，垂足为点E，连接，若，，则________．12．（2022·江苏·淮安市淮安区教师发展中心学科研训处模拟预测）如图，在中，，，，，则的长_____．13．（2022·江苏无锡·九年级期中）已知，相似比为，则与的周长比为___________．14．（2022·江苏·东海实验中学三模）如果两个相似三角形对应边的比为2：3，那么它们对应高线的比是______．15．（2022·江苏扬州·九年级期末）如图，图形甲与图形乙是位似图形，是位似中心，位似比为，点，的对应点分别为点，．若，则的长为______．16．（2022·江苏南通·九年级期末）如图，△AOB与△COD是位似图形，且OA＝AC，则与的相似比为_____．17．（2022·江苏南通·一模）如图，为了测量一栋楼的高度，小王在他的脚下放了一面镜子，然后向后退，直到他刚好在镜子中看到楼的顶部．如果小王身高1.55m，他的眼睛距地面1.50m，同时量得BC＝0.3m，CE＝2m，则楼高DE为______m．18．（2022·江苏宿迁·二模）某一时刻，身高为的小丽影长是，此时，小玲在同一地点测得旗杆的影长为，则该旗杆的高度为________．三、解答题19．（2022·江苏南京·九年级期末）如图，在△ABC中，BC＝8，AC＝4，D是BC边上一点，CD＝2．求证△ABC∽△DAC．20．（2022·江苏·扬州中学教育集团树人学校九年级阶段练习）如图，已知AB∥DC，点E、F在线段BD上，AB＝2DC，BE＝2DF．（1）求证：△ABE∽△CDF．（2）若BD＝8，DF＝2，求EF的长．21．（2022·江苏·江阴市青阳初级中学九年级阶段练习）如图，A、B、C三点均在边长为1的小正方形网格的格点上．(1)请在BC上标出点D，连接AD，使得△ABD∽△CBA；(2)试证明上述结论：△ABD∽△CBA．22．（2022·江苏淮安·九年级阶段练习）已知：如图三个顶点的坐标分别为、、，正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度．(1)以点为位似中心，在网格中画出△，使△与的位似比为，并直接写出点的坐标______；(2)△的面积为______．23．（2022·江苏南通·模拟预测）如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P、Q、S共线且直线PS与河垂直，接着再过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R．如果测得QS=45m，ST=90m，QR=60m，求河的宽度PQ．​【典型】一、单选题1．（2022·江苏·宜兴市树人中学九年级阶段练习）下列各组线段中，长度成比例的是（

）A．2cm、3cm、4cm、1cm B．1.5cm、2.5cm、4.5cm、6.5cm C．1.1cm、2.2cm、3.3cm、4.4cm D．1cm、2cm、2cm、4cm2．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，的对角线相交于点，平分，分别交于点，连接，，，则下列结论：①；②；③S平行四边形ABCD；④；⑤，正确的个数是（

）A．2 B．3 C．4 D．53．（2022·江苏·无锡市金桥双语实验学校九年级阶段练习）如图，已知A(3，6)、B(0，n)(0＜n≤6)，作AC⊥AB，交x轴于点C，M为BC的中点，若P(，0)，则PM的最小值为()A．3 B． C． D．4．（2021·江苏·九年级专题练习）如图，△ABC与△DEF形状完全相同，且AB=3.6，BC=6，AC=8，EF=2，则DE的长度为（

）A．1.2 B．1.8 C．3 D．7.25．（2021·江苏·滨海县第一初级中学九年级阶段练习）点B是线段AC的黄金分割点，且AB＜BC，若AC＝2，则BC的长为（）A． B． C．+1 D．﹣16．（2021·江苏淮安·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（―3，6）、B（―9，一3），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（）A．（―1，2）B．（―9，18）C．（―9，18）或（9，―18）D．（―1，2）或（1，―2）7．（2021·江苏·九年级专题练习）已知CD是Rt△ABC斜边上的高，则下列各式中不正确的是(

)A．BC2＝BD•AB B．CD2＝BD•ADC．AC2＝AD•AB D．BC•AD＝AC•BD8．（2021·江苏·泰兴市洋思中学九年级期中）如图，△ABC中，点D为AB中点，点E在AC上，若DE∥BC，则S△ADE∶S四边形DECB的值为(

)A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．1∶9．（2021·江苏省锡山高级中学实验学校二模）如图，△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（

）A． B．C． D．二、填空题10．（2022·江苏·南京汉开书院学校九年级阶段练习）已知：，则的值是_______.三、解答题11．（2022·江苏·苏州中学九年级阶段练习）如图1，在四边形ABCD的边BC的延长线上取一点E，在直线BC的同侧作一个以CE为底的等腰△CEF，且满足∠B+∠F＝180°，则称三角形CEF为四边形ABCD的“伴随三角形”．（1）如图1，若△CEF是正方形ABCD的“伴随三角形”：①连接AC，则∠ACF＝；②若CE＝2BC，连接AE交CF于H，求证：H是CF的中点；（2）如图2，若△CEF是菱形ABCD的“伴随三角形”，∠B＝60°，M是线段AE的中点，连接DM、FM，猜想并证明DM与FM的位置与数量关系．12．（2022·江苏·靖江外国语学校九年级阶段练习）马路两侧有两根灯杆AB、CD，当小明站在点N处时，在灯C的照射下小明的影长正好为NB，在灯A的照射下小明的影长为NE，测得BD=24m，NB=6m，NE=2m.（1）若小明的身高MN=1.6m，求AB的长；（2）试判断这两根灯杆的高度是否相等，并说明理由．13．（2021·江苏无锡·九年级期中）在菱形ABCD中，CD＝CA＝6，对角线AC、BD交于点O，E为边BC上一点，直线EO分别交边AD、射线BA于点G、F．（1）求菱形ABCD的面积；（2）请判断是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由；（3）设△BEF的面积为S1，四边形ABED的面积为S2，试确定点E的位置，使得．14．（2021·江苏苏州·九年级阶段练习）如图，矩形内接于（矩形各顶点在三角形边上），，在上，，分别在，上，且于点，交于点．（1）求证：；（2）若，，设，矩形的面积为，求出与之间的函数表达式，并写出自变量的取值范围．15．（2021·江苏扬州·九年级期末）如图1，在△ABC中，∠B＝30°，AB=4cm，AC=6cm，点D从点B出发以2cm/s的速度沿折线B—A—C运动，同时点E也从点B出发以1cm/s的速度沿BC运动，当某一点运动到C点时，两点同时停止运动．设运动时间为x（s），△BDE的面积为y（cm2）．（1）如图2，当点D在AC上运动时，x为何值，△ABD∽△ACB；（2）求y（cm2）关于x（s）的函数表达式；（3）当点D在AC上运动时，存在某一时段的△BDE的面积大于D在AB上运动的任意时刻的△BDE的面积，请你求出这一时段x的取值范围．16．（2021·江苏·泰州市海军中学九年级阶段练习）如图，在△ABC中，已知AB=AC=5，BC=6，且△ABC≌△DEF，将△DEF与△ABC重合在一起，△ABC不动，△DEF运动，并满足：点E在边BC上沿B到C的方向运动，且DE始终经过点A，EF与AC交于M点．（1）求证：△ABE∽△ECM；（2）探究：在△DEF运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形？若能，求出BE的长；若不能，请说明理由；（3）当线段BE为何值时，线段AM最短，最短是多少？【易错】一．选择题（共2小题）1．（2021秋•高邮市期末）如图，在下列四个条件：①∠B＝∠C，②∠ADB＝∠AEC，③AD：AC＝AE：AB，④PE：PD＝PB：PC中，随机抽取一个能使△BPE∽△CPD的概率是（）A．0.25 B．0.5 C．0.75 D．12．（2022•吴中区模拟）如图，在正方形ABCD中，F是BC边上一点，连接AF，以AF为斜边作等腰直角三角形AEF．有下列四个结论：①∠CAF＝∠DAE；②FC＝DE；③当∠AEC＝135°时，E为△ADC的内心；④若点F在BC上以一定的速度，从B往C运动，则点E与点F的运动速度相等．其中正确的结论的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4二．填空题（共5小题）3．（2022秋•邗江区校级月考）如图，在△ABC中，BC＝6，＝，动点P在射线EF上，BP交CE于点D，∠CBP的平分线交CE于点Q，当CQ＝CE时，EP+BP的值为．4．（2022•扬州模拟）如图，在△ABC中，DE∥BC，若AD＝1，DB＝2，则的值为．5．（2022秋•惠山区校级月考）已知＝＝≠0，则的值是．6．（2022•广陵区校级开学）如图，△ABC是边长为6cm等边三角形，动点P、Q同时从A、B出发，分别沿AB、BC方向匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点停止运动，在运动过程中作QR∥BA交AC于点R，连接PR，设运动的时间为t（s），当t＝s时△APR∽△PRQ．7．（2022秋•锡山区校级月考）如图，a∥b∥c，直线a与直线b之间的距离为，直线c与直线b之间的距离为2，等边△ABC的三个顶点分别在直线a、直线b、直线c上，则等边三角形的边长是．三．解答题（共5小题）8．（2022•建邺区二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D在BC上且DA⊥AC，垂足为A．（1）求证：AB2＝BD•BC；（2）若BD＝2，则AC的长是．9．（2021秋•南京期末）阅读下面的短文，并解答下列问题：我们把相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把它们叫做相似体．如图，甲、乙是两个不同的正方体，正方体都是相似体，它们的一切对应线段之比都等于相似比（a：b）．设S甲、S乙分别表示这两个正方体的表面积，则＝＝（）2，又设V甲、V乙分别表示这两个正方体的体积，则＝＝（）3．（1）下列几何体中，一定属于相似体的是；A．两个球体B．两个锥体C．两个圆柱体D．两个长方体（2）请归纳出相似体的三条主要性质：①相似体的一切对应线段（或弧）长的比等于；②相似体表面积的比等于；③相似体体积比等于．（3）假定在完全正常发育的条件下，不同时期的同一人的人体是相似体，一个小朋友上幼儿园时身高为1.1米，体重为16千克，到了初三时，身高为1.65米，则他的体重是千克（不考虑不同时期人体平均密度的变化）．10．（2022秋•吴江区月考）如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，若S△ADE＝4cm2，S△EFC＝9cm2，求S△ABC．11．（2021秋•邗江区期末）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转α后，△ABC与△ADE构成位似图形，我们称△ABC与△ADE互为“旋转位似图形”．（1）知识理解：两个重合了一个顶点且边长不相等的等边三角形（填“是”或“不是”）“旋转位似图形”；如图1，△ABC和△ADE互为“旋转位似图形”，①若α＝26°，∠B＝100°，∠E＝29°，则∠BAE＝；②若AD＝6，DE＝8，AB＝4，则BC＝；（2）知识运用：如图2，在四边形ABCD中，∠ADC＝90°，AE⊥BD于E，∠DAC＝∠DBC，求证：△ACD和△ABE互为“旋转位似图形”；（3）拓展提高：如图3，△ABC为等腰直角三角形，点G为AC中点，点F是AB上一点，D是GF延长线上一点，点E在线段GF上，且△ABD与△AGE互为“旋转位似图形”，若AC＝6，AD＝2，求出DE和BD的值．12．（2022秋•锡山区期中）已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AC＝4，P是斜边AB上的一个动点，PD⊥AB，交边AC于点D（点D与点A、C都不重合），E是射线DC上一点，且∠EPD＝∠A．设A、P两点的距离为x，△BEP的面积为y．（1）求证：AE＝2PE；（2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）当△BEP与△ABC相似时，求△BEP的面积．【压轴】一、解答题1．（2022·江苏·南闸实验学校九年级阶段练习）（1）模型建立：如图1，在中，D是上一点，，求证：．（2）类比探究：如图2，在菱形中，分别为上的点，且，射线交的延长线于点M，射线交的延长线于点N，若．求：①的长；②的长．（3）解决问题：如图3，在菱形中，，，点E为的中点，在平面内存在点F，且满足，以为一边作（顶点F、A、P按逆时针排列），使得，且，请直接写出的最小值．2．（2022·江苏·南京钟英中学九年级阶段练习）【数学概念】我们把存在内切圆与外接圆的四边形称为双圆四边形．例如，如图①，四边形内接于，且每条边均与相切，切点分别为E，F，G，H，因此该四边形是双圆四边形．【性质初探】(1)双圆四边形的对角的数量关系是___________，依据是___________．(2)直接写出双圆四边形的边的性质．（用文字表述）(3)在图①中，连接，，求证．【揭示关系】(4)根据双圆四边形与四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系，在图②中画出双圆四边形的大致区域，并用阴影表示．【特例研究】(5)已知P，M分别是双圆四边形的内切圆和外接圆的圆心，若，，，则的长为___________．3．（2022·江苏·苏州市吴江区铜罗中学九年级期中）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，且．(1)求抛物线的解析式；(2)如图，若点P是线段（不与B，C重合）上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于M点，连接，当和相似时，求此时点P的坐标；(3)若点P是直线（不与B，C重合）上一动点，过点P作x轴垂线交抛物线于M点，连接，将沿对折，如果点P的对应点N恰好落在y轴上，求此时的值．4．（2022·江苏无锡·二模）如图，边长为6的正方形ABCD中，E为AB中点，P为BC上一点（不与B、C重合），将△BPE沿直线PE翻折，点B落在B'处，直线PB'交射线AD于点Q，连接EQ，设BP＝a．(1)求证：∠PEQ＝90°；(2)设的值为y，用含a的代数式表示y并求出y的最大值；(3)若F为BC中点，设过点F且垂直于BC的直线被直角三角形PEQ截得的线段长为d，请直接写出d与a的关系式．5．（2022·江苏苏州·九年级专题练习）抛物线y＝ax2+bx+3过点A(﹣1，0)，点B(3，0)，顶点为C．(1)求抛物线的表达式及点C的坐标；(2)如图1，点P在抛物线上，连接CP并延长交x轴于点D，连接AC，若△DAC是以AC为底的等腰三角形，求点P的坐标；(3)如图2，在（2）的条件下，点E是线段AC上（与点A，C不重合）的动点，连接PE，作∠PEF＝∠CAB，边EF交x轴于点F，设点F的横坐标为m，求m的取值范围．6．（2022·江苏苏州·模拟预测）如图，直线y＝﹣x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+x+c经过A、B两点．(1)求二次函数解析式；(2)如图1，点E在线段AB上方的抛物线上运动（不与A、B重合），过点E作ED⊥AB，交AB于点D，作EF⊥AC，交AC于点F，交AB于点M，求△DEM的周长的最大值；(3)在（2）的结论下，连接CM，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P、Q、C、M为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．(4)如图2，点N的坐标是（1，0），将线段ON绕点O逆时针旋转得到ON′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接N′A、N′B，求N′A+N′B的最小值．7．（2022·江苏·阳山中学一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2﹣2mx+n（m＜0）的顶点为A，与x轴交于B，C两点（点B在点C左侧），与y轴正半轴交于点D，连接AD并延长交x轴于E，连AC、DC．S△ADC：S△AEC＝1：4．(1)求点E的坐标；(2)若过点A，C，D的⊙M与坐标轴恰好有三个公共点，求出此时抛物线的函数表达式．8．（2022·江苏·江阴市云亭中学一模）抛物线y＝ax2+c（a<0）与x轴交于A、B两点，顶点为C，点P在抛物线上，且位于x轴上方．(1)如图1，若P(1，2)，A(-3，0)．①求该抛物线的解析式；②若D是抛物线上异于点P一点，满足∠DPO＝∠POB，求点D的坐标；(2)如图2，已知直线PA、PB与y轴分别交于E、F两点．当点P运动时，是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由．9．（2022·江苏·泰兴市济川初级中学一模）如图，在平面直角坐标系中，将抛物线（其中为常数，且<0）关于原点对称得到抛物线，抛物线，的顶点分别为M，N．(1)请直接写出抛物线的表达式；（用含有的式子表示）(2)若抛物线与轴的交点从左到右依次为A，B；抛物线与轴的交点从左到右依次为C，D．①若A，B，C，D四点从左到右依次排列，且AD=3BC，求的值；②是否存在这样的，使以点M，A，N，D为顶点的四边形是矩形？若存在，求出的值；若不存在，说明理由；(3)在抛物线对称轴右侧的部分任取一点G，设直线MG，NG分别与轴相交于P，Q两点，且，，求的值．10．（2022·江苏常州·一模）在平面内，C为线段AB外的一点，若以A，B，C为顶点的三角形是直角三角形，则