第07讲 探索勾股定理、直角三角形全等的判定（3大考点）（原卷版）

第07讲探索勾股定理、直角三角形全等的判定（3大考点）考点考点考向1.勾股定理（1）直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．就是说，对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么一定有这就是勾股定理．（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．（3）由于，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．2.勾股定理逆定理“若三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形为直角三角形.”这一命题是勾股定理的逆定理.它可以帮助我们判断三角形的形状，为根据边的关系解决角的有关问题提供了新的方法.定理的证明采用了构造法.两个命题中,如果第一个命题的题设是第二个命题的结论,而第一个命题的结论又是第二个命题的题设,那么这两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题,那么另一个叫做它的逆命题.如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它也是一个定理,这两个定理叫做互逆定理,其中一个叫做另一个的逆定理.3.勾股定理的证明（1）勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的．先利用拼图的方法，然后再利用面积相等证明勾股定理．（2）证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理．勾股数：4.勾股数：满足的三个正整数，称为勾股数．说明：个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足，但是它们不是正整数，所以它们不是够勾股数．组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数．住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；…5.勾股定理的应用（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边．6、判定直角三角形全等的一般方法由三角形全等的条件可知，对于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，这两个直角三角形就全等了.这里用到的是“AAS”，“ASA”或“SAS”判定定理.7、判定直角三角形全等的特殊方法——斜边，直角边定理斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备.要点：（1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了.（2）判定两个直角三角形全等的方法共有5种：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.（3）应用“HL”时，虽只有两个条件，但必须先有两个Rt△的条件.考点考点精讲一．直角三角形全等的判定（共5小题）1．（2021秋•诸暨市期中）如图所示，已知BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为E，F，则在下列条件中选择一组，可以判定Rt△ABE≌Rt△DCF的是（填入序号）①AB＝DC，∠B＝∠C；②AB＝DC，AB∥CD；③AB＝DC，BE＝CF；④AB＝DF，BE＝CF．2．（2021春•娄底期末）如图，∠A＝∠B＝90°，E是AB上的一点，且AE＝BC，∠1＝∠2．（1）Rt△ADE与Rt△BEC全等吗？并说明理由；（2）△CDE是不是直角三角形？并说明理由．3．（2021秋•瑞安市校级期中）如图，最适合用“HL”定理判定Rt△ABC和Rt△DEF全等的条件是（）A．AC＝DF，AB＝DE B．AC＝DF，BC＝EF C．∠A＝∠D，AB＝DE D．∠B＝∠E，BC＝EF4．（2021秋•拱墅区期中）如图，BE＝CF，AE⊥BC，DF⊥BC，要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF，则还要添加一个条件是（）A．AB＝DC B．∠A＝∠D C．∠B＝∠C D．AE＝BF5．（2021秋•金东区校级期中）如图，在Rt△ABC与Rt△DCB中，已知∠A＝∠D＝90°，请你添加一个条件（不添加字母和辅助线），使Rt△ABC≌Rt△DCB，你添加的条件是．二．勾股定理（共8小题）6．（2021秋•青田县期末）如图，四个三角形纸片Rt△ABC，Rt△AB1C1，Rt△AB2C2，Rt△AB3C3完全重合，并按图示位置摆放．已知BC＝，AB＝1，求四边形CC1C2C3的面积．7．（2022•湖州）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，在6×6的正方形网格图形ABCD中，M，N分别是AB，BC上的格点，BM＝4，BN＝2．若点P是这个网格图形中的格点，连结PM，PN，则所有满足∠MPN＝45°的△PMN中，边PM的长的最大值是（）A．4 B．6 C．2 D．38．（2022•金华）如图1，将长为2a+3，宽为2a的矩形分割成四个全等的直角三角形，拼成“赵爽弦图”（如图2），得到大小两个正方形．（1）用关于a的代数式表示图2中小正方形的边长．（2）当a＝3时，该小正方形的面积是多少？9．（2022春•长兴县月考）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AC+BC＝，AB＝2．（1）求△ABC的面积；（2）求CD的长．10．（2022春•庆元县校级月考）在如图所示的方格图中，每个小方格的边长均为1，则△ABC的周长为多少？11．（2022•龙湾区模拟）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，在△ABC中，∠C＝90°，以△ABC的各边为边分别向外作正方形，再将较小的两个正方形按图2所示放置，连结MG，DG．若MG⊥DG，且BQ﹣AF＝，则AB的长为（）A． B． C． D．12．（2022春•金华月考）如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，AD⊥BC于点D，则AD的长为（）A． B．2 C． D．313．（2022春•西湖区校级月考）已知，如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于D，过D作DE∥AC交AB于E．（1）求证：AE＝DE；（2）如果AC＝3，，求AE的长．三．勾股定理的证明（共5小题）14．（2022春•上虞区期末）将一长方形纸片按图1方式剪成四张完全相同的直角三角形纸片，相关线段长度如图中标注．现将它们拼成图2的“赵爽弦图”，则图2中阴影部分的面积为（）A．a2+ab﹣b2 B．a2﹣2ab+b2 C．a2+2ab+b2 D．a2﹣ab+b215．（2022春•宁波期中）图1是一个“有趣“的图形，它是由四个完全一样的直角三角形围成的一个大正方形ABCD，并且直角三角形的斜边又围成一个小正方形MNQP．已知每个直角三角形直角边分别是a，b（a＜b），斜边为c．根据这个图形我们可以得到一些很好用的结论．（1）如图1，设中间的小正方形MNQP面积为S1，请用两种方法来表示S1．（2）如图2，将四个三角形向里面翻折，刚好又能形成一个更小的正方形A'B'C′D'．已知正方形A'B'C′D'的边长为3，正方形ABCD的边长为9．请求出a，b的值．（3）连结B'D'，若B'D′∥AD，请问∠DMN是多少度？请说明理由．16．（2021秋•鹿城区校级月考）勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜的发现，当两个全等的直角三角形如图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，请你利用图2证明勾股定理（其中∠DAB＝90°）求证：a2+b2＝c2．17．（2022•鹿城区二模）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH．连结EB，EG，延长EG交CD于点M，若∠BEM＝90°，则BE：EM的值为（）A．1：2 B．3：4 C．5：6 D．5：1218．（2021秋•诸暨市校级月考）大家在学完勾股定理的证明后发现运用“同一图形的面积不同表示方式相同”可以证明一类含有线段的等式，这种解决问题的方法我们称之为面积法．学有所用：在等腰三角形ABC中，AB＝AC，其一腰上的高为h，M是底边BC上的任意一点，M到腰AB、AC的距离分别为h1、h2．（1）请你结合图形来证明：h1+h2＝h；（2）当点M在BC延长线上时，h1、h2、h之间又有什么样的结论．请你画出图形，并直接写出结论不必证明；（3）利用以上结论解答，如图在平面直角坐标系中有两条直线l1：y＝x+3，l2：y＝﹣3x+3，若l2上的一点M到l1的距离是．求点M的坐标．巩固巩固提升一、单选题1．（2021·浙江衢州市·八年级期末）直角三角形两直角边长分别为3cm和5cm，则这个直角三角形的周长是（）A．12cm B．（8）cmC．12cm或（8）cm D．11cm或13cm2．（2021·诸暨市开放双语实验学校八年级期中）如图，在中，，是的角平分线，DE∥AB交于点，为上一点，连结、，已知，，则的面积（）A．12 B．7.5 C．8 D．63．（2021·衢州市实验学校教育集团（衢州学院附属学校教育集团）八年级期末）勾股定理是人类最伟大的科学发明之一．如图1，以直角三角形ABC的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大的正方形内，三个阴影部分面积分别记为S1，S2，S3，若已知S1＝2，S2＝5，S3＝8，则两个较小正方形纸片的重叠部分（四边形DEFG）的面积为（）A．7 B．10 C．13 D．154．（2021·临海市外国语学校）如图，在边长为1的正方形网格中有A，B两点，则AB的长在下列范围内（）A．2.6＜AB＜2.7 B．2.7＜AB＜2.8 C．2.8＜AB＜2.9 D．2.9＜AB＜3.05．（2020·浙江八年级期末）如图，在中，，D是上一点，于点E，，连接，若，则等于（）A． B． C． D．6．（2019·浙江）我国清代数学家李锐借助三个正方形用出入相补的方法证明了勾股定理．如图，设直角三角形两直角边的长分别为a、b（），斜边的长为c．做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使E、F、G三点在一条直线上，若，四边形与面积之和为13.5，则正方形的面积为（）A．32 B．36 C．46 D．497．（2020·浙江八年级期末）给出下面两个命题：①如图1，若，，则垂直平分；②如图2，若点到，的距离，相等，则平分．其中真命题是（）A．① B．② C．①② D．无8．（2020·浙江八年级期末）如图，中，的平分线与边的垂直平分线相交于D，交的延长线于E，于F，现有下列结论：①；②；③平分;④，其中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题9．（2021·浙江台州市·）在平面直角坐标系中，点到原点的距离是______．10．（2020·绍兴市上虞区实验中学八年级月考）如图，AP平分∠NAM，PC＝PB，AB＞AC，PD⊥AB于D，∠DPB＝50°，则∠ACP的度数是________．11．（2020·浙江）如图，的高、交于点F，是等腰直角三角形，，连结，则__________．12．（2020·浙江绍兴市·八年级其他模拟）如图，在中，于点，与相交于，且，，则______°．13．（2020·浙江）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与AC的垂直平分线相交于点D，过点D作DF⊥BC，DG⊥AB，垂足分别为F、G．若BG＝5，AC＝6，则△ABC的周长是_____．14．（2021·浙江杭州市·八年级期末）如图，在四边形中，，对角线相交于点E，则________．15．（2021·浙江台州市·八年级期末）如图所示，在Rt△ABC中，AB＝5，AC＝4，点D在边BC上．把△ABC沿着直线AD折叠，使AB恰好落在直线AC上，则△ADC的面积是___．16．（2021·浙江）在等腰中，为线段上一点，，若_______．三、解答题17．（2021·衢州市实验学校教育集团（衢州学院附属学校教育集团）八年级期末）如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC．已知AB＝2，DE＝1，BD＝8，设CD＝x．（1）用含x的代数式表示AC+CE的长；（2）求AC+CE的最小值；（3）根据（2）中的规律和结论，请在所给的网格中构图并求代数式的最小值．18．（2021·浙江台州市·八年级期中）如图是由边长均为1的小正方形组成的网格，四边形ABCD的四个顶点均在格点（小正方形的顶点）上．（1）求四边形ABCD的面积和周长；（2）求∠ADC的度数．19．（2020·浙江杭州市·八年级期末）如图，在锐角中，，过点在的右侧作直线，分别过点作垂直于，垂足分别是，且．求证：．20．（2020·浙江八年级期末）如图，中，D为的中点，于E，于F，且，求证：．21．（2021·浙江衢州市·八年级期末）定义：到三角形两个顶点距离相等的点叫做此三角形的准心．举例：如图1，若PA＝PB，则点P为△ABC的准心